Lohkoasetelmat Heliövaara 1
Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon, mutta jonka vaikutuksesta ei olla kiinnostuneita. Jos kiusatekijä on tuntematon (ja hallitsematon), sen vaikutusta tuloksiin voidaan estää satunnaistuksella. Jos kuisatekijä on tunnettu ja hallittu, sen vaikutus voidaan systemaattisesti estää lohkomalla. Lohkoasetelmat on yleisnimitys koesuunnitelmille, joissa käytetään lohkomista. Tällä kurssilla käsiteltäviä lohkoasetelmia ovat satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma ja latinalaisten neliöiden koeasetelma. Heliövaara 2
Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma Heliövaara 3
Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma (i) Oletetaan, että haluamme tutkia käsittelyn A vaikutusta vastemuuttujaan. Asetelmassa on kuitenkin mukana yksi kiusatekijä B, jonka vaikutus sekoittuu käsittelyn A vaikutukseen. Oletetaan lisäksi, että kokeen mahdollisten kohteiden joukko voidaan lohkoa, eli jakaa homogeenisiin ryhmiin tekijän B tasojen suhteen. (ii) Oletetaan, että käsittelyllä A on I tasoa ja kiusatekijällä B on J tasoa, jolloin havainnot voidaan jakaa I J ryhmään. (iii) Poimitaan jokaisesta kiusatekijän B tason määräämästä lohkosta satunnaisesti I yksilöä ja arvotaan käsittelyt ko. yksilöille. (iv) Mitataan vastemuuttujan y arvot. Heliövaara 4
Satunnaistetun täydellisen lohkoasetelman nollahypoteesi Käsittelyiden vaikutusta koskeva nollahypoteesi on muotoa H A : Ei käsittelyvaikutusta Satunnaistetun täydellisen lohkoasetelman analyysi tarkoittaa nollahypoteesin H A testaamimsta, kun asetelmassa on mukana kiusatekijä B. Heliövaara 5
Lohkoasetelman tilastollinen malli Satunnaistetun täydellisen lohkoasetelman tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavasti: y ij = µ + α i + β j + ε ij i = 1, 2,...,I, j = 1, 2,...,J, jossa jäännöstermit ε ij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita. Mallin parametreja ovat vakiot µ,α i,β j sekä jäännösvarianssi σ 2. Parametrien on toteutettava ehdot: I α i = J β j = 0 i=1 j=1 Heliövaara 6
Käsittelykeskiarvot, lohkokeskiarvot ja kokonaiskeskiarvo Määritellään havaintoarvojen y ij käsittelykeskiarvot: ȳ i = 1 J J j=1 y ij, i = 1, 2,...,I Määritellään havaintoarvojen y ij lohkokeskiarvot: ȳ j = 1 I I i=1 y ij, j = 1, 2,...,J Kaikkien havaintojen kokonaiskeskiarvo on ȳ = 1 IJ I i=1 J j=1 y ij Heliövaara 7
Neliösummia 1/2 Olkoon I J SST = (y ij ȳ ) 2 i=1 j=1 havaintoarvojen y ji kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma, SSA = J I (ȳ i ȳ ) 2 i=1 käsittelyvaikutusta kuvaava neliösumma ja SSB = I J j=1 (ȳ j ȳ ) 2 lohkovaikutusta kuvaava neliösumma. Heliövaara 8
Neliösummia 2/2 Määritellään jäännösneliösumma SSE = I i=1 J (y ij ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 j=1 Neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSA + SSB + SSE ja neliösummien vapausasteet toteuttavat yhtälön IJ 1 = (I 1) + (J 1) + (I 1)(J 1) Heliövaara 9
Testi käsittelyvaikutukselle Määritellään F A -testisuure F A = (I 1)(J 1) I 1 SSA SSE Jos nollahypoteesi H A : Ei käsittelyvaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((I 1), (I 1)(J 1)). Heliövaara 10
Lohkovaikutus Olkoon F B = (I 1)(J 1) J 1 SSB SSE Suureen F B suuret arvot viittaavat siihen, että lohkoihin jako on ollut perusteltua. Heliövaara 11
Varianssianalyysitaulukko Tulokset on tapana esittää varianssianalyysitaulukossa. Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA I 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB J 1 MSB = SSB/df Jäännös SSE (I 1)(J 1) MSE = SSE/df Kokonais SST IJ 1 vaihtelu Heliövaara 12
Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma Mikäli kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa ryhmäkohtaisien havaintojen lukumäärä K on yksi, ylittää parametrien määrä havaintojen määrän, jolloin jäännösneliösumma SSE saa arvon nolla. Tällöin emme voi määrittää myöskään testisuureita F A,F B,F AB. Kaksisuuntainen varianssianalyysi siis edellyttää, että ryhmäkohtaisten havaintojen lukumäärä K on vähintään 2. Satunnaistetussa täydellisessä lohkoasetelmassa kustakin ryhmästä otetaan yksi havainto ja yhdysvaikutus sisällytetään jäännöstekijään. Näin saadaan nollasta poikkeava jäännösvarianssin estimaattori M SE ja voidaan suorittaa testi A-vaikutukselle. Heliövaara 13
