KAS Kalliorakennusgeologia ja sijoituspaikkatutkimukset Espoo 17/2017 Rakoverkkomallinnus: menetelmät ja ohjelmistot Eevaliisa Laine
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Tekijät Eevaliisa Laine KUVAILULEHTI /17 Raportin laji Arkistoraportti Toimeksiantaja Raportin nimi Tiivistelmä Kallioperän rikkonaisuus vaikuttaa useimpiin kallion insinöörigeologisiin ominaisuuksiin. Sen lisäksi, että rikkonaisuuden mallintaminen on tärkeää, on se osoittautunut myös hyvin vaikeaksi, koska pelkästään kallioseinämä- ja poranreikähavaintojen perusteella on mahdotonta tarkkaan ennustaa kallion rakoilua koko tutkittavassa kalliomassassa. Tämä raportti on tehty pohjautuen rakoverkkomallinnuskirjallisuuteen ja tässä raportissa keskitytään tilastollisten menetelmien käyttöön rakoverkkomallinnuksessa ja rakosimuloinnissa. Tavoitteena on kuvata mallinnuksen lähtökohdat ja tärkeimmät ohjelmistot. Asiasanat (kohde, menetelmät jne.) rakoverkkomallinnus, rakosimulointi, rakosimulointimenetelmät rakosimulointiohjelmistot Maantieteellinen alue (maa, lääni, kunta, kylä, esiintymä) Suomi Karttalehdet Muut tiedot Arkistosarjan nimi Arkistotunnus 17/2017 Kokonaissivumäärä Kieli suomi Hinta Julkisuus Yksikkö ja vastuualue KAS Hanketunnus 50404-40108 Allekirjoitus/nimen selvennys Eevaliisa Laine Allekirjoitus/nimen selvennys
Sisällysluettelo Kuvailulehti 1 Johdanto 1 2 tilastollisen rakoverkkomallinnuksen työn kulku 2 2.1 Rakoaineistot 2 2.2 Rakojen jakaminen rakoryhmiin suunnan mukaan 3 2.3 Rakojen suuntaominaisuudet 3 2.4 Rakotiheys ja rakojen sijainti 3 2.5 Rakojen muut ominaisuudet 4 2.6 Rakoverkon luominen 4 3 Päätelmät 5 4 Ohjelmistot 6 5 Kirjallisuusviitteet 7
1 JOHDANTO Kallioperän rikkonaisuus vaikuttaa useimpiin kallion insinöörigeologisiin ominaisuuksiin. Sen lisäksi, että rikkonaisuuden mallintaminen on tärkeää, on se osoittautunut myös hyvin vaikeaksi, koska pelkästään kallioseinämä- ja poranreikähavaintojen perusteella on mahdotonta tarkkaan ennustaa kallion rakoilua koko tutkittavassa kalliomassassa. Kallion insinöörigeologisia ominaisuuksia on perinteisesti kuvattu käyttäen erilaisia kvalitatiivisia ja kvantitatiivisia havaintoja ja niistä johdettuja luokituksia. Käytössä on mm. RQD- ( Rock Quality Design ) (Deer 1963), Q- (Barton et al. 1974), RMR- (Bieniawski, 1989), GSI- (Hoek et al. 2013) ja suomalaisten kehittämä RG-luokitus (Korhonen et al. 1974). Näiden lisäksi on käytetty tilastollista rakoverkkomallinnusta määrittämään kalliomassan ominaisuuksia ja näiden anisotropiaa. Rakoverkkomallinnusta on käytetty kalliopohjaveden virtauksen mallinnuksessa jo hyvin pitkään (mm. Long et al. 1982). Rakoverkon avulla saadaan määritettyä edustava alkeistilavuus (REV= Representative Elementary Volume ) ja sen vedenjohtavuus. Veden mukana eivät kulje pelkästään haitalliset aineet vaan myös lämpö, joten rakoverkkomallinnus on tärkeää myös geoenergiatutkimuksissa. DFN-rakoverkkomallia (DFN= Discrete Fracture Network -mallinnus) voidaan käyttää myös kallion lohkojen ja niiden lukumäärän ja koon arvioimisessa (Elmo et al. 2014). Suomessa rakoverkkomallinnusta on tehty eniten liittyen ydinjätteiden sijoitustutkimuksiin (mm. Fox et al. 2012). Koska rakoverkkoa ei voi rakentaa deterministisesti, niin ne simuloidaan perustuen tilastollisiin menetelmiin. Käytössä on erilaisia ratkaisuita. Tilastollisiin menetelmiin ja stokastiseen simulointiin perustuvia DFN- rakoverkkomallinnuksen menetelmiä