TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta vastemuuttujaan tilanteessa, tekijöillä on vain kaksi tasoa? Esitiedot: Yksisuuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Useampisuuntainen varianssianalyysi vainsanat F-testi Faktorikoe Interaktio Jäännösneliösumma k-suuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo Kokonaisneliösumma Kokonaisvaihtelu Kolmisuuntainen varianssianalyysi Koodaus Kontrasti Luonnollinen muuttuja Neliösumma Odotusarvo Päävaikutus Reunakeskiarvo Ryhmä Taso Testi Vapausaste Varianssi Varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysitaulukko Vastemuuttuja Vastepintamalli Yhdysvaikutus TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4 -faktorikokeen määritelmä >> Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kaksi faktoria eli tekijää, joilla molemmilla on kaksi tasoa: matala ()ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: -faktorikokeen tilastollinen malli on kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 7 Käsittelykominaatiot -faktorikokeessa Käsittelykominaatioiden merkitseminen / Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa = = 4 käsittelykominaatiota: Käsittelykominaatio = matala = korkea = matala = korkea = matala = matala = korkea = korkea Käytetään käsittelykominaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden ja korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a ja. (ii) Merkitään tekijöiden ja matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon molempien tekijöiden matalan tason () merkintänä (). TKK (c) Ilkka Mellin (005) 8 Käsittelykominaatioiden merkitseminen / Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Käsittelykominaatioiden merkinnät voidaan koota seuraavaksi taulukoksi: Merkintä () a Oletetaan, että jokaista käsittelykominaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on n = n = 4n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykominaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykominaatiota: () = Havaintoarvojen summa, kun = (), = () a = Havaintoarvojen summa, kun = (), = () = Havaintoarvojen summa, kun = (), = () = Havaintoarvojen summa, kun = (), = () TKK (c) Ilkka Mellin (005) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 0 -faktorikokeen koeasetelma: Havainnollistus -faktorikokeen koeasetelmaa ja kokeen tuloksia voidaan havainnollistaa neliöllä: () a Tekijän päävaikutus Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala (): a () n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea (): () a n Tekijän päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: a () = = [ ()] n n n TKK (c) Ilkka Mellin (005) TKK (c) Ilkka Mellin (005)
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 Tekijän päävaikutus Tekijöiden ja yhdysvaikutus / Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala (): () n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea (): () a a n Tekijän päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: a () = [ a ()] = n n n Tekijöiden ja interaktioeli yhdysvaikutus on puolet tekijän vaikutuksien keskiarvojen erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän tasolla. Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea (): ( )/n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala (): (a ())/n () a TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4 Tekijöiden ja yhdysvaikutus / Tekijöiden ja päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat kontrasteja Tekijöiden ja interaktio eli yhdysvaikutus: a () = n n a () = n n () a = n n () a Tekijöiden ja päävaikutukset sekä yhdysvaikutus ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): = [ ()] n = [ a ()] n () a = [ a ()] n = [ a ()] n TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6 Tekijöiden ja päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksen neliösummat Koska tekijöiden ja päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavoilla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SS = [ a ()] 4n SS = [ a ()] 4n SS = [ a ()] 4n Havaintojen kokonaisneliösumma Olkoon y kij = k. havainto tekijän tason i ja tekijän tason j määräämässä ryhmässä (i, j) k =,,, n, i =,, j =, Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on n n SST = ( ykij yiii) = ykij Tiii 4n i= j= k= i= j= k= n iii kij i= j= k= T = y = a () on kaikkien havaintoarvojen summa. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 8
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 9 Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma Varianssianalyysihajotelma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma kaavalla: n SSE = ( y y ) i= j= k= kij iij y n = y, i=,, j =, iij kij n k = ryhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. Voidaan osoittaa, että (ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi): SST = SS SS SS SSE SSE on kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin jäännösneliösumma. