Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1
Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän suhteen ja tavoitteena on testata hypoteesia, että tarkasteltavan muuttujan ryhmäkohtaiset odotusarvot ovat yhtä suuria. Heliövaara 2
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Oletetaan, että tutkimuksen kohteena oleva perusjoukko voidaan jakaa ryhmiin kahden tekijän A ja B suhteen. Oletetaan, että tekijällä A on I tasoa ja tekijällä B on J tasoa, jolloin jaossa syntyy ryhmiä I J kappaletta. Oletetaan, että ryhmistä poimitaan riippumattomat yksinkertaiset satunnaisotokset, joiden koko on K. Heliövaara 3
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Olkoon y kij = k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j). Käytetystä otantamenetelmästä seuraa, että havainnot y kij voidaan olettaa riippumattomiksi satunnaismuuttujiksi. Heliövaara 4
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Oletetaan, että havainnot y kji ovat normaalijakautuneita: y kij N(µ ij,σ 2 ), k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Oletuksista seuraa, että (i) E(y kij ) = µ ij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J (ii) Var(y kij ) = σ 2, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Heliövaara 5
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Haluamme testata nollahypoteesia, että ryhmäkohtaiset odotusarvot E(y kij ) = µ ij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J ovat yhtä suuria. Nollahypoteesi on siis muotoa H 0 : µ ij = µ, i = 1,...,I, j = 1,...,J Jos nollahypoteesi H 0 pätee, ryhmät voidaan yhdistää havaintojen keskimääräisiä arvoja koskevissa tarkasteluissa. Heliövaara 6
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa nollahypoteesi H 0 : µ ij = µ, i = 1,...,I, j = 1,...,J on tapana jakaa kolmeksi nollahypoteesiksi, jotka koskevat tekijöiden A ja B päävaikutuksia ja tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta. Tekijöiden A ja B päävaikutuksia ei voida tarkastella erillisinä, jos tekijöillä on yhdysvaikutusta. Tämä tekee odotusarvojen yhtäsuuruutta koskevan testausongelman monimutkaisemmaksi kuin yksisuuntaisessa varianssianalyysissa. Heliövaara 7
Yhdysvaikutus Tekijöillä A ja B on yhdysvaikutusta, jos tekijän A vaikutus vastesuureeseen y on erilainen, kun tekijä B on eri tasoilla. Yhdysvaikutuksen olemassaolon voi tulkita havaintojen keskiarvodiagrammeista: Jos ryhmäkeskiarvojen yhdysjanat eivät ole yhdensuuntaisia, havainnot viittaavat siihen, että tekijöillä on yhdysvaikutusta. Heliövaara 8
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesit Tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta koskeva nollahypoteesi on muotoa H AB : Ei yhdysvaikutusta Jos nollahypoteesi H AB jää voimaan, havaintojen ryhmittelyä tekijöiden A ja B suhteen voidaan tarkastella erillisinä. Tekijöiden A ja B päävaikutuksia koskevat nollahypoteesit ovat muotoa H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta Huom: H A ja H B ovat yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteeseja. Heliövaara 9
Ryhmäkeskiarvot ja kokonaiskeskiarvo Määritellään havaintoarvojen y kij ryhmäkeskiarvot kaavoilla ȳ ij = 1 K K k=1 y kij, i = 1,...,I, j = 1,...,J sekä kaikkien havaintoarvojen y ji kokonaiskeskiarvo kaavalla ȳ = 1 IJK I i=1 J j=1 K k=1 y kij, jossa IJK = N on havaintojen kokonaislukumäärä. Heliövaara 10
Reunakeskiarvot Määritellään havaintoarvojen y kij marginaali- eli reunakeskiarvot kaavoilla ȳ i = 1 JK J j=1 K k=1 y kij = 1 J J j=1 ȳ ij, i = 1,...,I ȳ j = 1 IK I i=1 K k=1 y kij = 1 I I i=1 ȳ ij, j = 1,...,J Heliövaara 11
Neliösummia 1/2 Olkoon I J K SST = (y kij ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 havaintoarvojen y ji kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma, SSA = JK I i=1 (ȳ i ȳ ) 2 tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma ja SSB = IK J j=1 (ȳ j ȳ ) 2 tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma. Heliövaara 12
Neliösummia 2/2 Olkoon SSAB = K I J (ȳ ij ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 i=1 j=1 tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma ja SSE = I J K (y kij ȳ ij ) 2 i=1 j=1 k=1 ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma. Neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Heliövaara 13