on tutkittu paljon (mm. Robinson 1983, Sahimi 1993, Long et al. 1982, Baecher 1983, Andersson et al. 1984 ja Dershowitz & Einstein, 1988). DFN-rakoverkkomallinnuksella pyritään rakentamaan mahdollisimman realistinen malli kallioperän rakoilusta käyttäen hyväksi havaittujen rakoominaisuuksien tilastollisia ominaisuuksia. Hyvin yleistä on mallintaa rakojen suuntajakaumat lähtien havaittujen rakojen suuntien ja ominaisuuksien tilastollisista jakaumista. Stokastisella simuloinnilla luodaan lukuisia yhtä todennäköisiä rakoverkkoja. Tulosta voidaan käyttää arvioimaan kalliomassan fysikaalisia ominaisuuksia ja niiden anisotropiaa. On luonnollista, että simuloidut rakoverkot eivät välttämättä ole realistisia eivätkä vastaa mitään todellista jännitystilaa, mikä olisi vallinnut rakojen syntyessä. Rakoverkon luomisessa on edelleen paljon ongelmia: 1) tilastolliseen malliin perustuva malli luo usein aika vaatimattomaan aineistoon perustuen rakoverkon, jota on vaikea validoida 2) tilastolliset rakoverkkomallit perustuvat yleensä hyvin pieneen rakoaineistoon, joten esimerkiksi rakotiheyden spatiaalista vaihtelua on vaikea estimoida 3) koska aineistot on kerätty joko pitkin yksiulotteisia linjoja (kairareiät tai linjamittaukset) tai kaksiulotteisilta seinämiltä tai kalliopaljastumilta, rakojen pituusjakaumaa on vaikea arvioida suoraan rakohavointojen pohjalta
Tilastollisen rakosimuloinnin rinnalla ja tukena rakoja simuloidaan myös laskennallisesti kallion geomekaanisten ominaisuuksien avulla (mm. Bonneau et al. 2013). Fysikaalisessa mallinnuksessa käytetään mm. diskreettiä elementtimallinnusta (vrt Riikilä et al. 2015). Tässä raportissa keskitytään kuitenkin pelkästään tilastollisten menetelmien käyttöön rakosimuloinnissa. Tavoitteena on kuvata rakoverkkomallinnuksen lähtökohdat ja esittää tärkeimpien rakomallinnusohjelmistojen ominaisuudet taulukkona. 2 TILASTOLLISEN RAKOVERKKOMALLINNUKSEN TYÖN KULKU Tilastollisella rakoverkkosimuloinnilla (DFN) mallintamaan kallion rakoilun perustuen kentällä tehtyihin rakohavaintoihin kuten rakopituus, -suunnat ja tiheys. Näiden ominaisuuksien tilastollisten jakaumien avulla voidaan stokastisesti generoida rakoverkko. Rakoaineiston kokoaminen 1. linjamittaukset 2. ikkunamittaukset kallioaljastumilta ja kairarei'istä (geofysikaaliset loggaukset tai reiän valokuvaus geofysikaalisilta kartoilta ja muusta aineistosta tulkitut rakenteet) Rakojen ryhmittely ominaisuukien perusteella, pääasiassa suuntaominaisuuksien perusteella Rako-ominaisuuksien tilastollinen käsittely rakoryhmittäin Kuva 1 Rakohavaintoaineiston käsittely 2.1 Rakoaineistot Rakoverkkomallinnukseen käytetään havaintoja, jotka on koottu yleensä linjaa pitkin tai kalliopinnalta (Priest & Hudson 1981, Kulatilake et al. 2003, Jimenez-Rodriguez and Sitar 2006). Voidaan käyttää myös kairasydämistä mitattuja rakoja (Zhang and Einstein 2000, Gupta and Adler 2006). Kairasydänhavaintoja voidaan täydentää kairareiän valokuvauksella ja geofysikaalisilla reikämittauksilla (Ozkaya and Mattner, 2003). Näin kerätty aineisto on yksi- tai kaksiulotteista eikä anna oikeaa kuvaa kolmiulotteisista rakoverkoista. Virheet liittyen siihen, että raot ovat vain osittain näkyvissä vaativat korjauksen ennen kuin kaksiulotteista aineistoa voidaan käyttää kolmiulotteisessa mallinnuksessa. (Laslett 1982, Baecher 1983, Einstein and Baecher 1983, Villaescusa and Brown 1992, La Pointe 2002, Fouché and Diebolt 2004).