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 0 -faktorikokeen nollahypoteesit Varianssianalyysitaulukko -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat muotoa: H : Ei yhdysvaikutusta H : Ei -vaikutusta H : Ei -vaikutusta -faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H, H, H perustuvat seuraavaan varianssianalyysitaulukkoon: Vaihtelun lähde Jäännös Kokonaisvaihtelu SS SS SS SS SSE SST df 4(n ) 4n MS = SS/df MS = SS/df MS = SS/df MS = SS/df MSE = SSE/df F = MS/MSE F = MS/MSE F = MS/MSE F = MS/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (005) TKK (c) Ilkka Mellin (005) ja regressioanalyysi /4 ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät ja ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon = Tekijän arvo, kun tekijän taso on korkea () = Tekijän arvo, kun tekijän taso on matala () = Tekijän arvo, kun tekijän taso on korkea () = Tekijän arvo, kun tekijän taso on matala () Määritellään koodatut muuttujat ( )/ x =, =, ( )/ ( )/ x =, =, ( )/ Koodattujen muuttujien x ja x arvot:, jos = x =, jos =, jos = x =, jos = TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 ja regressioanalyysi 3/4 ja regressioanalyysi 4/4 -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli y= β0 βx βx βxx ε y = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja x = Päävaikutusta vastaava koodattu selittäjä x = Päävaikutusta vastaava koodattu selittäjä x x = Tekijöiden ja interaktiota vastaava koodattujen selittäjien x ja x tulo Mallin y= β0 βx βx βxx ε regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: 0 = Kaikkien havaintoarvojen aritm. keskiarvo = = Tekijän päävaikutus = = Tekijän päävaikutus = = Tekijöiden ja yhdysvaikutus Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6 3 -faktorikokeen määritelmä >> Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kolme faktoria eli tekijää,, C joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala () ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: 3 -faktorikokeen tilastollinen malli on kolmisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Useampisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 8 Käsittelykominaatiot 3 -faktorikokeessa Käsittelykominaatioiden merkitseminen / Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa = 3 = 8 käsittelykominaatiota: C Käsittelykominaatio = matala = matala C = matala = korkea = matala C = matala = matala = korkea C = matala = korkea = korkea C = matala = matala = matala C = korkea = korkea = matala C = korkea = matala = korkea C = korkea = korkea = korkea C = korkea TKK (c) Ilkka Mellin (005) 9 Käytetään käsittelykominaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden,, C korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a, ja c. (ii) Merkitään tekijöiden,, C matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien kolmen tekijän matalan tason () merkintänä (). TKK (c) Ilkka Mellin (005) 30
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 Käsittelykominaatioiden merkitseminen / Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Käsittelykominaatioiden merkinnät voidaan koota seuraavaksi taulukoksi: C Merkintä () a c ac c c Oletetaan, että jokaista käsittelykominaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on n = 3 n = 8n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykominaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykominaatiota: (), a,,, c, ac, c, c TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 3 -faktorikokeen koeasetelma: Havainnollistus 3 -faktorikokeen koeasetelmaa ja kokeen tuloksia voidaan havainnollistaa kuutiolla: C c c ac () a c Tekijän päävaikutus / Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala () ja tekijän C taso on matala (): (a ())/n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea () ja tekijän C taso on matala (): ( )/n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala () ja tekijän C taso on korkea (): (ac c)/n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea () ja tekijän C taso on korkea (): (c c)/n Tekijän päävaikutus on edellisten keskiarvo: = [( a ()) ( ) ( ac c) ( c c)]/(4 n) = [ c ac c c()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 33 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 34 Tekijän päävaikutus / Tekijöiden ja C päävaikutukset Tekijän päävaikutus saadaan myös seuraavalla tavalla: (i) Lasketaan tekijän vaikutusten keskiarvo, kun tekijän taso on korkea (): ( c ac a)/(4 n) (ii) Lasketaan tekijän vaikutusten keskiarvo, kun tekijän taso on matala (): ( c c ())/(4 n) (iii) Tekijän päävaikutus on edellisten erotus: = [( c ac a) ( cc())]/(4 n) = [ c ac c c()]/(4 n) Samalla tavalla kuin tekijän päävaikutus saadaan tekijöiden ja C päävaikutukset: = [( c c ) ( ac a c ())]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [( c ac c c) ( a ())]/(4 n) = [ c ac ca c()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 36