Satunnaistetun täydellisen lohkoasetelman laskutoimitusten suorittaminen Ohjeet tarvittavien laskutoimitusten suorittamiseen löytyy 9. laskuharjoituksen ratkaisuista sivuilta 23-24. Heliövaara 14
Latinalaiset neliöt Heliövaara 15
Latinalaisten neliöiden koeasetelma (i) Oletetaan, että haluamme tutkia jonkin ryhmittelevän tekijän tai käsittelyn vaikutusta vastemuuttujaan y, kun asetelmassa on mukana kaksi kiusatekijää R ja C, joiden tasojen mukaan kokeen mahdollisten kohteiden joukko voidaan lohkoa eli jakaa homogeenisiin ryhmiin. (ii) Oletetaan, että kiinnostuksen kohteena olevalla tekijällä on P tasoa ja kiusatekijöillä R ja C on myös P tasoa, jolloin havainnot voidaan lohkoa kiusatekijöiden suhteen P P = P 2 ryhmään. (iii) Poimitaan jokaisesta kiusatekijöiden R ja C tasojen määräämästä lohkosta satunnaisesti yksi yksilö kokeeseen ja arvotaan käsittelyt ko. yksilöille siten, että kiinnostuksen kohteena olevan käsittelyn tasot muodostavat ns. latinalaisen neliön. (iv) Mitataan vastemuuttujan arvot. Heliövaara 16
Latinalaiset neliöt P P matriisi on latinalainen neliö, jos sen alkioina ovat kirjaimet A,B,C,... (P kpl) ja jokainen kirjain esiintyy täsmälleen kerran matriisin jokaisella rivillä ja sarakkeella. Samankokoisia latinalaisia neliöitä on useita kappaleita. Standardineliöksi kutsutaan latinalaista neliötä, jonka ensimmäisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen kirjaimet ovat aakkosjärjestyksessä. Heliövaara 17
Latinalaiset neliöt Esimerkkejä latinalaisista neliöistä, kun P = 2, 3, 4 : B A A B A B C B C A C A B A B D C B C A D C D B A D A C B Esimerkkimatriiseista 3 3 matriisi on standardineliö. Heliövaara 18
Satunnaistaminen Latinalaisten neliöiden koeasetelmassa satunnaistaminen voidaan tehdä niin, että kaikkien mahdollisten latinalaisten neliöiden joukosta arvotaan yksi neliö, jonka kirjaimet määräävät kuhunkin yksilöön sovellettavan käsittelyn. Heliövaara 19
Latinalaisten neliöiden koeasetelman tilastollinen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavasti: y ijk = µ + α i + β j + τ k + ε ijk i = 1, 2,...,P, j = 1, 2,...,P, k = 1, 2,...,P, jossa jäännöstermit ε ijk ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita. Mallin parametreja ovat vakiot µ,α i,β j,τ k sekä jäännösvarianssi σ 2. Parametrien on toteutettava ehdot: α i = β j = τ k = 0 i=1 j=1 k=1 Heliövaara 20
Rivikeskiarvot, sarakekeskiarvot ja käsittelykeskiarvot Määritellään havaintoarvojen y ijk rivikeskiarvot ȳ i = 1 P y ijk, i = 1,...,P, j=1 k=1 sarakekeskiarvot ȳ j = 1 P y ijk, j = 1,...,P i=1 k=1 sekä käsittelykeskiarvot ȳ k = 1 P y ijk, k = 1,...,P i=1 j=1 Heliövaara 21
Koknaiskeskiarvo Kaikkien havaintojen kokonaiskeskiarvo on ȳ = 1 P 2 i=1 j=1 k=1 y ijk Heliövaara 22
Neliösummia 1/2 Olkoon SST = (y ijk ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 havaintoarvojen y ijk kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma, SSR = P (ȳ i ȳ ) 2 i=1 rivivaikutusta kuvaava neliösumma ja SSC = P j=1 (ȳ j ȳ ) 2 sarakevaikutusta kuvaava neliösumma. Heliövaara 23
Neliösummia 2/2 Määritellään lisäksi käsittelyvaikutusta kuvaava neliösumma sekä jäännösneliösumma SSA = P k=1 (ȳ k ȳ ) 2 SSE = (y ijk ȳ i ȳ j ȳ k + 2ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 Neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma ja neliösummien vapausasteet toteuttavat yhtälön SST = SSR + SSC + SSA + SSE P 2 1 = (P 1) + (P 1) + (P 1) + (P 2)(P 1) Heliövaara 24
Testi käsittelyvaikutukselle Määritellään F A -testisuure F A = (P 2)(P 1) P 1 SSA SSE Jos nollahypoteesi H A : Ei käsittelyvaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((P 1), (P 2)(P 1)). Heliövaara 25
Rivivaikutus ja sarakevaikutus Olkoon F R = (P 2)(P 1) P 1 SSR SSE Suureen F R suuret arvot viittaavat siihen, että lohkoihin jako rivitekijän suhteen on ollut perusteltua. Olkoon F C = (P 2)(P 1) P 1 SSC SSE Suureen F C suuret arvot viittaavat siihen, että lohkoihin jako saraketekijän suhteen on ollut perusteltua. Heliövaara 26
Varianssianalyysitaulukko Tulokset on tapana esittää varianssianalyysitaulukossa. Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA P 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE R SSR P 1 MSR = SSR/df C SSC P 1 MSC = SSC/df Jäännös SSE (P 2)(P 1) MSE = SSE/df Kokonais SST P 2 1 vaihtelu Heliövaara 27
Latinalaisten neliöiden laskutoimitusten suorittaminen Ohjeet tarvittavien laskutoimitusten suorittamiseen löytyy 9. laskuharjoituksen ratkaisuista sivulta 37. Heliövaara 28