Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman arvonsa. Nämä arvot lödetään laskemalla f:n arvot 1) derivaatan nollakohdissa, 2) välin päätepisteissä tai 3) kuvaajan kärki kohdissa (eli kohdissa, joissa derivaattaa ei ole olemassa). ja valitsemalla näistä arvoista suurin ja pienin (usein merkitään M = suurin arvo ja m = pienin arvo). M m a 1 a, b = välin päätekohdat, 1 = derivaatan nollakohta, 2 = kärkikohta 2 = f b Esimerkki Määritä funktion f: f = 3 3 + 1 suurin ja pienin arvo välillä 0,2. Funktio f on polnomifunktiona jva ja deriv. Näin ollen f = 3 2 3 = 3 2 1 = 3 1 + 1. Derivaatan nollakohdat: 1 = 1, 2 = 1, = 3 3 + 1 joista 2 = 1 ei kuulu tarkasteluvälille 0,2. M = 3 Saadaan f 0 = 1 f 1 = 1, minimi f 2 = 3, maksimi m = 1 1
Jatkuvan funktion arvojoukko Funktion f määritteljoukko M f koostuu kaikista niistä muuttujan arvoista, joilla f on määritelt. Funktion f arvot f muodostavat arvojoukon A f. Määritteljoukko M f saadaan funktion kuvaajan G f projektiona -akselille (vaaka-akselille) ja arvojoukko A f projektiona -akselille (pstakselille). M A f m G f a M f b Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause (jatkuu): Jatkuva funktio f saa suljetulla välillä a, b kaikki arvot suurimman M ja pienimmän m arvon väliltä. Eli A f = m, M. Todistus Yllä olevan kuvan nojalla OK, (tarvittaessa kädään läpi). Todistus Olkoon siis f jva välillä a, b, jolle kohdassa = 1 pätee f 1 = m ja kohdassa = 2 f 2 = M, kun 1, 2 a, b ja 1 2. Jos m = M, niin f on vakiofunktio ja asia selvä. Jos m M, niin tällöin on olemassa c siten, että m < c < M. Tarkastellaan funktiota g: g = f c. Nt funktio g on jatkuva koska f on jva ja vakion vähentäminen ei muuta jatkuvuutta. Lisäksi ehdosta m < c < M seuraa, että g 1 = f 1 c = m c < 0, g 2 = f 2 c = M c > 0. Näin ollen Bolzanon lauseen (eli jatkuvan funktion nollakohtalauseen) nojalla funktiolla g on ainakin ksi nollakohta = 0 kohtien 1 ja 2 välissä. Mutta tämähän tarkoittaa, että g 0 = 0, siis g 0 = f 0 c = 0 f 0 = c. 2
Siis f saa arvon c muuttujan 0 arvolla. Mutta koska c oli mielivaltainen arvo välillä m, M, niin saatava tulos pätee kaikille välin m, M arvoille. Eli funktio f saa kaikki arvot väliltä m, M. Huomautus Suljetulla välillä jatkuva funktio on rajoitettu, eli se ei voi saada mielivaltaisen suuria tai pieniä arvoja. Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA7 2. Suurin ja pienin arvo ei-suljetulla välillä Nt jatkuvalla funktiolla f ei välttämättä ole suurinta/pienintä arvoa. Niiden olemassaolo tät selvittää tutkimalla funktion kulkua, siis limeksiä! Esimerkki a) Määritä funktion f: f = 2 2 5 + 1 suurin ja pienin arvo. Väliä ei erikseen mainittu, se on tällöin laajin mahdollinen määritteljoukko, tässä tapauksessa R =,. Funktio f on löspäin aukeava paraabeli ja f = 4 5. f = 0 = 5 4 f 5 4 = 17 8 min. Lisäksi lim f = lim f = lim 5/4 22 5 + 1 = lim, joten ei ole maksim. 22 5 + 1 = 3
