FYt2: Matemaattinen fvsiikka

FYt2: Matemaattinen fvsiikka Vsstaa kuuteen (6) tehtäväön!! Koe 26.1L.2013 1. Pallon lentokorkeutta (m) ajan funktiona kuvaa funktio f (t) = -Tt' *'it, missä t on aika sekunteina välillä [0; 3,0]. Selvitå, milloin pallo on korkeimmillaan ia kuinka korkealla se silloin on? 2. Vaimentumattomassa värähtelyliikkeessä olevan kappaleen sijainti ajan funktiona on s(t) = 4rot75fl, missä sijainti s on metreinä (m)ia aika t sekunteina (s). a) Määritä derivoimalla kappaleen nopeus v ajan t funktiona. b) Mikä on nopeuden suurin arvo? c) Määritä kappaleen kiihtyvyys a ajan t funktiona. 3. Määritä sen kappaleen tilavuus, joka syntyy, kun käyrä! : e-x pyörähtää x-akselin ympäri välitlå [0,1]. 4. Vaihtovirran tehollinen arvo I on sama kuin sellaisen tasavirran arvo, joka muuttaa vastuksessa sähköenergiaa lämmöksi samalla keskimääräisellä teholla kuin kyseinen vaihtovirta. Vastaavasti rnääritellään vaihtojännitteen tehollinen arvo U. Osoittautuu, että tältöin jännitteen tehollisarvo on jännitteen neliöllinen keskiarvo. Sinimuotoisen vaihtojånnitteen u(t) * fisinat tapauksessa on siis,' - +!: ug)zdt - i t{ fi2 sin2astdt =T i{ *O - coszat)dt, missä a = Zrf : T. U on jännitteen tehollinen arvo, 0 on jännitteen huippuarvo ja T on jaksonaika. a) Laske integraalin U' - * $(L - coshat) dtarvoja osoita, että U = a^lz' b) Suomessa vaihtovirran taajuus f = 50 Hz ja vaihtojännitteen tehollinen arvo U = 230 V. Mikä on jännitteen huippuarvo 0 ja jaksonaika T? 5. Kuvan tasavirtapiirissä on jännitelähde (jännite U), vastus, jonka resistanssi on R sekä käämi, jonka induktanssi on L. Kuvan 1 LR-piirin kytkin K suljetaan hetkellä t = 0 s. Kirchhoffin 2. lain mukaan virtapiirin jännitehäviöiden summa on yhtä suuri kuin lähdejännitteiden summa efi Lff* Ri : U, joka jakamalla induktanssilla L saadaan muotoon i' * lri :I. Ratkaise tästä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä piirin virta ajan funktiona i{t}. Alussa i{0) = 6. Määritä raja-arvo }1å rfo. I] - Kuva 1. LR-tasavirtapliri

6. Ydinfysiikassa aktiivisuus Atarkoittaa hajoavien ytimien lukumäärää aikayksikössä. Aktiivisuuden yksikkö [A] : 1= Un (= Becquerel). Aktiivisuuden muutosnopeudelle pätee ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö #: -^O, missä.1on hajoamistodennäköisyyttä kuvaava hajoamisvakio (Us)ja t = aika (s). a) Johda lausekkeesa^ X - _ J,A aktiivisuudelle A suureyhtälö A - Ao -fut. Alkuehtona on, että aktiivisuus alussa A(0) = 40. b) Hahmottele aktiivisuuden kuvaaja A(t). c) Puoliintumisaika \y2on aika, jonka kuluessa radioaktiivisen aineen aktiivisuus fia ytimien lukumäärä) on vähentynyt puoleen. Johda puoliintumisaialle lauseke Trp = T asettamalla yhtälössä A: Aoe-h aktiivisuuden arvoksi A::Aoja ratkaisemalla aika t (t = Trrz). 7. Osoita, ettäy1 - Crsinx * Crcosx on differentiaaliyhtälöa y" +!:0 ratkaisu (vakiot Ct, Cz R). ' 8. Ratkaise täydellinen toisen asteen differentiaaliyhtälö # - 4y : 5. Määritä myös sellainen eo. differentiaaliyhtälön yksityisratkaisu y (y * 0), jolle pätee ehdot: y(0) : 0 ja y'(0) - 0. t2., HH HHHHHHHHHHHHHHHTHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Ohieistus: Toisen kertaluvun lineaarinen vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö on muotoa: y"*dy'*by:91*1 jonka karakteristinen yhtälö on 12 + at" + b = 0. Homogeenisella differentiaaliyhtälöllä (*) on kolme ratka isua yx riippuen karakteristinen yhtälön juurista. 1) Kaksi erisuurta reaalijuurta rr ja rz Caerrx * C2erzx. 7n: 2l Kaksoisjuuril 11 = 12 = t 1' 7n = e'*(ct * C2x) 3) Kaksiimaginaarijuurta r= a+bi " 7n: edx(c inbx * C2cosbx) Toise n kertal uvu n täydell ise n I i neaa risen va kioke rtoimise n d iffere ntiaaliyhtä lön y" + oy' * by : u(x) ratkaisu on homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisu + yksityisratkaisu: y - yr, + yr. Yksityisratkaisu löydetään esim. yritteellä.

