Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja menoja siten, että vuoden päästä saatava rahavirta jaetaan luvulla 1 + r ja n:n vuoden kuluttua saatava rahamäärä jaetaan luvulla 1/(1 + r n Täten jos vaikkapa yritys saa vuosittain voittoja rahamäärän π verran, on tämän voittovirran nykyarvo π + π 1 + r + π (1 + r 2 + π (1 + r 3 + Tämä on geometrinen sarja, jonka summa on ( π 1 + r 1 1/(1 + r = π r Jos tämä voitto saadaan ainoastaan t:n periodin päähän tulevaisuuteen asti, niin summa on (1 π + π 1 + r + π (1 + r 2 + π (1 + r 3 + + π (1 + r t Tämä summa saadaan vähentämällä geometrisen sarjan summasta (2 π + π 1 + r + π (1 + r 2 + π (1 + r 3 + = π 1 1/(1 + r tämän hännän summa (3 π (1 + r t+1 + π (1 + r t+2 + π (1 + r t+3 + = 1 ( π/(1 + r t+1 1 1/(1 + r
Vähentämällä yhtälö (3 yhtälöstä (2 saadaan, että yhtälön (1 summa on π (π/(1 + r t+1 1 1/(1 + r ( 1 1/(1 + r t+1 = π 1 1/(1 + r Sijoituksella q = 1/(1 + r tämä voidaan ilmaista muodossa ( 1 q t+1 π 1 q Esimerkki 11 (Rahavirran nykyarvo Yritys on olemassa kymmenen vuotta ja tekee 1000 euroa voittoa vuosittain Tämän voittovirran nykyarvo on ( 1 1/(1 + r 11 1000 1 1/(1 + r Jos korko on 2 % vuodessa, tästä saadaan ( 1 1/(1, 02 11 1000 9982, 59 1 1/(1, 02 2 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, Funktio f muuttuu tällä välillä määrän f ( f ( 0 Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella, saadaan erotusosamäärä f ( f ( 0 Tämä kertoo funktion keskimääräisen muutoksen välillä ( 0, Alla tämä suhde on kuvattu: 2
y f ( f ( 0 0 Erotusosamäärä riippuu luonnollisesti luvusta Funktion derivaatan idea on laskea funktion keskimääräinen muutos pisteessä 0 Tämä tapahtuu valitsemalla luku yhä lähempää ja lähempää lukua 0 ja katsomalla lähestyykö erotusosamäärä f ( f ( 0 tällöin jotakin lukua Toisin sanottuna derivaatta on tämän erotusosamäärän raja-arvo: (4 f ( 0 = 0 f ( f ( 0 Eli funktion f derivaatta pisteessä 0 on sen erotusosamäärän raja-arvo, kun lähestyy pistettä 0 Kaavalla (4 voi suoraan laskea derivaattoja, kuten seuraavista esimerkeistä selviää Esimerkki 21 (Derivaatan laskeminen määritelmän avulla Tunnetusti funktion f ( = 2 derivaatta on 2 Osoitetaan tämä kuitenkin derivaatan määritelmän eli kaavan (4 avulla: lasketaan osamäärän f ( f ( 0 = 2 2 0 raja-arvo, kun 0 Tätä varten palautetaan mieliin kaava a 2 b 2 = 3
(a b(a + b, jonka avulla tämä raja-arvo on helppo laskea: 2 0 2 0 = 0 ( ( 0 ( + 0 = ( + 0 = 2 0 0 Eli funktion f ( = 2 derivaatta on olemassa kaikkialla, ja pisteessä 0 tämä derivaatta saa arvon 2 0 Alla olevassa kuvassa esitetään piste 0 = 1, jossa derivaatta saa siis arvon 2 Tämä nähdään kuvassa siten, että erotus f ( f (1 lähestyy kahdella kerrottua erotusta 1, kun lähestyy lukua 1: f ( 2 f ( f (1 1 Eli toisin sanottuna pystysuora nuoli on noin kaksi kertaa vaakasuora nuoli silloin, kun on lähellä yhtä Koska erotusosamäärän raja-arvo (eli derivaatta on 2, niin näiden nuolien pituuksien suhde saadaan mielivaltaisen lähelle lukua 2, kun valitaan tarpeeksi läheltä lukua 1 Esimerkki 22 (Derivaatan laskeminen määritelmän avulla Laske suoraan derivaatan määritelmän avulla funktion f ( = 1/ derivaatta 4