2.2 Rakojen jakaminen rakoryhmiin suunnan mukaan Rakojen suunnat esitetään usein graafisesti stereograafisella projektiolla tai ruusudiagrammilla ja raot jaetaan rakoryhmiin suuntajakauman perusteella. Koska aineistoa usein riittämättömästi rakoryhmien automaattiseen jakamiseen, niin ohjelmistoissa määritetään rakoryhmät perustuen visuaaliseen tulkintaan. Samansuuntaisten rakojen oletetaan liittyvän tiettyyn geologiseen tapahtumaan. Luokitteluun käytetään ruusudiagrammia kaksiulotteisessa sovellutuksessa ja stereografista projektiota kolmiulotteisissa sovellutuksissa. Jokainen rakoryhmä mallinnetaan erikseen ja lopullinen simulointi on yksinkertaisesti toisistaan riippumatta mallinnettujen rakoryhmien kombinaatio. Jos rakoryhmillä on keskinäistä korrelaatiota, niin ne voidaan mallintaa joko hierarkkisesti (Lee et al. 1990) tai käyttäen plurigaussian simulointia (Dowd et al. 2007). 2.3 Rakojen suuntaominaisuudet Rakojen suuntajakaumia mallinnetaan Fisherin jakaumalla (Mardia 1972), joka vastaa skalaarimuuttujiin käytettävää normaalijakaumaa.tämä jakauma on unimodaalinen ja symmetrinen keskiarvosuunnan suhteen. Fisherin jakaumalle on olemassa myös bimodaalinen muoto (Dershowitz 1984). Bimodaalisen Fisher-jakauman lisäksi on olemassa elliptinen Fisher-jakauma. Tämän avulla voidaan mallintaa rakoryhmät, joilla on vaihtelu erilaista kulun ja kaateen suunnassa. Jakaumaa edutavat suunnat muodostavat stereograafisella projektiolla ellipsin (Kent 1982). Kaksimuuttujainen Bingham jakauma kuvaa erityisesti kehämäiselle jakaumalle kuten poimurakenteista syntyvistä suuntajakaumista (Dershowitz, 1984): 2.4 Rakotiheys ja rakojen sijainti Rakotiheyttä on hyvin vaikea mallintaa, koska rakotiheydestä on vain vähän suoria havaintoja eikä löydy mitään epäsuoria mittausmenetelmiä sen määrittämiseksi alueellisesti. Rakotiheys määritellään eri tavoin yksi-, kaksi- ja kolmiulotteisessa tapauksissa. Dershowitz & Herda (1992) kehittivät määrittelyä varten Pij järjestelmän eri dimensioisille geometrioille kuten kairasydän, kartta tai kalliolohko ja erilaisille mitoille kuten lukumäärä, pituus ja pinta-ala. Rakotiheys määritetään kairareiästä rakojen lukumääränä pituusyksikössä (P10, yksiulotteinen kairasydän ja rakojen lukumäärä lkm/m) ja kalliopinnan kartoituksella (P21, rakojen pituus m/m 2 ). Kummatkin näistä ovat suuntariippuvaisia, joten kolmiulotteisessa tapauksessa suuntaneutraali mitta olisi rakojen pinta-ala tilavuusyksikköä kohden P32 (m 2 /m 3 ), jolla paljon insinöörigeologisia sovellutuksia. Vaikka P32 ei ole suoraan mitattavissa, se voidaan johtaa yksiulotteisista ja kaksiulotteisista havainnoista simuloiden P32 rakotiheyshavainnointia niin, että ne toteuttavat myös havaitut P10- tai P21-rakotiheydet kairarei issä tai kallionpinnoilla. Rakojen sijainti liittyy rakotiheyteen on tärkeimpiä rakoverkkomallien jakaumaparametreja, ja se mallinnetaan yleensä erikseen muista rako-ominaisuuksista. Yleisin lähestymistapa on käyttää yhtä pistettä, tavallisesti raon keskipistettä edustamaan sijaintia. Geostatistisilla tai
