Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 17.5.2017 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Martina Aaltonen, martina.aaltonen@helsinki.fi, 1/18
Siirry istumaan jonkun viereen. Kaikilla on oltava pari. Jos et tunne vieruskaveriasi, esittäydy hänelle., 2/18
Siirry istumaan jonkun viereen. Kaikilla on oltava pari. Jos et tunne vieruskaveriasi, esittäydy hänelle. Mikä on ollut antoisaa matematiikan opiskelussa tähän mennessä? Mikä on ollut vaikeaa?, 2/18
Eräänä aurinkoisena päivänä Kumpulan kasvitieteellisen puutarhan robotti-ruohonleikkuri liikkuu perustilassa eteen ja taaksepäin kahteen suuntaan: vektorin (0, 1) suuntaan ja vektorin (1, 0) suuntaan. Eräänä aurinkoisena päivänä ruohonleikkurin osuminen kiveen kohdassa (3, 3) muutti liikesuuntia siten, että ruohonleikkuri liikkuukin vektoreiden (1, 2) ja ( 1, 2) suuntiin eteen ja taaksepäin. Puutarhatyöntekijä kantaa robottileikkurin lähtöpisteeseen (0, 0) korjausta varten ja laittaa sen kokeeksi päälle., 3/18
Eräänä aurinkoisena päivänä Kumpulan kasvitieteellisen puutarhan robotti-ruohonleikkuri liikkuu perustilassa eteen ja taaksepäin kahteen suuntaan: vektorin (0, 1) suuntaan ja vektorin (1, 0) suuntaan. Eräänä aurinkoisena päivänä ruohonleikkurin osuminen kiveen kohdassa (3, 3) muutti liikesuuntia siten, että ruohonleikkuri liikkuukin vektoreiden (1, 2) ja ( 1, 2) suuntiin eteen ja taaksepäin. Puutarhatyöntekijä kantaa robottileikkurin lähtöpisteeseen (0, 0) korjausta varten ja laittaa sen kokeeksi päälle. Miten voisitte osoittaa täsmällisesti, että ruohonleikkuri ei voi uudestaan osua kiveen kohdassa (3, 3)? Miten kysymys muotoutuu matematiikan kielellä?, 3/18
Johdatus porrasmatriiseihin Yhtälöryhmän ratkaisussa on 3x + 6y + 3z = 9 2x + 4y + 3z = 4 5x + 11y + 8z = 11 (a) x = 1. (b) x = 2. (c) x = 3. (d) Ei mikään edellisistä. (e) Aika loppui kesken!, 4/18
Johdatus porrasmatriiseihin Yhtälöryhmän ratkaisussa on x + 2y + z = 3 y + z = 0 z = 2 (a) x = 1. (b) x = 2. (c) x = 3. (d) Ei mikään edellisistä. (e) Aika loppui kesken!, 5/18
Johdatus porrasmatriiseihin Yhtälöryhmän ratkaisussa on x = 1 y = 2 z = 2 (a) x = 1. (b) x = 2. (c) x = 3. (d) Ei mikään edellisistä. (e) Aika loppui kesken!, 6/18
Paranneltu helikopteri Lapset osallistuivat LUMA-tiedeleirille, jossa helikopterin ohjausominaisuuksia paranneltiin ja helikopteriin lisättiin videokamera. Helikopteria voi ohjata nyt eteen ja taaksepäin vektorin ( 3, 4, 10) suuntaan vektorin (2, 1, 17) suuntaan, vektorin (15, 4, 8) suuntaan ja vektorin (1, 2, 24) suuntaan., 7/18
Paranneltu helikopteri Lapset haluaisivat lennättää helikopterin Chemicumin pääovilta koordinaateista (0, 0, 0) Kumpulan maauimalan hyppytorniin, jonka koordinaatit ovat (4, 11, 8). Helikopteria voi siis ohjata eteen ja taaksepäin vektoreiden ( 3, 4, 10), (2, 1, 17), (15, 4, 8) ja (1, 2, 24) suuntaan. Kysymys siitä, voivatko lapset onnistua muotoutuu matematiikan kielellä seuraavasti:, 8/18
Paranneltu helikopteri Lapset haluaisivat lennättää helikopterin Chemicumin pääovilta koordinaateista (0, 0, 0) Kumpulan maauimalan hyppytorniin, jonka koordinaatit ovat (4, 11, 8). Helikopteria voi siis ohjata eteen ja taaksepäin vektoreiden ( 3, 4, 10), (2, 1, 17), (15, 4, 8) ja (1, 2, 24) suuntaan. Kysymys siitä, voivatko lapset onnistua muotoutuu matematiikan kielellä seuraavasti: "Onko vektori (4, 11, 8) vektoreiden ( 3, 4, 10), (2, 1, 17), (15, 4, 8) ja (1, 2, 24) lineaarikombinaatio?", 8/18
Paranneltu helikopteri Määritelmän nojalla vektori (4, 11, 8) on vektoreiden ( 3, 4, 10), (2, 1, 17), (15, 4, 8) ja (1, 2, 24) lineaarikombinaatio jos ja vain jos löytyy sellaiset reaaliluvut a, b, c ja d R, joilla pätee a( 3, 4, 10) + b(2, 1, 17) + c(15, 4, 8) + d(1, 2, 24) = (4, 11, 8). Miten kysymystä reaalilukujen a, b, c ja d olemassaolosta voisi lähteä selvittämään?, 9/18