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 37 Tekijöiden ja yhdysvaikutus / Tekijöiden ja yhdysvaikutus / Tekijöiden ja interaktioeli yhdysvaikutus on puolet tekijän vaikutuksien keskiarvojen erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän tasolla. Tekijän vaikutuksien keskiarvo, kun tekijän taso on korkea (): [(c c) ( )]/(n) Tekijän vaikutuksien keskiarvo, kun tekijän taso on matala (): [(ac c) (a ())]/(n) Siten tekijöiden ja interaktio eli yhdysvaikutus on = [( c c) ( ) ( ac c) ( a ())]/(4 n) = [ c acca c ()]/(4 n) Tekijöiden ja interaktiosaadaan myös seuraavalla tavalla: (i) Lasketaan tekijöiden ja vaikutusten keskiarvo, kun molempien tekijöiden ja taso on samanaikaisesti korkea () tai matala (): ( c c ())/(4 n) (ii) Lasketaan tekijöiden ja vaikutusten keskiarvo, kun toisen tekijän ja taso on korkea () ja toisen matala (): ( ac c a )/(4 n) (iii) Tekijöiden ja interaktio on edellisten erotus: = [( c c ()) ( ac c a )]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 38 Tekijöiden ja C ja tekijöiden ja C yhdysvaikutukset Samalla tavalla kuin tekijöiden ja yhdysvaikutus saadaan tekijöiden ja C ja tekijöiden ja C interaktioiksi eli yhdysvaikutukset: C = [( c ac ()) ( c a c)]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [( c c a ()) ( ac c)]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) Tekijöiden,, C yhdysvaikutus Tekijöiden,, C interaktio eli yhdysvaikutus on puolet tekijän interaktioiden erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän C tasolla: C = [( c c) ( ac c) ( ) ( a ())]/(4 n) = [( c a c) ( ac c ())]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 40 Tekijöiden, ja C pää- ja yhdysyhdysvaikutuksien geometrinen havainnollistaminen 3 -faktorikokeeseen liittyviä pää- ja yhdysvaikutuksia voidaan havainnollistaa seuraavilla kaavioilla: c C TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4 C C c () a C ac c Tekijöiden ja päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat kontrasteja Tekijöiden,, C päävaikutukset sekä yhdysvaikutukset ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): = [ c ac c c()]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [ c ac c a c ()]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [ c ac c a c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 43 Tekijöiden ja päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummat Koska tekijöiden,, C päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSX = nx X =,, C,, C, C, C viittaa vastaavaan kontrastiin. Havaintojen kokonaisneliösumma Olkoon y lijk = l. havainto tekijän tason i, tekijän tason j ja tekijän C tason k määräämässä ryhmässä (i, j, k) l =,,, n, i =,, j =,, k =, Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on n n SST = ( ylijk yiiii) = ylijk Tiiii i= j= k= l= i= j= k= l= 8n n T = y iiii lijk i= j= k= l= = c ac c a c () on kaikkien havaintoarvojen summa. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 44 Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma Varianssianalyysihajotelma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma kaavalla: n SSE = ( y y ) i= j= k= l= lijk iijk y n = y, i=,, j =,, k =, iijk lijk n l = ryhmän (i, j, k) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. Voidaan osoittaa, että (ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi): SST = SS SS SSC SS SSC SSC SSE SSE on kolmisuuntaisen varianssianalyysin mallin jäännösneliösumma. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 45 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 46 3 -faktorikokeen nollahypoteesit Varianssianalyysitaulukko / 3 -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat muotoa: H C : Ei yhdysvaikutusta C H : Ei yhdysvaikutusta H C : Ei yhdysvaikutusta C H C : Ei yhdysvaikutusta C H : Ei -vaikutusta H : Ei -vaikutusta H C : Ei C-vaikutusta 3 -faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H C, H, H C, H C, H, H, H C perustuvat seuraavan kalvon varianssianalyysitaulukkoon. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 47 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 48
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 49 Varianssianalyysitaulukko / ja regressioanalyysi /4 Vaihtelun lähde C C C C Jäännös Kokonaisvaihtelu SS SS SS SSC SS SSC SSC SSC SSE SST df 8(n ) 8n MS = SS/df MS = SS/df MS = SS/df MSC = SSC/df MS = SS/df MSC = SSC/df MSC = SSC/df MSC = SSC/df MSE = SSE/df F = MS/MSE F = MS/MSE F = MS/MSE F C = MSC/MSE F = MS/MSE F C = MSC/MSE F C = MSC/MSE F C = MSC/MSE Oletetaan, että tekijät,, C ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea () X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala () X =,, C TKK (c) Ilkka Mellin (005) 50 ja regressioanalyysi /4 ja regressioanalyysi 3/4 Määritellään koodatut muuttujat X ( X X)/ x =, X = X, X ( X X)/ Koodattujen muuttujien x arvot:, jos X = X x =, jos X = X 3 -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli y= β0 βx βx β3x3 βxx β3xx 3 β3xx 3 β3xxx 3 ε y = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja x i = Päävaikutuksia vastaavat koodatut selittäjät x i x j = Tekijöiden,, C pareittaisia interaktioita vastaavat koodattujen selittäjien tulot x x x 3 = Tekijöiden,, C interaktiota vastaava koodattujen selittäjien tulo TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 ja regressioanalyysi 4/4 Mallin y= β0 βx βx β3x3 βxx β3xx 3 β3xx 3 β3xxx 3 ε regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: 0 = Kaikkien havaintoarvojen aritm. keskiarvo i = Tekijöiden,, C päävaikutukset ij = Tekijöiden pareittaiset yhdysvaikutukset = Tekijöiden,, C yhdysvaikutus 3 Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. >> TKK (c) Ilkka Mellin (005) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 54
