Lineaarialgebran kursseilla on tarkoitus oppia mm.

LUKIJALLE Lineaarialgebran kursseja edeltäviksi opinnoiksi suositellaan jotain lukion matematiikkaa teoreettiselta kannalta täydentävää kurssia, esimerkiksi Matematiikan johdantokurssia, jossa matematiikan perusasioita selvitellään huomattavasti abstraktimmalla tasolla kuin mitä asioita on koulussa käsitelty Osallistujilla odotetaan olevan mm perustiedot ja -taidot funktioista sekä järjestys- ja ekvivalenssirelaatioista Kurssiin liittyy jonkin verran pakollisia tietokonedemonstraatioita, joista osassa keskitytään oppimaan uusia käsitteitä vuorovaikutteisten tehtäväarkkien avulla, ja osassa opetellaan lineaaristen struktuurien käsittelyä matematiikan tietokoneohjelmilla (Maple/Matlab) Nämä eivät kuitenkaan edellytä varsinaisten ohjelmointikielten tuntemusta Lineaarialgebran kursseilla on tarkoitus oppia mm ratkaisemaan lineaarisia yhtälöryhmiä (osa a) vektori- ja matriisilaskentaa (osa a) lineaariavaruuksien rakennetta ja teoriaa (osa a) lineaarikuvausten toimintaa ja teoriaa (osa b) sisätuloavaruuksien ominaisuuksia (osa b) ominaisarvojen ja -vektorien laskeminen (osa b) matriisin diagonalisointi ja neliömuototyypit (osa b) tietokoneen käyttöä lineaarialgebrassa (osat a ja b) edellisten tietojen ja taitojen soveltamista (osat a ja b) Kurssin pedagogisena tarkoituksena on tutustuttaa opiskelija paitsi konkreettiseen vektori- ja matriisilaskentaan sekä vektoriavaruuksiin, myös abstraktiin lineaariavaruuksien teoriaan Tämä aksiomaattinen, puhtaasti joukko-oppiin ja logiikkaan perustuva teoria on ideaalinen esimerkki yhtaikaa käyttökelpoisesta mutta silti verrattain yksinkertaisesta struktuurista Kurssin toivotaankin kehittävän käsitteenmuodostus- ja abstrahointitaitoa sekä harjaannuttaa näkemään jo ennestään tuttuja asioita uudesta näkökulmasta Oppikirjana tai oheismateriaalina voi käyttää esimerkiksi teosta Leon, Steven J: Linear algebra with applications, third edition - Macmillan, New York, 990 tai myöhempi, luvut -6 (-3 osa a, 4-6 osa b) Joensuussa 6 tammikuuta 207 Martti E Pesonen

MERKINNÄT Kurssilla käytetään normaaleja logiikan merkintöjä: negaatio ja konnektiivit: ei, tai, ja, seuraa, yhtäpitävää kvanttorit: on olemassa, kaikilla, joukko-opin merkinnät: tyhjä joukko, kuuluu joukkoon, osajoukko joukko-operaatiot: joukon A komplementti A, joukkojen yhdiste, leikkaus, erotus \, tulo(joukko) Merkinnällä X := lauseke asetetaan symbolille X arvo lauseke Z, Q, R ja C ovat kokonaislukujen, rationaalilukujen, reaalilukujen ja kompleksilukujen joukot Luonnollisten lukujen joukko N on tässä aidosti positiiviset kokonaisluvut ja N 0 := N {0} Lisäksi käytetään nk lukumääräjoukkoa {, kun n = 0 [n] := {, 2, 3,,n}, kun n N A + tarkoittaa joukon A aidosti positiivista osaa Isot kirjaimet A, B, C, edustavat tällä kurssilla yleensä matriiseja; U, V, W, vektorijoukkoja tai lineaariavaruuksia ja L, M, lineaarikuvauksia Pienet ja kreikkalaiset kirjaimet ovat yleensä alkioita tai lukuja Lihavoidut pienet kirjaimet ovat vektoreita; käsin kirjoitettuna ne on syytä alleviivata (u) Kalligrafiset kirjaimet P, C,, tarkoittavat tavallisesti jotakin funktiojoukkoa; kuitenkin K tarkoittaa vektoriavaruuden kerroinkuntaa, joka yleensä on R tai C Jos n N, niin n-ulotteisten vaakavektorien joukko on K n = {(x,x 2,,x n ) x k K}

Sisältö JOHDANTOA KERTAUSTA 0 Vektorit ja yhtälöt 0 2 Geometrinen näkökulma 2 3 Vektoreilla laskemisesta n-ulotteisessa avaruudessa 5 4 Ratkaisuja tehtäviin 6 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 8 2 Yhtälö ja yhtälöryhmä 8 22 Lineaariset yhtälöryhmät 9 23 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 27 24 Ratkaisuja tehtäviin 36 3 MATRIISILASKENTAA 40 3 Karteesinen tulo ja matriisi 40 32 Matriisioperaatioita ja nimityksiä 4 33 Laskusääntöjä 45 34 Yhtälöryhmä matriisimuodossa 53 35 Ratkaisuja tehtäviin 56 4 ANALYYTTISTÄ GEOMETRIAA 60 4 Suorat tasossa 60 42 Tasot avaruudessa 62 43 Ratkaisuja tehtäviin 66 5 KÄÄNTEISMATRIISI 70 5 Käänteismatriisin määrittely 70 52 Laskusääntöjä 72 53 Alkeisoperaatiot ja alkeismatriisit 73 54 Yhtälöryhmän ratkaisuista 80 55 Eliminointimenetelmä 82

SISÄLTÖ 5 56 Alimatriisit ja lohkotulot 84 57 Ratkaisuja tehtäviin 90 6 DETERMINANTTI 92 6 Determinantin määritelmä 92 62 Determinantin kehittäminen 95 63 Determinanttien laskusääntöjä 97 64 Alkeismatriisien determinantit 00 65 Determinantti ja säännöllisyys 0 66 Tulon determinantti 02 67 Eliminointimenetelmä 03 68 Laskutoimitusten määristä 04 69 *Lohkomatriisien determinanteista 06 60 Ratkaisuja tehtäviin 08 7 LIITTOMATRIISI JA CRAMERIN SÄÄNTÖ 0 7 Kofaktori- ja liittomatriisi 0 72 Käänteismatriisin laskeminen liittomatriisin avulla 73 Yhtälöryhmän ratkaisu Cramerin säännöllä 3 74 Ratkaisuja tehtäviin 6 8 SOVELLUTUKSIA 8 8 Lineaarisista malleista 8 82 Lineaarinen yhtälöryhmä mallina 9 83 Kysyntä tarjonta -malleja 22 84 Matriiseilla mallintamisesta 24 85 Käänteismatriisin käyttöä 26 86 Ratkaisuja tehtäviin 28 9 LINEAARIAVARUUS 32 9 Joukon sisäinen laskutoimitus 32 92 Skaalaus eli ulkoinen laskutoimitus 34

