3.2. SISÄLLYSLUETTELO. sivu JOHDANTO

Transkriptio

1

2 SSÄLLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO SPLNE-FUNKTODEN MÄÄRTTELY JA ESTMOMNEN Lineaarinen sp1ine Kuutiospline Vaihtoehtoinen sp1ine-funktioidenesittärnistapa SPLNE-FUNKTODEN SOVELLUTUSMAHDOLLSUUKSSTA Sp1ine-fu.nktiot funktionaalisten riippuvuuksien kuvaajina Sp1ine-funktiot rakennemuutosten kuvaajina Sp1ine-viiveet KRJALLSUUTTA 23 LTE 1 24 LTE 2 46

3 1 1. JOHDANTO Tässä tutkielmassa esitellään spline-funktioiden sovellutusmahdollisuuksia taloustieteessä. Esitys perustuu suurelta osin D.J. Poirier'n teokseen "The Edönometrics of Structural Change", jossa Poirier tuo voimakkaasti esille spline-funktiöiden käytön talouden rakennemuutoksen analysöinnissa. LisäJssi tarkastellaan spline-funjstioiden käyttöä - sekä tässä tutkielmassa että Poirier'n teöksessa - optimointtmallien ja sopeut1.uuismeka.nismien esittämisessä sekä viivefunktioiden parametrisöinnissa. Spline-funktiot ovat lineaarisia tai polynomisia (tässä työssä yleensä kolmannen asteen) funktioita. Niitä on käytetty lähinnä, insinööri- ja luonnontieteissä riippuvuuksien approksimointiin ja estimointiin joustavan funktiomuodon takia funktion astelukua ei tarvitse etukäteen määritellä ja sen kertoimet ja asteluku voivat olla erilaiset muuttujien eri tasoilla. Funktiomuodon joustavuus on saavutettu spline-funktioissa esittämällä ne palasittaisina. Toinen s.pline-funktioiden' tärkeä omi.naisuus on jatjsu YUliS, joka tarköit.taa sitä, ettätunj,ttiot ja niiden derivaatat asteluvun määrittelemää "viimeistä" derivaättaa lukuun ottamatta övat jatjsuvia. Koska useimmat taloudelliset ilmiöt ovat luönteeltaan jatkuvia, löytynee spline-funktioille sovellutusmahdollisuuksia myös taloustieteessä. Spline-funktioidenestimoimiseen liittyviä kysymyksiä lähestytään tässä työssä "klassisesta" näkemyksestä käsin. Vaihtoehtoisena lähestymistapana olisi bayesiläinen analyysi, joka soveltuisi hyvin esim. solmukoh-

4 2 tien hakemiseen (solmut voivat kuvata mm. ajankohtaa, jona talouden rakenteessa tapahtuu muutos). Käytännölliset näkökohdat puoltavat kuitenkin vielä splinefunkti.oiden estimoimista traditionaalisen estimointiteorian hengessä.

5 3 2. SPLNE-FUNKTOT, MÄÄRTTELY JA ESTMOMNEN Spline-funktiot ovat paloittain jatkuvia funktioita, joiden asteluku on n. Palaset ovat yhdistyneet siten, että funktio ja se,n derivaatat n-lnteen derivaattaan saakka ovat jatkuvia. Kuvio 1. S& (x;), y S&(X 2 ) = S&(x ) l = s&(x ) o = ('oy) , ,.. ---'- r------! 1 x o t _.L--._ -'. x,x S&(x) Kuviossa 1 on esitetty spline-funktio yleisessä muodossa. Kuviossa muuttuja y on selitettävä rnuuttuja ja x selittävä rnuuttuja. Pisteitä X < o xl < x sanotaan sisäisiksi 2 solmukohdiksi eli somuiksi (knots). Pisteet Yo' Yl'Y2 ovat spline-funktion S&(x) oordinaatta-arvoja vastaavilla abskissa-arvoilla. Funktio koostuu neljästä segmenti.stä, joita määrittvät intervallit (-00,x o ], rx o ' xl ], [x l,x 2 ], rx 2,co). Solmukohdat ovat pisteitä, joissa funktiomuoto muuttuu toiseksi. Muuttuja y on siis spline-funktio S&(x) yli joukon A =; {-x < Xl < o X Z }, jos funktio ja sen der-ivaatat n-1 nt.een derivaat taart saakka ovat jatl<uvi.a. Funl<tion

6 4 ja derivaattojen jatkuvuus saavutetaan määrittelemällä funktiota itseään tai sen derivaattoja koskevat jatkuvuusehdot. Seuraavissa kappaleissa esitetään lyhyesti lineaarinen spline-funktio ja kolmannen asteen spline-funktio eli kuutiospline. Lineaarisen spline-funktion yhteydessä osoitetaan mahdollisimman yksinkertaisessa muodossa ne periaatteet, joita noudattaen funktioiden palasit- 1 taisuus ja jatkuvuus saadaan aikaan. Kuutio-spline on esimerkkinä korkeamman asteen funktiosta. Koska sen ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat myös jatkuvia, sen asteluku on riittävän korkea useimpiin sovellutuksiin. Lisäksi esit.etään, miten spline... ful1j<tioita voi"" daan estimoida esimerkiksi PNS-menetelmällä Lineaarinen spline Lineaarinen spline"'funktio- on ensimmäisen asteen funkt1o, joten edellä e.sitetyn määritelmän mukaan se on pålasittainen jatkuva lineaarinen funktio, jonka ensimmäiset derivaatat voivat olla epäjatkuvia.- Kuvio 2. SL',(X)iY Y2 S (x ) L', 0 }{ -x '-----' l x o Xl Xi x

7 5 Kuviossa 2 on esimerkki lineaarisesta spline-funktiosta. Funktio saadaan jatkuvaksi määrittelemällä segmenttien yhtälöiden vakiot ja kulmakertoimet esimerkiksi seuraavalla tavalla SLl(x) Yl - Yo Y + (x - ) o 0 kun x o -< x < Xl. (k = 3 (solmujen lkm -1» Eli yleisesti jnnen (j l,...,k) segmentin suoran yhtälö on muotoa (1). x kun x '. 1 < x < x' JJ Funktion estimoiminen tästä muodosta on kuitenkin han kalaa. Estimoinnin helpottamiseksi muuttuja x voidaan transfortnoida seuraavasti ( 2) w, J = x x j _ l ' kun x > j-l kun x x j _ l (j 2,.,k) (k + 1 = solmujen lkm. ) Estimoitava funktio saa muodon

8 6 Kerroin B on spine-funktion kulmakerroin ensimmäi.,. sellä intervallila [Xo'X ] ja kertoimet B 2,, B k esittävät funktion kaltevuuden muutoksia siirryttäessä intervalilta toiselle. (Tosin sanoen funktion kulmakerroin intervallilla [X l 'X 2 ] on B l + B 2, intervalll-.,.., la [x 2,x 3 ] B l + B 2 + B 3, jne.) Kertoimien B. merkitsevyys voidaan tavallisen käytän J nön mukaan nyt todeta esimerkiksi t.,.testisuureen avul.,. la. Mikäli B. J on merkitsevästi _ nollasta poikkeava, se osoittaa solmukohdassa x _ tapahtuneen funktiomuutok'" j l sen, mikä taloudellisissa sovellutuksissa merkitsee usein rakennernuutosta. 2 Estimoitavaan yhtälöön voidaan helposti li$ätämyc>s mitaselittäviärn.uuttujia. 1. 1"1yös muunlaiset line.a arisen spline-funktion parametrisaatiotovatmahdollisia. Suits & Mason & Chan (1978) ovat esittäneet esi.rrterkin parametrisaatiosta durrunymuuttujia käyttäen. Yhtälö (1) on kirjoit.ettu muotoon (1" ) A l+ bl(x - X l )]D 2 A _ + b'2 + b 2 (x.,. x 2 ) ]D 3, (vrt. kuvio 2) jossa b'.,-l on jnnen (j == 1,...,k) segmentin kulmakerroin jajd. on dummy-rnuuttuja S.e. J D j == 1, kuni j _ l x < x j Funktio saad<aan jatkuvaksi rajoittamalla vakioita ja kulrnakertoirnia seurååvasti Yl - Y + b (x - x ) A,,0 0 l 0 Y2 == Y + b l (x 2 xl) ja sijoittamalla rajoitukset yhtälöön (1"). Estimoitava yhtälö s.aadaan nyt muotoon " (2") S{l.(x) == Yo + h o [(x - x o ) 0l + (Xl - x o ) D 2 lossa kertoimet b, b ja kolmannen segm2nti 2. Ks. sivu (Xl - x o ) D 3 ] + blf(x - xl) D 2 + (x 2 - X )D 3 ] + b 2 [(x - X 2 )D 3 ] ja. b 2 ovat.. ensi.rmuäisen, toisen kulmakertoimia.