Paranneltu helikopteri Miten kysymystä reaalilukujen a, b, c ja d olemassaolosta voisi lähteä selvittämään? Aloitetaan muodostamalla yhtälöstä a( 3, 4, 10)+b(2, 1, 17)+c(15, 4, 8)+d(1, 2, 24) = (4, 11, 8). yhtälöryhmä 3a +2b +15c +1d = 4 4a b +4c +2d = 11 10a +17b 8c +24d = 8 Luvut a,b,c,d R löytyvät jos ja vain jos tällä yhtälöryhmällä on yksi tai useampia ratkaisuja.., 10/18
Ekvivalentit yhtälöryhmät Määritelmä: Yhtälöryhmiä kutsutaan ekvivalenteiksi, jos niillä on täsmälleen samat ratkaisut., 11/18
Yhtälöryhmän 3a +2b +15c +1d = 4 4a b +4c +2d = 11 10a +17b 8c +24d = 8 ratkaisuja tai niiden olemassaoloa ei ole helppo suoraan nähdä yhtälöryhmästä (niin kuin viime luennolla huomattiin). Ratkaisujen olemassaolon selvittämiseksi lähdetään nyt etsimään toista yhtälöryhmän kanssa ekvivalenttia yhtälöryhmää, josta ratkaisujen olemassaolon voi nähdä suoraan.., 12/18
Alkeisrivitoimitukset yhtälöryhmälle Mistä tiedetään, mitkä yhtälöryhmät ovat keskenään ekvivalentit?, 13/18
Alkeisrivitoimitukset yhtälöryhmälle Mistä tiedetään, mitkä yhtälöryhmät ovat keskenään ekvivalentit? Lause: Yhtälöryhmät ovat ekvivalentit jos ja vain jos ne saadaan toisistaan alkeisrivitoimituksilla. Alkeisrivitoimitukset: 1) Vaihdetaan kahden rivin paikkaa yhtälöryhmässä. 2) Kerrotaan jokin rivi nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. 3) Lisätään johonkin riviin jokin toinen rivi reaaliluvulla kerrottuna., 13/18
Alkeisrivitoimitukset matriiseille Matriisien käsitteleminen on helpompaa kuin yhtälöryhmien ja alkeisrivitoimitukset kannattaa tehdä suoraan matriiseille. Seuraavat kolme operaatiota ovat matriisien alkeisrivitoimituksia: 1) Vaihdetaan kahden rivin paikka matriisissa. 2) Kerrotaan jokin rivi nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. 3) Lisätään johonkin riviin jokin toinen rivi reaaliluvulla kerrottuna., 14/18
Alkeisrivitoimitukset matriiseille Matriisien käsitteleminen on helpompaa kuin yhtälöryhmien ja alkeisrivitoimitukset kannattaa tehdä suoraan matriiseille. Seuraavat kolme operaatiota ovat matriisien alkeisrivitoimituksia: 1) Vaihdetaan kahden rivin paikka matriisissa. 2) Kerrotaan jokin rivi nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. 3) Lisätään johonkin riviin jokin toinen rivi reaaliluvulla kerrottuna. Alkeisrivitoimituksille käytetään seuraavia lyhennysmerkintöjä R i R j : vaihdetaan rivien i ja j paikat (i j). ar i : kerrotaan rivi i luvulla a 0. R i + br j : lisätään riviin i rivi j luvulla b kerrottuna (i j)., 14/18
Määritelmä: Matriisi A on riviekvivalentti matriisin B kanssa, jos B saadaan matriisista A alkeisrivitoimituksilla. Lause: Jos yhtälöryhmiä vastaavat matriisit ovat riviekvivalentit, yhtälöryhmät ovat ekvivalentit (eli niillä on täsmälleen samat ratkaisut)., 15/18
Porrasmuotoinen matriisi Matriisi on porrasmatriisi, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1) mahdolliset nollarivit ovat alimpina 2) kullakin rivillä ensimmäinen nollasta poikkeava alkio, ns. johtava alkio, on ylemmän rivin johtavan alkion oikealla puolella., 16/18
Porrasmuotoinen matriisi Matriisi on porrasmatriisi, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1) mahdolliset nollarivit ovat alimpina 2) kullakin rivillä ensimmäinen nollasta poikkeava alkio, ns. johtava alkio, on ylemmän rivin johtavan alkion oikealla puolella. Matriisi on redusoitu porrasmatriisi, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1) matriisi on porrasmatriisi 2) jokaisen rivin johtava alkio on 1 3) jokainen johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta poikkeava alkio., 16/18
Muodostetaan yhtälöstä Yhtälöryhmästä matriisi a( 3, 4, 10)+b(2, 1, 17)+c(15, 4, 8)+d(1, 2, 24) = (4, 11, 8). yhtälöryhmä ja siitä edelleen matriisi 3a +2b +15c +1d = 4 4a b +4c +2d = 11 10a +17b 8c +24d = 8 3 2 15 1 4 4 1 4 2 11. 10 17 8 24 8, 17/18
Tehtävä: Muokatkaa parin kanssa matriisi 3 2 15 1 4 4 1 4 2 11. 10 17 8 24 8 alkeisrivitoimitusten avulla porrasmuotoiseksi matriisiksi ja sitten redusoiduksi porrasmatriisiksi. Kirjoittakaa sitten redusoitua porrasmuotoista matriisia vastaava yhtälöryhmä., 18/18