pisteprosessimenetelmillä voidaan mallintaa rakojen spatiaalista jakaumaa. Geostatistisessa mallinnuksessa (Young, 1987, Chilès, 1988, Billaux et al.,1989, Viruete et al. 2003) muuttujana on rakotiheys (esimerkiksi P32) tai rakoja edustavien pisteiden lukumäärä pinta-ala- tai tilavuusyksikköä kohden. Jokaiseen kolmiulotteisen vokseliesityksen soluun simuloidaan rakotiheys tai rakojen kesipisteiden lukumäärä käyttäen geostatistista mallia ja sen jälkeen simuloinnin tuloksen mukainen määrä rakoja sijoitetaan jokaiseen vokseliesityksen soluun Poissonin jakauman mukaan. Pisteprosessimenetelmää käytettäessä pisteiden lukumäärä soluissa mallinnetaan suoraan rakoaineistosta. Malli voi olla parametrinen tai epäparametrinen (Xu et al., 2003) ja voi olla yksinkertainen Poissonin malli tai yksi monista epähomogeenisista malleista. Rakojen sijainnin on kuitenkin huomattu noudattavan muuta kuin täysin satunnaista sijoittumista ja kallio voidaan jakaa rakoilultaan eri typpisiin lohkoihin (vrt. mm. Darcel et al. 2013). Rakoilua voidaan mallintaa myös fraktaalien avulla. Levy-Lee fraktaalinen rakomalli käyttää Mandelbrotin (1985) kehittämää Levy-Flight -menetelmää. Levy-Flight prosessissa käytetään satunnaista polkua, jossa jokaiselle pituudelle on annettu todennäköisyys- ja kumulatiivisen todennäköisyyden jakaumat. Levy-Flight on yksiulotteinen prosessi pisteille yhdessä ulottuvuudessa. FracMan-ohjelmistossa (FracMan 7) menetelmä on laajennettu 2- ulotteiseksi (rakoviivat tasolla) ja 3-ulotteiseksi (raot tilavuudessa). Rakoverkon laajentamiseen kaksiulotteisista kuvista kolmiulotteiseksi rakoverkoksi voi tehdä käyttäen MPS-simulointia (MPS= Multi Point Statistics ) eli usean pisteen välisiä spatiaalisia korrelaatioita rakoilun mallintamiseen. Tässä käytetään kalliopinnalta tulkittua rakoilukuviota kuvana, jonka piirteet mallinnetaan ja toistetaan stokastisella simuloinnilla (mm. Strebelle 2002). 2.5 Rakojen muut ominaisuudet Rakojen muita ominaisuuksia kuten avoimuutta, rakotäytteitä, rakopinnan karkeutta ja rakopituutta voidaan käsitellä skalaareina, joita mallintaa useilla eri tyyppisillä jakaumilla kuten tasainen, exponentiaalinen ja normaali jakauma. Rakopituuden (tai koon) jakaumaa mallinnetaan usein potenssilakijakaumalla. Rakojen välistä etäisyyttä taas mallinnetaan Weibull-jakaumaa, jos pisteet, joista raot lähtevät syntymään, esiintyvät satunnaisesti (Poissonin pisteprosessi). 2.6 Rakoverkon luominen Rakojen sijaintia, kokoa, suuntatietoa ja muita ominaisuuksia käsitellään tavallisesti satunnaismuuttujina. Yksinkertaisuuden vuoksi rakojen geometria oletetaan tavallisesti yksinkertaiseksi kuten suoriksi viivoiksi 2D mallinnuksessa ja ellipseiksi 3-ulotteisessa mallinnuksessa vaikka äärettömiä 2D tasoja (kutsutaan Poissonin tasoiksi) myös käytetään (Dershowitz ja Einstein, 1988). Yksinkertaisimmassa mallinnuksessa, jossa ei oleteta
