Laajuuden merkityksestä kiekonheiton loppukierrossa Ville Kivioja 4..0 Tämän lyhyen kirjoituksen tarkoitus on avata yksinkertaista fysiikkaa liittyen siihen, miten kiekonheiton loppuvedon laajuus vaikuttaa heiton pituuteen. Matemaattisten faktojen sekaan olen liittänyt joitain omia käytännön kommentteja, pyrkien siihen, että lukijalle on täysin selvää, mikä on objektiivista faktaa ja mikä subjektiivista mielipidettäni. Kirjoitus keskittyy fysikaalisiin faktoihin, ja näkökulma on puhtaasti teoreettinen. Kirjoituksen lopuksi olen todistanut käyttämäni fysikaaliset tulokset, ja nämä todistukset olen pyrkinyt kirjoittamaan sillä tavoin, että päättelyn seuraaminen on mahdollista vain peruskoulun fysiikan tiedoillakin. Siispä mitään ei tarvitse uskoa, vaan asian voi miettiä itse läpi. Tarkastellaan kiekonheiton loppukiertoa hieman ennen kiekon irtoamista kädestä. Tilanteesta on kuva seuraavalla sivulla. Heittosuunta on paperin ylälaitaa kohti ja näkymä ylhäältä päin. Kuvaan on merkitty kirjainsymboleita tarkoittamaan seuraavaa: R on heiton todellinen säde (käytetään nimitystä efektiivinen säde). Se on siis sen ympyrän säde, jota pitkin kiekko lopussa kulkee (ympyrä kuvaa tätä, ei heittorinkiä), ja luulisin sen keskipisteen sijaitsevan tyypillisesti jotakuinkin tukipuolen hartian kohdalla. Tämä on nyt nimenomaan se mielenkiintoinen suure, jonka vaikutusta heiton pituuteen on tarkoitus miettiä. K on heiton kiertokulma siinä ajassa, mitä kuvassa oletetaan kuluneen, kun kiekko on siirtynyt harmaalta katkoviivalta sen (nykyiseen) piirrettyyn paikkaan. V on kiekon kehänopeus, eli se tavallinen nopeus. (Kovilla heittäjillä puhumme varmaankin luvuista noin 5m/s.) W on kiekon kulmanopeus, eli kuinka monta kulmayksikköä kiekko kulkee aikayksikössä. Tavallisesti tämän suureen yksikkönä voisi olla astetta sekunnissa tai kierrosta minuutissa.
Kuva : Loppuveto ylhäältäpäin Kirjoituksen tarkoitus on vastata kysymykseen: Millaisia vaikutuksia on sillä, jos heittäjä kykenee parantamaan heittonsa laajuutta loppuvedossa? Heiton säde R riippuu ennenkaikkea heittäjän sylivälistä (tarkalleen se on hartiapisteen etäisyys sormiin). Kuitenkin heittäjä voi vaikuttaa loppuvedon laajuuteen eli efektiiviseen säteeseen R muuttamalla tekniikkaansa laajemmaksi. Se tarkoittaa siis heiton tukipisteen siirtymistä yhä kauemmaksi päästä vasemmalle. Tämän voisi kuvitella olevan hyödyllistä, nimittäin efektiivistä sädettä, ratanopeutta ja kulmanopeutta sitoo toisiinsa yhtälö (ks. todistus ) V = W R Siispä jos oikealla puolella R kasvaa, niin vasemman puolen V :nkin on kasvettava? Tärkeä huomio on se, että tämä on totta vain jos samalla W pysyy samana. Todellisuudessa varmaankin käy helposti niin, että jos lähteen suinpäin yrittämään laajuuden kasvattamista, niin kulmanopeus W itseasiassa pienenee jotakuinkin samassa suhteessa, eikä haluttu suure eli kiekon ratanopeus V välttämättä parane lainkaan. Tämähän lienee myös syy sille, miksi verrattain lyhytkätiset heittäjätkin voivat saada samanluokkaisia lähtönopeuksia kiekolle kuin pitempikätiset: heillä W on luonnostaan huomattavasti suurempi. Tällöin vaikka R on pienempi, voi tulo W R pysyä samana, tai olla isompikin. Mutta jos nyt oletetaan, että joku heittäjä onnistuisi kuitenkin parantamaan heittonsa laajuutta ilman, että kulmanopeus W hidastuisi, niin mitä siitä seuraisi? Kun puhutaan siitä, miten heiton pituus muuttuu uudella tekniikalla (jossa nyt oletamme olevan suurempi säde R mutta sama kulmanopeus W ) verrattuna vanhaan, täytyy lähteä liikkeelle siitä, millainen säteen R muutos oli verrattuna vanhaan. Videolta pystyisi ehkä
