Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi, nteraktio, äännösneliösumma, Keskiarvodiagrammi, Kokonaisvaihtelu, Merkitsevstaso, p-arvo, Päävaikutus, Reunakeskiarvo, Rhmien sisäinen vaihtelu, Rhmien välinen vaihtelu, Rhmä, Rhmäkeskiarvo, Testi, Testisuure, Vapausaste, Varianssi, Varianssianalsi, Varianssianalsihajotelma, Yhteisvaihtelu, Yleiskeskiarvo Tehtävä 8.. Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa: Todista, että Tehtävä 8.. Mitä opimme? = µ + α + β + ( αβ) + ε ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i i ij ij i= j= i= j= Tehtävässä todistetaan, että kaksisuuntaisen varianssianalsin mallin esitsmuodon = µ + α + β + ( αβ) + ε ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, parametrit eivät ole riippumattomia, vaan niitä sitoo joukko lineaarisia side-ehtoja. Tehtävä 8.. Ratkaisu: Oletetaan, että rhmittelevällä teällä A on tasoa: A, A,, A ja rhmittelevällä teällä B on tasoa: Olkoon B, B,, B = k. havainto rhmässä, jonka määrittelee teän A taso a teän B taso j, k =,,, K, i =,,,, j =,,, TKK @ lkka Mellin (005) /7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitsmuodot: () = µ + ( µ µ ) + ( µ µ ) + ( µ µ µ + µ ) + ( µ ) () = µ ij + ε ii ij ìi ij (3) = µ + α + β + ( αβ) + ε ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, äännöstermit ε ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε Yhtälössä () N(0, σ ) µ ìi = µ ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, j = µ = µ ij i= µ = µ = µ = µ ij ii i= j= i= j= Siten htälöiden (), () ja (3) parametrien välillä on seuraavat htälöt: Siten α = µ µ i j ii β = µ µ ( αβ ) = µ µ µ +µ ij ij ìi ε = µ ij α = ( µ µ ) i i= i= i= ii = µ µ ii = µ µ = 0 β = ( µ µ ) j j= j= j = = µ µ = µ µ = 0 TKK @ lkka Mellin (005) /7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit ( αβ ) = ( µ µ µ + µ ) ij ij ii i= i= = µ µ µ + µ ij ii i= i= = µ µ µ + µ = 0 ( αβ ) = ( µ µ µ + µ ) ij ij ii j= j= = µ µ µ + µ ij ii j= j= = µ µ µ + µ = 0 ii ìi TKK @ lkka Mellin (005) 3/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 8.. Tarkastellaan interaktion eli hdsvaikutuksen ilmenemistä seuraavassa tilanteessa: Oletetaan, että rhmittelevillä teöillä A ja B on kummallakin kaksi tasoa: A i, i =, B j, j =, Piirrä keskiarvodiagrammit ja laske hdsvaikutusta kuvaavat neliösummat iij i i= j= SSAB = K ( + ) kun rhmäkeskiarvoina ovat: (a) ij A A B B 3 4 (b) ij A A B B 4 3 Tehtävä 8.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan, millä tavalla interaktio ilmenee kaksisuuntaisen varianssianalsin koeasetelman rhmäkeskiarvoja havainnollistavissa keskiarvodiagrammeissa. Olkoon = k. havainto rhmässä, jonka määrittelee teän A taso a teän B taso j, k =,,, K, i =,,,, j =,,, Kaksisuuntaisen varianssianalsin varianssianalsihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE hdsvaikutusta kuvaava neliösumma on iij i i= j= SSAB = K ( + ) TKK @ lkka Mellin (005) 4/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Yhdsvaikutusta kuvaavan neliösumman SSAB kaavassa i ij K = K k = on teän A tason a teän B tason j määräämän rhmän (i, j) havaintojen aritmeettinen keskiarvo eli rhmäkeskiarvo, ja ii i i K = = K j= k= j= K = = K i= k= i= ovat vastaavat reunakeskiarvot ja K = = K iij iij i= j= k= i= j= havaintoarvojen kokonaiskeskiarvo. iij (a) Rhmäkeskiarvot: ij A A B B 3 4 Vastaava keskiarvodiagrammi: 5 Keskiarvodiagrammi 4 B Vaste 3 B 0 A TKK @ lkka Mellin (005) 5/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Koska samaan teän B tasoon liittvien rhmäkeskiarvojen hdsjanat ovat hdensuuntaisia, kuvio