6 SISÄLTÖ 93 Lineaariavaruuden määritelmä 35 94 Määritelmän seurauksia 38 95 Omituisempia esimerkkejä 4 96 Ratkaisuja tehtäviin 44 0 ALIAVARUUDET 50 0 Aliavaruuden määrittely 50 02 Polynomi- ja funktioavaruuksia 52 03 Aliavaruuksien summa 53 04 Vektorijoukon virittämä aliavaruus 55 05 Virittävän joukon sieventämisestä 57 06 Ratkaisuja tehtäviin 59 LINEAARINEN RIIPPUMATTOMUUS 62 Riippumattomuuden määritelmä 62 2 Ominaisuuksia 64 3 Lineaarinen riippumattomuus ja singulaarisuus 66 4 Funktioiden lineaarinen riippuvuus 67 5 Yksikäsitteisyydestä 69 6 Suora summa 69 7 Analyyttistä geometriaa tason yhtälö 70 8 Ratkaisuja tehtäviin 73 2 KANTA, KOORDINAATIT JA DIMENSIO 76 2 Kanta ja koordinaatit 76 22 Kantavektorien lukumäärä 77 23 Kannan olemassaolo 79 24 Dimensio 80 25 Aliavaruuksien dimensioista 82 26 Kannaksi täydentäminen 83 27 Ratkaisuja tehtäviin 84

SISÄLTÖ 7 3 MATRIISIIN LIITTYVÄT ALIAVARUUDET 86 3 Matriisin nolla-avaruus 86 32 Rivi- ja sarakeavaruudet 87 33 Lineaarisista yhtälöryhmistä dimensiolause 9 34 Ratkaisuja tehtäviin 93 4 LINEAARIKUVAUS 94 4 Lineaarikuvauksen määrittely 94 42 Tason lineaarikuvauksia 96 43 Lineaarikuvauksia R n R m 98 44 Muita esimerkkejä 200 45 Ratkaisuja tehtäviin 202 5 LINEAARIKUVAUS JA ALIAVARUUDET 204 5 Aliavaruuksien säilyminen 204 52 Bijektiiviset lineaarikuvaukset 206 53 Dimensiolause 209 54 Dimension säilyminen 22 55 Isomorfisuus 24 56 Ratkaisuja tehtäviin 26 6 LINEAARIKUVAUKSEN MATRIISIESITYS 28 6 Kuvaukset R n R m (luonnolliset kannat) 28 62 Yleinen tapaus 220 63 Erikoistapaus R n R m 226 64 Ytimet ja kuva-avaruudet 228 65 Lineaarikuvausten yhdistäminen 229 66 Yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen määristä 230 67 Ratkaisuja tehtäviin 232 7 LINEAARIAVARUUDEN KANNANVAIHTO 236 7 Yleinen tapaus 236

8 SISÄLTÖ 72 Kannanvaihto avaruudessa R n 240 73 Ratkaisuja tehtäviin 242 8 SISÄTULOAVARUUS 244 8 Sisätulon määritelmä 244 82 Normi ja metriikka 247 83 Metrinen avaruus ja normiavaruus 25 84 Ratkaisuja tehtäviin 252 9 ORTOGONAALISET JOUKOT PROJEKTIOT 254 9 Kulman määrittely 254 92 Ortogonaalinen joukko ortonormaalisuus 257 93 Projektiot 258 94 Projektiot aliavaruuksiin 260 95 Gram-Schmidtin ortonormitusmenetelmä 26 96 Sovellutuksia pisteen etäisyys 264 97 Ratkaisuja tehtäviin 266 20 ORTONORMAALIT KANNAT JA MATRIISIT 270 20 Ortonormaali kanta 270 202 Ortogonaalinen matriisi 272 203 Isometrinen lineaarikuvaus 273 204 Ratkaisuja tehtäviin 274 2 ORTOGONAALISET ALIAVARUUDET JA PNS MENETELMÄ 276 2 Ortogonaalinen komplementti 276 22 Matriisin määräämät ortogonaaliset avaruudet 279 23 Pienimmän neliösumman ratkaisu 280 24 Normaaliyhtälö 282 25 PNS ja 3 2-yhtälöryhmän geometrinen tulkinta 283 26 PNS ja yhtälöryhmät yleensä 285 27 Ratkaisuja tehtäviin 286

SISÄLTÖ 9 22 KÄYRÄN SOVITUS PNS-MENETELMÄLLÄ 290 22 Interpolaatio ekstrapolaatio 290 222 Polynomin sovittaminen pistejoukkoon 29 223 Ratkaisuja tehtäviin 296 23 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 298 23 Lineaarikuvauksen ominaisarvot ja ominaisvektorit 298 232 Matriisin ominaisarvot ja -vektorit 30 233 Karakteristinen yhtälö 303 234 Ratkaisuja tehtäviin 30 24 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 32 24 Ominaisarvot ja lineaarinen riippumattomuus 32 242 Diagonalisoituvuus 33 243 Ratkaisuja tehtäviin 38 25 SYMMETRISET MATRIISIT JA SPEKTRAALILAUSE 320 25 Symmetrisen matriisin ominaisarvoista 320 252 Spektraalilause symmetrisille reaalimatriiseille 32 253 Symmetristen matriisien luokittelu 322 254 Ratkaisuja tehtäviin 324 26 NELIÖMUODOISTA 326 26 Neliömuoto 326 262 Neliömuotojen luokittelu 327 263 Pääakseliongelma 330 264 Ratkaisuja tehtäviin 334 A LIITE: Algebrallisista rakenteista 336 A Ryhmä 336 A2 Kunta 338

JOHDANTOA KERTAUSTA Vektorit ja yhtälöt Lineaarialgebran perusolioita ovat mm vektorit ja matriisit sekä niiden lineaarikombinaatiot eli lineaariset yhdistelmät Lineaarikombinaatio on äärellinen summa c X + c 2 X 2 + + c n X n missä c, c 2,, c n ovat skalaareja (reaali- tai kompleksilukuja) ja x, x 2,, x n ovat vektoreita (tai matriiseja); esimerkiksi reaalilukuja, kompleksilukuja, abstrakteja vektoreita, avaruuden R n vektoreita, funktioita, lukujonoja, suppenevia sarjoja, jne Muotoa c X + c 2 X 2 + + c n X n = Y oleva yhtälö, missä symbolit edustavat c i ovat tunnettuja skalaareja ja Y on tunnettu vektori, on n:n tuntemattoman (lineaarinen) vektoriyhtälö Yhtä hyvin vektorit x i voivat olla tunnettuja ja skalaarit c i tuntemattomia, tai tuntemattomista osa voi olla skalaareja, osa vektoreita Esimerkki Ratkaise vektori (x,y) R 2 yhtälöstä a) 2(x,y) = (3, 4) b) 3(x,y) + 4(2y, 3x) = (, 2) Ratkaisut a) Tässä tarvitsee tietää mitä tarkoittaa skalaarilla kertominen eli skaalaus ja vektorien samuus (=) Vektoriyhtälö palautuu tavallisten yhtälöiden ryhmäksi: 2(x,y) = (3, 4) { (2x, 2y) = (3, 4) 2x = 3 { 2y = 4 x = 3 y = 2 Siis (x,y) = ( 3, 2) = (3, 4) 2 2 b) Tähän sisältyy myös vektorien yhteenlaskua: 3(x,y) + 4(2y, 3x) = (3x, 3y) + (8y, 2x) = (3x + 8y, 3y + 2x) = (, 2)