9 Kuutiospline Kuutiospline on jatkuva kolmannen asteen palasittainen funktio. Seuraavassa esitettävän funktion matemaattisen mä2irittelyn intuitiivisen ymmärtämi$ n helpottamiseksi on syytä muistuttaa, että menettelytapa on analoginen lineaarisen spline.,.;.funktion määrittelyn kanssa. Kudtiospline voida<;l.n määritellä seuraavasti Olkoon t,. == {x o «x l..;...< x k } abskiss<;l.-arvojen joukko, (k + 1) > 3 yksityistä pistettä X. (j "" 0,1,2,...,k)., A. A.. A J solmuj.a ja y = {Yo'Yl'... 'Yk} edellisiin liittyvät oördinaatta-arvot, niin kuutiosplinet SA (x) on funktio, joka tot.euttaa kaikilla. x n St,. (x) arvoilla ehdot ja sen 1. ja 2. derivaatta ovat jatkuvia välillä Qo'x k ], St,.(x) on enintään kolmannen asteen polynomi välillä [x. 1';<'.] (j = 1,2,...,k) ja l _ A]- J St,.{x j ) = yj. Esimerkki kuutiosplin staon esitetty kuviossa 3. Kuvio 3. St,. (x) y Y3 y o x o x X;X 1. Funktio voi siis olla jollakin välillä myös alempaa astetta.

10 8 Kuviossa jokainen kaari pisteitten (x.; y.) ja J J (x. 1; y. 1) välillä on enintään kolmannen asteen funk- J- J- tio ja peräkkäiset kaaret ovat liittyneet toisiinsa jatkuvasti ehdon (1) edellyttämällä tavalla. Lisäksi jokaista solmukohtaa vastaa oordinaatta-arvo y. = SA (x.) J '-" J Kuutiosplinen matemaattinen muoto voidaan esittää usealla eri tavalla. l Tässä yhteydessä funktio esitetään selittävän muuttujan, solmujen, funktion solmukohtien 2. derivaattojen arvojen (eli momenttien) solmuja vastaavien parametriarvojen avula. sekä Koska kolmannen asteen funktion 2. derivaatta on lineaarinen, voidaan kuutiosplinen 2. derivaatan yleinen muoto esittää seuraavasti ( 4) S" (x) =[ x j - xl M. 1 b. h. J J- J - < < x. 1- x_ x. J- J (j = 1,2,...,k) jossa M. S(xJ') on funktion 2. derivaatan arvo solmu J _ kohdassa x j ja h j = x j - x _. j l 1. nnen steen spline, jonka sisäiset solmut ovat x l,x 2 '...,x k _ l ' voidaan esittää seuraavassa yleisessä muodossa k-l - n ( 6 ' ) S (x) = L 8 (x - x.) + 8 k + 8 k+ 1x +... j=l J J kun n + 8 k x +n - n x. ) J kun x > x. J, kun x.; x. J j=1,2,...,k-l Estimoitavia parametreja 8 on yhtälössä (k + n) kappaletta eikä alku- ja loppuehtoja ole määritelty. Mikäli funktiota määrittävät useat solmut ja sen asteluku on korkea, yhtälöstä (6) johdettu estimoitava muoto on (6')a miellyttävämpi käyttää. Ks. Poirier (1976), s

11 9 ntegroimalla funktion kahdesti ja käyttämällä hyväksi ehtoa (3) vakion määrittelyssä päädytään kolmannen asteen funktioon (6) (5) SA (x) -.2 (x j - x) 1 2h. J ] r_(_x---"",,-x"""]l'--=.1_)_ 2h. ] 1. + ] v. ] - - v ]l h. J ( 6) 5 A (x) + x Xjl r (x - X]'_l) 2 h 2 ]. lj M]. 6h. ] xj -1 x x j (j = 1, 2,..., k) f x - xj_ll y. ] h.. J y]' ] Havai"t.aan, että yhtälöryhmän oikea puoli sisältää selittävät muuttujat x, solmut x., ja niitä vastaavat. A ] oorciinaatta-arvot y. sekä momentitm., joiden voidaan J J katsoa olevan ainoita tuntemattomia muuttujia. 1.omentii. vqidaa.n kuitenkin määritellä jatkuvuusehdon perusteella asettamalla yhtälöä (5) sovelti3.en funktion oikeanpuoleiset ja vasernrnanpuoleiset derivaatat yhtä suuriksi solmukohdissa. x.. J ( 7 ) S (xj) = h.m. 1/6 + h.m./3 + (Y]' - Y] _l)/h]. ] ]- ] ]

12 10 Manipuloimalla yhtälöä (7) päädytään jatkuvuusehtoihin ( 8) (1 - A,)M, 1 + J J- A 6Y'l. = J- h j (h j + h j + l ) 2M, J + AjH j + l '" 6y, J. + hjhj +l h '1 (h. + J+ J A. = J h j + l ( j = 1, 2,..., k-l) Jatkuvuusehdot muodostuvat (k - 1) stä yhtälöstä ja sisältävät (k + 1) tuntematonta muuttujaa H j (j = O,l,...,k). '!jämä alispesifikaatio Voidaan välttää määrittelemällä alku- ja loppueh-dot, jotka rajoittavat spline-funktion muotoa sen alku- ja loppupäässä. l (9) M O = n OM l n 01 < 2 Mk nkm k _ l nkl < 2 Yhdistämällä jatkuvuusehdot sekä alku- ja loppuehdot ja. yksinkertaistamalla yhtälöryh-mäesityksen matri,isimuotoon saadaan 1. Kuutiospline ' ien estimointiin, tehdyssä, tietokoneohjelmassa no ja n k määrätään etukäteen (ks. liite 1). Jos n 0== 1 jank = 1, niin M O = M. l ja Mk = Mk-1' mikä merkitsee sitä, että funktio onensirnmäisellä ja viimeisellä intervallilla kvadraattinen. Jos no == 0 ja D k = 0, niin M O ja Mk ovat nollia riippu,matta muiden momenttien a]"voista. Kyseessä on tällöin ns. luonnollinen kuutiospline(ks. sivu 15). Alku- ja loppuehtojen vaikutus,ta tietyn estimoidun funktion ominaisuuksiin (nauulloin kuin emo tapauksissa) voidaan tutkia yhtälön M=A-l@y (ks. seuraava sivu)jayhtälöiden (16) ja (17) avulla (ks. sivu 13). Tietokoneohjelma tulostaa matriisin A-le sekä y-vektorin, joten M-vektorin numeeyiset arvot voidaan laskea (ks. Listamalli, liite 1). Wän jälkeen yhtälöiden (16) ja (17) avulla voidaan esittää kurkin segmentinyhälöt. Koska A-matriisi si$iättääalku- ja loppuehdot, niin niiden valinnaj,.la vo,k,'daa,n vaikuttaa kertaimien b." c', J', ad,' arvoihin.,,..'.. J. J.' J Alku- ja loppuehtojenominaisuuks;i,.taonperu$iteelli. sempi esitys esimerkiksi Poirier(1976), s la s

13 11 (10) AM =8 y, jossa A ja,2; ovat (k + 1) x (k + 1) matriiseja, jotka sisältävät no,n k, h. ja A.-muuttujia (ks. liite 2). A J J M ja y 6vatvektoreia (M = O,... Mk]' ja y = ry 0,yl'..., Yk], ). Esitetään myös yhtälö (6) matriisimuodossa määrittelemällä n x (k +" 1) matriisin P = [Pim] ja Q = [qim] elementit seuraavasti (11) Pim == 1-- (x j - xi) [(x j - ; kun m = j - 1 ) Lx. x. 1) [ (x.... x '1) ]. J- ]. J- kun m = j 2 h.]/6h. J J 2 h.l/6h. J J \ \0, muulloin x. ) /h., ]. J kun m = j - 1 (12) gim X. 1) /h., ]-. J kun m = j o, muulloin j O,l,,k i = 1,2,,n,n = havaintojen lkm. Yhdistämällä yhtälöt (lö) - (12) yhtälön (6) osoittamalla tavalla saadaan

14 12 Kun M -l = Ab-Y, saadaan (14) St.(x) = (p/\-l<tt + Q)y jossa W = (PA Q) on n (k+ 1) transformoitu datamatriisi. Yhtälöstä (14) nähdään, että St. (x) on lineaarinen yn suhteen. Tästä syystä kuutiosplinen estimoiminen pienimmän neliösumman menetelmällä selitettävän muuttujan y. ja selittävän muuttujan x.. (i "'i 1,2,...,n) 1 1 havaintoarvoista voidaan helposti toteuttaa. Selittävän muuttujan xi havaintoarvot eivät kuitenkaan tässä' tapauksessa esiinny sellaisenaan, vaan ne sisältyvät transformoitl,lun datamatriisiin W. Havaintojen transformointi on toteutettu käyttäen ennalta määriteltyjä alku- ja loppuehtoja n ja n k sekä solmuja x.. Heneto. J telytapa On pääperiaatteissaan siis sama kuin lineaarisen spline-funktion parametrisoinnissa, jossa määriteltiin transformoidut muuttujat w. (ks. yhtälö (2)). J Solmuja vastaavat oordinaatta-arvot y. voidaan siis J estimoida tavalliseen tapaan A (15) Y = (W'W)-lw'y A Yhtälössä y A on yn PNSn estirnaattori. Samalla tavoin kuin lineaarisen spline-funktion tapauksessa myös nyt Voidaan lisätä estimoitavaan yhtälöön mu±ta selittäviä muuttujia. Suomen Pankissa on tutkijoiden käyttöön valmistet.tu Basie-kielinen ohjelmisto, joka laskee mm. W-matriisin ja estimoi kuutio$pline-funktion. Tarkempi kuvaus ohjelrn±stosta on liitteessä 1.