b) Määritä funktion f: f = 3 3 + 1 suurin ja pienin arvo 1 Määritteljoukossaan (= R) 2 välillä 0,2 (vrt. edellinen tunti). 1 Ei ole suurinta eikä pienintä arvoa, sillä lim f = lim 3 3 + 1 =, lim f = lim 3 3 + 1 =. 2 Suljetulla välillä 0,2 funktio f sai minimin, kun = 1, f 1 = 1. Maksimia ei nt saavuteta, sillä f < f 2 = 3, f 3, kun 2. Funktion ääriarvot DERIVAATTA, MAA6 Määritelmä, ääriarvokohdat ja ääriarvot: Jos f 0 on funktion f pienin (vastaavasti suurin) arvo kohdan 0 eräässä mpäristössä, niin 0 on funktion minimikohta (vast. maksimikohta) ja f 0 on funktion f minimi eli minimiarvo (maksimi eli maksimiarvo). maksimipisteitä maksimiarvoja minimipisteitä = f minimiarvoja maksimikohtia minimikohtia 4
Maksimi- ja minimikohdat ovat funktion ääriarvokohtia ja vastaavasti maksimi- ja minimiarvot ovat funktion ääriarvoja. Funktiolla voi olla useita minimejä tai maksimeja, jaottelu lokaaleihin (eli paikallisiin) ja globaaleihin (leisiin). Siis, lokaaleja ääriarvoja voi olla useita, mutta globaaleja vain hdet. Huomaa, että globaali ääriarvo on samalla mös lokaali. Lause, ääriarvot ja derivaatta: Olkoon funktio f jatkuva kohdassa 0 ja derivoituva kohdan 0 eräässä mpäristössä tätä kohtaa mahdollisesti lukuun ottamatta. Tällöin 0 on funktion f 0 1) minimikohta, jos f muuttuu tätä kohtaa ohittaessa negat. posit. f f + 2) maksimikohta, jos f muuttuu tätä kohtaa ohittaessa posit. negat. f f 0 + Jos f säilttää merkkinsä, niin 0 ei ole ääriarvokohta. f f 0 f f 0 + + Kaikkiaan funktion ääriarvokohtia, eli :n arvoja voivat olla - derivaatan nollakohdat, jotka tark. välillä, - kärkikohdat, joissa funktio ei ole derivoituva, - funktion epäjatkuvuuskohdat, - määrittelvälin päätekohdat, kun suljettu väli. Huom! Ei glob. ääriarvoja. a b Funktion kulun tutkiminen tarkoittaa funktion monotonisuuden ja ääriarvojen selvittämistä. 5
Esimerkki Määritä funktion f: f = 2 3 3 + 2 ääriarvokohdat ja ääriarvot. Funktio f on polnomifunktiona jva & deriv. R. Saadaan ja f = 0, kun = ±1. Derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio. f = 2 2 + 2 f f 1 1 + + 1 1 Näin ollen = 1, on minimikohta = 1, on maksimikohta Siis ääriarvot ovat: maksimi 4 ja minimi 4. 3 3 f 1 =... = 4 3 f 1 =... = 4 3. Esimerkki Tutki välillä 4,2 määritelln funktion f: f = 5 15 3 + 10 kulkua. Siis monotonisuus ja ääriarvot. Nt funktio f on polnomifunktiona jva & deriv. R. Saadaan ja f = 5 4 45 2 = 5 2 2 9 = 5 2 3 + 3 Huom! = 3 ei kuulu välille 4,2. f = 0 = 0, = 3, = 3. Merkki- ja kulkukaavio: 4 3 0 2 Minimikohdat: = 4, = 2. Maksimikohdat: = 3. 5 2 + + + Minimiarvot: 2 9 + f 4 = 54, f 2 = 78 Maksimiarvo: f 3 = 172 Funktio f on välillä 4, 3 aidosti kasvava ja välillä 3,2 aidosti vä- f f + henevä. min ma terassi min + + + + + 3 3 6