Vektorit ja yhtälöt { 3x + 8y = { 3y + 2x = 2 2x 32y = 4 { 2x + 3y = 2 2x 32y = 4 { 29y = 2 y = 2 29 x = 3 (32y 4) = 2 87 Siis (x,y) = ( 3 87, 2 29 ) Esimerkki 2 Ratkaise vektorit (x,y) ja (u,v) R 2 vektoriyhtälöryhmästä { (x,y) + 2(u,v) = (, 3) 2(x, y) + 3(u, v) = (2, ) Ratkaisu Kirjoitetaan yhtäpitäväksi koordinaateittaiseksi vektoriyhtälöryhmäksi { (x + 2u,y + 2v) = (, 3) (2x + 3u, 2y + 3v) = (2, ) joka puolestaan on ekvivalentti skalaariyhtälöryhmän x + 2u = y + 2v = 3 2x + 3u = 2 2y + 3v = kanssa Tässä kannattaa ryhmitellä yhtälöt kahteen ryhmään, joissa kummassakin on vain kaksi tuntematonta: x + 2u = 2x + 3u = 2 y + 2v = 3 2y + 3v = eli (x,y) = (7, 7) ja (u,v) = ( 4, 5) x = 7 u = 4 y = 7 v = 5 Lineaariset vektoriyhtälöt johtavat siis luonnollisella tavalla skalaariyhtälöiden muodostamaan yhtälöryhmään

2 JOHDANTOA KERTAUSTA 2 Geometrinen näkökulma Lineaarinen kahden tuntemattoman x ja y yhtälö voidaan aina saattaa muotoon ax + by = c, mikä analyyttisen geometrian mielessä vastaa suoraa tasossa R 2 Kahden suoran yhteiset pisteet selviävät näiden suorien yhtälöiden muodostamasta yhtälöryhmästä { ax + by = c dx + ey = f Sen ratkaisuksi on tunnetusti kolme mahdollisuutta: ei lainkaan ratkaisua, jolloin suorat ovat yhdensuuntaiset, mutteivät samat, yksi piste (x,y ), suorien leikkauspiste, kokonainen suora, jolloin yhtälöt esittävätkin samaa suoraa Mikäli yhtälöitä on enemmän kuin kaksi (Kuva ), ratkaisuja ei tavallisesti ole, mutta silloinkin voidaan yleensä laskea eräänlainen kompromissiratkaisu, nk pienimmän neliösumman ratkaisu (PNS), ks Luku 2 Kuva : Kaksi tuntematonta, kolme yhtälöä, ei ratkaisua Tehtävä 2 Piirrä xy-tasoon seuraavat suorat ja määritä niiden leikkauspisteet (tai yleisemmin niiden yhteiset pisteet): a) y = x + ja y = 2x + 3 b) x + y = 2 ja x 2y = 2 c) x y = 2 ja x + y = d) x y = 2 ja y = x 2 e) x y =, 2x + y 3 = 0 ja y = 2x + 3 f) y = x +, y = x + ja y = 0 Ratkaisut sivulla 6

2 Geometrinen näkökulma 3 Koulussa opittu tapa ratkaista yhtälöryhmiä niin, että ratkaistaan joistakin yhtälöistä tietyt tuntemattomat muiden suhteen ja sijoitetaan jäljellä oleviin yhtälöihin, ei ole mielekäs suurten (n,m > 2) lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen Sen sijaan keino, jossa yhtälöitä kerrotaan sopivilla nollasta eriävillä luvuilla ja yhtälöitä lasketaan puolittain yhteen tai vähennetään toisistaan tuntemattomien eliminoimiseksi, on läheistä sukua niin kutsutulle Gaussin eliminointimenetelmälle, joka on eräs kurssin keskeisimmistä työkaluista Menetelmässä yhdistetään edelliset kaksi operaatiota muotoon yhtälöstä vähennetään toisen monikerta, mikä nopeuttaa prosessia Menetelmän yleinen muoto esitetään Luvussa 23, mutta otetaan tässä valmisteleva esimerkki Prosessin ensimmäinen vaihe on esimerkiksi seuraava: { { ax + by = c R a x + b y = c R A R dx + ey = f R 2 d x + e y = f R 2 R 2 A 2 R missä luvut A ja A 2 valitaan niin, että a = ja d = 0 Sitten edelleen nollataan b :n kohdalla oleva luku ja skaalataan e :n kohdalla oleva luku ykköseksi Oheinen vuorovaikutteinen Javasketchpad-animaatio johtaa konkreettisella tavalla Gaussin eliminointiprosessiin (jopa Gauss-Jordanin prosessiin, jossa eliminoidaan kaikki mahdollinen!), katso Luku 23 Suorat tasossa (linkki JavaSketchpad-animaatioon) http://wandaueffi/matematiikka/kurssit/lineaarialgebra/ Kurssimateriaali/LAText/2DSuorathtm Esimerkki 22 Ratkaistaan yhtälöryhmä { 2x 3y = 7 3x + 5y = 3 Merkitään yhtälöryhmän rivejä symboleilla R i ja kirjoitetaan muunnettujen rivien perään kuinka yhtälö on saatu edellisestä muodosta Kun tässä jälkimmäisestä vähennetään edellinen puolitoistakertaisena: { 2x 3y = 7 R 3x + 5y = 3 R 2 { 2x 3y = 7 R R (3 3 2 2)x + (5 3 2 ( 3))y = 3 3 2 7 R 2 R 2 3 2 R on jälkimmäisestä nollattu tuntemattoman x kerroin, eli x on eliminoitu Alkuperäisellä yhtälöryhmällä on edelleen samat ratkaisut kuin yhtälöryhmillä { { 2x 3y = 7 R x 3 9 y = 2 57 R y = 7 R 2 2 2 R 2 2 y = 3 R 2 2 9 R 2 Ratkaisuksi saadaan näin (x, y) = (4, 3)

4 JOHDANTOA KERTAUSTA Tehtävä 23 Piirrä x x 2 -tasoon seuraavien yhtälöiden ratkaisut Mitkä ovat vastaavien yhtälöryhmien ratkaisut? a) x + x 2 = 2 ja x x 2 = 2 b) x + x 2 = 2 ja x + x 2 = c) x + x 2 = 2 ja x x 2 = 2 Ratkaisu sivulla 7 Vastaavasti lineaarinen yhtälö ax + by + cz = d esittää xyz-avaruuden tasoa Useamman tason leikkauspiste (x,y,z ) on siten näiden tasojen yhtälöiden muodostaman yhtälöryhmän ratkaisu, mikäli näitä on vain yksi Jos ratkaisuja on äärettömästi, on ratkaisujoukko suora tai taso (katso Luku 22) Tehtävä 24 Onko tasoilla a) 2x + y z = 0 ja x y + 2z = b) 2x + y z = 0, x y + 2z = ja 3x y = 2 yhteisiä pisteitä? Ratkaisu sivulla 7

3 Vektoreilla laskemisesta n-ulotteisessa avaruudessa 5 3 Vektoreilla laskemisesta n-ulotteisessa avaruudessa Joukkoa R n varustettuna vektorien alkioittaisella yhteenlaskulla ja vakiolla (skalaarilla) kertomisella (x,x 2,,x n ) + (y,y 2,,y n ) := (x +y,x 2 +y 2,x n +y n ) α(x,x 2,,x n ) := (αx,αx 2,,αx n ) sanotaan n-ulotteiseksi euklidiseksi avaruudeksi Vektoreiden piste- eli skalaaritulo (dot product, scalar product) on koordinaateittain muodostettujen tulojen summa (x,x 2,,x n ) (y,y 2,,y n ) := n x i y i i= ja vektorin normi eli pituus on (x,x 2,,x n ) := n x 2 i i= Normin neliö on täten vektorin pistetulo itsensä kanssa Esimerkki 3 Lasketaan vektorien (, 3, 2) ja ( 6, 2, ) pistetulo ja normit Merkitään x := (, 3, 2) ja y := ( 6, 2, ) Silloin x y = (, 3, 2) ( 6, 2, ) = ( 6) + 3 2 + 2 = 2 x 2 = + 3 3 + 2 2 = 4 x = 4 y 2 = ( 6) ( 6) + 2 2 + = 4 y = 4 Normin kaava voidaan tulkita Pythagoraan lauseen yleistykseksi, miten? Kurssilla käsitellään myös jonkin verran kompleksilukuja ja -vektoreita, erityisesti kurssin loppupuolella

