POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että kuljettavien tai rakennettavien etäisyyksien kokonaismäärä olisi mahdollisimman pieni, on äärimmäisen tärkeä yhdyskuntasuunnittelun matemaattinen ongelma se on itse asiassa nykyisin myös ekologinen ongelma. Kokonaisuudessaan ongelma palautuu aina muinaisten kreikkalaisten pohdintoihin yhdistää tason pistejoukon pisteet verkostolla toisiinsa siten, että yhdysjanojen pituuksien summa olisi pienin mahdollinen. Ongelma on nykyisin osa matematiikkaan kuuluvaa graafiteoriaa, joka tutkii solmujen (pisteet) yhdistävien särmien (viivat) muodostamia verkkoja eli graafeja. Esimerkki 1. Suomen tieverkko Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä. Vuonna 1938 Suomi teki varsin kauaskantoisen päätöksen ryhtyä noudattamaan tieluokitusta, numeroltaan pienimmät tiet sijoitettiin alkamaan viuhkamaisesti keskuskaupungeistaan: numerot 1-7 Helsingistä, 8-10 Turusta ja 11-12 Tampereelta. Harva kuitenkaan muistaa, että 1 Lähde: http://fi.wikipedia.org/wiki/suomen_tieverkko
neljäs viuhkakaupunki oli Viipuri. Sieltä alkoivat valtatie 13 Jyväskylän kautta Kokkolaan, 14 Savonlinnan kautta Juvalle ja 15 kohti Neuvostoliiton vastaista rajaa Terijoelle ja Rajajoelle. Esimerkki 2. Matemaatikko Paul Erdõsin (1913-1996) sosiaalinen verkko Kuva Matemaatikko Paul Erdõsin sosiaalinen verkko 2 Yllä on esitetty matemaatikko Paul Erdõsin sosiaalinen verkosto. Erdõs on ehkä kuuluisin esimerkki sosiaalisesta verkostoitumisesta matemaatikkojen keskuudessa. Hän kutoi verkoston sosiaaliseksi pääomaksi, joka konkretisoitui maailmanlaajuisena matemaatikkojen uutta luovana yhteisönä. Kahden pisteen välinen lyhin etäisyys Kahden pisteen yhdistäminen toisiinsa ei nyt vaadi erityisiä perusteluja, vaan lyhin etäisyys on pisteiden välinen jana. 2 Lähde: http://www.orgnet.com/erdos.html
Kolmen pisteen yhdistäminen verkoksi Tason kolmen pisteen yhdistäminen verkoksi etäisyydet minimoiden ei ratkea siten, että yhdistetään pisteet toisiinsa janoilla. Pienen pohdinnan jälkeen kolmen pisteen muodostamasta kolmiosta on aina löydettävissä apupiste, josta kolmion kärkiin piirrettyjen janojen pituuksien summa on pienin mahdollinen. Tutki (Esimerkiksi laskennallisesti Pythagoraan lausetta käyttäen tai geometrisesti kokeillen GeoGebran avulla siten, että muodostat etäisyyksien summalausekkeen ja siirtelet apupistettä P4 ks. K3.ggp) ja pohdi aluksi oheisen esimerkin avulla, mitkä ovat siinä ns. neljännen pisteen koordinaatit. Tehtävä 1. Minkä säännön voit muotoilla pisteen P4 sijainnille suhteessa pisteisiin P1, P2 ja P3, kun halutaan, että janojen P1P4, P2P4 ja P3P4 pituuksien summa on mahdollisimman pieni? Tehtävä 2. Kokeile esim. GeoGebralla löytämäsi säännön toimivuutta erilaisille kolmen pisteen pistejoukoille. Huom. Kun kyseessä on kolmio (=kolme pistettä), niin apupisteitä on yksi. Jatkoa varten voidaan aluksi olettaa, että apupisteiden (=erilaisten reittien solmukohtien) lukumäärä on N-2, missä N = alkuperäisten pisteiden eli solmukohtien lukumäärä. Huom. Laajemmin nyt on kyse matematiikan osa-alueesta graafiteoria, sen solmuista ja särmistä. Kaikkiaan graafiteoria on vanha ja arvokas matematiikan osa-alue, mutta
tietokoneiden laskentatehon kasvun myötä siitä on tullut yhä merkittävämpi matemaattinen apuväline hyvinkin erilaisiin ongelmiin tietoliikenneverkot, ilmailuliikenteen reitittäminen jne. Neljän pisteen yhdistäminen verkoksi Tehtävä 3. Tason neljän pisteen yhdistäminen edellä esitetyin periaattein verkoksi on hieman konstikkaampi ongelma, mutta kuitenkin ratkaistavissa, jos kolmen pisteen verkosta on kyetty konstruoimaan kohtuullisen järkevä olettamus ratkaista yleisempiä tapauksia Käytä tutkimuksesi ja kokeilusi apuna tiedostoa K4.ggp. Viiden pisteen yhdistäminen verkoksi Tehtävä 4. Tason viiden pisteen yhdistäminen edellä esitetyin periaattein verkoksi on edellisiä hankalampi ongelma, mutta jälleen kerran ratkaistavissa. Oletetaan lähtökohtaisesti, että kolmen pisteen verkosta on kyetty konstruoimaan (kohtuullisen) järkevä olettamus ratkaista yleisempiä tapauksia. Käytä tutkimuksesi ja kokeilusi apuna tiedostoa K5.ggp.
EXTRA Kirjekuori Tehtävä 5. Valitse jokin piste kuviosta alkupisteeksi ja kulje koko kuvion kaikki yhdysjanat kertaalleen läpi kulkematta mitään reittiä kahteen kertaan. Tämä tarkoittaa, että voit piirtää kynällä kyseisen kuvion paperille nostamatta kynää kertaakaan irti paperista. Kokeile! Dodekaedri Tasoon levitetty dodekaedri eli ns. Hamiltonin graafi on saanut nimensä irlantilaisen matemaatikon William Rowan Hamiltonin vuonna 1857 esittelemästä Round the World - tehtävästä. Dodekaedri tasoon levitettynä Tehtävä 6. Tehtävänä on kiertää dodekaedrin kärjet särmiä pitkin niin, että jokaisessa kärjessä käydään vain kerran. Tämä tehtävä on ratkaistavissa! Itse asiassa sellaista graafia, josta löytyy suora polku tai silmukka, jossa on graafin kaikki solmut ainoastaan kertaalleen, kutsutaan Hamiltonin graafiksi. Huom! Edellä Kirjekuori-tehtävästä muodostettu viiden pisteen joukko muodostaa myös Hamiltonin graafin!