Liikemäärä Henkilöauto törmää tukkirekkaan, miksi henkilöautossa olijat loukkaantuvat vakavasti, mutta rekan kuljettaja selviää yleensä aina vammoitta? Mihin suuntaan ja millä nopeudella rekka ja henkilöauto jatkavat törmäyksen jälkeen? Missä kulmassa sinun täytyy osua biljardipalloon, jotta se vierisi pussiin? Miten voimme määrittää aseen rekyylin ja luodin lähtönopeuden? Miksi tähden kutistuessa neutronitähdeksi sen pyörimisnopeus kasvaa miljoonakertaiseksi! Ydin hajoaa ja emittoi valon nopeudella lentävän gammakvantin, mihin suuntaan ja millä nopeudella rekyyliydin lähtee? Yhteistä näille kysymyksille on se, että niihin ei voi vastata soveltamalla suoraan Newtonin toista lakia, koska tapauksissa vaikuttavista voimista ei tiedetä tarpeeksi. Voimat vaikuttavat hyvin lyhyen aikaa, eivätkä ole likimainkaan vakioita! Tulemme huomaamaan, että yllä kuvattujen ongelmien ratkaisemiseksi meidän ei tarvitse tietää tarkasti voimien suuruuksia tai vaikutusaikoja.
Liikemäärä = massa nopeus, Liikemäärä on vektorisuure, jolla on siis suunta ja suuruus Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken
Liikemäärä-suureen mahtavuus on siinä, että systeemin kokonaisliikemäärä säilyy aina, vaikka peltiä menisi ruttuun, renkaita lentelisi tai välittäjäbosoneita sinkoilisi lähes valon nopeudella Mitä liikemäärän säilyminen sitten oikein tarkoittaa sanallisesti kuvaillen? Suuressa mittakaavassa, jos laskemme yhteen universumin kaikkien kappaleiden liikemäärän saamme jotain, joka ei muutu, ei ole muuttunut, eikä tule muuttumaan jotain joka on vakio aina ja iankaikkisesti. Samoin on energian laita, mutta liikemäärä säilyy universumin liiketiloissa, vaikka energiaa hukkaantuisikin muotoon, jota emme enää voi käyttää ts. entropia tasoittaisi lämpötilaeroja termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan.
Pienemmässä mittakaavassa liikemäärä säilyy esimerkiksi kahden auton törmäyksessä: Törmäystä ennen autoilla on jokin yhteenlaskettu liikemäärä. Juuri törmäyksen jälkeen tämä liikemäärä on sama, vaikka peltiä on mennyt ruttuun ja autot jatkavat matkaansa toisiinsa takertuneina. Nopeuden hidastuessa liikemäärä tietysti vähenee, mutta törmänneiden autojen alkunopeudet voidaan selvittää soveltamalla liikemäärän säilymislakia. Liike-energia ei säily yllä kuvatussa tilanteessa (epäelastinen törmäys), koska energiaa kuluu autojen täydelliseen muodonmuutokseen Sen sijaan biljardipallojen tapauksessa liike-energia (lähes) säilyy, koska pallot eivät muuta muotoaan törmäyksessä tai takerru toisiinsa (elastinen ts. kimmoinen törmäys) Täysin elastista törmäystä ei ole olemassa, koska esim. biljardipallotkin lämpenevät aina jonkinverran törmätessään. Elastinen törmäys on kuitenkin oletus, joka voidaan tehdä joskus riippuen törmäyksen luonteesta. Jos kaksi kappaletta takertuu toisiinsa törmätessään on kyseessä kuitenkin aina täysin epäelastinen törmäys. Esim. jos hyppäät puusta auton lavalle törmäätte auton kanssa täysin epäelastisesti.
Eristetyn systeemin kokonaisliikemäärä säilyy. Toisin sanoen systeemissä vuorovaikuttavien kappaleiden yhteenlaskettu liikemäärä on vakio. Kahden kappaleen törmäyksessä liikemäärä, jonka kappale 1 menettää, siirtyy kappaleelle 2.
Kahden kappaleen A ja B törmäyksessä kappale A kohdistaa voiman kappaleeseen B ja kappale B kohdistaa voiman kappaleeseen A. Newtonin 3. laki sanoo että voimien on oltava yhtä suuren ja vastakkaissuuntaiset. Tämä on totta riippumatta siitä onko voimavaikutus tasainen, epätasainen, pitkäkestoinen tai sekunnin tuhannesosan kestävä tönäisy. Näitä voimavaikutuksia kutsutaan nimellä impulssi, joka on ajan ja vaikuttavan voiman tulo.