4 Ratkaisuja tehtäviin Tehtävä 2: a) (2/3, 5/3), b) (2, 0), c) eivät leikkaa, d) suora y = x 2, e) (2/3, 5/3), f) leikkaavat vain pareittain, pisteissä (, 0), (, 0) ja (0, ) 4 3 y2 4 3 2 0 2 3 4 x 2 3 4 4 3 y2 4 3 2 0 2 3 4 x 2 3 4 a) suorat y = x + ja y = 2x + 3 b) suorat x + y = 2 ja x 2y = 2 4 3 y2 4 3 2 0 2 3 4 x 2 3 4 4 3 y2 4 3 2 0 2 3 4 x 2 3 4 c) suorat x y = 2 ja x + y = d) suorat x y = 2 ja y = x 2 4 3 y2 4 3 2 0 2 3 4 x 2 3 4 4 3 y2 4 3 2 0 2 3 4 x 2 3 4 e) suorat x y =, 2x + y 3 = 0 f) suorat y = x +, y = x + ja y = 2x + 3 ja y = 0

4 Ratkaisuja tehtäviin 7 Tehtävä 23: Yhtälöryhmien ratkaisut ovat (ks Kuva 2) a) (0, 2), b) ei ratkaisua, c) suora x + x 2 = 2 x - x = 2 2 x + x = 2 2 x + x = 2 Kuva 2: Tehtävän 23 suorat Tehtävä 24: a) Kertomalle ensimmäinen yhtälö kahdella ja vähentämällä alemmasta ylempi puolittain saadaan { { x y + 2z = x y + 2z = 2x + y z = 0 3y 5z = 2 Tästä näkyy, että esimerkiksi z saa olla mielivaltainen, z R, ja siten (ääretön) ratkaisujoukko tasojen leikkausjoukko on suora, jonka pisteet ovat muotoa x = z 3 3 y = 2 + 5 3 3 z z R b) On yksi, sillä sopivilla kertomis- ja vähentelyoperaatioilla saadaan x y + 2z = x y + 2z = 2x + y z = 0 3y 5z = 2 3x y = 2 2y 6z = x y + 2z = 3y 5z = 2 8 z = 3 3 3 x = 8 y = 7 8 z = 8

2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 2 Yhtälö ja yhtälöryhmä Sovitaan aluksi muutamista yleisistä yhtälöryhmiä koskevista nimityksistä: Olkoon J R n ja F : J R funktio Muotoa F(x,x 2,,x n ) = 0 oleva ilmaus on (reaalinen) n tuntemattoman yhtälö tuntemattomina arvoina x, x 2,, x n Vastaavasti voidaan puhua kompleksisista ym yhtälöistä riippuen siitä, millaisia arvoja tuntemattomille sallitaan Yhtälöryhmäksi sanotaan yhden tai useamman (äärellisen monen) yhtälön sisältävää kokonaisuutta F (x,x 2,,x n ) = 0 F 2 (x,x 2,,x n ) = 0 F m (x,x 2,,x n ) = 0 Jos yhtälöryhmä sisältää yhteensä n tuntematonta x,x 2,,x n, sen (yksittäisellä) ratkaisulla tarkoitetaan sellaista n luvun järjestettyä jonoa (x,x 2,,x n), jonka jäsenien sijoittaminen tuntemattomien paikalle toteuttaa yhtälöryhmän kaikki yhtälöt Yhtälöryhmän ratkaiseminen tarkoittaa sen kaikkien ratkaisujen etsimistä Yhtälöryhmän kaikkien ratkaisujen joukkoa {(x,x 2,,x n) F i (x,x 2,,x n) = 0, i =, 2, 3,,m} sanomme sen ratkaisuksi tai ratkaisujoukoksi Yhtälöryhmällä voi olla yksi tai useampia ratkaisuja tai ei ollenkaan ratkaisua Kaksi yhtälöryhmää ovat keskenään yhtäpitäviä eli ekvivalentteja, jos niissä esiintyy täsmälleen samat tuntemattomat ja niillä on tarkalleen samat ratkaisut Esimerkki 2 a) Yhtälön x 2 x = 3 määrää funktio F : R R, F(x) := x 2 x 3 b) Yhtälöryhmän { x ln y = 2 2x + ln y = 3 määräävät funktiot F,F 2 : R ]0, [ R, F (x,y) = x ln y 2 F 2 (x,y) = 2x + lny 3 ()

22 Lineaariset yhtälöryhmät 9 Tehtävä 22 Esitä yhtälöryhmä x 2 + x + y = z x + y + z = 0 z y 2 = sopivien funktioiden avulla muodossa () Ratkaisu sivulla 36 22 Lineaariset yhtälöryhmät Kaikilla tieteenaloilla esiintyy ongelmia, joita kuvaamaan sopii jokin lineaarinen yhtälö tai yhtälöryhmä Ongelma voi olla sellainen, että yhtälöryhmän ratkaisu antaa tarkan, yleispätevän tuloksen Useat konkreettiset ongelmat ovat kuitenkin epälineaarisia tai niin monimutkaisia, että mallia muodostettaessa joudutaan tekemään yksinkertaistuksia Näille muodostettu lineaarinen malli on approksimatiivinen ja vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu on pätevä vain tietyllä tarkkuudella ja rajoitetuilla muuttujien arvoilla Nykyään yhä suurempia yhtälöryhmiä voidaan ratkaista tarkasti tietokoneilla Kuitenkin suuret yhtälöryhmät ratkaistaan edelleen erilaisilla numeerisilla menetelmillä, joiden käsittely kuuluu numeerisen lineaarialgebran piiriin (katso esimerkiksi Leon, Luku 7) Määritelmä 22 Olkoot luvut a ij ja b j tunnettuja ja luvut x i tuntemattomia Yhtälöryhmää a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = b m sanotaan m yhtälön ja n tuntemattoman x i lineaariseksi yhtälöryhmäksi (system of linear equations), jatkossa lyhyemmin (lineaariseksi) m n-yhtälöryhmäksi Luvut a ij ovat yhtälöryhmän kertoimia (coefficient) Lineaarinen yhtälöryhmä on homogeeninen, jos luvut b j ovat nollia, muutoin epähomogeeninen Jos m = n, yhtälöryhmä on kvadraattinen Luvussa 23 opetellaan systemaattinen yleispätevä ratkaisumenetelmä, niin kutsuttu Gaussin eliminointimenetelmä, joka on (lähes) sellaisenaan ohjelmoitavissa tietokoneelle Tätä ennen kuitenkin tutustutaan menetelmässä käytettyihin operaatioihin ja koetetaan havainnollistaa niiden merkitystä