määrittämään (ainakin ylhäältäpäin) heiton efektiivisen säteen. Jos se olisi esimerkiksi vanhalla tekniikalla.3m ja uudella.35m, niin suhteellinen muutos olisi.35m.30m.30m = 0.05m.30m 3, 8% Muutosta kannattaa käsitellä prosentteina verrattuna alkuperäiseen. Jos säde kasvaa 3,8% niin silloin uusi säde on R uusi =.038 R vanha. Eli uusi säde on.038 kertainen vanhaan nähden. Tämä oli vain esimerkki, merkitään vastaisuudessa, että säde on muuttunut a- kertaiseksi, jotta säilytetään laskujen yleisyys: R uusi = a R vanha Nyt tärkeä eometrinen havainto: Jos säde muuttuu a-kertaiseksi, myös kiekon ratanopeus muuttuu a-kertaiseksi! (todistus ) Siis V uusi = a V vanha Kiekkokaaren pituus riippuu oleellisimmin lähtönopeuden neliöstä, jos oletetaan kaikki muut vaikuttavat suureet vakioiksi. Tämä ei ole tarkka tulos, koska esimerkiksi ilmanvastuskomponentit vaikuttavat nopeuden eri potensseissa. Tuo neliöllinen riippuvuus on ns. johtava käyttäytyminen, eli sillä on kaikista suurin merkitys. Voidaan siis kirjoittaa kahden eri heiton välille suurinpiirtein pätevä yhtälö koskien heittojen loppupituuksia ja lähtönopeuksia olettaen, että heitot olivat nopeuksia lukuunottamatta identtiset. Merkitään S ja S heittojen ja loppupituuksia ja V ja V vastaavasti lähtönopeuksia. Tällöin pätee yhtälö (todistus 3) V V = S S Oletetaan nyt, että V on a-kertaisesti suurempi kuin V kuten edelläkin oli. Tällöin (todistus 4) S = a S Siispä tulos sanallisesti: Jos heiton laajuus muuttuu a-kertaiseksi, niin heiton loppupituus muuttuu a -kertaiseksi. Tämä tulos on lopussa esitetty vielä helppokäyttöisempänä kaavana. Jos käytetään esimerkkinä noita lukuja mitä edelläkin, eli jos heiton efektiivinen säde on onnistuttu kasvattamaan.30 metristä.35 metriin, niin a =.038 ja a =.0784. Tällöin vaikkapa 55 metrin heitto pitenee lukemaan.0784 55m 59.3m Tavoittelemisen arvoinen muutos siis, teoriassa. Kuten mainitsin, uskoisin itse, että merkittävin onelma käytännössä on säilyttää kulmanopeus. Tulos on kuitenkin rohkaiseva: metrejä voisi saada lisää, jos onnistuisi säilyttämään edes kohtuudella kiekon kulmanopeuden samalla kun tekniikkaa saisi laajemmaksi. 3
Esimerkeissä käytetyt luvut vanhalle ja uudelle säteelle olivat ihan päästä vedettyjä. Realistisemmilla arvoilla saataisiin parempia arvoita. Ei siis muuta kuin pohtimaan: Kuinka monta senttiä oikeasti heiton efektiivistä sädettä pystyy kasvattamaan? Ja toinen luku mikä täytyy selvittää on heiton efektiivinen säde vanhalla tekniikalla. Tämän kirjoituksen lopputuloksena on kuitenkin laskukaava: pituus uudella tekniikalla [m] = ( + ) säteen kasvu [cm] pituus vanhalla tekniikalla [m] vanha säde[cm] Hakasuluissa merkitty yksiköt, joita kaavassa voi (esimerkiksi) käyttää. Todistukset: Seuraavassa luvatut todistukset esittämilleni fysikaalisille väitteille. Olen pyrkinyt sellaiseen yksinkertaisuuteen, että kohdat, ja 4 on ymmärrettävissä peruskoulunkin fysiikalla, kohta 3 vaatinee kuitenkin lukiotason käsityskykyä. Todistus : Väite: efektiivistä sädettä, ratanopeutta ja kulmanopeutta sitoo toisiinsa yhtälö V = W R Lähdetään liikkeelle luonnollisesta kulman määritelmästä, joka on α = b R jossa α on kulma. Symboli b viittaa sen kaaren pituuteen, jonka näkee etäisyydellä R, kun katsoo kulmaan α rajattua aluetta. On selvää, että jos eri etäisyyksillä olevat kohteet näkyvät samassa kulmassa, niin kauempana oleva on pitempi. Tästä tulee käänteinen riippuvuus etäisyyteen, eli kulma pitää määritellä nähdyn kaaren pituuden ja sen etäisyyden suhteena. Koska yllä olevan yhtälön pitää päteä aina, pitää sen eri puolien muutosnopeudetkin olla samat (muutenhan se ei kohta pätisi, jos toinen muuttuisi eri tavalla kuin toinen). Jos oletamme että säde ei muutu, kuten sen kesken loppukierron ei juuri varmaan pitäisi muuttua, niin silloin saadaan, että kaarenpituuden b muutosnopeuden pitää olla sama kuin kulman α muutosnopeuden. Tästä väite seuraa, koska kulman muutosnopeutta kutsutaan kulmanopeudeksi (W ), ja kaarenpituuden muutosnopeutta ratanopeudeksi (V ), eli W = V R eli V = W R 4