Törmääville kappaleille A ja B: Voiman vaikutusajat ovat tietysti samat: Jolloin voimien impulssit (I=F t ) ovat samat mutta vastakkais-suuntaiset: Josta seuraa liikemäärän säilymis-laki: Delta tarkoittaa muutosta:
Edellä ollut tulos siis tarkoittaa, että kappaleiden liikemäärän muutos on nolla. Alussa kappaleilla ollut liikemäärä säilyy, eikä siis muutu, eli on toisin sanoen vakio. Johdetaan alussa esitelty muoto liikemäärän säilymislaista:
Jos yllä olevaa yhtälöä sovelletaan kahden ilmassa törmäävän pallon liikkeisiin, on jokaisen nopeusvektorin kolme komponenttia (x,y,z) otettava huomioon. Kuitenkin usein monimutkaisin tapaus (esim. yokirjoituksissa) on tasossa tapahtuva törmäys (pöydän tai maan pinta) esimerkiksi risteyksessä törmäävät autot. Liikemäärä säilyy siis kolmessa suunnassa, koska nopeudella on kolme komponettia, ellei toisin oleteta.
Kaksi massaa törmää ilmatyynyradalla kuvien mukaisesti a) Kuva:Ennen törmäystä b) Kuva:Törmäyksen jälkeen Mikä on massan A nopeus törmäyksen jälkeen? Vertaile massojen liikemääriä ja nopeuksia toisiinsa.
Kirjoita massojen liikemäärät. Tämä on erikoistapaus, koska liikettä on vain x- suunnassa. Kirjoita kummankin massan liikemäärä ennen törmäystä ja törmäyksen jälkeen. Liikemäärä säilyy, joten yhteenlaskettu yhteenlaskettu liikemäärä lopussa. Eli: liikemäärä alussa on sama kuin Ratkaise tästä tuntematon suure! Liikemäärän muutokset ovat samat, mutta vastakkaissuuntaiset, sama ei päde nopeudelle! Törmäyksessa vaikuttavien voimien suuruus on sama molemmille massoille, mutta Newtonin toisen lain mukaisesti, pienempi massa saa suuremman kiihtyvyyden, eli sen nopeuden muutos on suurempi. Rekan ja henkilöauton törmäyksessä, vaikuttavat voimat ovat samat! mutta kiihtyvyys ja voima, jonka matkustajien sisäelimet kokevat on toinen juttu. Mieti vaikka turvavöihin kohdistuvia voimia, mitä voit sanoa niistä? Selkärangan tukivoima ei riitä pitämää kiihtyvää maksaa paikallaan vaan maksa repeää liitoksistaan. Rekan kuljettajan maksaan ei kohdistu yhtä suurta kiihtyvyyttä, eli sen paikallaan pitämiseen ei tarvita yhtä suurta voimaa, kuin henkilöauton kuljettajan maksan paikallaan pitämiseen
Maalivahti torjuu pallon, potkaisten sen takaisin tulosuuntaan. Pallon alkunopeus on vasemmalle 20 m/s ja potkun jälkeen pallo lentää 45⁰ kulmassa ylös oikealle (ks. kuva). Jalkapallon massa on 0,40 kg. Laske potkuvoiman impulssi ja keskimääräinen voima, joka impulssin aikana vaikuttaa olettaen, että törmäykseen kuluu t=0,01 s. (Painovoiman vaikutusta ei tarvitse huomioida)
1. Pallon alku ja loppunopeudet eivät ole samalla suoralla! 2. Tämän vuoksi täytyy liikemäärää ja impulssia käsitellä kuten vektoreita, käyttäen impulssin ja liikemäärän x- ja y-komponetteja. 3. Valitse x-akselin positiivinen suunta oikealla ja y-akselin suunta ylöspäin. 4. Kirjoita alkunopeudelle suuruus x- ja y-suuntaan. 5. Tee samoin potkun jälkeiselle pallon nopeudelle. 6. Impulssi suunnassa x on sama kuin liikemäärän muutos suunnassa x. 7. Impulssi suunnassa y on sama kuin liikemäärän muutos suunnassa y. 8. Näistä voit laskea voiman F komponentit sekä x-, että y-suunnassa. 9. Kun olet saanut voiman x- ja y-komponentit laskettua, käytä Pythagoraan lausetta kokonaisvoiman selville saamiseksi ja tangentti funktiota voiman vaikutuskulman laskemiseksi. Huom! Pallon loppunopeuden kulma ei todellakaan ole sama kuin voiman vaikutuskulma!