20 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Tehtävä 222 Mitkä seuraavista ovat lineaarisia yhtälöitä a) 2x 3y = 0 b) 2x 3y = 3 c) 2x 3y = z d) 2x + xy y = 0? Ratkaisu sivulla 36 Tehtävä 223 Esitä Tehtävän 222 kolmen ensimmäisen yhtälön muodostama yhtälöryhmä funktioiden avulla muodossa () Ratkaisu sivulla 36 3 3-yhtälöryhmän geometrinen tulkinta Yhtälöryhmän { a x + a 2 x 2 = b a 2 x + a 22 x 2 = b 2 yhtälöt esittävät x x 2 -tason suoria Yhtälöryhmän mahdollinen ratkaisu on näiden suorien leikkauspiste tai kokonainen suora, mikäli yhtälöt esittävät samaa suoraa Tällöin yhtälöt ovat verrannolliset, ts toinen saadaan toisesta kertomalla vakiolla Lineaarinen kolmen tuntemattoman x, x 2 ja x 3 yhtälö voidaan aina saattaa muotoon a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b, mikä analyyttisen geometrian mielessä vastaa tasoa avaruudessa R 3 Kaksi tällaista yhtälöä muodostaa yhtälöryhmän { a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 ja sen ratkaisuksi on tunnetusti kolme mahdollisuutta: ei lainkaan ratkaisua, jolloin tasot ovat yhdensuuntaiset, mutteivät samat tasojen leikkaussuora kokonainen taso, jolloin yhtälöt esittävät samaa tasoa

22 Lineaariset yhtälöryhmät 2 Kolmen yhtälön tapaus a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 eroaa olennaisesti edellisistä vain siinä, että ratkaisuna voi olla myös tasan yksi avaruuden piste (x,x 2,x 3 ) Kuvassa 3 esiintyvät erilaiset perustapaukset, joissa ratkaisuja on, ja Kuvassa 4 ne, joissa ratkaisuja ei ole Kuva 3: Kolme tuntematonta, kolme yhtälöä, ratkaisuja on Kuva 4: Kolme tuntematonta, kolme yhtälöä, ei ratkaisuja Maple-työarkki tasoista (linkki) http://wandaueffi/matematiikka/kurssit/lineaarialgebra/ Kurssimateriaali/LAText/Tasotmws

22 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Yhtälöryhmän alkeismuunnokset Lineaarinen yhtälöryhmä kannattaa opetella ratkaisemaan järjestelmällisesti muokkaamalla se sopivien alkeismuunnosten välityksellä sellaiseen ekvivalenttiin muotoon, josta ratkaisut mikäli niitä on ovat helposti laskettavissa Seuraavien alkeisoperaatioiden käyttäminen muuntaa yhtälöryhmän toiseen yhtäpitävään muotoon: I Vaihdetaan yhtälöiden järjestystä II Yhtälö kerrotaan nollasta eriävällä luvulla III Yhtälöön lisätään toisen yhtälön monikerta Periaatteessa kussakin vaiheessa suoritetaan vain yksi alkeisoperaatio kerrallaan Kirjoitusvaivan vähentämiseksi operaatioita voi tehdä samanaikaisesti useita, mutta tällöin on muistettava: Varoitus! Jos operaatiota III käytetään tiettyyn välimuotoon useita kertoja, kutakin yhtälöparia saa käyttää vain kerran (miksi?) Kun prosessi suoritetaan jäljempänä esiteltävällä Gaussin eliminointimenetelmällä tai Gauss-Jordanin reduktiolla, ei vaaraa ole Tehtävä 224 (Varoittava esimerkki) Mitä tehdään väärin seuraavassa: { { x y = 3 R 2y = 4 R R R 2 x + y = 7 R 2 { 2y = 4 R 2 R 2 R x R y = 2 Mikä on oikea ratkaisu? Ratkaisu sivulla 36 Tehtävä 225 Ratkaise alkeisoperaatioita käyttäen yhtälöryhmät a) c) { 4x + 2y = 3 5x 3y = 4 Ratkaisu sivulla 36 s + t = 2 s t = 3s + t = b) d) { 3x 2y + 5z = 2 2x + 3y 8z = 34 3x 2x 2 + x 3 = 2 7x + x 2 8x 3 = 5 x + x 2 x 3 = 0 Tehtävä 226 Mitä Tehtävän 225 yhtälöt, yhtälöryhmät ja niiden ratkaisut tarkoittavat geometrisesti tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa?

22 Lineaariset yhtälöryhmät 23 Määritelmä 227 Yhtälöryhmä c x + c 2 x 2 + + c n x n = d c 2 x + c 22 x 2 + + c 2n x n = d 2 c m x + c m2 x 2 + + c mn x n = d m on porrasmuodossa (row echelon (or staircase) form), jos sen kertoimille c ij pätee: () jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eriävä kerroin on, (2) jos rivillä k kaikki kertoimet eivät ole nollia, niin rivin k + alkupäässä on kertoimina aidosti enemmän nollia kuin rivin k alkupäässä, (3) pelkkiä nollia kertoiminaan sisältävät rivit ovat viimeisinä Yhtälöryhmä on redusoidussa porrasmuodossa, jos se on porrasmuodossa ja (4) kunkin rivin ensimmäinen nollasta eriävä kerroin on sarakkeensa ainoa nollasta eriävä kerroin Esimerkki 228 Yhtälöryhmä x + 2x 3 + 6x 5 = 3 x 2 + 7x 3 + 2x 5 x 6 = 2 x 4 + 5x 6 = 3 0 = a missä a on reaalivakio, on redusoidussa porrasmuodossa Tällä yhtälöryhmällä on ratkaisuja jos ja vain jos a = 0 Porrasmuodon kunkin rivin ensimmäistä nollasta poikkeavaa kerrointa sanotaan johtavaksi kertoimeksi (leading coefficient) tai johtavaksi alkioksi Vastaava tuntematon on johtava tuntematon (tai johtava muuttuja) Muut tuntemattomat ovat vapaita tuntemattomia (tai vapaita muuttujia) Tehtävä 229 Selvitä Esimerkin 228 yhtälöryhmän johtavat ja vapaat tuntemattomat Ratkaisu sivulla 36 Yhtälöryhmä on kolmiomuodossa, jos se on kvadraattinen (n = m) ja kullakin rivillä k ovat k ensimmäistä kerrointa nollia, mutta c kk 0

24 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Esimerkki 220 Yhtälöryhmä 5x + 2x 2 + x 3 = 2 2 x 2 x 3 = 7x 3 = 2 on kolmiomuodossa, mutta ei porrasmuodossa On ilmeistä, että kolmiomuodossa olevalla yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu, koska kaikki tuntemattomat ovat johtavia Ratkaisu voidaan laskea yksinkertaisesti sijoittamalla alkaen viimeisestä tuntemattomasta Tehtävä 22 Saata Esimerkin 220 yhtälöryhmä porrasmuotoon ja ratkaise se Ratkaisu sivulla 37 Esimerkki 222 Eräs 4 5-yhtälöryhmä on muunnettu muotoon Selvitä perustellen, onko se x 2x 2 + x 4 + 5x 5 = 7 x 2 x 3 + 7x 4 = 3 x 4 + 6x 5 = 8 x 5 = a) kolmiomuodossa, b) porrasmuodossa, c) redusoidussa porrasmuodossa? Ratkaisu a) Ei ole kolmiomuodossa, sillä se ei ole kvadraattinen (tai: c 33 = 0) b) On porrasmuodossa (tarkasta ehdot ()-(3)) c) Ei ole redusoidussa porrasmuodossa, esimerkiksi johtava x 2 toisella rivillä ei ole sarakkeensa ainoa (vaatimus (4)) Esimerkki 223 Muunna porrasmuotoon yhtälöryhmä x + x 2 x 3 = 2x x 2 + 3x 3 = 2 x 2x 2 + 4x 3 = Ratkaisu Olkoot yhtälöryhmän rivit R, R 2 ja R 3 Korvataan R 2 yhtälöllä R 2, joka saadaan vähentämällä toisesta ensimmäinen kerrottuna kahdella eli R 2 R 2 2R ja R 3 yhtälöllä R 3 R 3 R Nyt R 2 ja R 3 ovat samat, ja operaatio