ominaisuuksien spatiaalista korrelaatiota parametrien jakaumien määrityksen jälkeen, rakoverkkomalli luodaan Monte Carlo simuloinnilla. Yleensä simuloidaan rakojen keskipisteiden sijainnit ensin. Merkityssä pisteprosessissa suuntatietoa käsitellään kahtena merkkinä, jotka simuloidaan niiden vastaavista todennäköisyysjakaumista. Rakopituuden jakaumaa mallinnetaan yleisimmin käyttämällä exponentiaalista, lognormaalia tai gammajakaumaa (Zhang ja Einstein 2000; Warburton 1980). On olemassa hyvin vähän julkaistuja 3D-rakomittauksia (Dowd et al. 2009). Sitä mukaan kuin näitä tehdään voi käsitys sopivimmista jakaumista muuttua. Tällä hetkellä 3D-raoilla oletetaan olevan samankaltaiset tilastolliset ominaisuudet kuin kaksiulotteisilla havainnoilla. Kolmiulotteisessa rakoverkkomallinnuksessa tarvitaan kaksi eri kokomuuttujaa eli ellipsin suurin ja pienin säde. Kaksiulotteisessa mallinnuksessa tarvitaan vain raon pituus. Kaksiulotteisessa mallinnuksessa tarvitaan vain yksi parametri rakosuunnan simuloimiseksi. Kolmiulotteisessa rakosimuloinnissa tarvitaan kolme eri suuntaa ellipsin suunnan määrittämiseksi. Viimeiseksi simuloidaan rakojen muut ominaisuudet, jotka voidaan esittää eri väreinä kuten esimerkiksi raon karheusluokka. 3 PÄÄTELMÄT Raportissa käytiin läpi tilastollisen rakoverkkomallinnuksen lähtökohtia kirjallisuuden perusteella. Mitään yhtä ja parasta menetelmää ei ole vielä kehitetty, mutta moniin insinöörigeologisiin sovellutuksiin perinteiset tilastolliseen mallinnukseen perustuvat rakoverkkomallinnusmenetelmät ovat riittäviä. Mielenkiintoista on seurata mihin jännitystilan ja myös paleojännitystilan käyttö johtaa yhdistettynä tilastolliseen mallinnukseen. Suomen kallioperä on kokenut useita tektonisia tapahtumia ja sen kallioperä on litologialtaan usein vaikeasti ennustettavissa, joten kallion rakoverkon määrittäminen on edelleen erittäin haasteellista.
4 OHJELMISTOT Allaolevassa taulukossa luetellaan yleisesti käytettyjä rakosimulointiohjelmistoja ja niiden tärkeimpiä piirteitä. Rakosimulointi ohjelmistot FracSim3D Erityispiirteet Hyvin tilastomatemaattinen ohjelmisto, mukana erilaiset pisteprosessit, mahdollista ottaa huomioon geologinen ikärärjestys. FracMan Muistuttaa hyvin paljon geologisia 3Dohjelmistoja. Hyvin perusteellinen suuntajakaumien käsittely. Ohjelmistossa on oma 3-uloitteinen fraktaalimenetelmä rakoverkon rakentamiseksi. Geologinen ikäjärjestys, eli toisiinsa päättyvät raot ovat mukana. Hyvin monenlaisia tapoja simuloida rakojen sijaintia perustuen etäisyyksiin suuriin geologisiin ruhjevyöhykkeisiin tai siirroksiin. MOVE GOCAD lisäosa FractCar Geovariances ISATIS: Rakosimulointi omana erillisenä moduulinaan. Rakotiheys gridinä tai perustuen rakoilun intensiteettiin, mikä on johdettu kallion jännitystilasta MOVEohjelmistosssa. Raot jaetaan ryhmiin maalaamalla kaikki halutut rakosuunnat tietyssä ryhmässä. Rakojen ikäjärjestystä ei voi ottaa huomioon simuloinnissa. GOCAD lisäosa rakosimulointiin, ottaa huomioon rakojen ikäjärjestyksen. Rakotiheyden spatiaalinen jakauma määritettävä erikseen samoin rakoryhmät. Sisältää MPS-simuloinnin. Saatavuus Vapaasti ladattavissa oleva ohjelmisto, mutta lisenssi on kysyttävä tekijöiltä. Ohjelmisto on kuvattu artikkelissa Xu & Dowd (2010) Kaupallinen ohjelmisto. Kaupallinen geologinen 3D-ohjelmisto. Kaupallinen ohjelmisto, käytettävissä GOCAD-lisenssin haltijoilla. Ringkonsortio kehittää näitä GOCADin lisäosia. ISATIS on kaupallinen ohjelmisto, mutta MPS-koodi on vapaasti ladattavissa verkosta (Comunian et al. 2012)