viittaa siihen, että teöillä A ja B ei ole hteisvaikutusta. Reunakeskiarvot: ii = i j = ( + 3) = j = ii= i j = ( + 4) = 3 j = ii = ii = ( + ) =.5 i= ii = ii = (3 + 4) = 3.5 i= Kokonaiskeskiarvo: = i ij = ( + 3 + + 4) =.5 i= j= Yhteisvaihtelua kuvaava neliösumma ( iij i ) i= j= SSAB = K + voi olla nolla vain, jos jokainen termeistä on nolla. Koska ( + ), i =,, j =, iij i + =.5+.5= 0 i ii ii + = 3 3.5+.5= 0 i ii ii + = 3.5+.5= 0 i ii ii + = 4 3 3.5+.5= 0 näemme, että i ii ii SSAB = 0 TKK @ lkka Mellin (005) 6/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (b) Rhmäkeskiarvot: ij A A B B 4 3 Vastaava keskiarvodiagrammi: 5 Keskiarvodiagrammi 4 Vaste 3 B B 0 A Koska samaan teän B tasoon liittvien rhmäkeskiarvojen hdsjanat eivät ole hdensuuntaisia, kuvio viittaa siihen, että teöillä A ja B saattaa olla hteisvaikutusta. Reunakeskiarvot: ii = i j = ( + 4) =.5 j = ii= i j = ( + 3) =.5 j = ii = ii = ( + ) =.5 i= ii = ii = (4 + 3) = 3.5 i= Kokonaiskeskiarvo: = i ij = ( + 4 + + 3) =.5 i= j= TKK @ lkka Mellin (005) 7/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Yhteisvaihtelua kuvaava neliösumma ( iij i ) i= j= SSAB = K + voi olla nolla vain, jos jokainen termeistä on nolla. Koska ( + ), i =,, j =, iij i + =.5.5 +.5 = 0.5 i ii ii + = 4.5 3.5 +.5 = 0.5 i ii ii + =.5.5 +.5 = 0.5 i ii ii + = 3.5 3.5 +.5 = 0.5 i ii ii näemme, että SSAB 0 TKK @ lkka Mellin (005) 8/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 8.3. Akkutehtaan tavoitteena on suunnitella akku, joka säilttää latauksensa hvin erilaisissa lämpötiloissa. Oletetaan, että ainoa parametri, johon akkujen valmistusprosessissa voidaan vaikuttaa, on akussa kätettävien metallilevjen materiaala oletetaan, että kätettävissä on kolmesta erilaisesta materiaalista tehtjä levjä. Koska on odotettavissa, että eri materiaaleista valmistettujen akkujen latauksen kesto on erilainen erilaisissa lämpötiloissa, päätettiin tehdä seuraava koe: Kätettävissä olevista kolmesta materiaalista tehtjä akkuja testattiin kolmessa lämpötilassa (5, 70, 5 F) niin, että jokaisessa materiaali-lämpötila-kombinaatiossa (3 3 = 9 kpl) testattiin neljä satunnaisesti valittua akkua. okaisesta testatusta akusta mitattiin sen latauksen kesto tunteina. Tulokset testistä on annettu alla olevassa taulukossa. Latauksen kesto (h) Materiaali 3 Lämpötila ( F) 5 70 5 30 55 34 40 0 70 74 80 80 75 8 58 50 88 36 5 70 59 6 06 5 58 45 38 0 74 0 96 04 68 60 50 39 8 60 (a) (b) Mitä vaikutuksia kätetllä materiaalilla ja lämpötilalla on akun latauksen kestoon? Onko olemassa materiaalia, josta valmistetun akun latauksen kesto olisi tasaisesti paras kaikissa lämpötiloissa? Tehtävä 8.3. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan kaksisuuntaista varianssianalsia. Kaksisuuntaisen varianssianalsin tutkimusasetelma (i) (ii) Oletetaan, että haluamme tutkia kahden rhmittelevän teän A ja B vaikutusta vastemuuttujan keskimääräiseen arvoon. Oletetaan, että teällä A on tasoa ja teällä B on tasoa, jolloin havainnot voidaan luokitella ristiin rhmään. () Poimitaan kokeen mahdollisten kohteiden joukosta jokaiseen rhmään satunnaisesti K ksilöä. (iv) Mitataan vastemuuttujan arvot. TKK @ lkka Mellin (005) 9/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Havainnot Olkoon = muuttujan k. havaintoarvo rhmässä, jonka määrittelee teän A taso a teän B taso j, k =,,, K, i =,,,, j =,,, Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malla sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitsmuodot: () = µ + ( µ µ ) + ( µ µ ) + ( µ µ µ + µ ) + ( µ ) () = µ ij + ε ii ij ìi ij (3) = µ + α + β + ( αβ) + ε ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, äännöstermit ε ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: Mallissa () ε σ N(0, ) µ ìi = µ ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, j = µ = µ ij i= µ = µ = µ = µ ij ii i= j= i= j= Mallien (), () ja (3) parametrit toteuttavat seuraavat htälöt: α = µ µ i j ii β = µ µ ( αβ ) = µ µ µ +µ ij ij ìi ε = µ ij Mallin (3) parametrit toteuttavat htälöt α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i i ij ij i= j= i= j= TKK @ lkka Mellin (005) 0/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Kaksisuuntaisen varianssianalsin hpoteesit Kaksisuuntaisella varianssianalsilla tarkoitetaan seuraavien nollahpoteesien testaamista: H AB : Ei hdsvaikutusta H A H B : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta Nämä nollahpoteesit voidaan ilmaista mallin (3) parametrien avulla seuraavassa muodossa: H : ( αβ ) = 0, i =,,,, j =,,, AB ij H : α = α = $ = α = 0 A H : β = β = $ = β = 0 B Keskiarvot Rhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli rhmäkeskiarvo on K i =, i =,,,, j =,,, ij K k = Teän A tasoon i liittvä reunakeskiarvo on K = =, i =,,, ii i i ij K j= k= j= Teän B tasoon j liittvä reunakeskiarvo on K = =, j =,,, ii i j ij K i= k= i= Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli leis- eli kokonaiskeskiarvo on K = = K i= j= k= i= j= iij Varianssianalsihajotelma Testit nollahpoteeseille H AB, H A, H B perustuvat varianssianalsihajotelmaan SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Neliösumma K ) i= j= k= SST = ( ) = ( K s kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua. TKK @ lkka Mellin (005) /7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Neliösumma K ( ) ( ) i= j= k= i= SSA= = K kuvaa teän A osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli teän A päävaikutusta. Neliösumma K ( i ) ( i ) i= j= k= j= SSB = = K kuvaa teän B osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli teän B päävaikutusta. Neliösumma K ( iij i ) ( iij i ) i= j= k= i= j= SSAB = + = K + kuvaa teöiden A ja B hteisvaihtelun osuutta kokonaisvaihtelusta eli teöiden A ja B interaktiota. Neliösumma (jäännösneliösumma) K ( i ij ) ( ) ij i= j= k= i= j= SSE = = K s kuvaa rhmien sisäisen vaihtelun osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta. Testisuureet Määritellään F-testisuureet F F F AB A B ( K ) SSAB = ( )( ) SSE ( K ) SSA = ( ) SSE ( K ) SSB = ( ) SSE os nollahpoteesi H AB : Ei hdsvaikutusta pätee, niin F F(( )( ), ( K )) AB Suuret testisuureen F AB arvot johtavat nollahpoteesin H AB hlkäämiseen. TKK @ lkka Mellin (005) /7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit os nollahpoteesi pätee, niin H A : Ei A-vaikutusta F F(( ), ( K )) A Suuret testisuureen F A arvot johtavat nollahpoteesin H A hlkäämiseen. os nollahpoteesi pätee, niin H B : Ei B-vaikutusta F F(( ), ( K )) B Suuret testisuureen F B arvot johtavat nollahpoteesin H B hlkäämiseen. Kaksisuuntaisen varianssianalsin testien tulokset ilmaistaan tavallisesti varianssianalsitaulukon muodossa: Vaihtelun lähde Neliösumma SS Vapausasteet df Varianssiestimaattori MS F-testisuure A SSA SSA MSA = F = MSA MSE B SSB MSB = SSB F = MSB MSE AB SSAB ( )( ) SSAB MSAB = ( )( ) F = MSAB MSE äännös SSE (K ) MSE = SSE ( K ) Kokonaisvaihtelu SST K Varianssianalsitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalsihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Lisäksi neliösummiin liittvät vapausasteet toteuttavat vastaavan htälön K = ( ) + ( ) + ( )( ) + (K ) TKK @ lkka Mellin (005) 3/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Laskutoimitusten järjestel os varianssianalsihajotelman neliösummat SST, SSA, SSB, SSAB, SSE joudutaan laskemaan käsin tai laskimella, kannattaa laskutoimituksissa kättää alla esitettäviä kaavoja. Määritellään seuraavat summat: T iij = K k = K T = = T ii i iij j= k= j= K T = = T i iij i= k= i= K T = = T = T = iij i i= j= k= i= j= i= j= i =,,,, j =,,, Tällöin llä määritellt keskiarvot saadaan kaavoilla iij ii i i = Tiij K = Tii i K = Tii j K = T K i =,,,, j =,,, Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SST = = T K K K ( ) i= j= k= i= j= k= Teän A päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSA = K = T T ( ) i= K i= K Teän B päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSB = K = T T ( i ) i j= K i= K Teöiden A ja B hdsvaikutusta kuvaava neliösumma kannattaa laskea kahdessa vaiheessa. Lasketaan ensin rhmäkeskiarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma SS = K = T T ( iij ) iij i= j= K i= j= K T TKK @ lkka Mellin (005) 4/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tällöin SSAB = K( iij i + ) = SS SSA SSB i= j= Rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma saadaan kaavalla SSE = SST SSAB SSA SSB = SST SS Käsin tai laskimella laskettaessa havainnot kannattaa järjestää seuraavan taulukon muotoon: A A $ A B,,,,,, $,,, B,,,,,, $,,, % % % % B,,,,,, $,,, K K K K K K K K K Tästä taulukosta lasketaan solukohtaiset summat K Ti =, i =,,,, j =,,, ij k = ja kaikkien havaintojen neliöiden summa K i= j= k= Solusummat Ti ij, i =,,,, j =,,, järjestetään seuraavaksi taulukoksi, josta kaikki loput tarvittavista summista saadaan rivi- ja sarakesummina: A A $ A Summa B Ti Ti $ Ti Tii B Ti Ti $ Ti Tii % % % % % B Ti Ti $ Ti Tii Summa T T $ T T ii ii i i TKK @ lkka Mellin (005) 5/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 8.3. Ratkaisu: (a) Tehtävässä havainnot on valmiiksärjestett laskutoimitusten kannalta sopivaan muotoon: Latauksen kesto (h) Materiaali 3 Lämpötila ( F) 5 70 5 30 55 34 40 0 70 74 80 80 75 8 58 50 88 36 5 70 59 6 06 5 58 45 38 0 74 0 96 04 68 60 50 39 8 60 Tässä A = Lämpötila B = Materiaali ja = 3 = 3 K = 4 joten havaintojen kokonaislukumäärä on N = K = 36 Neliösummien laskeminen Lasketaan kaikkien havaintojen neliöiden summa: K i= j= k= = 478547 Lasketaan seuraavaksokaisesta solusta havaintojen summa ja järjestetään summat taulukoksi, josta lasketaan lisäksi rivi- ja sarakesummat. TKK @ lkka Mellin (005) 6/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Lasketaan solusummat: 4 T = = 30 + 55 + 74 + 80 = 539 i k k = 4 T = = 34 + 40 + 80 + 75 = 9 i k k = 4 T = = 0 + 70 + 8 + 58 = 30 i3 k 3 k = 4 T = = 50 + 80 + 59 + 6 = 63 i k k = 4 T = = 36 + + 06 + 5 = 479 i k k = 4 T = = 5 + 70 + 58 + 45 = 98 i3 k 3 k = 4 T = = 38 + 0 + 68 + 60 = 576 i3 k3 k = 4 T = = 74 + 0 + 50 + 39 = 583 i3 k 3 k = 4 T = = 96 + 04 + 8 + 60 = 34 i33 k 33 k = Lasketaan rivisummat: 3 T = T = 539 + 9 + 30 = 998 ii ii i= 3 T = T = 63 + 479 + 98 = 300 ii ii i= 3 T = T = 576 + 583 + 34 = 50 ii3 ii3 i= Lasketaan sarakesummat: 3 T = T = 539 + 63 + 576 = 738 ii ij j = 3 T = T = 9 + 479 + 583 = 9 ii i j j = 3 T = T = 30 + 98 + 34 = 770 i3i i3j j = TKK @ lkka Mellin (005) 7/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Lasketaan kokonaissumma: 3 T = T = 738 + 9+ 770 = 3799 i= T ij Lämpötila ( F) 5 70 5 Summa 539 9 30 998 Materiaali 63 479 98 300 3 576 583 34 50 Summa 738 9 770 3799 Lasketaan kaksisuuntaisen varianssianalsin varianssianalsihajotelman neliösummat: K SST = T K i= j= k= = 478547 3799 36 = 77646.97 SSA = Ti ii T K i= K = + + 36 = 398.7 (738 9 770 ) 3799 SSB = T T K i j = K = + + 36 = 0683.7 (998 300 50 ) 3799 SS = Ti T K K i= j= ij = + + + + + + + + 4 36 = 5946. (539 63 576 9 479 583 30 98 34 ) 3799 TKK @ lkka Mellin (005) 8/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit SSAB = SS SSA SSB = 5946. 