15 Vaihtoehtoinen spline-fuktioidenesittämistapa Toisinaan voi olla hyödyllistä esittää esimerkiksi estimoitu spline-funktio sen segmenttien yhtälöiden avulla. Lineaarisen splinen tapauksessa voidaan segmenttien yhtälöt helposti laskea suoran yhtälön avulla, A koska joko y.t tai kulmakertoimien muutokset on esti J moitu. Kuutiosplinen tapauksessa menettely on hieman monimutkaisempi, joten seuraavassa on annettu segmenttien yhtälöiden kertoimien laskentakaavat suoraan. Kuutiosplinen kunkin segmentin yhtälö on (x... x.l)n J- ollessa muuttujana seuraavaa muotqa (16) S t. (x) - 2 x. 1) J d. (x - x. 1) J J- j = 1,2,..., k Yhtälöstä (4) voidaan osoittaa, että (17) a j A = Y j - l b. J A = Yj - A Yj-l h. J h. (M. + 2M. 1 ) J J J- 6 c j = M j _ l /2

16 14 3. SPLNE-FUNKTODEN SOVELLUTUSMAHDOLLSUUKSSTA Tämä luku sisältää muutamia vihjeitä siitä, miten spline-funktioita voitaisiin soveltaa lähinnä taloustieteen empiirisissä sovellutuksissa. Perinteellisesti spline...funktioita on käytetty luonnontieteissä ja insinööritieteissä, joissa spline-funktiot ovat muodoltaan joustavina soveltuneet hyvin muuttujien välisiä riippuvuuksia kuvaavien funktioiden hakemiseen (curve fitting). Kirjallisuutta, joka käsittelee spline-funktioiden taloustieteellisiä sovellutuksia, on vähän. l Mahdollislsta sovellutusalueist.a tarkastellaan tässä luvussa ftanktionaa.listen riippuvuuksien kuvaamista, rakenteen muutoksen kuvaamista ja testaamista sekä jakautuneiden viiveiden estimoimista. Spline-funktioiden sovellutuksissa voidaan käyttää hyväksi etenkin funktioiden seuraavia ominaisuuksia Ensinnäkin spline-funktioiden matemaattinen muoto on ' j,oust;.ava, koska sillä voidaan Elsittää muuttuj ien väli.stä riippuvuutta erilaisena eri tasoilla. Lisäksi funktio - ja sen ensimmäinen ja toinen derivaatta kuutiosplinen tapauksessa - ovat jatkuvia. Empiiristen funktioiden jatkuvuutta voidaan pitää suotuisana ominaisuutena, koska usein taloustieteen teoreettisissa tarkasteluissa oletetaan funktion (esimerkiksi tuotanto funktion) ja sen derivaattojen jatkuvuus. Toiseksi on oso;ftettu, että ns. "luonnollinen kuutiospline" on loivfn. mahdollinenfun.ktio, joka kulkee 1. Poil;"ier'n (1976) teoksessa on kattava kirjallisuusluettelo teoksen ilmestymishetkeen mennessä julkaistusta. kirja.llisuudesta. /

17 15 annettujen solmukohtien kautta. l Kuutiospline on ns. "luonnollinen kuutiospline", mikäli sen äärinunäiset momentit M O = S(xO) ja Mk = S(xk) ovat nollia. 2 Tämä ominaisuus on teoreettisesti hyödyllinen esimerkiksi silloin, kun halutaan esittää jonkin muuttujan optimaalista kasvu-uraa tai kun haetaan mahdollisimman loivaa viivästysfunktion muotoa Spline-funktiot funktionaalisten riippuvuuksien kuvaajina Spline-funktioilla voidaan todentaa taloudellisten muuttujien välisiä funktionaalisia riippuvuuksia "curve fitting" -menetelmällä samalla tavoin kuin luonnontieteissäkin. Esimerkkinä voidaan mainita Phillips-käyrän estimoiminen nimellispalkan muutoksen ja työttämyysasteen relaationa.;3 Spline-funktiot soveltuvat hyvin myös kuvaamaan epäsymmetristä muuttujien tasoista riippuvaa käyttäytymistä. Valitsemalla esimerkiksi jokin muuttujan taso solmukohdaksi voidaan kuvata muuttujien välistä rllppuvuutta muodoltaan erilaisilla fl1nktioilla valitun tason ylä- ja alapuolella. Esim.erkkinä spline-funktioiden käytöstä. tässä yhteydessävoidaan mainita nun. optimaalisen kontrollin teorian sovellutukset. Lähtökohdaksi. voidaan ottaa epäsymmetrist2 tappifunktiota esittävä spline-funktio, j6nka solmukohta määrittää tavoitetason. 4 Mikäli yhtälön sopeutumiskertoimet ovat eri- 1. Eng1. "smoothest" tai "minimum curvature property". 2. Ks. Poirier (l976), s ja Kraft - Kraft (1974) ovat estimoineet Phillips-käyrän Englannin aineistolla vuosilta sekä eripituisilta osaperiodeilta. 4 Ks. yhtälö (1!).

18 16 suuruisia, sillä kuvataan tapausta, jossa kustannusten suuruus on riippuvainen siitä, ollaanko tavoitetason ylä- vai alapuolella. Samalla tavoin voidaan tarkastella epäsyrnmetristä osittaista sopeutumista mallillå, jossa sopeutumisen kokonaiskustannukset (C) on määritelty esimerkiksi seuraavasti (18) Mallissa Y t on havaittu arvo, Y tavoitetaso, funktio Li kuvaa tavoitetasosta poikkeamisesta aiheutuheita kustannuksia ja L 2,iirtymiskustcmnuksia. L l ja L 2 voidaah määritellä kvadraattisina spline-tappiofuhk- -. tioina. kun < x' - Yt) Yt Yt L (yt; yy) i x 2 x, 2 (yt - Yt) kun > Yt Yt (19) Jo (yt x 2 x 1 (20) =. 6 1 (yt - 6 (y " 2 t kun Yt 5 Y t - l kun Y t > Y t - l (Xl > 0, 02 > 0, 1 > 0, 2 > ovat sopeutumiskertoimia. Mallilla operointia voidaan nyt jatkaa normaaliin tapaan minimoimalla kustannusfunktio (18) ja johtamalla siitä sopeutumisyhtälöt, jotka voidaan estimoida lineaarisina spline-funktioina. l Edellä esitetty malli olkoon esimerkkinä siitä, miten pieni modifikaatio voi laajentaa huomattavasti tulkintamahdollisuuksia. 1. Ks. Poirier (1976), s

19 Spline-funktiot rakennemuutoksen kuvaajina Poirier on kuvannut rakennemuutosta malleilla, joissa sellttävänä muuttujana on aika, ja malleilla, joissa parametrit ovat ajan funktioita ('esimerkiksi splinefunktioita).1 Koska 'lähe.gtymistapa kummassakin rttalliluokassa on periaatteessa sama, mutta jälkimmäisissä malleissa monimutkaisempi, tyydytään tässä luvussa tarkastelemaan vain ensin mainittua tapausta. Rakennem\l\ltosta kuvattaessa lähtökohtana.on solltlujen valinta siten, että ne edustavat ajankohtia, joina talquden rakenteessa Oletetaan tapaht\lneen muu.toksia. MUutos ilmenee spline... f\lnktiossa sen funktiomuodon l'rtuuttw'tlisena, Jltikä puolestaan on nähtävissä siinä, ettäfunktion ns derivaatta onepäjatkuva solmukohdassa (ks. kuvio 4).2 Lineaarisen spline-funktion kohdalla ensimmäisen deri vaatan epäjatkuvu\ls voidaan todeta segmenttien suorien kulmakertoim.ien avulla. Funktion kerroinestimaatit ovat joko kulmakertoimien muutoksia tai kulmakertoimia parametrisoinni.sta riippuen. 3 Ensin mainitussa tapauksessa testataan, onko pa.rametrt.., joka kuvaa kulmak.ertolmen muutosta siirryttäessä ] (j- 1) nneltä tnterva.llilta j nnelle int.erva1lille, merkitsevä. Jäl}dmmätsessä ta.pauksessa testataan sitä, poikkea.vatko parametrit b' ja b. merkitsevästi toi- ]-l J sistaan. 1. Ks. Poirier (1976), s n on s.pline-fl.l)'lktion asteluk\l.. 3. Ks.sivu 6 ja alaviittå 1.