22 Lineaariset yhtälöryhmät 25 R 3 R 3 R 2 tuottaa yhtälön 0 = 0 Lopuksi skaalataan R 2 kertoimella /3, jolloin saadaan porrasmuoto x + x 2 x 3 = x 2 5 3 x 3 = 0 0 = 0 Esimerkki 224 Muunnetaan Esimerkin 222 yhtälöryhmä redusoituun porrasmuotoon Ratkaisu Yhtälöryhmä oli jo porrasmuodossa: x 2x 2 + x 4 + 5x 5 = 7 R x 2 x 3 + 7x 4 = 3 R 2 x 4 + 6x 5 = 8 R 3 x 5 = R 4 On nollattava johtavien tuntemattomien yläpuolet Aloitetaan lopusta: x 2x 2 + x 4 + = 2 R R 5R 4 x 2 x 3 + 7x 4 = 3 R 2 R 2 0R 4 x 4 + = 4 R 3 R 3 6R 4 x 5 = R 4 R 4 x 2x 2 = 2 R R R 3 x 2 x 3 = 95 R 2 R 2 7R 3 x 4 = 4 R 3 R 3 x 5 = R 4 R 4 x 2x 3 = 92 R R + 2R 2 x 2 x 3 = 95 x 4 = 4 x 5 = Tämä on redusoitu porrasmuoto

26 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Ratkaisujen esittäminen vektorimuodossa Jatkossa ratkaisut pyritään esittämään vektorimuodossa, ja tarvittaessa sopivan apumuuttujan, skalaariparametrin avulla niin, että kaikki tuntemattomat vapautuvat vektorin koordinaateiksi Lisäksi vektorit ovat pystyvektoreita, vaikka ne tilan säästämiseksi usein kirjoitetaan transpoosin avulla vaakamuodossa (x x 2 x n ) T, ks Luku 32 Esimerkki valaissee tässä vaiheessa asiaa helpoimmin Esimerkki 225 Ratkaise Esimerkissä 224 redusoitu yhtälöryhmä ja esitä ratkaisu vektorimuodossa Ratkaisu Yhtälöryhmässä x 2x 3 = 92 x 2 x 3 = 95 x 4 = 4 x 5 = tuntematon x 3 on vapaasti valittavissa, joten ratkaisuja on äärettömästi Valitaan parametriksi vapaa x 3 = s R ja ratkaistaan muut siitä riippuvat: x = 92 + 2s = 95 + s x 2 x 3 = s R x 4 = 4 x 5 = Esitys vektorimuodossa x = a + sb parametrina s: x 92 2 x 2 x 3 x 4 = 95 0 4 + s 0, s R, tai transpoosin avulla x 5 0 (x x 2 x 3 x 4 x 5 ) T = ( 92 95 0 4 )T + s ( 2 0 0 )T, s R Tehtävä 226 Muunna redusoituun porrasmuotoon Esimerkin 223 yhtälöryhmä x + x 2 x 3 = x 2 5 x 3 3 = 0 0 = 0 ja esitä ratkaisu vektorimuodossa Ratkaisu sivulla 37

23 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 27 Tehtävä 227 Muunna porrasmuotoon ja redusoituun porrasmuotoon seuraavat yhtälöryhmät ja määritä niiden kaikki ratkaisut: a) b) c) { 2x 4x 3 = 3x 2 + 4x 3 = 3 2x 3x 2 = 3x + x 2 = 3 x 2x 2 = 7 x + x 2 + x 3 + x 4 = 2x 3 x 4 = 2 x 2 + x 4 = 2 Ratkaisu sivulla 37 23 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyskysymys osataan myöhemmin selvittää helposti yhtälöä ratkaisemattakin Toisaalta asia selviää, kun yhtälöryhmää yritetään ratkaista Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan aina muuntaa yhtäpitävään porrasmuotoon nk Gaussin eliminointimenetelmällä, so käyttäen edellä esiteltyjä alkeisoperaatioita I Vaihdetaan yhtälöiden järjestystä II Yhtälö kerrotaan nollasta eriävällä luvulla III Yhtälöön lisätään toisen yhtälön monikerta Ratkaisut saadaan porrasmuodosta nk takaisinsijoituksella, kun mahdollisille vapaille muuttujille on ensin annettu parametriarvot (Johann Carl Friedrich Gauss, Saksa, 777-855) Yhtälöryhmän saattamista redusoituun porrasmuotoon em muunnoksin sanotaan Gauss-Jordanin reduktioksi Tämä pidemmälle viety prosessi on työläämpi, mutta joissakin yhteyksissä välttämätön suorittaa Toisaalta redusoidun porrasmuodon käyttö on takaisinsijoittamisessa vaivattomampi (Wilhelm Jordan, Saksa, 842-899)

28 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Gaussin eliminointimenetelmä Jo Luvussa 22 harjoitellut menettelyt esitetään nyt formaalimmassa algoritmimuodossa, jonka mukaisesti ratkaiseminen voidaan ohjelmoida vaikkapa tietokoneohjelmaksi, ks Kuva 5 Lineaarisen m n-yhtälöryhmän porrasmuotoon muuntamisprosessi koostuu m periaatteessa samanlaisesta vaiheesta Vaiheessa k eliminoidaan (eli kerroin nollataan) tuntematon x k riveillä k+,k+2,m olevista yhtälöistä Ennen eliminointiprosessin aloittamista täytyy tuntemattomat järjestää niin, että kunkin tuntemattoman x k kertoimet on kirjoitettu yhtälöihin kohdakkain Käsin laskettaessa yhtälöt kannattaa järjestää niin, että ryhmä on mahdollisimman lähellä porrasmuotoa ja ensimmäisessä yhtälössä tuntemattoman x kerroin on yksinkertainen, ei kuitenkaan 0 Eliminointivaiheessa k ennalleen jätetty k rivi on tukiyhtälö eli tukirivi (pivotal row) ja sen tuntemattoman x k kerroin tukialkio (pivot element) Numeerisissa algoritmeissä täytyy aina huolehtia siitä, että tukialkiolla jakaminen ei aiheuta ylivuotoja; tarvittaessa skaalataan, vaihdetaan tukiyhtälöä tai tuntemattomien järjestystä Tällaista menettelyä sanotaan tuennaksi (pivoting)

23 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 29 VAIHE I Oletetaan, että a 0 yhtälöryhmässä a x + a 2 x 2 + + a n x n = b R a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 R 2 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = b m R m Muuttuja x eliminoidaan yhtälöistä R 2, R 3,, R m : ) R R (ennallaan) 2) R 2 R 2 a 2 a R 3) R 3 R 3 a 3 a R m) R m R m a m a R VAIHE II Olkoon a 22 0 saadussa ryhmässä a x + a 2x 2 + + a nx n = b R a 22x 2 + + a 2nx n = b 2 R 2 a 32x 2 + + a 3nx n = b 3 R 3 a m2x 2 + + a mnx n = b m R m Muuttuja x 2 eliminoidaan yhtälöistä R 3, R 4,, R m: R R ja R 2 R 2 R k R k a k2 a 22R 2 arvoilla k = 3, 4,,m Vaiheita jatketaan III, IV, niin kauan kuin voidaan Lopuksi johtavat alkiot skaalataan ykkösiksi Yhtälöryhmä ratkeaa nyt takaisinsijoituksella Kuva 5: Gaussin eliminointialgoritmi