398.7 0683.7 = 963.778 SSE = SST SSA SSB SSAB = SST SS = 77646.97 5946. = 830.750 F-testisuureiden laskeminen Olkoon nollahpoteesina H AB : Ei hdsvaikutusta Testisuureen F AB arvoksi saadaan F AB ( K ) SSAB = ( )( ) SSE 3 3 (4 ) 963.778 = (3 ) (3 ) 830.750 = 3.56 os nollahpoteesi H AB pätee, niin F F(( )( ), ( K )) = F(4,7) AB Olkoon nollahpoteesina H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen F A arvoksi saadaan F A ( K ) SSA = ( ) SSE 3 3 (4 ) 398.778 = (3 ) 830.750 = 8.97 os nollahpoteesi H A pätee, niin F F(( ), ( K )) = F(, 7) A TKK @ lkka Mellin (005) 9/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Olkoon nollahpoteesina H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen F B arvoksi saadaan F B ( K ) SSA = ( ) SSE 3 3 (4 ) 0683.7 = (3 ) 830.750 = 7.9 os nollahpoteesi H B pätee, niin F F(( ), ( K )) = F(, 7) B Testien tekeminen Olkoon nollahpoteesina H AB : Ei hdsvaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F AB = 3.56 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( F 3.56) = 0.086 Siten nollahpoteesi H AB voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.05, mutta ei merkitsevstasolla 0.0. Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(F.78) = 0.05 Pr(F 4.06) = 0.0 F F(( )( ), ( K )) = F(4,7).78 < F AB = 3.56 < 4.06 voimme todeta (kuten edellä), että nollahpoteesi H AB voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.05, mutta ei merkitsevstasolla 0.0. TKK @ lkka Mellin (005) 0/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Olkoon nollahpoteesina H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F A = 8.97 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( F 8.97) < 0.000 Siten nollahpoteesi H A voidaan hlätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevstasoilla. Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(F 5.488) = 0.0 F F(( ), ( K )) = F(, 7) F A = 8.97 > 5.488 voimme todeta, että nollahpoteesi H A voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.0. Olkoon nollahpoteesina H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F B = 7.9 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( F 7.9) = 0.000 Siten nollahpoteesi H B voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.0, mutta ei merkitsevstasolla 0.00.. Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(F 5.488) = 0.0 F F(( ), ( K )) = F(, 7) F B = 7.9 > 5.488 voimme todeta, että nollahpoteesi H B voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.0. TKK @ lkka Mellin (005) /7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Testien tuloksista voidaan rakentaa seuraava varianssianalsitaulukko: Vaihtelun lähde SS df MS F p A 398.7 9559.36 8.97 < 0.000 B 0683.7 534.86 7.9 0.000 AB 963.777 4 403.444 3.56 0.086 E 830.75 7 675.3 T 77646.97 35 ohtopäätös: os kätämme 5 %:n merkitsevstasoa, voimme hlätä kaikki kaksisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteesit: H AB : Ei hdsvaikutusta H A H B : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta Siten akkujen materiaala lämpötila vaikuttavat akkujen kestoon ja niillä on hdsvaikutusta. TKK @ lkka Mellin (005) /7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Ncss-ohjelma antaa tehtävän 8.3. aineistosta seuraavan tulostuksen: Analsis of Variance Report Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term DF Fixed? Term Mean Square A: Temp Yes S(AB) S+bsA B: Material Yes S(AB) S+asB AB 4 Yes S(AB) S+sAB S(AB) 7 No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequenc case. Analsis of Variance Table Source Sum of Mean Prob Power Term DF Squares Square F-Ratio Level (Alpha=0.05) A: Temp 398.7 9559.36 8.97 0.000000* 0.999999 B: Material 0683.7 534.86 7.9 0.00976* 0.930055 AB 4 963.777 403.444 3.56 0.086* 0.80099 S 7 830.75 675.3 Total (Adjusted) 35 77646.97 Total 36 * Term significant at alpha = 0.05 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error All 36 05.578 A: Temp 5 44.8333 7.5083 70 07.5833 7.5083 5 64.6666 7.5083 B: Material 83.6666 7.5083 08.3333 7.5083 3 5.0833 7.5083 AB: Temp,Material 5, 4 34.75.9943 5, 4 55.75.9943 5,3 4 44.9943 70, 4 57.5.9943 70, 4 9.75.9943 70,3 4 45.75.9943 5, 4 57.5.9943 5, 4 49.5.9943 5,3 4 85.5.9943 TKK @ lkka Mellin (005) 3/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Plots Section Means of BatterLife 00.00 50.00 BatterLife 00.00 50.00 0.00 5 70 5 Temp Means of BatterLife 00.00 50.00 BatterLife 00.00 50.00 0.00 3 Material Means of BatterLife 00.00 50.00 Material 3 BatterLife 00.00 50.00 0.00 5 70 5 Temp TKK @ lkka Mellin (005) 4/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: BatterLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Critical Value=.55459 Different Group Count Mean From Groups 5 64.6666 70, 5 70 07.5833 5, 5 5 44.8333 5, 70 Planned Comparison: A Linear Trend Response: BatterLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Comparison Value=-57.03995 T-Value=7.6047 Prob> T =0.000000 Decision(0.05)=Reject Comparison Standard Error=7.5083 Comparison Group Coefficient Count Mean 5-0.707068 44.8333 70 0 07.5833 5 0.707068 64.6666 Planned Comparison: A Quadratic Trend Response: BatterLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Comparison Value=-.5753 T-Value=0.335679 Prob> T =0.739753 Decision(0.05)=Accept Comparison Standard Error=7.5083 Comparison Group Coefficient Count Mean 5 0.408483 44.8333 70-0.864966 07.5833 5 0.408483 64.6666 TKK @ lkka Mellin (005) 5/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: BatterLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Critical Value=.55459 Different Group Count Mean 83.6666 From Groups 3 08.3333 3 5.0833 Planned Comparison: B Linear Trend Response: BatterLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Comparison Value=9.63956 T-Value=3.9538 Prob> T =0.000503 Decision(0.05)=Reject Comparison Standard Error=7.5083 Comparison Group Coefficient Count Mean -0.707068 83.6666 0 08.3333 3 0.707068 5.0833 Planned Comparison: B Quadratic Trend Response: BatterLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Comparison Value=-3.43609 T-Value=0.458073 Prob> T =0.650565 Decision(0.05)=Accept Comparison Standard Error=7.5083 Comparison Group Coefficient Count Mean 0.408483 83.6666-0.864966 08.3333 3 0.408483 5.0833 TKK @ lkka Mellin (005) 6/7
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävien 8., 8.3 laskutoimitusten suorittaminen Microsoft Excel -ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 8.. Tehtävä 8.3. Tiedosto KsHt8.xls > Ht8.. KsHt8.xls > Ht8.3. Tehtävän 8.3 laskutoimitusten suorittaminen Ncss-ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 8.3. Tiedostot BatterDesignP76.S0, BatterDesignP76.S TKK @ lkka Mellin (005) 7/7