20 18 Kuvio 4. SJ.(x) SJ. (X 3 ) SJ. (;(2) Sö (Xl) SJ.(X ) O! i t S' " (x) J. S "' (x )= J. 2 S'" (x ) J. 3 S "' (x ) J. 1 x Xl x 2 X x X xl x 2 x 3 x Kuviossa 4 on esitetty kuutiospline ja sen kolmas derivaatta SA"h)- <uviossa on oletettu, että rakenne... muutos tapahtuu sisäisissä solmukohdissa x. J (j == 1, 2,. "., k...l) " Solmukohdassa x, tetpahtuu rakennemuutos, mikäli se." (x) J on epäjatkuva tällä kohtaa - toisin sanoen SAn (X j + l ) #- S j. (X j ) " Kuviossa rakennemuutos on tapahtunut solmussa xl' muttei solmussa x 2 " Testisuure, joka kuva epäjatkuvuuskohdan merkitsevyyt... tä, voidaan konst.tuoida laskemalla yhtälöstä (4) oikeanja vasemmanpuoleinenderivaatta solmussa x, eli J Rakennemuutoksen kuvus- [(M. - M, 1 ) jh. J J J- - J ja testausmenettelyä voidaan siis lyhyesti luonn,ehtia seuraavasti määritellään solm.uja valittaessa etukäteen ajankohdat, joina r8ikennemuutoksia o.1,ettaantapa.htuneen, ja seuraavaksi testftaan, onkoretkenn,ernuutoksia tapahtunut" Koska rnenet-

21 19 telytapa ei ole loogisessa mielessä aivan korrekti (vaikkakin yleisesti käytetty), on testien tulosten tulkintaan suhtauduttava varovaisesti mm. seuraavissa tapauksissa. En&innäkin, mikäli nollahypoteesi (ts. ei rakennemuutosta") jää voimaan, ei mahdollisesti voida päättää, johtuuko tulos siitä, ettei rakennemuutosta ole tapahtunut, vai siitä, että malli on virheellisesti spesifioitu. Toiseksi, valittujn solmujen ei tarvitse sijaita optimaalisesti siten, että juuri ne antaisivat parhaan estimointituloksen \ (pienimmän virhevarianssin). On - -, mahdollista, että S\olmukohtien sijalntien muuttaminen aiheuttaa samanaikaiisesti virhevarianssin pienenemise.n ja testituloksen muuttumisen esimerkiksi siten, että nollahypoteesi tulee voimaan. Miten mm. näihin ongelmiin on suhtauduttava - eli millaiset säännöt tällaisten tilanteiden varalle on laadittava -jäänee riippuvaiseksi teoreettisesta ja empiirisestä ongelmanasettelusta kussakin tilant.eessa erikseen Spline-viiveet Tässä luvussa esitetään, miten jakautuneita viiveitä voidaan p$rametrisoida ja estimoida spline-funktioita käyttäen. Tarkastellaan jakautuneiden vliiveiden mallia (22 ) E t (t 1,2,..,T)

22 20 Yhtälössä Yt on selitettävä muuttuja, x t selittävä muuttuja ja Et normaalisti käyttäytyvä virhetermi, B. (j = O,l,...,k) on viiveen j painokerroin, k on J maksimiviive ja T on havaintojen lukumäärä. Yhtälö (22) esitettynä matriisimuodossa (23) y = XB + E Vektoreiden ja matriisien dimensiot ovat y (T 1), B [(k + 1) 1], E (T 1) ja X ft (k + 1) J. Viiveiden painot voidaan estimoida mallista joko vapaasti tai siten, että kertoimet saavat joitakin rajoituksia. Mikäli maksimiviive on pitkä etenkin ensin mainittu menettelytapa on epäkäytännöllinen, koska estimoitavien parametrien lukumäärä tulee suureksi. Kuvion 5 avulla esitetään nyt, miten jakautuneet viiveet yhtälössä (23) parametrisoidaan spline-funk,iota käyttäen. Oletetaan konkreettisuuden vuoksi, etä kyseessä on kuukausiaineisto ja viivefunktion mak$imiviiveen k pituus on 12. Kuvio (j ) Go= o -.. L '_ _ j3 j6 j9 \2 j

23 21 SpJ-ine-funktio voida.an muodostaa painokertoimien (3 j ja Viiveiden välille. Ajatellaan viiveen pituus j (j = 0,1,2,...,12) spline-funktion abskissa-arvoiksi, joten solmuiksi kuviossil on valittu [0,3,6,9 ja 12]. Solmuja vastaavat oordinaatta-arvot ovat painokertoimia[0 0' 3'. 6' 9 ja i3 12]' Kaikki muut painokertoimet «(31' B, P4,jne.) ovat solmuja vastaavien oordinaatta-arvojen lineaarikombinaatioita 2 eli (24) B A = w B Yhtälössä W on (13 5) transformoitu datamatriisi ja i3 = [8 0, 3' 6' 9 ja 8 12 ] on solmuj a vastaavien oordinatta-arvojen vektori. 1 Transformoidun datamatriisin W laskem.ista.pa on samanlainen kuin luvussa 2.2. mikäli viiveftlnktioon kuutiospline tai vastaava kuin luvussa 2.1. lineaarisen splinen ollessa kyseessä. Kun yhtälö (24) sijoitetaan yhtälöön (23) saadaan ( 25 ) Y = XWB + E; Yhtälöstä (25) painokertoimet B voidaan estimoida tavalliseen tapaan PNS-menetelmällä, koska (X'W)-matriisi on jälleen transformoitu datamatriisi. Estimoitavaan yhtälöön voidaan samoin kuin aikaisemminkin lisätä myös muita selittäviä muuttujia. Spline-viiVefunktioiden estimoimiseen on suomen Pankissa käytettävissä tietokoneohjelma, jota on esitelty tarkemmin liitteessä Yleisessä muodossa Wn dimensiot olisivat (k + 1). m (m == solmujen lukumäärä).

24 22 Spline-viiveiden empiirisiä sovellutuksia on toistaiseksi vähän. l Spline-viiveiden etuina sovellutusten kannalta voidaan ensinnäkin pitää funktiomuodon joustavuutta viivefunktion mtemaattita muotoa ei - edes astelukua - eikä tarvitse etukäteen määritellä, vaan se ratkeaa hav9lintoaineiston perusteella. Viivefunktion asteluku voi myös vaihdella intervallilta toiselle. Toiseksi viivefunktiön solmukohtia ja maksimiviiveen pituutta voidaan vaihdella. Kolmantena spline","viiveiden etun9l on vähäparametrisuus. Vaikka estimoitavia para.metreja onkin vähän, sisältävät ne informaation kaikkien viiveiden painokertoimist.d. Neljänneksi, mikäli viivefunktio on luonnollinen kuutiospline, se on loivin mahdollinen funktio, joka kul... kee annettujen solmujen kautta. Vaikka empiirisen viivefunktion suotava.lle muodolle ei voitanekaan asettaa ehdottomia kriteerejä, on viivefunktion tasaista kaavtuvuutta.picjetty usein suotavana ominaisuutena. Suomen Pankin spline-ohjelmalla tehdyissä kokeiluissa on tullut esille, että viivefunktion muoto on hyvin herkkä solmukohtien. ja ma.ksimiviiveen valinnalie. Tästä syystä oikearunuotoisen viivefunktion hakeminen saattadolla työlästä. voi olla aiheellista harkita mahdollisuuksia viivefunktion alku-tai loppupään rajoittamiseksi nollaan sen jälkeen kun maksimivliveen pituudesta on saatu käsitys. Rajoitettujen kokemusten perusteella uskon, että splineviiveet soveltuvat parhaiten "pitkien" (j 9) viivefunktioiden parametrisointiin. 1. Tl,.ltkielman kirjoittajan tiedossa on tällä hetkellä vain Poirier'n demonstratiivineh esitys (Poirier (1976) s ) ja muutamat omat alustavat kokeilut Suomen Pankin spline-ohjelmalla.

