Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto
Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia................... 3 1.2 Kongruenssiyhtälöryhmä..................... 4 2 Yhtälöryhmien matriisiesitys 6 2.1 Matriisien kongruenssi...................... 6 2.2 Yhtälöryhmien ratkaiseminen matriisimenetelmällä...... 8 Lähdeluettelo 13 1
Johdanto Tässä tutkielmassa tutkitaan lineaarisia kongruenssiyhtälöryhmiä ja kehitetään niille ratkaisutapa. Tutkielmassa on käytetty pääasiassa teosta [2]. Lukijalta odotetaan esitietoina kongruenssien ja lineaarialgebran perustuntemusta. Erityisen tärkeitä esitietoja ovat matriisilaskenta ja varsinkin matriisien tulon ja determinantin laskeminen. Tutkielman alussa perehdytään kongruenssiin ja niihin kongruenssin ominaisuuksiin, joita tullaan myöhemmin tutkielmassa tarvitsemaan. Seuraavaksi tutkitaan lineaarista kongruenssiyhtälöparia, jolle esitetään algebrallinen ratkaisutapa. Vastaavalla menetelmällä voitaisiin ratkaista myös suurempia lineaarisia kongruenssiyhtälöryhmiä, mutta tutkielman toisessa luvussa kehitetään toinen ratkaisutapa matriisien avulla. Sitä varten käytetään lineaarisille kongruenssiyhtälöryhmälle matriisiesitystä ja tutkitaan hieman matriisien kongruenssia. Näin saadaan matriisien lineaarinen kongruenssiyhtälö, joka voidaan ratkaista etsimällä käänteismatriisi alkuperäisen yhtälön kerroinmatriisille. Tästä ratkaisusta saadaan ehdot alkuperäisen kongruenssiyhtälöryhmän ratkaisuille. Tutkielma perustuu suurimmaksi osaksi lähdeaineistoihin. Osion 1.1 numeroimattomat esimerkit ovat itse keksimiäni. Myös tutkielman lopussa olevat ehdot, jotka lineaarisen kongruenssiyhtälöryhmän ratkaisun on täytettävä, yleisen ratkaisun muoto ja viimeinen esimerkki ovat omia lisäyksiäni. 2
1 Kongruensseista Ensimmäiseksi määritellään kongruenssi ja tutustutaan muutamiin siihen liittyviin tuloksiin. Näitä ominaisuuksia voidaan käyttää hyväksi myöhemmissä osioissa. 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia Määritelmä 1.1. Olkoon m Z + ja a, b Z. Jos m a b, niin sanotaan, että luku a on kongruentti luvun b kanssa modulo m. Tällöin käytetään merkintää a b (mod m) tai a b (m). Esimerkiksi luvut 7 ja 19 ovat kongruentteja modulo 12, sillä 12 7 19. Voidaan käyttää myös merkintää 7 19 (mod 12). Määritelmä 1.2. Olkoon m Z + ja a, b Z. Luku b on luvun a käänteisluku modulo m, jos ab 1 (mod m). Esimerkiksi luvun 7 käänteisluku modulo 13 on 2, sillä 7 2 = 14 1 (mod 13). Todistetaan seuraavaksi kaksi kongruenssiin liittyvää tulosta. Lause 1.3. Olkoon m Z +. Kongruensseilla modulo m on seuraavat ominaisuudet: (i) Reeksiivisyys. Jos a on kokonaisluku, niin a a (mod m). (ii) Symmetrisyys. Jos a ja b ovat sellaisia kokonaislukuja, että a b (mod m), niin b a (mod m). (iii) Transitiivisuus. Jos a, b ja c ovat sellaisia kokonaislukuja, että a b (mod m) ja b c (mod m), niin a c (mod m). Todistus. (i) Nähdään, että a a (mod m), koska m (a a) = 0. (ii) Jos a b (mod m), niin m (a b). On siis olemassa sellainen kokonaisluku k, että km = a b. Kun kerrotaan yhtälön molemmat puolet luvulla 1, saadaan ( k)m = b a. Nyt m (b a) ja määritelmän 1.1 mukaan b a (mod m). 3