Testisuure yhdysvaikutukselle Määritellään F -testisuure F AB = IJ(K 1) (I 1)(J 1) SSAB SSE Jos nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((I 1)(J 1), IJ(K 1)). Heliövaara 14
Testisuure A-vaikutukselle Määritellään F A -testisuure F A = IJ(K 1) I 1 SSA SSE Jos nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((I 1), IJ(K 1)). Heliövaara 15
Testisuure B-vaikutukselle Määritellään F B -testisuure F B = IJ(K 1) J 1 SSB SSE Jos nollahypoteesi H B : Ei B-vaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((J 1), IJ(K 1)). Heliövaara 16
Testisuureiden tulkinnat 1/2 Testisuureet F AB, F A, F B voidaan tulkita varianssien vertailutestisuureiksi, joissa varianssiestimaattoreita MSAB = SSAB SSA SSB, MSA =, MSB = (I 1)(J 1) I 1 J 1 verrataan ryhmien sisäisen varianssin estimaattoriin MSE = SSE IJ(k 1) Heliövaara 17
Testisuureiden tulkinnat 2/2 Estimaattori MSE = SSE IJ(K 1) on aina harhaton havaintojen y kij varianssille σ 2, mutta estimaattorit MSAB = SSAB SSA SSB, MSA =, MSB = (I 1)(J 1) I 1 J 1 ovat harhattomia varianssille σ 2 ainoastaan jos nollahypoteesit pätevät. H AB, H A, H B Heliövaara 18
Varianssianalyysitaulukko Varianssianalyysin tulokset on tapana esittää varianssianalyysitaulukossa. Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA I 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB J 1 MSB = SSB/df F B = MSB/MSE AB SSAB (I 1)(J 1) MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE Jäännös SSE IJ(K 1) M SE = SSE/df Kokonais SST IJK 1 vaihtelu Heliövaara 19
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi I 1/2 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavasti: y kij = µ ij + ε kij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J (1) jossa jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε kij N(0,σ 2 ), k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Mallin parametreja ovat vakiot µ ij, i = 1,...,I, j = 1,...,J ja jäännösvarianssi σ 2. Heliövaara 20
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi I 2/2 Mallia koskevista oletuksista seuraa, että ja E(y kij ) = µ ij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Var(y kij ) = σ 2, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Heliövaara 21
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 1/3 Tilastollinen malli voidaan parametroida myös seuraavasti: jossa y kij = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε kij, (2) k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J, I J I J α i = β j = (αβ) ij = (αβ) ij = 0 i=1 j=1 i=1 j=1 ja jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε kij N(0,σ 2 ), k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Heliövaara 22
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 2/3 Mallin parametreja ovat vakiot µ α i β j (αβ) ij,i = 1,...,I,j = 1,...,J,i = 1,...,I, j = 1,...,J sekä jäännösvarianssi σ 2. Heliövaara 23
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 3/3 Mallia koskevista oletuksista seuraa, että E(y kij ) = µ + α i + β j + (αβ) ij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J ja Var(y kij ) = σ 2, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Heliövaara 24
Parametrien estimointi 1/2 Mallin y kij = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε kij, jossa k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J, I J I J α i = β j = (αβ) ij = (αβ) ij = 0 i=1 j=1 i=1 j=1 parametrit voidaan estimoida pienimmän neliösumman menetelmällä. Heliövaara 25
Parametrien estimointi 2/2 Parametrien PNS-estimaattorit löydetään minimoimalla neliösummaa SS = I J K (y kij µ α i β j (αβ) ij ) 2 i=1 j=1 k=1 parametrien suhteen. PNS-estimaattoreiksi saadaan ˆµ = ȳ ˆα i = ȳ i ȳ, i = 1, 2,...,I ˆβ j = ȳ j ȳ, j = 1, 2,...,J ( αβ) ij = ȳ ij ȳ i ȳ j + ȳ, i = 1, 2,...,I,j = 1, 2,...,J Heliövaara 26
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin laskutoimitusten suorittaminen Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa tarvittavien neliösummien laskeminen voi olla työlästä ilman tietokonetta. Ohjeet tarvittavien laskutoimitusten suorittamiseen löytyy 8. laskuharjoituksen ratkaisuista sivuilta 14-15. Heliövaara 27