Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan historiaan ja tutkitaan Platonin kappaleita. Kappaleiden avulla harjoitellaan geometrista hahmottamista ja yritetään löytää säännönmukaisuuksia. Esimerkkitoteutus: Jaetaan oppilaille Polydron-rakennussarjat. Johdantotehtävässä huomataan, että monitahokkaan kärjelle saadaan viisi eri vaihtoehtoa: kolmesta kolmiosta, neljästä kolmiosta, viidestä kolmiosta, kolmesta neliöstä ja kolmesta viisikulmiosta muodostuvat tapaukset. Tarkoituksena on siis löytää kuperakulmaiset vaihtoehdot. Kun oppilaat yrittävät tehdä kärkeä kuusikulmiosta tai esimerkiksi neljästä neliöstä, he huomaavat, että se ei onnistu. Lukiotasolla oppilaat voivat miettiä monitahokkaiden olemassaoloa myös niiden tahkojen lukumäärän ja säännöllisten monikulmioiden kulmien summan avulla. Historiaosion tarkoituksena on nostaa mielenkiintoa aihetta kohtaan. Esitellään Platon ja johdantotehtävässä saatujen kärkien kautta mahdolliset Platonin kappaleet. Rakennetaan viisi Platonin kappaletta ja niitä tutkimalla täytetään taulukkoon eri kappaleiden kärjet, särmät ja tahkot. Oppilaat voivat yrittää etsiä sääntöä niiden välille, mutta jos ratkaisua ei löydy, voi vinkkinä antaa esimerkiksi, että sääntö on muotoa: + = +
Tero Suokas OuLUMA, sivu 2 Johdantotehtävä 1: Kupera monitahokas on säännöllinen, jos sen kaikki tahkot ovat yhteneviä, säännöllisiä monikulmioita, ja sen jokaisesta kärjestä lähtee yhtä monta särmää. Jos tiettyyn kärkeen liittyvät tahkot leikataan auki yhtä särmää pitkin ja levitetään tasoon, on näin saatavan kulman oltava pienempi kuin 360 astetta. Käytössäsi on erilaisia säännöllisiä monikulmioita. Montako erilaista kärkeä saat muodostettua käyttämällä ainoastaan kolmioita, neliöitä, viisikulmioita tai kuusikulmioita? Platon(429-347 eaa.) Kreikkalainen filosofi Platon muistetaan yhtenä historian merkittävimmistä filosofeista ja filosofikoulu Akatemian perustajana. Vaikka Platonin omat matemaattiset tulokset eivät olleet merkittäviä, hän oli aikansa matemaattisen toiminnan johtohahmo, suurin innoittaja ja kehittäjä. Hän kaiverruttikin koulunsa portin yläpuolelle lauseen "Älköön kukaan geometriaa taitamaton kulkeko tästä". Platonin filosofiassa suuressa roolissa olivat säännölliset monitahokkaat, joita kutsutaankin myös Platonin kappaleiksi, vaikka ne tunnettiinkin jo kauan ennen häntä. Platonin kappaleita on viisi: tetraedri, heksaedri eli kuutio, oktaedri, dodekaedri ja ikosaedri. Myöhemmin kreikkalainen matemaatikko Eukleides todisti teoksessaan Alkeet, että Platonin kappaleita on todellakin olemassa vain jo tunnetut viisi kappaletta.
Tero Suokas OuLUMA, sivu 3 Antiikin aikaan ajateltiin, että kaikki olemassa oleva koostuu neljästä aineesta: ilmasta, maasta, tulesta ja vedestä. Dialogissaan Timaios Platon esitti, että säännölliset monitahokkaat ovat näiden neljän elementin rakennusaineita: ilma koostuu oktaedreista, maa kuutioista, tuli tetraedreista ja vesi ikosaedreista. Viidennen kappaleen, dodekaedrin, Platon ajatteli olevan meitä ympäröivän kosmoksen, eli avaruuden, rakennusaine. Platonin kappaleet Platonin kappaleiden nimet tulevat kreikan kielen lukumääriä tarkoittavista sanoista: - Tetraedrin tahkoina on neljä yhtenevää, tasasivuista kolmiota. - Heksaedrin eli kuution tahkoina on kuusi yhtenevää neliötä. - Oktaedrin tahkoina on kahdeksan yhtenevää, tasasivuista kolmiota. - Dodekaedrissa tahkoina on kaksitoista yhtenevää viisikulmiota. - Ikosaedrissa tahkoina on kaksikymmentä yhtenevää, tasasivuista kolmiota. Platonin kappaleiden tasokuviot:
Tero Suokas OuLUMA, sivu 4 Tehtavä 2: Rakenna Platonin kappaleet, apuna voit käyttää tasokuvioita. Kuinka monta kärkeä, särmää ja tahkoa Platonin kappaleilla on? Kokoa havaintosi taulukkoon. Kappale Kärjet Särmät Tahkot Tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri Ikosaedri Löydätkö näiden perusteella säännön kärkien, särmien ja tahkojen välille?
Tero Suokas OuLUMA, sivu 5 Ratkaisut Johdantotehtävä 1: Kolmioita käyttämällä muodostuu kolmen, neljän ja viiden kolmion muodostamat kärjet. Neliöistä muodostuu kolmen neliön muodostama kärki ja viisikulmioista kolmen viisikulmion muodostama kärki. Tehtävä 2: Kappale Kärjet Särmät Tahkot Tetraedri 4 6 4 Kuutio 8 12 6 Oktaedri 6 12 8 Dodekaedri 20 30 12 Ikosaedri 12 30 20 Kärkien, särmien ja tahkojen välille muodostuu Eulerin sääntö: Kärkien lkm + tahkojen lkm = särmien lkm +2