(iii) Jos a b (mod m) ja b c (mod m), niin m (a b) ja m (b c). Tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut k ja l, että km = a b ja lm = b c. Nyt a c = (a b) + (b c) = km + lm = (k + l)m. Siis m (a c), joten a c (mod m). Lause 1.4. Olkoon a, b, c Z ja m Z +. Jos a b (mod m), niin (i) a + c b + c (mod m), (ii) a c b c (mod m), (iii) ac bc (mod m). Todistus. (i) Koska a b (mod m), niin m (a b). Erotus (a b) voidaan kirjoittaa muodossa (a b) = (a + c) (b + c), joten m (a + c) (b + c). Näin ollen a + c b + c (mod m). (ii) Vastaavasti erotus (a b) voidaan esittää muodossa (a b) = (a c) (b c), joten m (a c) (b c). Siis a c b c (mod m). (iii) Käytetään hyväksi relaatiota ac bc = c(a b). Nyt m (a b), josta seuraa, että m c(a b) ja siten ac bc (mod m). 1.2 Kongruenssiyhtälöryhmä Muotoa ax b (mod m) oleva kongruenssi, jossa x on tuntematon kokonaisluku, on yhden muuttujan lineaarinen kongruenssiyhtälö. Jos x = x 0 on ylläolevan kongruenssin eräs ratkaisu, niin x 1 x 0 (mod m) on myös ratkaisu. Jos siis jakojäännösluokan modulo m eräs alkio on ratkaisu, niin kaikki tämän jakojäännösluokan alkiot ovat myös ratkaisuja. Tutkitaan seuraavaksi kongruenssiyhtälöparia, jossa on kaksi muuttujaa ja jossa molempien kongruenssien moduloluku on m. 4
Oletetaan, että halutaan löytää kaikki sellaiset kokonaisluvut x ja y, että yhtälöparin 3x + 4y 5 (mod 13) 2x + 5y 7 (mod 13) kongruenssit toteutuvat. Kerrotaan ylempi yhtälö luvulla 5 ja alempi yhtälö luvulla 4, jolloin saadaan 15x + 20y 25 (mod 13) 8x + 20y 28 (mod 13). Kun vähennetään ylempi yhtälö alemmasta, saadaan 7x 3 (mod 13). (mod 13), kerrotaan yhtälön molem- Koska luku 2 on luvun 7 käänteisluku mat puolet luvulla 2. Nyt jonka perusteella 2 7x 2 3 (mod 13), x 7 (mod 13). Samoin voidaan kertoa ylempi yhtälö luvulla 2 ja alempi luvulla 3, jolloin saadaan 6x + 8y 10 (mod 13) 6x + 15y 21 (mod 13). Kun vähennetään ylempi yhtälö alemmasta, saadaan 7y 11 (mod 13). Luku y saadaan ratkaistua, kun kerrotaan molemmat puolet luvulla 2, joka on luvun 7 käänteisluku modulo m. Tällöin saadaan 2 7y 2 11 (mod 13), joten y 9 (mod 13). 5
Samaan lopputulokseen päästään sijoittamalla x 7 (mod 13) kumpaan tahansa alkuperäisistä yhtälöistä. Tehdään tämä ensimmäiselle yhtälölle, jolloin saadaan 3x + 4y 5 (mod 13) 3 7 + 4y 5 (mod 13) 21 + 4y 5 (mod 13) 8 + 4y 5 (mod 13) 4y 10 (mod 13) 10 4y 100 (mod 13) y 9 (mod 13). Tästä nähdään, että jokaisen ratkaisun (x, y) tulee toteuttaa ehdot x 7 (mod 13) ja y 9 (mod 13). Kun sijoitetaan nämä alkuperäiseen yhtälöpariin, nähdään että nämä parit (x, y) ovat todellakin