30 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Esimerkki 23 Ratkaistaan Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä x + 2x 2 + x 3 = 3 R 3x x 2 3x 3 = R 2 2x + 3x 2 + x 3 = 4 R 3 x + 2x 2 + x 3 = 3 R R 7x 2 6x 3 = 0 R 2 R 2 3R x 2 x 3 = 2 R 3 R 3 2R x + 2x 2 + x 3 = 3 R R 7x 2 6x 3 = 0 R 2 R 2 x 7 3 = 4 R 7 3 R 3 7 R 2 x + 2x 2 + x 3 = 3 R R x 2 + 6x 7 3 = 0 R 7 2 7 R 2 x 3 = 4 R 3 7R 3 Yhtälöryhmä on porras- ja kolmiomuodossa, josta takaisinsijoitus antaa yksikäsitteisen ratkaisun x 3 = 4, x 2 = 2 ja x = 3 eli (x x 2 x 3 ) T = (3 2 4) T Esimerkki 232 Millä a R ei seuraavalla yhtälöryhmällä ole ratkaisuja? x + 2x 2 + x 3 = 3 3x x 2 3x 3 = 2x + 3x 2 + ax 3 = 4 Samoilla operaatioilla kuin Esimerkissä 23 (paitsi jättämällä kolmas yhtälö normittamatta) saadaan edeltävän kanssa yhtäpitävä muoto: x + 2x 2 + x 3 = 3 R R 6 x 2 + x 7 3 = 0 R 7 2 7 R 2 (a 8)x 7 3 = 4 R 7 3 R 3 Yhtälöryhmä on nyt kolmiomuodossa, josta näkyy, että sillä on ratkaisuja jos ja vain jos a 8/7 Näillä arvoilla ratkaisuja on tasan yksi Jos taas a = 8/7, on viimeisenä mahdoton yhtälö

23 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 3 Gauss-Jordanin reduktio Gauss-Jordan-prosessi alkaa muuntamalla yhtälöryhmä Gaussin eliminointimenetelmällä porrasmuotoon Tämän jälkeen jatketaan peilikuva-prosessilla ; nollataan kunkin johtavan muuttujan sarakkeesta sen yläpuolella olevat kertoimet alkaen viimeisestä johtavasta muuttujasta ja käyttäen tukiyhtälönä vastaavaa riviä Näin yhtälöryhmä saadaan redusoituun porrasmuotoon Esimerkki 233 Käytetään Gauss-Jordanin reduktiota Esimerkissä 23 saatuun porrasmuotoon: x + 2x 2 + x 3 = 3 R x 2 + 6 7 x 3 = 0 7 R 2 x 3 = 4 R 3 x + 2x 2 = R R R 3 x 2 = 2 R 2 R 2 6R 7 3 x 3 = 4 R 3 R 3 x = 3 R R 2R 2 x 2 = 2 R 2 R 2 x 3 = 4 R 3 R 3 Kussakin eliminointivaiheessa pitää tehty operaatio kirjata näkyviin esimerkiksi kuten yllä, sillä se on paitsi lukemista helpottava muistiinpano, myös perustelu Tehtävä 234 Ratkaise Gauss-Jordanin reduktiolla 2x 2 + 3x 3 = 5 x 3x 2 + 2x 3 = 2 3x + x 3 = 5 Ratkaisu sivulla 38 Maple-animaatio Gaussin prosessista (linkki) http://wandaueffi/matematiikka/kurssit/lineaarialgebra/ Kurssimateriaali/Gauss/GAUSShtml

32 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Lineaaristen yhtälöryhmien luokittelusta Lineaariset yhtälöryhmät jaetaan ulkomuotonsa perusteella kolmeen ryhmään: m n-yhtälöryhmä on kvadraattinen, jos m = n, eli jos yhtälöitä on yhtä monta kuin tuntemattomia alimäärätty (underdetermined), jos m < n, eli jos yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia ylimäärätty (overdetermined), jos m > n, eli jos yhtälöitä on enemmän kuin tuntemattomia Ratkaisujen määrät selvitetään yksityiskohtaisesti Lauseessa 66 Tässä vaiheessa riittää sanoa karkeasti: alimäärätyllä yhtälöryhmällä on aina 0 tai äärettömästi ratkaisuja (ks Lause 23) ylimäärätyllä yhtälöryhmällä ei useinkaan ole ratkaisuja jos eliminointiprosessissa tulee vastaan mahdoton yhtälö, ei ratkaisuja ole jos menetelmä ei anna muuttujille x k, x k2,, x kp yksikäsitteisiä arvoja, niille annetaan mielivaltaiset arvot, esimerkiksi x k = t R,, x kp = t p R, ja ratkaistaan muut näiden avulla Tällöin ratkaisuja on äärettömästi ja sanotaan, että ratkaisu on p-parametrinen joukko parametreina luvut t k, k =, 2, 3,, p Esimerkki 235 Kun tehtävän 225 kohdassa b) valitaan mielivaltaiseksi parametriksi z = s R, saadaan vektorimuotoinen esitys x y = 32 26 + s 34, s R 3 3 z 0 3 Jos olisi valittu x = t R, jolloin y = 34t 74 ja z = 3t 32, saataisiin toisenlainen esitys x 0 y = 74 + t 34, t R z 32 3

23 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 33 Seuraavista esimerkeistä nähdään, että alimäärätyllä ryhmällä voi olla 0 tai äärettömästi ratkaisuja: Esimerkki 236 Helposti nähdään, että seuraavat yhtälöt ovat ristiriitaiset { 2x x 2 + 6x 3 = 0 x + 2 x 2 3x 3 = 4 Esimerkki 237 Seuraavalla yhtälöryhmällä on äärettömästi ratkaisuja: x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2 R x + x 2 + x 3 + 2x 4 + 2x 5 = 3 R 2 x + x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 2 R 3 x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2 R R x 4 + x 5 = R 2 R 2 R x 4 + 2x 5 = 0 R 3 R 3 R x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2 R R x 4 + x 5 = R 2 R 2 x 5 = R 3 R 3 R 2 Siis ainakin x 5 = ja x 4 = 2 Arvot x 3 ja x 2 voidaan valita miten vain, asetetaan vaikkapa x 2 = s R ja x 3 = t R Silloin x = s t ja (x x 2 x 3 x 4 x 5 ) T = ( s t s t 2 ) T, s,t R = ( 0 0 2 ) T + s( 0 0 0) T + t( 0 0 0) T, s,t R Ylimäärätyllä yhtälöryhmällä saattaa olla jopa äärettömästi ratkaisuja: Tehtävä 238 Ratkaise yhtälöryhmät x + 2x 2 + x 3 = 2x a) x 2 + x 3 = 2 4x + 3x 2 + 3x 3 = 4 2x x 2 + 3x 3 = 5 Ratkaisu sivulla 38 x + 2x 2 + x 3 = 2x b) x 2 + x 3 = 2 4x + 3x 2 + 3x 3 = 4 3x + x 2 + 2x 3 = 3 Tehtävä 239 Ratkaise x + 2x 2 x 3 + x 4 = 3x a) + 4x 2 + x 3 x 4 = 2 2x x 2 3x 3 + 2x 4 = 4 x + 3x 2 + 2x 3 x 4 = 0 Ratkaisu sivulla 38