5 KIRJALLISUUSVIITTEET Andersson, J., Shapiro, A.M. & Bear, J. 1984. A stochastic model of fractured rock conditioned by measured information. Water Resources Research 20, 79-88. Baecher, G.B. 1983. Statistical analysis of rock mass fracturing. Mathematical Geology 15 (2), 329-348. Barton, N., Lien, R. & Lunde, J. 1974. Engineering classification of rock masses for the design of rock support. Rock Mech. 6, 189-236. Bieniawski, Z. T. 1989. Engineering rock mass classification. New York, Ny, Wiley, 251 s. Billaux, D., Chiles, J.P., Hestir, K & Long, J. 1989. Three-dimensional statistical modelling of a fractured rock mass an example from the Fanay-Augères Mine International Journal of Rock Mechanics and Mining Science 26, 281 299. Bonneau, F., Henrion, V., Caumon, G., Renard, P. & Sausse, J. 2013. A methodology for Pseudo-Genetic Stochastic Modeling of discrete fracture networks. Computers and Geosciences, Volume 64,12-22. Chilès, J.P. 1988. Fractal and geostatistical methods for modelling of a fracture network. Mathematical Geology, 20 (6), 631 654. Comunian, A., Renard, P. & Straubhaar, J. 2012. 3D multiple-point statistics simulation using 2D training images. Computers & Geosciences 40, 49-65. Darcel, C., Le Goc, R. & Davy, P. 2013. Development of the statistical fracture domain methodology application to the Forsmark site. SKB R-13-54. Deer, D. U. 1963. Technical description of rock cores for engineering purposes. Rock Mech. Rock Eng. 1, 16-22. Dershowitz, W.S. 1984. Rock joint systems, Ph.D. Thesis Massachusetts Institut of Technology, Cambridge MA. Dershowitz, W.S. & Einstein, H.H. 1988. Characterizing rock joint geometry with joint system models. Rock Mechanics and Rock Engineering 21 (1), 21-51. Dershowitz, W.S. & Herda, H. 1992. Interpretation of Fracture Spacing and Intensity. Proc. 33rd. U.S. Symp. on Rock Mechanics, Balkema. Dowd, P.A., Xu, C., Mardia, K.V. & R.J. Fowell, R.J. 2007. A comparison of methods for the simulation of rock fractures. Mathematical Geology, 39, 697 714. Dowd, P.A., Martin, J., Mardia, K.V., Fowell, R.J. & Xu, C. 2009. A three-dimensional fracture network data set for a block of granite. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 46 (5), 811 818. Einstein, H.H. & Baeher, G.B. 1983. Probabilistic and statistical methods in engineering geology. Rock Mecanics and Rock Engineering 16, 39-72. Elmo, D., Rogers, S., Stead, D. & Eberhardt, E. 2014. Discrete fracture network approach to characterize rock mass fragmentation and implications for geomechanical upscaling. Mining Technology Vol 123 No 3, 149-161.