ratkaisuja, koska 3x + 4y 3 7 + 4 9 = 57 5 (mod 13) 2x + 5y 2 7 + 5 9 = 59 7 (mod 13). Näin ollen kaikki tämän yhtälöparin ratkaisut ovat sellaisia pareja (x, y), että x 7 (mod 13) ja y 9 (mod 13). Nähdään, että kongruenssiyhtälöparin ratkaisujen löytäminen on hyvin suoraviivaista. Samoin voidaan ratkaista kongruenssiyhtälöryhmiä, joissa on n kongruenssia ja tuntematonta. Tällöin edellä käytetty ratkaisutapa voi viedä paljon aikaa, varsinkin jos n on suuri. Seuraavassa luvussa kehitetään näille yhtälöryhmille nopeampi ratkaisutapa lineaarialgebraa hyväksi käyttäen. 2 Yhtälöryhmien matriisiesitys 2.1 Matriisien kongruenssi Määritelmä 2.1. Olkoot A ja B n k-matriiseja, joiden alkiot ovat kokonaislukuja. Merkitään matriisien (i, j)-alkioita a ij ja b ij. Jos a ij b ij (mod m) kaikilla pareilla (i, j), 1 i n ja 1 j k, niin sanotaan, että matriisi A on kongruentti matriisin B kanssa modulo m, ja merkitään A B (mod m). 6
Matriisien kongruenssi on tehokas tapa ilmaista nk kongruenssia a ij b ij (mod m), jossa 1 i n ja 1 j k. Esimerkki 2.2. On helposti nähtävissä, että ( ) ( ) 15 3 4 3 (mod 11). 8 12 3 1 Seuraava tulos osoittautuu tärkeäksi, kun myöhemmin kehitetään ratkaisutapaa matriisimuotoiselle kongruenssiyhtälöryhmälle. Lause 2.3. Olkoot A ja B sellaisia n k-matriiseja, että A B (mod m), C k p-matriisi, D p n-matriisi ja matriisien kaikki alkiot kokonaislukuja. Tällöin AC BC (mod m) ja DA DB (mod m). Todistus. Merkitään matriisin A ja matriisin B alkioita a ij ja b ij, kun 1 i n ja 1 j k. Vastaavasti merkitään matriisin C alkioita c ij, kun 1 i k ja 1 j p. Matriisien AC ja BC alkiot (i, j) ovat k t=1 a itc tj ja k t=1 b itc tj, kun 1 i n ja 1 j p. Koska A B (mod m), niin a it b it (mod m) kaikilla kokonaisluvuilla i ja k. Siten Lauseen 1.4 kohdan (iii) nojalla k t=1 a itc tj k t=1 b itc tj (mod m). Näin ollen AC BC (mod m). Väitteen DA DB (mod m) todistus on vastaavanlainen. Tarkastellaan nyt kongruenssiyhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 (mod m) a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (mod m) a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n b n. (mod m). Matriisiesitystä käyttämällä tämä yhtälöryhmä voidaan esittää matriisien kongruenssina AX B (mod m), missä a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n A =. X = x 2., ja B = b 2.. a n1 a n2 a nn x n b n 7
Esimerkki 2.4. Yhtälöpari voidaan esittää matriisimuodossa ( ) ( ) 3 4 x 2 5 y 3x + 4y 5 (mod 13) 2x + 5y 7 (mod 13) ( ) 5 7 (mod 13). 2.2 Yhtälöryhmien ratkaiseminen matriisimenetelmällä Kehitetään nyt tapa ratkaista muotoa AX B (mod m) oleva kongruenssi. Tämä tapa perustuu sellaisen matriisin A 1 löytämiseen, että A 1 A I (mod m), missä I on identiteettimatriisi. Määritelmä 2.5. Jos A ja A 1 ovat n n-matriiseja, niiden alkiot ovat kokonaislukuja ja A 1 A AA 1 I (mod m), 1 0 0 0 1 0 missä I = on identiteettimatriisi,. 