tr xr9haattt Me N Fv(tt(<ra 9-6,{l' gols g.+f k^t,{vt 0) ftil= - ffr* ) f (*) = Le-qvra L<r egevf (n) å *-,A t Fa C(), t [o; 3,aj De*tv,'\,.rrt f t*1 " -ä.åt {'(il t = -1!+ +-*g r-aot E J: f+0 i7 g b J Öa Rtva^,t4?.r, M0 LLÅ,ror'{Ö^r.' f t(tl -- o,: tj.tr =0 5J f,{t) - 1ot e -åo - 3J J- = -åo ö f- s*- 3 o t L= f 5 efots,ol,(: +a ) *?/ +o\?t t2 lr, {9,. Y s,a $4aJ t: a)?r*j or TerT\) Kvr rcv ka.,\vt o (fttrftrr batvta) { $

yå Lr nr e)l ärc pt,f ree r.' F fol = FvN /<Tt O,11.. tvurzt n r1ä(y ^RvorvCÅ tlay{trtlfo ttdit/"åån {=7, ls. y,lakjrhlc^r{yo).' fclrs)= ry f ClF). tr'ct,s) = to -,- a/,4 - -4 + Lo..a -- 1?a f +lo = 5...: FG,o) =0 ^ / lvo./t,,{{\/, (å)'* T"1-70 + ao - - 'll PrlLLo O N l<cl e ts,h m tll,,rln l-l-e r ts e uu t= /, 5? Ja eåluonl larvtttsorf vf, on t0ffi Ir 3t llvo m t PeJIcr^l<\/ONa to= W LQ MTO KO f (to) = l*v, Pv N t- p-oo 12 Dt NA..{ r*t*fr f,åa OA^ N FrY ö.f MO LL^fcl r+116r"l r[,,5) = E o =11.. J/{ e

@ r(il = I csa (e t) {.=.2\ I Fzn CJ) a) MoPev-r 1;(t)= st(t) s clr l- dt : Mö,Pev{rerv Jvv\tN ^,&va %^*= g+* 3

4=,e v= V-- Tr v= V: *E s( W; rr (t ö J ö I { o I I q\k : " jlr-)u* e& -trx I P \, -åx -T (.*-. : I o\ ) ot ir. (-* ) {e *1 (4 Å"( J o ii- / - å', -å'o \ ä (c - e ) : -ä [.:*-r) V= ä(r-d*),

Q";,å. \J;.21. = tr 'ts* T -r Ä1 f (,1 ^= t-: t ([ * coze aurt)# ;TJ \ I a ft Tfrs My3 ) {*+å-ir*'rli l\-,ff i \ "l "tr I ( o fl W)-(o -d*.i V= (),n (.',]** U^=,- tj= U ft [r _ /ri,^*-f.r _{o_")l aj L' e,^j UJ A-,}- : /14-lry a,j åf t åw J 4!-r- o] ä ä"j- 5 Å åtl-retå 4Å tr- J^ tus å /74 J,^a.å "4' IT VT,. t/' 23 av- tiå r -,tr) 3å5V, f-s å Ä" 3å Y t* -**.r 5ot+e qatot å 7o nt 5