25 23 KRJALLSUUTTA 1 AHLBERG, J.H. & NLSQN, E.N. & WALSH, J. L. (1967 ) The Theory of Sp1ines and Their Applications. Academic Press, New York. BARTH, J. & KRAFT, A. & KRAFT, J. ( ) Estimation of the Liquidity Trap Using Sp1ine Fl.'Ulctions, Review of Economics and Statistics, 58, p BUSE, A. 8< Lr.1.i, L. (1977) Cubic Splines as a Special Case of Rest.ricted Least Squ.ares. Jaurnal af the Merican Statistica1 Association, 72, p KRAFT, A. & KRAFT, J. (1974) A Re-est.imation of the Phillips' CurVe for the United Kingdom. Applied Economics 3, p McCULLOCH, J.M. (1971) Measuring the Terrn Structure of nterest Rates. The Journa1 of Susihess, 44, p PORER, D.J. (1976) The Econometrics of Structural Chånge. The Nort.h-Ho11and Pub1ishing Co., Ans terdåm. SUTS,P.B. & MASON, A. & CHAN, L. (1978) Spline Funct.ions Fitted by Standard RegressionMethods, Review of Economics and Statistics', 60, p Tämä k,irja1lisuus1u.et.tel.o sisä1tä a,ip.oastaan taloustieteen f'lqve.llutl.lsten..kanl"1a.lta kq$]t.@iskst katsottu kirjallisuut.ta. poirier'n, teoj}sesa on kat;itava 1uetiel.oteoksen ilmestymishetkenmeanes.sä julka.,i.stusta sp1in"'funktioita käsittelevstä kirja)disuuq.esta.

26 LTE 1 HENMMÄN NELÖSUMMAN CUBlC SFLNE -OHJELMA SPLNE Vastuuhenkilöt. Marja Tuovinen (sovellutukset) Seppo Saastamoinen (ohjelma), 1. Ohjelman toiinintakuvaus Basie -ohjelma SPLNE onp pienimmän neliösumman regressio-ohjelma, jossa regressorien matrusi on korvattu transformoidulla data-matrii- -le 1 silla W ( W = PÄ \Ö' + Q ). Käyttäjä voi halutessaan liittää W-matriisiin selittäviä muuttujia ja vakioita tai käyttää jakautuneita viiveitä tai jakautuneita viiveitä ja muita selittäviä muuttujia. Ohjelmaa voipaan kiiyttää pauksessa,' sekä periodittaisessa että ei periodittaisessa t?- Ohjelma laskee virhevarianssin, varianssi-kovarianssimatriisin, kokonaiskorrelaatiokertoimen sekä Durbin-Watson -testi.jureen. Tiedo. stojen laatimista varten on erillinen apuohjelma HAVN EKO-tiedostojen kanssa kommunikointiin ohjelma PUTS. sekä 2. Ohjelman käyttö>hje Ohjelma SPLNE on interaktiivinen Easie-ohjelma, joka on talle tettu.qeczqn magneettilevyue (struktuuri PS) ohjelmatiodostoksi SPLNE.EAS (käyttäjätunnus<" TUOVlNEN '> ). Ohjelman koko on 5 sivua levy yksiköuä. Ohjelman input-tictoina käytetään tiedostoja (ks. liite 1), jotl-'.a voidaan luoda ohjelmilla HAVL" ja PUTS. LPoirier, D.}. The Econometrics of Structural Change, 1976.

27 25 Käyttö 1) LOGN -rutiini 2) 8BASC _r_e_atx. p t..y-p_e _<1.P.. 3) OLD SPLNE 4) RUN ohjelman suoritus (ks. listamaui liite 2)! time n. yy s.ecos kone vastaa 5) BYE 3. Ohjelman to'itnintalogiikka Ohjelman toimintalogiikka on esitetty kaavioissa 1 ja Syöttö- ja tulostllstiedot 4.1. Syöttötietojen rajoitukset ja tarkistukset Käyttöjärjestelmä antaa ilmoituksen, jos tieto ei ole muodoltaan oikea (es im. tarjotan merkkitietoa numeeriseen kenttään). Korjaus annetaan ko. tieto uudestaan. Loogisessa virheessä ohjelman suoritus päättyy yleensä "dimension etror" -ilmoitukseen tai nollalla jakoon. Korjaus onjelma. aloitetaan uudelleen. Syöttötietojen tarkistus ei ole täydellinen Tulostustietojen kuvaus Ks. listamalli 5. Koneaika-arviot ja muistitila Keskusyksikköaika on matriisicn koosta riippuen 1-12 sckunttia. HavaintomatrfiBien maksimikoko on miliiritelty 200 x 10.

28 H1Pe-JÄSENTEtYPUU! Ka";'lt<Jo"no 3. 1 RAKENNEKAAVO KWt.\MOnniml "_.._.,,,._--..._._ _-..-._-"- "---."--"_.'.-..._ ,,"'-'--._--- S.vu no Pa,våya \ u 1,,! P.'lbO..Etlh,..-l,"'./P(O_kti --..., _--_._--- '---' Aliaovolh*.a Yksi kk.o L.attnu'l (; Hyvåkayyl Apuohjelmat HAVN ja PUTS ll 1, 2 Vakio+muita selittä. viä muuttuj ta -r 3 Jakautuneet viiveet 1 1 r --"]'--r,.._, 4 Jalcautuneet vi!veet + muita selittä.viä muuttujia ["V --_._-_._-----_.._--.- " 5 Useamman muuttujan jakautune.et viiveet V 0\ 1-1 Estimointi + tunnusluvut llopetus l Kunkin rakenneosan tehtävät on kaaviossa 2

29 SYÖTEET DSPL.AY 11,,.\W - matrus Ei-periodittainen solmujen tkm -KS-havaintotiedoston nlm( -s'igfhtienabskissa- H, vakio - selittävien muuttujieni! lukumäärä ja tiedostojen nimet - TOMNT..cA-=-- -matriis( A -matriisi P -mat'riisi -loplluehtoparamet- 1 Q -m_a_tr_i_is_i-l Wl -matriisi erlodittainen -solmujen lkm -KSl-havaintotiedoston 1 nimi -solnlukohtien abskissaarvot -loppuehtoparametrit - Xt,}riM&,""" "ltta'i- v -. "." 27 TULOSTEET,... e -matriisi J\ -matriisi P -matriisi Q -matriisi W1 -maniisi W2 -matriisi 3. Jicautuneet viiveet 7X-sarjan viipymä 1.. X -sarjan havaintojen lkm. - X-sarjan tiedoston nimi W3 -matriisi- ; 4. Jakautuneet viiveet + muita - selittäviä muuttujia fi A - Symbolit -- Ks. kohta 2 ja 3 5, Useamman muuttujan jakautuneet viiveet -joku kohdista 2.3 tai 4 ks. Esimerkki 1. JA ] TUNNUSLUVUT --, ,.->t l-kerroinestimaattn lkm. r! -se1itettaviin ETA -muuttu- i _...J_.a_n_ti_e_d_OS_t_o_n_n_.i_m_i e = estimointivirhe '7 = selitettävä muuttuja s2= virhtvarlanss i "s'1<2 = varlanss i-kovarlanssimatriisl R 2 = kokonalskorrelaauokerroin D-W =Durbin -Watson [estisuure _1 = matriisin liittäminen ;;; vakilj ja WS') =jl)ssaktn vaiheista 2-4 tuotettuja matrliseju ' - v 1"" 1jl lj,jif" V. 0 Wj V 'T1'" t.jt 9{(WT)(W-(-VV)7 D-W i - i 0, 1. t, 3, 4, 5'" ) S'l.. = e e- N- -1 S? SL j _ZS( R 1 /O-lT j. W4 -atriisi. >@ W5 -matriisi ====i'@

30 28 ESMER.KK 1. Optio 5. Useamman muuttujan jakautuneet viiveet. Kulkukaavio. 1. Ohjelma laskee W1 -matriisin ioput ETA 1 (t l kpl.). solmut,( k 1 k-pl.). 4. Ohjelma laskee Wl -matriisin iaput ETA 2 (t 2 kpl.) solmut (k 2 kpl.). öutput W 1 output W Ohjelma laskee jakautuneet viiveet (optio 3) input Wl -matriisi 1 aikasarja X Ohjelma laskee jakautuneet viiveet (optio 3 tai 4). input W1 -matriis i 2 aikasarja X (+mahd. muut. 2 muuttujat),",,-3. _0_."... ' J e_.l_m_,a_.s..,är"i1_0_ O_ W... "3_1._-_m_.. a... t_-_... rnsln., 6. Oema Säilöö W3 2 -matrnsm yhteen estimointi > q = mahdollisten muiden muuttujien [km. (

31 29 OhjclJnan käyttämät tiedostot ja niiden muoto A. KS -havaintotiedosto.. N kpl. havaintoja (6 merkkiä huomioidaan, pyöristys expmuodossa) Tekniset tiedot peräkkäistiedosto - kanava 3 -ohjelma käytää nimellä H ( 1,..,N) - Käyttö kohta 1. B. ETA -havaintotiedosto T kpl. havaintoja - Tekniset tiedot peräkkäistiedosto. - kanava 4 - Ohjelmak,äytää nimeltä Z ( 1,.., N) - Käyttö kohta 6. C. Selittäv ien muuttujien havaintotiedostot - Selittävien muuttujien lkm. Dl - Dl kpl. tiedostoja, joissa kussakin T havail,toå Tekniset tiedot peräkkäistiedostoja - kanava S. Kukin tiedosto O]. auki vain lukuhetken. ohjelma käytää nimellä D6t, j) jossa j on selitettävän muuttujan järjestysnumero (järjestys vapaa) - Käyttö kohta 2 ja 4. D. X -aikaf;arjatiedostö (jakautuneita viiveitä muodostettaessa) - T + K + L kpl. havaintoja - Tekniset tiedot peräkkäistiedosto - kanava 6 ohjelma käytää -nimellä A(, 1), jossa 1 (1,...,N8) - Käyttö kohdat 3 ja 4.