Fouché, O. & Diebolt, J. 2004. Describing the geometry of 3D fracture systems by correcting for linear sampling bias. Mathematical Geology 36 (1), 33-63. Fox, A., Forchhammer, K., Pettersson, A., La Pointe, P. & Lim, D-H. 2012. Geological Discrete Fracture Network Model for the Olkiluoto Site, Eurajoki, Finland, Version 2.0. POSIVA-raportti 2012-27. FracMan7 Manual -185-2016, Golder Associates Inc. FracMan7 Manual -185-2016, Golder Associates Inc. Gupta, A.K. & Adler, P.M. 2006. Stereological analysis of fracture networks along cylindrical galleries. Mathematical Geology 38 (3), 233-267. Hoek, E., Carter, T. G. & Diederichs, M. S. 2013. Quatification of the geological strength index chart. Proc. 47 th U.S. Symposium on Rock Mechanics (USRMS), San Francisco, CA. 13-672. Jimenez-Rodriguez, R. & Sitar, N. 2006. Inference of discontinuity trace length distributions using statistical graphical models. Inernational Journal of Rock Mechanics and Mining Science 43, 877-893. Kent, J.T. 1982. The Fisher-Bingham distribution on the sphere. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 44, 71-80. Korhonen, K-H., Gardemeister, R., Jääskeläinen, H., Niini, H. ja Vähäsarja, P. 1974. Rakennusalan kallioluokitus. Valtion teknillinen tutkimuskeskus 12, Otaniemi, 78. Kulatilake, P.H.S.W., Um, J., Wang, M., Escandon, R.F. & Narvaiz, J. 2003. Stochastic fracture geometry modeling in 3D including validations for a part of Arrowhead East Tunnel, California, USA. Engineering Geology 70, 131 155. La Pointe, P.R. 2002. Derivaton of parent fracture population statistics from trace length measurements of fractal fracture populations. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science 39, 381-388. Laslett, G.M. 1982. Censoring and edge effects in areal and line transect samling of rock joint traces. Mathematical Geology 14 (2), 125-140. Lee, J.S., Veneziano, D. & Einstein, H.H. 1990. Hierarchical fracture trace model, In: Hustrulid, W., Johnson, G.A. (Eds.), Rock Mechanics Contributions and Challenges; Proceedings of the 31st US Rock Mechanics Symposium, Balkema, Rotterdam, 261 268. Long, J.C.S., Rerer, J.S., Wilson, C.R. & Witherspoon, P.A. 1982. Porous media equivalents for networks of discontinuous fractures. Water Resources Research 18 (3), 645-658. Mandelbrot, B.B. 1985. Self-affine fractals and fractal dimension. Phys. Scr. 32, 257-260. Mardia, K.V. 1972 Statistics of the Directional Data. Academic Press Inc. (London) LTD. Ozkaya, S.I. & Mattner, J. 2003. Fracture connectivity from fracture intersections in borehole image logs. Computers and Geosciences 29, 143-153. Priest, S.D. & Hudson, J.A. 1981. Estimation of discontinuity spacing and trace length using scanline surveys. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science 18, 181-197. Riikilä, T.,Tallinen, T., Åström, J. & Timonen, J. 2015. A discrete-element model for viscoelastic deformation and fracture of glacial ice. Computer Physics Communications 195, 14-22.
Robinson, P.C. 1983. Connectivity of fracture systems a percolation theory approach. Journal of Physics A: Mathematical and General 16, 605-614. Sahimi, M. 1993. Flow phenomena in rocks: from continuum models to fractals, percolation, cellular automata and simulating annealing. Reviews of Modern Physics 65 (4), 1393-1534. Strebelle, S. 2002. Conditional Simulation of Complex Geological Structures Using Multiple-Point Statistics Mathematical Geology, 34(1) 1-21. Villaescusa, E. & Brown, E.T. 1992. Maximum likelihood estimation of joint size from trace length measurements. Rock Mechanics and Rock Engineering 25, 67-87. Viruete, J.E., Carbonell, R., Martí, D. & Pérez-Estaún, A. 2003. 3D stochastic modelling and simulation of fault zones in the Albalá granitic pluton, SW Iberian Variscan Massif. Journal of Structural Geology, 25, 1487 1506. Warburton, P.M. 1980. A stereographical interpretation of joint trace data. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science 17, 181 190 Xu, C., Dowd, P.A., Mardia, K.V. & Fowell, R.J. 2003. Parametric point intensity estimation for stochastic fracture modeling LUMA (Leeds University Mining Association) Journal 16, 85 93. Xu, C. & Dowd, P.A. 2010. A new computer code for discrete fracture network modelling. Computers & Geosciences 36 (3), 292 301. Young, D.S. 1987. Indicator Kriging for unit vectors: rock joint orientations. Mathematical Geology, 19 (6), 481 501. Zhang,L. & Einstein, H.H. 2000. Estimating the intensity of rock discontinuities. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science 37, 819-837.