*7-..- L i fui=q B * f -l a -f-.[*vt-:-=-$-t.:1,c, - (c=t+ ("

å) tco Fo t)y :, -'rf": f L; K O teo»"t; Al t'la r F,r tj V o l"./ FlOm 0 C" 1JY; N LA rf^ rs r.j + Y KJ't ry I J P^r h/l t.f v.'.y'.'=- -4*-Äi - r. -?Llr -N.t --_ - f.oe-+ Y.- L. E -r- =7{ f--r< ---*i,c* -;-Gct1+------- - --- ; l- *^L&y-ettrsi- -i{01 0 0 7

I I ',1,-' -O,;-,V' l 'l *_.l:rl. l i -r,: i _-., - i,,_ i. I.llll,) :i Å'{ä}= -[,:' { *f -1s I L.

J - - r-- L fq A r.,t clrl *ej+g rl r (-åcj"t t-_ I*nz * IT u L f B,.*vf : -ä Å^.= tjå - ; +l -8 Åt L r = -,? låf g_j - Rt+ I z) C, *å* *Cr A \- ' r;l Jå K.h 'r1,^ql t-4 å \r' =fb r-c; l'. * Yl Ia- r-u T^tL,e.= U L'+ t z f;=( ic) ' -å( i(o)=0" t (, e"e -f * c - r +Pe G\-\-,eJ- D -T& L R-L c e "' L-T_ U cez BÅ Y ) r\sl VEE -,/ (c l- (ci t-) få) eo- t ) I?

!1r i--'----,a=--'åffi]''-r--_:-.:'-i-.-.-.-i'- I ll '"- s} +------.--' ffi*.-i -+ru l- åo -O, l.- f.. --- - --+ *----l'-----= _---- :, l'i,-? af. ' *'..--t'--'* 4r _, U, 'I

i E -å l ÅCd =Aa,, i --. I, - -.Ce o_ =^ A't+I= lt'

lll A.= /-_'- -_- - å trv, ;År il il futn tut å "J_-_. ly* _.fiå

@ o$. TIn 4, å C, lv*'x {- Q coa \ 6N åtff ref ^l rl{ alty t+r*t*iinl 'a 4,: {trcx,r4', : c, co<n x at c, c& }r 4,' 1;', ru" + q co.,å + q' (-i-*,s - C&M4 = C, (-4x) -q ce' x - C, ft":ax - Cq (w-\ -lj 4','..1 ^ y»yi rtyn : 4"+a :0/ JoLLo,v rxjaaat' -c) s.=0 -f IIJ -i <qx * c, -n T-oT vr-r^^ l<o" å1ff * oox-u E} l3

MrF^tJe DY "l ^rf dte 4 cl - +4 '55. - 4nt= r,) $orto6- ÖY tsa&i '<?-G re t 'f fr N 6 4 N " -q =o y prär-ä,' f t - I : o 2. 1^= I l^s t A hr - -"1 T'a' t " 2 l+ono G- th= D:r-'N YLG ra/c^, _Å^ Å^ Ct g +- c*e (zlrtsa t,lv e) /<o Ko r-,d v De LLr J ry rc 4, fv Yerr( D}l; A/ tl 4 -+X --5 Yrrr ry - Lf?AY kr+ljy 'f',atc 1) H o,i{,;; sa =0 (nnrto) 1,";c) l,

trj " t{ 4, ')^ n'l - 14 *: A a ** 5,ö f ltg Yrrå't-ääru A- - I Yr rtvt.[åarrl1 t,ru -r - 1, -4 IoHo ;-tlrvp- ÖY,'nr Y(Gtlv-er',/ *ar k^r.f V 4Fv 4 5.* Fth*4, c/ e - å,ä +qe åj( -E 5-4(el) = Q : o: qr c,e o +q {- qe -.g L. rj q 4'u, = 4' (o) : FåCr =$ _,*xx e 0 o Fl r "Å Lt t-e - - + 1å 3c^e * - Cf eu * 1C*eo - e C, r a Cr_,Cxt Cr=Ca t

C+-C=.5!,4 #{trs.g f\,5 -l 5 fr tii Frb \{a + ffi # -år lrf ft' l-&.evtv TT:r $grrr?y I-f fä.,* f h,e #U #fqf F. J, E {{,