32 30 LSTAMALL Seuraavassa listamallissa on esitetty ei-periodittaisen kuutiosplinen estimoiminen. Koska ohjelmassa ja tekstissä olevat symbolit poikkeavat jonkin verran toisistaan, helpottanee oheinen taulukko listamallin lukemista. ohjelma numeeriset arvot testi luku 2.2 so1mujen lukumäärä K1 4 havaintojen lukumäärä N 19 n $e1ittävä muuttuja KS1 ( CUTME ),2, X. (i==1.. n), 1 solmukohta a1kuehto loppuehto selitettävä muuttuja X{l) X(4) PlO PK ETA 1,4,12,19 o o,\cuq! tuotannon, ltrendipoikkeama X j (j==o.. k) no,n k 1 1 y. 1 estimoidut parametrit i YHATTU selitettävän muuttujanjetahattu estimoidut arvot ; i11,99; -0,12; 1-5, 23; 7, 7 3 '111'99; 7,59; 3,46; -0,12 jne. y. J SL\(X') 1 estimointivirhe E==ETA-ETA HATTU!6, 28; - 7, 20 ; ;-4,78; 1,25 jne. y.-sa(x.) 1 1

33 'j L 31 tdw(.l H!. ni 1 Ult\ (JOrn (J 'Hd i W hll Fn 13. H (\h UDA+THE 1 fl 1 == T ULClSTF T (1t,N ' <tlll\!\ 1 71 ANN) 0"[ t -PEF< 1 cm 1 1"T(1 1 i[n Tti 1 1.F'EF\ 1on 1 TTtl 1 len?o ()NJU't K; l-httlj,a.) NTO.Jj=N L U/'!.Jri?ii';J"Ä, N? 19 ANNA fs-hfwrdntfn H.[lUTC)N NHi?CUTME ANNf-l SOLMU>OHD(,N x ( 1. ) ;f(s\s!;(i,"-t,rvo l' 1 ANNf-\ -SO.i1UhU1DtlN x( 2 ) M}i11-;;11St,-AF<\)()?4 ANNA SOLHUl(OlfH,'iN )( ( 3 ) t-ysklssf-j--(ifvo? 12 ANNA SfJLriUl«()Ht{rN x( 4 ) ABSl\ HiA- AF\VO l'19 ANNti LdF'r'UEl-nOP(lFUH'l[ H< 1 T PlO r F' 1 K? 0,0 LAMflDA,-MATR o o THETA-MATRS o B1818E-2 0 o E-2 o 0 0 () LAt1B}), (1 NV) *THETAMriTR 1 1 S 1 o o o o '1 -'2.68A56E H E E t\39je-2-1.,g o () o

34 32 ClJftC lf'lnf TRANSFOF,i't()(tT 1OtiliTT 181 f.ju;s(i PlO;; 0 J(.\ F'll(" () JA SOLMUKOHTEN ABSKSSA-RVOT X( 1) j X( 2) 4 X ( 3 -_.. 1? X( 4 )" 19 f'--/'-1{1 T1< ; 1 () C' 0 0 -O p Yht. (11) 000 (0 o -2.18l o () o -3. 4Y7J ') o o (. o ('...J o o o o o U-+i (it F 1 1 S T

35 (J.- tf(', n 1 i) J () o 1 0 () o o O. 87j o o o 0.5 O.t'.i 0 o Q Yht. (12) o o O O.7t'!'86 O. 28j O. 8)7143 o 0 0 1

36 14-1'1(-1 1 R1 r S () E E E E-3 o E E E ,.20206E j E E-2 W = (PA-1 + Q) li8 0.39) E E O [ (">2[ [-2 t"' [ E H1E E , [ [

37 35 JATKO 1.=E5TMONT ftunnusljvut 2""TAVALLNEN+MUUl SELTTAVJA MUUTTUA 3=.JAKAlJTUNEET V)EET 1"'.JAKAUTUNET Vl)EET+MUTf"SEL!TnVUMUUTTUJA o=useammttn MUUTTUJAN.JAKAUTUNEET V!VEET 9LOF'ETUS '1'1 NORMfAr... TAPt,US, U4SKETAAN YHATTU "P*LASKETAM<! FEGf ESS OKEFTOMETW-'/MnR 15 N KÄ YTTöt;N*** ANNA KEFRO NEST i"1(!ltitt EN LKM' ek1 +ViH, OH'iUllT SEL 1 TT ÄVi) T f1uuttufh? 4 ANNA$L.l.ÄVÄ}l "MUUlTlUAN ETA-ltlA.,.tANTOTEDOSTON Nt1?CUQ W*W N TF1tlfSPOOSTN KAANTE 1 Sf lltr HU f OMEGtj a317E ( E E [ E E YHATTU t.,tcl( ,.', y Yht. (15) ETA-HATTU fJ50t' ric) B15U f) H -O.5A<;>44.'i ;6 3. 4D 79 5.j!, ') "

38 E ; T 1 h (l ] tj T 1 \) Tr.. H! [ =; [ 1 f.l L T (ih(. T T U ;;.-., 1 9iOf.> -4.7B > j/ 6 () Hf.l t 6F _ O.4?752/' S [4; C< H ';'1,.9214n ;5 4. EHS J;H2J 3.29E' [1.f tl,trfh PiNF; J ; \'ti}rr; ". 1 - Sij2 / TS;;; (),', 5 (r0 -; 3 1,OVriF 1 Cit,!E S 1 t1 tltf S t, i fJ(l ) J..1.> ) [ J.,336<;'<;' O<nN{i 1 S<OPFEL.tlhT 1 O<FFHO NO.!.)469l. ftuep t U-l,,'t"'i TGD TES"! t5lju!e lt--(.." ' ,", 1!<0 l =!. T hlj 1 r-lt 1 +TU -rnuf.;l [luut

39 37 OHJEL1A...J? o --<.... ;>- >....."" u p. r E-' <l ;r;... '! c,' t '. <t...-; <-<.-r.. t... c ".J, <-< - '.')r ;.. t.r,.,...).} -. -".. "'-J '-'l > '" f-(- 0--" ;> &..etq7 '-'r-ic O,.....l r.. --J < a..,0 't... '"' C- > 'O , ;> -4.., "<t E-- ;-., ,-, 0 "'4 C " -.".. r r.',,' -x... "-'",-... ""'.-c > "..., """' "- <..., ','1 '-', "" > ;-,-..,...,. - O -l.'.- t 1.r _ J..., r _' '.'..L1 X """"" < C.-f Y- ')J" ", " "--< " < 1 0"'" r'l 0 JO... J c '- C.; C... "....., "J r --.,) -.- '1 "'") "'-. J.) - -l '-"... ->..., '-"''''''''; 0 J \'-' ='...,... -' '-' '-" -'" ""...,.-- ;-") ;"", ""'l _ < '-" -< _'... < > " - _. "'.> -...J ( J '-"' '-",,> t.)... " "... ) ".' ') "-l >! ", ,,; '""' " ".. - _'..... ""',,-... """'"'.-...-,,-"" p--4 ;.,... _ C '-" -...-".) -'l,,> ('J C ) ilo-'" 1 'tt lo >... "../" t < '-"'....!"...J. '-' _ "... J _-# '-'..., - f " ?'... '-"..., ""'-'" 't-;-...;...') "" t < f;.. "..L", _ t....".j.;'...z..f..,)1 t!" tl'.t. C- j" ';1 "'-""..;'\ -i -"').-' ;'\ C',...1.J..--c ;' 1 -, '1.,... o.-. r-wf r.... ;-'-1,-J ("""").T') M o >.;. 0 -'l C' C.).-, r...,.-...,) 0 OOJO->o>>oc>oo o 0 0 -").> 0 r.> 0 C> -> 0 0 J.... ; ;" t.... -, _..J n c.-1..., -,. _ ;.-; >,... - no -. _...,... "1' "tt'" "r <> o c e' r.> c) 08 c.; o OOC'C),\'f,... - 'r O;. OOOc.) '..<... "-1.' e r-< '1. -- «=l 0... e.... "..1 o " _. ;-. _. '-"';'>_,... 1_... l...., --- -',... "./... = c... t 'L; 0.0( 'J') -, -( =l t...j.. -l._ Y _. "l?. C., ,. --1 C' (.1,.. - > E.l..<."'>< -"'J.C =t.. '..t... "" & ,... ->..... Zl '.J 0-<...J... L '"... l' < _ c... '..r c _ -=... "'1 t) '". "'),...-'... --'""'1...,.., '- r t()...} i..t ') l()...8,..) -.. ) et J C. --, "X) 0 0' 0 > '-!.-. r-( r-4 _-4 ;',J ;'01 ;-J o 0.> c "=' r'j C C Q '''> "=' -='.>.') 0 W' ooooocoooo >00