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 55 k -faktorikokeen määritelmä Käsittelykominaatiot k -faktorikokeessa Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten k faktoria eli tekijää,, C,, K joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala () ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: k -faktorikokeen tilastollinen malli on k-suuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Useampisuuntainen varianssianalyysi. Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa = k k kpl käsittelykominaatiota. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 56 Käsittelykominaatioiden merkitseminen Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Käytetään käsittelykominaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden,, C,, K korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a,, c,, k. (ii) Merkitään tekijöiden,, C,, K matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien tekijöiden matalan tason () merkintänä (). k -faktorikokokeen koeasetelmaa voidaan havainnollistaa k-dimensionaalisella kuutiolla; ks. esimerkkejä kappaleissa ja. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 57 Oletetaan, että jokaista käsittelykominaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on k n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykominaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykominaatiota: () a,,, k, ac,, jk c, d,, ijk c k TKK (c) Ilkka Mellin (005) 58 Tekijöiden,, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen / Tekijöiden,, C,, K päävaikutukset ja interaktiot eli yhdysvaikutukset voidaan määrätä kaavalla k X = ( a± )( ± ) ( k± )/( n ) X viittaa määrättävään päävaikutukseen tai yhdysvaikutukseen ja merkit sulkulausekkeissa määräytyvät seuraavan säännön mukaan: Merkki =, jos vastaava tekijä on mukana määrättävässä vaikutuksessa Merkki =, jos vastaava tekijä ei ole mukana määrättävässä vaikutuksessa Lisäksi on korvattava laskutoimitusten jälkeen merkinnällä (). TKK (c) Ilkka Mellin (005) 59 Tekijöiden,, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen / Tekijöiden,, C,, K päävaikutukset sekä yhdysvaikutukset ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja; ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 60
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6 Tekijöiden,, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummien määrääminen Koska tekijöiden,, C,, K päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): k SSX = n X X viittaa vastaavaan kontrastiin. Varianssianalyysitaulukko Testit k -faktorikokeen nollahypoteeseille perustuvat seuraavilla kalvoilla esitettävään varianssianalyysitaulukkoon. Täydellisestä taulukosta esitetään seuraavat neljä osaa: (i) Päävaikutukset (ii) Kahden tekijän interaktiot (iii) Kolmen tekijän interaktiot (iv) k:n tekijän interaktiot, jäännösvaihtelu, kokonaisvaihtelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6 Varianssianalyysitaulukko: Päävaikutukset Tekijöiden,, C,, K päävaikutukset: Vaihtelun lähde C K SS SS SS SSC SSK df Päävaikutusten lukumäärä: k MS = SS/df MS MS MSC MSK F = MS/MSE F = MS/MSE F = MS/MSE F C = MSC/MSE F K = MSK/MSE Varianssianalyysitaulukko: Kahden tekijän interaktiot Tekijöiden,, C,, K kahden tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde C JK SS SS SSC SSJK MSJK Kahden tekijän interaktioiden lukumäärä: k df MS = SS/df MS MSC F = MS/MSE F = MS/MSE F C = MSC/MSE F JK = MSJK/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (005) 63 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 64 Varianssianalyysitaulukko: Kolmen tekijän interaktiot Tekijöiden,, C,, K kolmen tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde C D IJK SS SSC SSD SSIJK MSIJK Kolmen tekijän interaktioiden lukumäärä: k 3 df MS = SS/df MSC MSD F IJK = MSIJK/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (005) 65 F = MS/MSE F C = MSC/MSE F D = MSD/MSE Varianssianalyysitaulukko: k:n tekijän interaktio, jäännös- ja kokonaisvaihtelu Tekijöiden,, C,, K k:n tekijän interaktio, jäännösvaihtelu ja kokonaisvaihtelu: Vaihtelun lähde CK Kokonaisvaihtelu SST k n k k:n tekijän interaktioiden lukumäärä: = k Jäännösvaihtelu SS SSCK SSE k (n ) MSCK MSE df MS = SS/df F = MS/MSE F CK = MSCK/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (005) 66
TKK (c) Ilkka Mellin (005) 67 ja regressioanalyysi /4 ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät,, C,, K ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea () X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala () X =,, C,, K Määritellään koodatut muuttujat X ( X X)/ x =, X = X, X ( X X)/ Koodattujen muuttujien x arvot:, jos X = X x =, jos X = X TKK (c) Ilkka Mellin (005) 68 ja regressioanalyysi 3/4 ja regressioanalyysi 4/4 k -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli y x i 0 k y= β β x β xx β xx x ε i i ij i j ijk i j l i= i< j i< j< l = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja = Päävaikutuksia,, C,, K vastaavat koodatut selittäjät = Kahden tekijän interaktioita vastaavat tulot x i x j x i x j x l = Kolmen tekijän interaktiota vastaavat tulot TKK (c) Ilkka Mellin (005) 69 Mallin regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: 0 = Kaikkien havaintojen aritmeettinen keskiarvo i = Tekijöiden,, C,, K päävaikutukset ij = Kahden tekijän yhdysvaikutukset = Kolmen tekijän yhdysvaikutukset ijl 0 k y= β β x β xx β xx x ε i i ij i j ijk i j l i= i< j i< j< l Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 70