0 0 1 niin sanotaan, että matriisi A 1 on matriisin A käänteismatriisi modulo m. Jos matriisi A 1 on matriisin A käänteismatriisi ja B A 1 (mod m), tällöin myös matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tämä on seuraus Lauseesta 2.3, sillä BA A 1 A I (mod m). Jos vastaavasti matriisit B 1 ja B 2 ovat molemmat matriisin A käänteismatriiseja, niin B 1 B 2 (mod m). Tämän osoittamiseksi käytetään Lausetta 2.3 ja kongruenssia B 1 A B 2 A I (mod m). Kerrotaan kongruenssin molemmat puolet matriisilla B 1, jolloin saadaan B 1 AB 1 B 2 AB 1 (mod m). Koska AB 1 I (mod m), niin voidaan todeta, että B 1 B 2 (mod m). Esimerkki 2.6. Koska ( ) ( ) 1 3 3 4 = 2 4 1 2 ( ) 6 10 10 16 ( ) 1 0 0 1 (mod 5) ja ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 1 3 11 25 1 0 = (mod 5), 1 2 2 4 5 11 0 1 ( ) ( ) 3 4 1 3 niin nähdään, että matriisi on matriisin käänteismatriisi 1 2 2 4 modulo 5. 8
Seuraavaa lausetta käyttämällä on helppoa löytää käänteismatriisi 2 2- matriiseille. ( ) a b Lause 2.7. Olkoon m Z +, A =, jonka alkiot ovat kokonaislukuja c d ja syt (m, deta) = 1. Tällöin matriisi ( ) d b A 1 = (deta) 1, c a missä (deta) 1 on matriisin A determinantin käänteisluku modulo m, on matriisin A käänteismatriisi modulo m. Merkitään selvyyden vuoksi jatkossa (deta) =. Todistus. Määritelmän 2.5 nojalla riittää, että osoitetaan kongruenssien AA 1 A 1 A I (mod m) olevan voimassa. ( ) ( ) ( ) a b d b ad bc 0 AA 1 1 1 c d c a 0 bc + ad ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 0 0 0 1 = I (mod m) 0 1 ja ( ) ( ) ( ) d b a b ad bc 0 A 1 A 1 1 c a c d 0 bc + ad ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 0 0 0 1 = I (mod m), 0 1 missä 1 on luvun käänteisluku modulo m, joka on olemassa, koska syt (, m) = 1. ( ) 3 4 Esimerkki 2.8. Olkoon A =. Koska luku 2 on luvun deta = 7 2 5 käänteisluku modulo 13, niin edellisen Lauseen 2.7 nojalla ( ) ( ) ( ) 5 4 10 8 10 5 A 1 2 (mod 13). 2 3 4 6 9 6 Kun n Z +, n > 2, niin n n-matriisin käänteismatriisi voidaan löytää sen liittomatriisin avulla. 9
Määritelmä 2.9. Olkoon A n n-matriisi. Matriisin A liittomatriisi on n n-matriisi adj A = (cof A) T, missä (cofa) ij = ( 1) i+j deta ij kaikilla i, j = 1,..., n. Matriisin cof A alkio (cofa) ij on siis ( 1) i+j kerrottuna sen matriisin determinantilla, joka saadaan, kun poistetaan matriisista A i:s rivi ja j:s sarake. Liittomatriisi on tämän matriisin transpoosi. Seuraava lineaarialgebran tulos löytyy teoksesta [1]. Tässä vaiheessa lukijan on hyvä palauttaa mieleen kuinka n n-matriisin determinantti kehitetään rivin i tai sarakkeen j suhteen. Lause 2.10. Olkoon A n n-matriisi ja det A 0. Tällöin A(adjA) = (deta)i, missä adj A on matriisin A liittomatriisi. Todistus. Tarkastellaan tuloa a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n C 11 C 21 C j1 C n1... C 12 C 22 C j2 C n2 AadjA = a i1 a i2 a in........ C 1n C 2n C jn C nn a n1 a n2 a nn Tässä on käytetty lyhennysmerkintää C ij rivillä i ja sarakkeessa j on = (cofa) ij. Tulomatriisin alkio a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn. Jos i = j, niin ylläoleva alkio on matriisin A rivin i suhteen kehitetty determinantti, ja jos i j, niin ylläoleva alkio on nolla. Siten det(a) 0 0 0 det(a) 0 A(adjA) =... = det(a)i. 0 0 det(a) Tämän lauseen seurauksena saadaan tulos, jolla löydetään n n-matriisin A käänteismatriisi modulo m. 10
Seuraus 2.11. Olkoot A n n-matriisi, jonka alkiot ovat kokonaislukuja, ja m sellainen positiivinen kokonaisluku, että syt (deta, m) = 1. Tällöin matriisi A 1 = 1 (adja) on matriisin A käänteismatriisi modulo m, missä 1 on luvun = deta käänteisluku modulo m. Todistus. Jos syt(deta, m) = 1, niin deta 0. Tällöin lauseen 2.10 nojalla A adja = (deta)i = I. Koska syt(deta, m) = 1, niin luvulla = deta on olemassa käänteisluku 1 modulo m. Tästä voidaan päätellä, että A( 1 adja) A (adja) 1 1 I I (mod m) ja 1 (adja)a 1 (adja A) 1 I I (mod m). 2 5 6 Esimerkki 2.12. Olkoon A = 2 0 1. Tällöin deta = 5. Koska 1 2 3 syt( 5, 7) = 1 ja luvun 5 käänteisluku on 4 (mod 7), saadaan 2 3 5 A 1 = 4(adjA) = 4 5 0 10 4 1 10 8 12 20 6 2 6 = 20 0 40 1 0 5 (mod 7). 16 4 40 2 4 2 Matriisin A käänteismatriisia modulo m voidaan käyttää kongruenssiyhtälön AX B (mod m) ratkaisemiseen, missä syt(deta, m) = 1. Kun kerrotaan yhtälön molemmat puolet käänteismatriisilla A 1, niin lauseen 2.3 perusteella A 1 (AX) A 1 B (mod m) (A 1 A)X A 1 B (mod m) X A 1 B (mod m). Ratkaisumatriisi X löydetään muodostamalla matriisi A 1 B (mod m). 11
Tarkastellaan lopuksi esimerkkiä, jossa on kolme kongruenssiyhtälöä ja kolme tuntematonta muuttujaa, ja ratkaistaan se käyttämällä matriisimenetelmää. Esimerkki 2.13. Tarkastellaan kolmen kongruenssin yhtälöryhmää 2x 1 + 5x 2 + 6x 3 3 (mod 7) 2x 1 + x 3 4 (mod 7) x 1 + 2x 2 + 3x 3 1 (mod 7). Se voidaan esittää matriisimuodossa 2 5 6 x 1 3 2 0 1 x 2 4 (mod 7). 1 2 3 x 3 1 6 2 6 2 5 6 Esimerkissä 2.12 nähtiin, että matriisi 1 0 5 on matriisin 2 0 1 2 4 2 1 2 3 käänteismatriisi modulo 7. Tällöin x 1 6 2 6 3 32 4 x 2 = 1 0 5 4 = 8 1 (mod 7). x 3 2 4 2 1 24 3 Yhtälöryhmän eräs ratkaisu on siis x 1 = 4, x 2 = 1 ja x 3 = 3. Jokaisen ratkaisun on täytettävä alla olevat ehdot Yleinen ratkaisu on siis muotoa x 1 4 (mod 7) x 2 1 (mod 7) x 3 3 (mod 7). x 1 = 4 + k 7 x 2 = 1 + l 7 x 3 = 3 + n 7, missä k, l, n Z. Voidaan valita esimerkiksi x 1 = 11, x 2 = 8 ja x 3 = 10. Tällöin eli yhtälöryhmä toteutuu. 2 11 + 5 8 + 6 10 = 122 3 (mod 7) 2 11 + 10 = 32 4 (mod 7) 11 + 2 8 + 3 10 = 57 1 (mod 7), 12
Lähdeluettelo [1] 1. Anton, Howard & Rorres, Chris: Elementary linear algebra - applications version; 8. painos. John Wiley & Sons, Inc., 2000. [2] 2. Rosen, Kenneth H.: Elementary number theory and its applications; 3. painos. Addison-Wesley Publishing Company, 1993. 13