Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen
Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2 ) Kommutatiivisuus u+v = v+u
Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/103 Pituus ja sisätulo Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) sisätulo (u,v) = u v = u 1 v 1 +u 2 v 2. Muistetaan, että u 2 = (u,u).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/103 Sisätulo Sisätulon ominaisuuksia (s.3) (u,u) 0 (u,u) = 0 u = 0 (u,v) = (v,u) (u+v,w) = (u,w)+(v,w). (au,v) = a(u,v), a R.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/103 Sisätulo Sisätulon ominaisuuksia (s.3) (u,u) 0 (u,u) = 0 u = 0 (u,v) = (v,u) (u+v,w) = (u,w)+(v,w). (au,v) = a(u,v), a R. Myös (u,v+w) = (u,v)+(u,w)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/103 Avaruusvektorit, s. 4 Avaruusvektorien joukko R 3 = {(x,y,z) x,y,z R}. Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) operaatiot Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,u 3 +v 3 ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2,au 3 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/103 Avaruusvektorit Avaruusvektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) aiemmat tulokset (1.3) (1.7) toimivat myös R 3 :ssa, kun määritellään u = u 2 1 +u2 2 +u2 3 ja (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/103 Suorat Suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P
Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/103 Suorat Suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P s
Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/103 Erikoistapaukset Tapaus c = 0: L : Tapaus b = c = 0: x x 0 a = y y 0 b, z = z 0 L : y = y 0, z = z 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/103 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/103 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc t = 1 (t R) P ts vektoreina r = r 0 +ts, t R.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/103 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R) P t = 2 ts vektoreina r = r 0 +ts, t R.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/103 Tasot Tason piste P = (x 0,y 0,z 0 ) ja normaalivektori n = (a,b,c) (0,0,0). Tason T koordinaattimuotoinen esitys T : ax+by +cz = d missä d = ax 0 +by 0 +cz 0.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/103 Mitä yhtälöryhmälle saa tehdä? 1) Yhtälön voi kertoa vakiolla 0 2) Yhtälön voi lisätä toiseen vakiolla kerrottuna 3) Yhtälöiden järjestystä voi vaihtaa
Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/103 n-ulotteinen avaruus, s.9 Vektorien joukko R n = {(x 1,x 2,...,x n ) x 1,x 2,...,x n R}. Vektoreille u = (u 1,u 2,...,u n ) ja v = (v 1,v 2,...,v n ) operaatiot Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,...,u n +v n ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2,...,au n )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/103 n-ulotteinen avaruus, s.9 Vektoreille u = (u 1,u 2,...,u n ) ja v = (v 1,v 2,...,v n ) aiemmat tulokset (1.3) (1.7) toimivat myös R n :ssa, kun määritellään u = u 2 1 +u2 2 + +u2 n ja (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 + +u n v n.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/103 MATRIISIT: Johdanto 2 1 4 2 2 4 1 2 (k = 20) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/103 MATRIISIT: Johdanto 2 1 4 2 2 4 1 2 (k = 7) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/103 MATRIISIT: Johdanto 6 4 2 4 2 2 4 2 { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0,
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/103 MATRIISIT: Johdanto 3 2 1 4 2 2 4 1 2 3 { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ei ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0, eli k = 6.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/103 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( 2 3 4 k ) ja "determinantti" 2 3 4 k = 2 k 3 4
Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/103 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( 2 3 4 k ) ja "determinantti" 2 3 4 k = 2k 3 4 "vakiot"pystyvektorina ( 1 5 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/103 MATRIISIT: Johdanto Yleistyykö edellinen tarkastelu? Entä kun tuntemattomia ja yhtälöitä eri määrä? Onko yhtälöryhmää, jossa tarkalleen 17 ratkaisua?
Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/103 Matriiseista Samaa tyyppiä olevat m n-matriisit voidaan laskea yhteen A+B Kaikkien m n-matriisien joukko M m n Nollamatriisi O = (0) m n Transponointi A T ( 1 2 3 4 5 6 ) T = 1 4 2 5 3 6
Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/103 Matriisien tulo, s. 13 Matriisien A = (a ij ) m s ja B = (b ij ) s n tulo on AB = (u ij ) m n missä kaikilla i, j. u ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a is b sj
Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/103 Matriisien tulo Matriisitulo ( 1 2 3 4 ) 2 2 ( 5 6 7 8 9 10 ) 2 3 =
Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/103 Matriisien tulo Matriisitulo ( 1 2 3 4 ) 2 2 ( 5 6 7 8 9 10 ) 2 3 = ( 21 24 27 47 54 61 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/103 Matriisien tulo Matriisitulo ( 1 2 3 4 ) 2 2 ( 5 6 7 8 9 10 ) 2 3 = ( 21 24 27 47 54 61 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/103 Matriisien tulo Yleensä ei KOMMUTOI AB BA
Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/103 Laskusääntöjä, s. 18 skalaari r R (AB)C = A(BC) A(B +C) = AB +AC (A+B)C = AC +BC r(ab) = A(rB)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/103 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x + y + t = 1 3x y + 2z t = 2 x + y z = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/103 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/103 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 Tästä matriisit 5 1 0 1 3 1 2 1 1 1 1 0, x 1 x 2 x 3 x 4, 1 2 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/103 Johdanto yhtälöryhmiin, s.16 Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 Tästä matriisit 5 1 0 1 3 1 2 1, 1 } 1 1 {{ 0 } kerroinmatriisi x 1 x 2 x 3 x 4, }{{} tuntemattomat 1 2 0 }{{} vakiot
Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/103 Esimerkiksi { 2x + 3y = 1 4x + 5y = 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/103 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/103 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 A = ( 2 3 4 5 ) x = ( x 1 x 2 ) c = ( 1 3 ) Matriisikielellä Ax = c
Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/103 2.5 Lineaariset yhtälöryhmät Monisteessa (2.3) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = c 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = c m
Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/103 Matriisien avulla Ax = c, missä A = a 11 a 12... a 1n a 12 a 22... a 2n............, a m1 a m2... a mn ja x = x 1 x 2. c = c 1 c 2. x n c m
Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/103 Homogeenisuus Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos Monisteessa (2.5) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = 0 eli matriisimuodossa Ax = 0. Muutoin epähomogeeninen
Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/103 Esimerkiksi Epähomogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 Homogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 0 4x 1 + 5x 2 = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/103 Yhtälöryhmistä Epähomogeenisen yhtälöryhmän Ax = c ratkaisut x = x 0 +y missä y on homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 kaikki ratkaisut ja x 0 on yksittäisratkaisu
Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/103 Tulon transponointi (AB) T = B T A T Matriisi on symmetrinen, jos järjestys! A T = A Identiteettimatriisi I = I n = 1 0 0 0 1 0...... 0 0 1 Neliömatriisille A: AI = IA = A
Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/103 Matriisin potenssi Kun kokonaisluku k 1 A k = A A A }{{} k Lisäksi A 0 = I
Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/103 Matriisiyhtälöistä (s. 20) Matriisiyhtälöitä voidaan käsitellä kuten reaalilukuyhtälöitä, kunhan ei käytetä jakolaskua eikä kommutatiivisuutta Ei siis voi yleensä supistaa AB = AC B = C
Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/103 Käänteismatriisi Määritelmä neliömatriisin A käänteismatriisille eli EI MERKITÄ 1 A vaana 1 Ei aina olemassa, esim A = AB = BA = I AA 1 = A 1 A = I ( 1 2 0 0 ).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/103 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/103 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa. Jos matriisin A = ( a b c d ) kertoimille ad bc 0, niin A 1 = 1 ad bc ( d b c a )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/103 Laskusääntöjä Olkoot A ja B säännöllisiä matriiseja: (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T
Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/103 Laskusääntöjä Olkoot A ja B matriiseja, missä pystyrivien avulla B = (b 1 b k ). Silloin kertolasku AB = (Ab 1 Ab k )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/103 2.3 Matriisien kertominen lohkomuodossa Lohkominen ( A B C D )( 1 0 a b 0 1 c d 0 0 1 0 0 0 0 1 A B C D ) = ( ( I A O I ) AA +BC AB +BD CA +DC CB +DD ) Esimerkiksi ( I A O I )( A O I B ) = ( O AB I B )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/103 Determinantti Neliömatriisille A: det(a) = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a n1 a n2... a nn = kaikki permutaatiot(j 1,j 2,...,j n ) sign(j 1,j 2,...,j n )a 1j1 a 2j2...a njn
Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/103 2-rivinen determinantti a b c d = ad cb
Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/103 Perusominaisuuksia, s. 26 1) 2) a 11... ca 1k... a 1n a 21... ca 2k... a 2n............... a n1... ca nk... a nn det(a T ) = det(a) = c a 11... a 1k... a 1n a 21... a 2k... a 2n............... a n1... a nk... a nn vastaavasti vaakariville
Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/103 Perusominaisuuksia, s. 27 3) a 11... a 1k +b 1k... a 1n a 21... a 2k +b 2k... a 2n............... a n1... a nk +b nk... a nn = a 11... a 1k... a 1n a 21... a 2k... a 2n............... a n1... a nk... a nn + a 11... b 1k... a 1n a 21... b 2k... a 2n............... a n1... b nk... a nn vastaavasti vaakariville
Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/103 Perusominaisuuksia, s. 27 4) Jos pysty- tai vaakarivi on nollarivi, niin det(a) = 0. 5) Jos kaksi samaa pystyriviä (tai kaksi samaa vaakariviä), niin det(a) = 0. 6) Jos kaksi vaakariviä (tai kaksi pystyriviä) vaihdetaan keskenään, niin determinantti muuttuu vastaluvukseen. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a n1 a n2... a nn = a 21 a 22... a 2n a 11 a 12... a 1n............ a n1 a n2... a nn
Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/103 Perusominaisuuksia, s. 27 7) c + a 11... a 1h... a 1k... a 1n a 21... a 2h... a 2k... a 2n..................... a n1... a nh... a nk... a nn = a 11... a 1h... a 1k +ca 1h... a 1n a 21... a 2h... a 2k +ca 2h... a 2n..................... a n1... a nh... a nk +ca nh... a nn vastaavasti vaakariville
Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/103 Tulon determinantti det(ab) = det(a) det(b) Jos A on säännöllinen, niin det(a 1 ) = 1 det(a)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/103 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in
Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/103 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ( = 5 3 4 9 1 ) ( +6 + 2 4 8 1 ) ( +7 2 3 8 9 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/103 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in = n a ik C ik k=1 ja pystyriville det(a) = n a kj C kj k=1
Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/103 Käänteismatriisin kaava Matriisin A liittomatriisi adj(a) = (C ij ) T Jos A on säännöllinen, niin A 1 = 1 det(a) (C ij) T A on säännöllinen det(a) 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/103 Cramerin sääntö Jos yhtälöryhmän Ax = c kerroinmatriisi A on säännöllinen, niin sillä on yksikäsitteinen ratkaisu x j = det(a j) det(a) missä x = x 1 x 2. x n ja A j saadaan korvaamalla j:s pystyrivi c:llä
Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/103 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 u v = (C 11,C 12,C 13 ).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/103 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 u v = v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 u 2 u 3 u 1 u 3 u 1 u 2,, v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2. }{{}}{{}}{{} C 11 C 12 C 13
Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/103 Ristitulo Eli (u,u v) = u 1 C 11 +u 2 C 12 +u 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = u 1 v 2 v 3 +u u 1 u 3 2 v 1 v 3 +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja samoin (v,u v) = v 1 C 11 +v 2 C 12 +v 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 +v u 1 u 3 u 1 u 2 2 +v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 Johtavat determinantteihin (kehittämällä 1. vaakarivi) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/103 Ristitulo Eli (u,u v) = u 1 C 11 +u 2 C 12 +u 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = u 1 v 2 v 3 +u u 1 u 3 2 v 1 v 3 +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja samoin (v,u v) = v 1 C 11 +v 2 C 12 +v 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 +v u 1 u 3 u 1 u 2 2 +v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 Johtavat determinantteihin (kehittämällä 1. vaakarivi) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = 0 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/103 Ristitulo Siis u (C 11,C 12,C 13 ) = 0 v (C 11,C 12,C 13 ) = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/103 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Jos u ja v eivät nollavektoreita ja α on niiden välinen kulma, niin u v = u v sinα. Vertaa (1.4): (u,v) = u v cosα. u u v ja v u v skalaarikolmitulo u (v w)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/103 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = Ei kommutatiivinen i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u v = v u Ei myöskään assosiatiivinen eli yleensä u (v w) (u v) w.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/103 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/103 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/103 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U. 0 kuuluu aina aliavaruuteen! U = {x R n Ax = 0} on R n :n aliavaruus Triviaalit aliavaruudet: {0} ja R n.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/103 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/103 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/103 AliavaruudetR 3 :ssa {0} origon kautta kulkevat suorat origon kautta kulkevat tasot R 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/103 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c k x k c 1,c 2,...,c k R}
Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/103 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c k x k c 1,c 2,...,c k R} Esimerkiksi a(1,1)+b(1,0) ja L((1,1),(1,0)) sisältää mm. vektorit (0,0),(1,1),(1,0),(2,1),(0,1),( 2,0),...
Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/103 Matriisien avulla Pystyrivien lineaarikombinaatio A = (a 1 a 2... a n ) Ac = c 1 a 1 + +c n a n
Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/103 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n Lause 4.2.8: neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen
Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/103 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n Lause 4.2.8: neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen Esimerkiksi L((1,1),(1,0)) = R 2, sillä 1 1 1 0 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/103 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus c 1 x 1 +...+c m x m = 0 = c 1 = c 2 =... = c m = 0 Lineaarinen riippuvuus c 1 x 1 +...+c m x m = 0 missä jokin c j 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/103 Matriisien avulla Lause 4.3.10: Neliömatriisin A = (a 1 a 2... a n ) pystyriveille: Pystyrivit ovat lin. riippumattomia A on säännöllinen
Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/103 Lineaarinen riippumattomuus Lause 4.3.5 sanoo: Vektorit ovat lineaarisesti riippuvia jokin niistä saadaan muiden lineaarikombinaationa x j = c 1 x 1 + +c j 1 x j 1 +c j+1 x j+1 + +c m x m
Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/103 Lineaarinen riippumattomuus Kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia toinen on toisen skalaarimonikerta Varoitus: ei toimi useammalla vektorilla
Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/103 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/103 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/103 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4,2) 2 4 2 2 = 12 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/103 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4, 4)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/103 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa (yksikäsitteisesti): (1, 2) = 1 2 (2,2) 1 2 ( 4,2)+0 (1, 2) (1, 2) = 0 (2,2)+0 ( 4,2)+1 (1, 2)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 89/103 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) virittävät koko U:n.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 90/103 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia eli c 1 u 1 + +c m u k = 0 c 1 = = c k = 0, (ii) virittävät koko U:n eli L(u 1,...,u k ) = {c 1 u 1 + +c k u k c 1,...,c k R} = U.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 91/103 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 92/103 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}. Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 93/103 Perusominaisuuksia s. 45 1) Jokaisella aliavaruudella U on kanta. 2) Jokaisessa U:n kannassa on sama määrä vektoreita. 3) Lineaarisesti riippumaton U:n joukko {u 1,...,u k } voidaan täydentää U:n kannaksi {u 1,...,u k,u k+1,...u m }. 4) Jos L(u 1,...,u t ) = U, niin tästä saadaan kanta U:lle jättämällä ylimääräiset pois (kunnes lin. riippumaton).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 94/103 Dimension ominaisuuksia s. 46 Olkoot U,V R n aliavaruuksia: 1) dimu n 2) Jos U V, niin dimu dimv. 3) Jos U V, niin dimu < dimv. 4) Jos u 1,...,u k U ja k < dimu, niin eivät viritä U:ta. 5) Jos u 1,...,u k U ja k > dimu, niin ovat lineaarisesti riippuvia.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 95/103 Dimension ominaisuuksia s. 46 6) Vektorit u 1,...,u k U muodostavat kannan, jos kaksi seuraavista voimassa: (i) u 1,...,u k ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) U = L(u 1,...,u k ), (ii) k = dimu.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 96/103 Dimension ominaisuuksia s. 46 7) Olkoon u 1,...,u k kanta U:lle ja vektoreiden v 1,...,v k U kantaesitykset v j = k a ij u i (j = 1,...,k). i=1 Vektorit v 1,...v k muodostavat kannan, jos on säännöllinen. A = (a ij ) k k
Lineaarialgebra (muut ko) p. 97/103 Tunnettuja dimensioita Aliavaruuden U R n dimensio dim U = kantavektoreiden lukumäärä Koko avaruudelle dimr n = n. Tasolle T R 3 dimt = 2. Suoralle L R 3 diml = 1.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 98/103 Vaaka- ja pystyriviavaruus Matriisin A = 1 3 0 1 1 2 vaakariviavaruus ja pystyriviavaruus V(A) = L((1,3),(0,1),(1,2)) P(A) = L((1,0,1),(3,1,2))
Lineaarialgebra (muut ko) p. 99/103 Vaaka- ja pystyriviavaruus Nähtiin dimv(a) = 2 = dimp(a) Pitääkö yleisesti paikkansa kaikille A?
Lineaarialgebra (muut ko) p. 100/103 Vaaka- ja pystyriviavaruus P(AB) P(A) V(AB) V(B) jos C ja C ovat säännöllisiä, niin P(AC) = P(A) V(C A) = V(A)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 101/103 Matriisin aste Matriisin aste r(a) = dimv(a) = dimp(a) Lause 5.2.4 r(ab) r(a) r(ab) r(b) A säännöllinen r(ab) = r(b) B säännöllinen r(ab) = r(a) r(a T ) = r(a)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 102/103 Alideterminantti, s. 56 Matriisin A M m n alideterminantti on determinantti det(b), missä B on neliömatriisi, joka saadaan A:sta pyyhkimällä pois jotkin sen vaaka- ja pystyriveistä. Alideterminantin riviluku on B:n riviluku Lause 5.2.8 r(a) = A:n nollasta eroavien alideterminanttien suurin riviluku
Lineaarialgebra (muut ko) p. 103/103 Välikokeesta, sivut 1 56 Välikokeen tärkeitä perusasioita: (näistä kaikista on demoissa esimerkki) 1. Suorien leikkauspisteen laskeminen 2. Tason laskeminen kolmen pisteen avulla 3. Matriisin kertolasku, transponointi 4. Determinantin laskeminen perusominaisuuksien avulla 5. Matriisin säännöllisyys determinantin avulla 6. Avaruuden R n kannan perusteleminen determinantin avulla Muuta tärkeää: käänteismatriisi, lin.riippumattomuus, aliavaruus, kanta ja dimensio sekä niiden ominaisuudet, matriisin aste