Todistus : Väite: Jos säde muuttuu a-kertaiseksi, myös kiekon ratanopeus muuttuu a-kertaiseksi, eli yhtälöstä R uusi = a R vanha seuraa V uusi = a V vanha Katsotaan ykköskohdassa johdettua yhtälöä V = W R. Siis uudelle tekniikalle pätee V uusi = W uusi R uusi Toisaalta oletimme että W säilyy samana kuin vanha, siis: V uusi = W R uusi Sijoitetaan tähän oletus, että R uusi = a R vanha ja saadaan V uusi = W a R vanha = a W R vanha Toisaalta vanhalle tekniikalle päti V vanha = W vanha R vanha eli kun W oli vakio niin Sijoittamalla tämä yhtälöön saadaan jota väitettiinkin. V vanha = W R vanha V uusi = a W R vanha = a V vanha Todistus 3 (vähän teknisempi, lukiotason fysiikkaa): Väite: Kiekkokaaren pituus riippuu oleellisimmin lähtönopeuden neliöstä, jos oletetaan kaikki muut vaikuttavat suureet vakioiksi ja tällöin nopeuksien ja pituuksien suhteelle pätee: V V = S S Oletetaan, että kiekon lähtökulma maanpintaan nähden on α. Jätetään huomiotta kiekon lähtökorkeus ja oletetaan lähtötasoksi maanpinta (tästä ei tule kuin alle,5m virhettä). Jätetään lisäksi ilmanvastus huomiotta Huomio: Ilmanvastuksen merkitys kiekonheitossa on aivan keskeinen! Miten sen voi vain jättää huomiomatta?! Esimerkiksi KIHU-testien tiedoista voimme nähdä, että heiton pituutta on mahdollisuus arvioida noin 5-8 metrin tarkkuudella myös ilmanvastusta huomioimatta. Koska nyt tarkoitus on perustella, että lähtönopeus riippuu 5
oleellisimmin lähtönpeuden neliöstä, tämä riittää: noin 90% kiekkokaaren pituudesta tulee muusta kuin ilmanvastuksesta. Lähtönopeuden tarkastelu voidaan jakaa kahteen osaan: vaakasuora nopeus v x ja pystysuora nopeus v y. Matka on tunnetusti nopeuden ja käytetyn ajan tulo. Siis kiekkokaaren pituus on sen lentoajan T ja vaakasuoran nopeuden v x tulo: S = v x T. Lentoaika taas riippuu siitä, kuinka paljon kiekolla oli alussa pystysuoraa nopeutta. Tuota nopeutta hidastaa ajanmyötä ns. putoamiskiihtyvyys, joka on kaikille kappaleille vakio (Galilei: kaikki kappaleet putoavat samalla tavalla jos ilmanvastus ei vaikuta). Kun kiekko on lentänyt puolet lentoajastaan, ei sillä ole enää pystysuoraa nopeutta (koska ilmanvastuksen puuttuessa lentorata on symmetrinen), siis Ratkaistaan tästä T : v y T = 0 T = v y Sijoitetaan tämä ensimmäiseen tietoon, jolloin saadaan S = v x v y Lähtökulma oli α. Silloin perustrionometriasta saadaan vaakasuoran nopeuden riippuvuus koko lähtönopeudesta Vastaavasti pystysuora nopeus Sijoittamalla nämä yhtälöön saadaan v x = V cos α v y = V sin α S = V cos α V sin α = V cos α sin α Mahdollisesti mielenkiintoinen huomio: Tässä johdimme samalla nk. ballistisen kaavan, jonka avulla voi laskea heiton pituuden lähtönopeudesta ja lähtökulmasta, kun ilmanvastusta ei oteta huomioon, siis pituus S on, kun lähtökulma on α ja lähtönopeus V, seuraavaa S = V cos α sin α missä 9, 8 m s 6
Siis erikseen pituuksille ja näin: S = V cos α sin α S = V cos α sin α missä α säilyi vakiona, kuten aluksi olettiin. Joten väitetty jakolasku on kuten väitettiin. S = V cos α sin α S : V cos α sin α = V V Todistus 4: Väite: Jos V on a-kertaisesti suurempi kuin V niin Edeltä, todistuksesta 3: S = a A V V = S S Nyt jos kerran V = a V eli V on a-kertaisesti suurempi kuin V, niin S = V S (a V ) = V a V = a Väitetty yhtälö seuraa tästä kertomalla puolittain S :lla ja a :lla, saadaan S a S S = S a a eli a S = S 7