40 38...., > '1 < --.,.... (.' ;.- >- ' c '-"- c... ; _-x '-' """",, -te «,"... -, "') >-.;....,...,...,-...,......, '-" -),., ( ;?'....- '>< '")...,..t > Co,....-J \.;,..-- «"-<. '-" "... -' '-"... '-'" «"'J. "" c. '-" _. """,)..0 -.' " L. N - > 11 ;,.i u.'.. "'"' """ "...,"*'J f, N... 'J--l.-4 -,'l.-4 '1,... -l..... n 1-0 x e- 0'" ",,0 -..= =-... 4' E- <.-.., v.;. U) "(11 tt'),,_ u' -< Z"J -0..J y ;, V) ,., Z,... "'. - c...c><,... -.,,... J-4!-' V -. '_ ;... -, U -) -4 = t-' _..... <-....J Co. f-.;-... -!..... r-' _.. "..... t-- _... i 'G -.-l X.c tjc., '- C'... t!" C "..., "" _'+.;... -! - - -t..., " 'J -)..., -,... J e-. ;... e-<......<..; ; '") ""') '1 J '1 J -< >-,.-4 i-<. -...(..- cf.. "-'..., '-'... '-""..., "'-""... '-..., _ ' ,...,, T.... C"_.. E-.- "...;.;, " J '< c'-"'..;("-' J ;..-J _,' J ) rl." _, -J.4 e. t (. -= -f "?.'l.,' t-' (""'" C "-"-C n - - ;- oe-( >.-. J C. =. -'.. -'... t. u t "_ - 'J \') _...J <-" C' te t< -- xx -- "'-'olo «- f( X -- c(.- -2 "' ">< -<- "-J '-" L' C < -., -. ; ZCL. u f( f( X<...- X" '><... _ ""'-''-0'._, ) U C1. ;.;'. c... ".1... z...'-"',-", "'""',......,-.., """"''-''...,,. (J-t ""' - -"... tr..-. "'; -'" '"'... L; 'Lo, 'J ; 'J E'" ' _---; X _ -<... 4 )-.,.D ;--. "C'.j\.> li1 O,.,.'1.>,., ).j) C.N N --J N.""') (", ';'-...-.i J.c- r- r-t rl... _.i o 0 c) ,> > C C' "l.'" CO ;--. -=) --. > 0 > ';)0..).;))( r, t ""1 r'j C>O>C)>.J>O o,j 0 0 > > n '" Of'l."' "l > '."l > > V."l > C '" C"-4 ' '' > 0 -e 'J. C"'-,.. f'j l "l,"'1... " (" 1.- J.-j.''"."") "1 C -. c-,.., _ ('"') 0 0 -J 0 C.) J 8 Q C -J 0 C '"J. Q o 'J > > 0 > > 0 C' <> > < ") " > '..'"' t..-- ;") -..1.'' , \} ;-} Q _..>OCO..> o.> -> 0 '> "

41 Vj.-f 0..."")...,. O '-,. + -> ';. ;.-'" -f "'J... X ),.; -- "...;"' t., ;J_ --, 7"' r'. ;"...,,"1 '''")...) o OOC,-, -;, 0> '"" >< _... -'"" x... '"" >< c"") '-'1 '_< M '"" '-', -1_... ""')-; _... ac,..., 1, '")..., l... x..- '-'... -J_ O... ".J u f 'c'l y C ;-.. o XL... y. O <,."1. "". e.r,... "')-...t O...,Z.--,...,.....-' u )-ol J , _.1 t- -, UJ =-- ;._ 0 - E-. c."(zo\ =...;'\... J,,->>-<11 ;l"..-( -tr-4 '7'\;-...""\.".jf-...c 'c _ 1 fl...,- i '1... ; C,.;\. ;"."'- <,...,...,., , z"'-g'<>< =-''''-... '-" '-' ""-' '-"...,... t"..-.-, L Cz "J j' N,., < --'... ><! '-J "... -_... -_... X 1-1 """,...,. 1.. \'l....-( ;. - < -< '< -M x...,...,,..-.. N + <., ' r'l '-'" "... -l. '-'. " (".... a<... > + X>- _... >.-xl-'... _ '/. 1'< 1 _.-r_......,...,...'.j..l... >< ""'.., '-" ",,-,'-e"""'" X' - >- Y. >< > ("") _ r""\ "'-''-'...,'-'''-'... M -_1< >< >-... «««'-' '-'.,...""'"' ,...,. '>( < '" '-" """"'"" """,...,'-"''-''-'"'-'''......c,--1..., Y. --<._< > >< X-<_ _ r.....,... 1 _C0f""M...,;,...,.,...,.,... '"... - z,. 'c.... "'J...-" r-....., "-'... "'-'"' '< X -< -... ;..<.' ,X '-"""-""""-"'-'''-''' c... " >-- > '-' '-'" ''1,.r + _r--_ -> rl '-" +- + >< -< "', ,...", 7' ' ->.c.. %..f '-' 'J_... ><...,..... >-.-f,-.., ;X ro-.i'-"'... + '-" <"J.. J -- -; ,..., C'l -< "... '-J '-'...l ',- '"" r -.; -;)... < '>- r--f.>., _).> '. ;.. " "..J..t, '-"' " '''''''","",,",,-.., --J "... f -J r'" -> 1 " " N... - _ --.. "" J ,- t..; -t & ,,- 'y.,, J -) '""'") J X w.l-.. ' , ("... "'''''''''' 1.. e-' / P ; <" ;/ X".-( ;- -..L G >; '"r -) -, -> '"""') J <...-. < «'*'J <'., '-'" "-"... '-"... '-" '-" C -...J '-'" <rt"",...-' """-" '-" -J J... -J <....., fo... -" ;-... -= -l -.J... nocno?\oc...- o ->... -' N ) ;.) ;- "'- "'Z'" '0...;. t...j _ )...".'C ;-. ;-- c -=>.;..; --f.-.-.j r. '""1.....,.-... "'"'' '1 _... '...; '_-" 0_, ;j...,,""'1 ", ' "'"' ',."""..""" u' '... J'1.' "=', - ) ' =' -" o,,> '>.J.;) 0 C- 0 0 C ) J c 0 c.' ('J C> 0 C> J c.,-..) C> C C Q C 0.-.., C) 0 0 C' _J <. C _.; C,OOOOCO?O)_O ;) '8 _-J 0 -- > c c' -';) -> '? -.> --> C' > <J -->.,.-

42 40... (1') ,,,-.,. -.r...g "..0.. ";-.G... d..,-", "...", "'-J <J... --t '?'"' "'1;,!.t. r f-< li'... > > - v 4 c c(.. "... > c-,, > J c 0 -> z «t, LJ <L... -' U"'1 en.. ' "z.; U... tl C -..,..< "'t 5' f......j ;...,C '., >., - ''>.>....J..l /1 '" " ; t -f -; ;", t. "'" ,... -.J.,! '... = x -"-,......, o-i... -.o...,..., -- X-'... li' « P-' '-' o,'3 1< xx... '-' <"'-'. A. '7 t< 1< 4C -- X'<... < '_ ; _... XX -0( <... '"'... L> c..-t < - c_ ='= CL. c... 1< fc ,>< ;..< X"'-'... '-' tj Q t) c z '- '".\.ot te' u """"""'r rll "" =- ',,... '-" '-"... "? - _f '"'...,...> 1<,0 ';... '-'..., X '><... u C. z - u... 1< 1< -... '.. -'-'.J.< _... -t - _. < N _... '-" '-" )1< X,-.. -,...,... t '-"... X..... _... >< '-'..., t..- "-'" 1..., "",,",,"""... '... J-.' r-i...,...,'-' ><..><,...,...,-...,...,. r' '-l '-"'... '-'" """'" X -- _.. '-""'-""'-' '?\ C...'"") >... =- j) c.. 4-" -> '""'") ;-..;,., _. -.,; > r; =>...""') >..n '!' M '<;;' -J' ')..".() C) 0 -< N..."") M <.,-..r.., 0 C - -.,_. _ o. '... ') -- C"- - "'"""' C""' r- ""'- - C""'"'- -- ""- r- 1 ;;' "..1 < _ 0 L... _.C"'_ ' ") -./1 ", """"'.-,. '= 'lc-,--f r-j --.. =-...J [,. J "... l-4 >. f-' t.-....,..j --,.. --J..., ( -. z c,,,, x -...f..4 _...-,.,.. i... [--# """),... o c -,. ;. M. =,... ;. '.-4'.,. "".,.1.._._ --. o n -. ;,, ;,..'""" ).'" --.. rl r rl e-. "'),- ).....c-j""q8,.., ,., c= _.'.' \ - c =' 808O_8COOG0000n80_0cno("')...J -""-' C 0 ) 0 c? _' C, 0 C '-.)... - OOOOOcoa?ooooooo>ocooo o ' -> 0 -> --> 0 ->.-> -> 0 0 j. _ 'J