Kiväärillä, jonka massa on 3,00 kg ammutaan luoti, jonka massa on 5,00 g vaakasuoraan eteenpäin. Luodin nopeus maahan nähden on 300 m/s. Millä nopeudella kivääri potkaisee taaksepäin, jos sitä pidetään löysästi olkapäätä vasten? Mikä on luodin liikemäärä? Entä kiväärin? Entä liike-energiat? Entä jos kivääriä puristetaan tiukasti olkapäätä vasten, miten tilanne muuttuu?
1. Ampuja pitää kivääriä löysästi, eli voidaan olettaa, että kivääri ja luoti ovat eristetty systeemi. Ts. Ei ole ulkoisia vaikuttavia voimia. 2. Ammuttaessa systeemin kokonaisliikemäärä säilyy, eli on nolla ampumisen jälkeenkin. 3. Kirjoita liikemäärän säilymislaki vain x-suunnassa, sillä vaikuttavia voimia ei ole y-suunnassa. 4. Kivääri lähtee tietyllä negatiivisella nopeudella taaksepäin. 5. Luodilla ja kiväärillä on yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset liikemäärät, koska niihin vaikuttaa yhtä suuret, mutta vastakkaissuuntaiset voimat yhtä pitkän ajan. Toisin sanoen voimien impulssit ovat samat. 6. Mutta luoti saa paljon paljon suuremman liike-energian kuin kivääri, koska luoti kulkee huomattavasti pidemmän matkan voiman vaikutuksen alaisena. Voima siis tekee enemmän työtä luotiin, kuin kivääriin W=Fs. Liikeenergioiden suhteeksi saat laskemalla 1:600, joka on sama kuin massojen suhde kääntäen. (pätee yleisesti) 7. Jos ampuja puristaa kivääriä tiukasti olkapäätänsä vasten potku on paljon pienempi. Luodin liikemäärää vastaa tällöin suurempi massa ( m ampuja+luoti >> m luoti). Huomaa, että sinun ei tarvitse tietää mitään yksityiskohtaista voimista, jotka vaikuttavat ruudin räjähtäessä, sama lasku pätee myös jousipyssylle!
Kaksi jäämöhkälettä törmäävät. (Kuvat ennen törmäystä a ja törmäyksen jälkeen b) Möhköle A (massa 5,0 kg) liikuu alkunopeudella 2,0 m/s x- akselin suuntaisesti ja törmää levossa olevaan möhkäleeseen B, jonka massa on 3,0 kg. Törmäyksen jälkeen havaitaan, että A:n nopeus on 1,0 m/s poiketen α=30⁰ alkuperäisestä suunnasta. Mikä on möhkäleen B nopeuden suuruus ja suunta (kulma β) törmäyksen jälkeen?
Huomaa! Vaikka liike-energia ei säily törmäyksessä, voit silti käyttää energiaperiaatetta sen jälkeen kun olet selvittänyt mikä on pölkyn nopeus törmäyksen jälkeen! Luodin nopeus voidaan määrittää yllä olevan kuvan mukaisella koejärjestelyllä. Luoti, jonka massa on m ammutaan katosta riippuvaan pölkkyyn, jonka massa on M. Luoti uppoaa ja pysähtyy puuhun, joten törmäys on täysin epäelastinen. Törmäyksen jälkeen pölkky heilahtaa korkeudelle y. Lausu luodin alkunopeus käyttäen symboleita m, M ja y.
Auto 1, jonka massa on 900 kg lähestyy risteystä nopeudella 22 m/s ja törmää risteävältä tieltä tulevaan autoon 2, jonka massa on 1400 kg ja nopeus 12 m/s (ks. Kuva). Autot taketuvat toisiinsa, eli törmäys on täysin epäelastinen. Laske millä nopeudella ja mihin suuntaan peltikasa liikkuu törmäyksen jälkeen.