Ratkaisu Lasketaan erotusosamäärä f ( f ( 0 0 1/ 1/ = 0 0 = 0 /( 0 /( 0 0 ( = 0 /( 0 0 ( = 0 / 0 0 1 = = 1 0 0 Huomaa, että funktion f ( = 1/ derivaatta ei ole tässä pisteessä määritelty Eli toisin sanottuna funktio f ( = 1/ ei ole derivoituva origossa Funktion sanotaan siis olevan derivoituva niissä pisteissä, joissa erotusosamäärän raja-arvo on määritelty Esimerkki 23 (Derivaatan laskeminen määritelmän avulla Osoita derivaatan määritelmän avulla, että suoran f ( = a + b derivaattafunktio on vakio b Ratkaisu Erotusosamäärän raja-arvo on nyt f ( f ( 0 0 2 0 = 0 a + b a b 0 b b = 0 0 b( = 0 0 = b Esimerkki 24 (Derivoituva funktio on aina jatkuva Funktio f on jatkuva pisteessä 0, jos 0 f ( = f ( 0 eli jos 0 f ( f ( 0 = 0 osoitetaan, että derivoituva funktio on jatkuva: ( f ( f (0 f ( f ( 0 = ( 0 0 0 ( 0 f ( f (0 = ( 0 0 0 0 = f ( 0 0 = 0 5
3 Tangenttisuoran yhtälö Funktion f ( tangenttisuora pisteessä 0 on suora a + b, joka sivuaa funktiota f pisteessä 0 Eli kuvana tämä tangenttisuora on seuraava: y f ( a + b f ( 0 0 Kuten yllä olevasta kuvasta näkee, funktion f tangenttisuoralle pisteessä 0 on kaksi ehtoa: 1 Tangentin a + b derivaatta (eli b pisteessä 0 on sama kuin funktion f derivaatta tässä pisteessä Eli b = f ( 0 2 Funktio ja sen tangentti saavat saman arvon pisteessä 0 eli a + b = f ( 0 Nämä kaksi ehtoa määrittelevät funktion tangenttisuoran tietyssä pisteessä täysin, koska tangenttisuorassa a + b on kaksi valittavaa parametria: a ja b Parametri b määräytyy siten, että tangentin ja funktion derivaatta yhtyvät Parametri a määräytyy siten, että tangentti ja funktio saavat saman arvon tässä pisteessä Esimerkki 31 (Funktion tangenttisuora Etsitään funktion f ( = 2 tangenttisuora pisteessä = 5 Ensinnä huomataan, että funktion 2 derivaatta tässä pisteessä on 2 5 = 10 Täten tangenttisuoran a + b parametri b on 10 Täten tangenttisuora on siis muotoa a + 10, josta pitäisi 6
vielä ratkaista a Tämän ratkeaa asettamalla tangenttisuoran ja funktion 2 arvot yhtä suuriksi pisteessä = 5: 5 2 = a + 10 5 a = 25 50 = 25 Täten vaaditun tangenttisuoran kaava on 25 + 10 Esimerkki 32 (Funktion tangenttisuora Etsi funktion f ( = tangenttisuoran kaava pisteessä = 1 Ratkaisu Derivoimalla saadaan, että funktion f ( derivaatta pisteessä on yhtä kuin 1/(2, joten tämä derivaatta saa arvon 1/2 pisteessä = 1 Täten tangenttisuoran parametri b on 1/2 Toisaalta 1 = 1, joten tangenttisuoran a + (1/2 pitää saada myös arvo 1 pisteessä = 1 : a + 1/2 = 1 a = 1/2 Täten haluttu tangenttisuora on muotoa 1/2 + (1/2 7