43 41 r 0 = t.l oj... L. i-' ;. -_.J...,.l > c..' "j') <2 _1 ( - fc !.L c. (,. " ;... ;' 'J t... - ;- ' ;-- _ -.'-. å.;.. -;;, >... q; ;> f-.... u' r.l '1 Vl Z'" -et.... ;) > 0<4. «C-- E- ""--4!-<.,... >.. _... _...c."'-.+""j c....j '1) '.J '.<1 Z \,....a.j t.j «.1. -'"»'"") ;"e-.....,...!; =,..!'-t (..'. =' + + (... > t f--. t-. > "j') rl' t......,,",=..j,. <'tr>e---- = p ; ;.; ==,. ;.... > r "-l... n.-..""."') 0 => ""'l i> c.o -,. -1 OC'-> """"' >co'> O'T.) o. 4 1,, ""'-J - « ( t2. l' -.' C -., 1.(... C'.=> 'C< O. f-c "'-f..., >... '<. (,' Y l '-' 4 = ;""..J 0- t.l ;;.;.J 8H.... 1) " t.') &, -.],; t> t 1 r......, cr. [.< "" c_.-. '1.,..)..) =- t. -. <,.,"'...- c "'.] C V. t- a C' t"_ cr....? «tx V) c ",, "-" -= '",,""" (-1 " ;-.. 4t -t U l.'l- 0.. c- r... ' J '-f t L4 U -.J,-r r,') '-'- r...1 C' -of l.",>... U..., ;"'-f ' ""'""'-l '" 1. -< "'- f--l... c.. -- " j '..' =-- > tl 0 "'... ';-} -- ) 0.-( N..,.,..') e 'i,-j ("")...) C"') V" oj.., -..").') ;. C'.0...> 'J 0... ooocococoor0oc0' --t " r r-4,-i r-f... --' M.-'.,-J... _..., ( On?000>OO?0008?000 ' « OO>OO?-l ""1 - '..,.) C"" 'r ---f.f r --4 r-... _-l r-'" ",.... f H,... '> 0 ', --> " 0 -> - r-(."" r C',...) = e. '.1, --...f" J*!...; 'r "-,. c fc. G... - r f-". 7._ > ;.._ e.r;.,._... '.... < ; _.... f- ".1'... r >. t'- f- r- c" 1-'..- t;') '." 'r>.., 0.. '-4.Y " '-0..., i',' ". E- r = ; ,-.- ;>"J ". A /" " ') f.,.. '0 C' >.? "'1..., o r'-; r.,-....' "1 ('"'..1 ( """J..., r--; 'J...,. C. --fr-!...'"... 4,,-" -.-> > ("""),.') --.> c..., '-> 'J ';' _"l o <- >.',, ")

44 42.,... L.., V"). -..) E-."... -.#....,... 6_. _ " --t _....") => '.{'"1..,-.., "', /... r...,..,;-1('"-...,... L -"') r-< o c. c x.....,] --J '>.....,.-") n... '.,... \--.i,...,... r y C _, C) 0 >..-> "").;), '"'.. CC' c-..,", r-4... >- '")... ") -, +,....,...,.,.et... >-..., = "" <.") -1 - "f- f-... "'.. -!..'... ",' _1 {J..' C; t..". -- rt.. -; '=' '1 > '.r ") "') 0. D >..,"\ C u' ;, "'l.,; ' _-4 "1 -' 1 "'1 (""') ;' ") C""" \ (-" ;-... -i 'f""""f.-f " 0? -> C.> 0 C..- '.t.l =... a f-1 _ \l C-.....,... E" r" ""'.,...J...J p-l tr. > U'\, , +... a -.; + en....-c cc "Y ( ; > '" = +...,,... '-. 'J....;;.!-- -_. a "l..... i ; tr ('- "'" 111+,", -) -1 > '-'" '-' ft'."'-- C-"C... -'1' --;- -'; < (_. _ c," '"_ r", " "'"... (-...J... c c-....,-... r> --- n.'" ;) -1 '_""l =..;) "*)... l ;' r-<l _-4.. _...., _1 _t '"...-4.;) > 0 0> <) 0...>..-.., c..;) --> c,..,?

45 43 =...J l '.'" E ;-. < -;;.- -'. X,...,.,.;..., 1.-.-,; C'' c'( '. l"'"... ''- -).-<, 7, ')....'. -"J") < u.' Ct..-1,,...! "... c..f. j---; 4.. t._ ".- *'._ 'l. H c....., Xl... '-'---"=...."'V.. ""'1..., _.t. 1- ; J... >" --4. t.. '> n.> - - > r -..i..'..>,n >., ) """'1 r; M,--,,' -.n 't" ) ;"'"" 1../' t.'1 i...-, t.i 1..'-" 1;' ;') 1"') '. " r r..--''4... -i r-( o,?oo'='> JC Q ;;)OCO q' , ;-. '-" -> <..Q>..., >...J, c. c.. -.' ;;- ;... t'"'- _-4 >..,- -0 '. -e..... r -< ; '; (... "... C....-"'1 "'-'!1 (.. - u- r..-.- t... _ r. tt....l \.. '.-.)... _'. - t..... '-4... ( _,..., 'C;- -, -." < '- C, ' 'J -e.z 'l - > _J =>..-' =? ;''''.''''''1 \,;""'". D "'"-- - -"'1 c "... 1'\ c C'\ C". ""' '1'. V, ;.."l u-' 'n \..,... r--( e......, -( r-.f.> > C """ >';)000'--)... ;- c"; C... " e-j... -"' J ' J '}... H V... 'Y 0"-' r.i,... -t T.'.. '.., t,;j Z c.) C.s'1 - ("') ' \J'..; j _... 0."'1.>...,,_"l..J.;) -.) 0.;.> '0..')..;) -.).> --<t...-t ---' -...,...-.t > ';) 0 t.f'l C..., "'-1..,''''.....,,.<. c > (-... CJ... " 0.>."'-1 -"J 'f1 0- _, -;--.J...,t-M...,\-j"""1r-... \...,J 0 - r- C... e- "..- r..j r-c ,...-4 Q C) r_; 0 <> ") 0 '-)

46 44... "1 c-.....' r-l -'(.. e- l"'"..-t >; (/'1... U « "), '!..,...., c....,.-4 -t..., C (.""\, f-... _ --. -',... ' " -> C --0') = "'!'" r-.. ",,"-i '-'.J.;' -t Fo" ,..,z,,", 1,-' o o... V) u-' --. ".. U c '*...)..., J"_ ''"l.>;.. '-"" ;- -,- _-4 c..'... e-llll... 7"- lllli ;" 41 c.-.-..") r C <,.,-- -. "' -- «'! -.,-- U U.. _...!.. r i.. rj.j...,=",... ; J +...c. > "J.t <;" CJ...., L y. C... f- <..e( -l r.. 'r.,-... U"'lO N -r =< '.i') - " i '-' < '" ""... t"... 'r; -- 0"'-=1... J.- ;...,.. _. «!"-.. te,...,-...,.. C "'-' <1" f- - J 1\... ("...., < -J " >< 1 e- t.l.' _J J..,-- c.' " -- "J r (..." ;C -"'" -f,... ">...t"') =... o e- 0.>,; , --J ",-;> <;" >... L +."'C _-.J =- '-' =-. """"! =- '-'" ';'.... '-. -. ;.- i.; -= -" «r.., _ ;... * c =.J... o=o-<;"no... o_>>>oooc,... lj"1 tf)...").r"..j..i) _, Ul.0 '.0,) -- '> 0 C r-e r-i ""'.J M \"') f '-r 4""1.) C N '"'oi - r- r- -- C'- C- r' -- - e-- r r- ;-... t-...-"" (''") 0 -n...., --"", Y"" "'''''\ -. - '() '--" f.-j"" -.J "1' r"" }-. C"' r r ' e r-f --e.-.!... -i j --i r-4..-; , r-1 _...,f ---i,... C'H... (C.'l ). -.. <. J 'u >. -," ' -;,.. E ,...,,,,,"..,..; ;)'' f < t-' 'L... c- 'J -,; 'J,. 'i1 "''''1-3'''."'... 'J '«('..-.;... i-t,... 1 f... -,.!'t -> c. E- l.. /) -,. #-_. <.(c..et et 'l t- ; ;.. -""Xltxd-' C. """'" (t; C'.r (J..' """- C'_ "l.o.. ',..._.._ - _... U'..."'-... ""\..... "..'" -., «_1 '- -!cc.-4(... 7."') - (.., _...-.4;-." 'l =-., -.. '--_= "'" >""JOC Q.-;. N.j 0 -,;-. -, r-l _.. r J...'... OOOOoOOOOOOOO00080>O000OOOOOOOO ;>