34 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Tehtävä 230 Millä vakioiden a ja b arvoilla yhtälöryhmällä x + x 2 + 3x 3 = 2 x + 2x 2 + 4x 3 = 3 x + 3x 2 + ax 3 = b a) ei ole ratkaisuja? b) on äärettömästi ratkaisuja? c) on vain yksi ratkaisu? Vihje: Kriittiset arvot ovat a = 5 ja b = 4 Ratkaisu sivulla 38 Homogeeniset yhtälöryhmät Lineaarisella homogeenisella yhtälöryhmällä a x + a 2 x 2 + + a n x n = 0 a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 on aina vähintäin yksi ratkaisu, nimittäin triviaaliratkaisu x = x 2 = = x n = 0 Lause 23 Olkoon lineaarisessa yhtälöryhmässä aidosti enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä, ts olkoon yhtälöryhmä alimäärätty a) Jos yhtälöryhmä on homogeeninen, sillä on ei-triviaaleja ratkaisuja, jopa äärettömästi b) Jos yhtälöryhmä on epähomogeeninen, sillä on 0 tai ratkaisua Todistus Olkoon yhtälöryhmä kokoa m n, m < n, ja viety yhtäpitävään porrasmuotoon Homogeenisella yhtälöryhmällä on ainakin triviaaliratkaisu, joten porrasmuodossa ei ole ristiriitaisia yhtälöitä Sama pätee epähomogeeniselle ryhmälle, jolla on ratkaisuja Porrasmuodossa olkoon r m nollasta eriävää riviä ja siten r johtavaa muuttujaa Koska tuntemattomia on n > m r, voidaan vapaat n r muuttujaa valita mielivaltaisesti

23 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 35 Tehtävä 232 Ratkaise 2x + x 2 x 3 + 3x 4 = 0 2x + 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 4x x 2 3x 3 + 2x 4 = 0 a) valiten vapaaksi tuntemattomaksi x 4 (siis asettamalla vaikkapa parametriksi t R) b) valiten vapaaksi tuntemattomaksi x 3 Ratkaisut sivulla 38 Jos yhtälöitä on enemmän kuin tuntemattomia, yhtälöryhmällä ei siis tavallisesti ole ratkaisua Kuitenkin sille voidaan yleensä laskea käyttökelpoinen kompromissiratkaisu, nk PNS-ratkaisu, jota käsitellään Luvussa 2 Parametrimuunnokset Kun lineaarisella yhtälöryhmällä on äärettömästi ratkaisuja, on yleensä useita tapoja esittää ratkaisu parametrien avulla Näin voi olla hyvinkin hankalaa verrata ratkaisuja toisiinsa; siis ovatko ratkaisujoukot todella samat Kun kahdessa eri ratkaisumuodoissa käytetään eri parametrinimiä (s, s 2, ) ja (t, t 2, ), on ainakin periaatteessa helpohko selvittää esittävätkö ne samaa ratkaisujoukkoa: Ensinnäkin, molemmissa ratkaisuissa on oltava sama arvo niillä tuntematomilla, joissa ei esiinny parametria (eli kerroin on nolla) Tämän tarkastuksen jälkeen nämä voidaan jättää syrjään Yhtälöryhmän porrasmuodosta nähdään mikä on vapaasti valittavien tuntemattomien määrä eli parametrien (minimi)määrä Kun ratkaisut on muodostettu porrasmuodon avulla, tulee parametreja kuhunkin esitykseen sama määrä Merkitään ratkaisut koordinaateittain samoiksi ja ratkaistaan toisen ratkaisumuodon parametrit toisen avulla Jos tämä onnistuu, ovat ratkaisujoukot samat Esitysmuotojen tulee siis olla saatavissa toisistaan parametrimuunnoksella Tehtävä 233 Osoita, että yhtälöryhmän (joka on valmiiksi porrasmuodossa) { x + x 2 + x 3 + x 4 = x 2 = 3 ratkaisut ovat todella samat: Ratkaisu sivulla 39 (x x 2 x 3 x 4 ) T = ( 2 t t 2 3 t 2 t ) T, t,t 2 R (x x 2 x 3 x 4 ) T = (s 3 s 2 2 s s 2 ) T, s,s 2 R

24 Ratkaisuja tehtäviin Tehtävä 22: Yhtälöryhmän määräävät seuraavassa näkyvät funktiot F,F 2,F 3 : R 3 R: F (x,y,z) = x 2 + x + y z = 0 F 2 (x,y,z) = x + y + z = 0 F 3 (x,y,z) = z y 2 = 0 Tehtävä 222: a) on lineaarinen (homogeeninenkin, kun muuttujina ovat x ja y) b) on lineaarinen (epähomogeeninen) c) on lineaarinen (jopa homogeeninen, jos myös z on muuttuja) d) ei ole lineaarinen, siinähän esiintyy tulo xy; jos kuitenkin esimerkiksi y olisi vakio, kyseessä olisi lineaarinen yhtälö! Tehtävä 223: lienee parasta ottaa muuttujiksi (tuntemattomiksi) kaikki esiintyvät symbolit x, y ja z Silloin F (x,y,z) = 2x 3y = 0 F 2 (x,y,z) = 2x 3y 3 = 0 F 3 (x,y,z) = 2x 3y z = 0 Tehtävä 224: Vähennetään ristiin samassa vaiheessa Oikea vastaus x = 5, y = 2 Tehtävä 225: ratkaisut parametrimuodossa: { 4x + 2y = 3 a) 5x 3y = 4 b) c) d) { 3x 2y + 5z = 2 2x + 3y 8z = 34 s + t = 2 s t = 3s + t = 3x 2x 2 + x 3 = 2 7x + x 2 8x 3 = 5 x + x 2 x 3 = 0 { x = 7 22 y = 22 (suorien leikkauspiste) x = 32 + s 3 3 y = 26 z = s R, (tasojen leikkaussuora) Ei ratkaisua (suorat eivät leikkaa samassa pisteessä) + 34 s 3 3 x = x 2 = 2 x 3 = 3 (tasojen leikkauspiste) Tehtävä 229: Johtavia tuntemattomia ovat x,x 2 ja x 4, vapaita x 3,x 5 ja x 6

24 Ratkaisuja tehtäviin 37 Tehtävä 22: Porrasmuoto on x + 2x 5 2 + x 5 3 = 2 5 x 2 2x 3 = 2 x 3 = 2 7 ja ratkaisu (x,x 2,x 3 ) = ( 24, 8, 2 35 7 7) Tehtävä 226: Esimerkissä 223 saatuun porrasmuotoon tehdään yksi operaatio R R R 2, jolloin saadaan redusoitu porrasmuoto x + 2x 3 3 = x 2 5 3 x 3 = 0 0 = 0 ja ratkaisu vektorimuodossa (huomaa sijoitus s = 3t): x 2 3 2 x 2 = 0 + s 5 = 0 + t 5, s, t R x 3 0 0 3 Tehtävä 227: a) Ratkaisu parametrimuodossa: x = + 2s 2 x 2 = 4 3 s = s R b) Ei ratkaisua: 3 x 3 2x 3x 2 = R 3x + x 2 = 3 R 2 x 2x 2 = 7 R 3 x 2x 2 = 7 R R 3 2x 3x 2 = R 2 R 3x + x 2 = 3 R 3 R 2 x 2x 2 = 7 R R x 2 = 3 R 2 R 2 2R 5x 2 = 24 R 3 R 3 + 3R x 2x 2 = 7 R R x 2 = 3 R 2 R 2 0 = 4 R 3 R 3 + 5R 2

38 2 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT c) Ratkaisu vektorimuodossa, kun vapaaksi tuntemattomaksi on valittu x 4 = t R: x 2 2 x 2 x 3 = 2 + t, t R, 2 x 4 0 mutta hiukan toinen muoto ilmestyy valinnalla x 3 = s R: x x 2 x 3 = 4 0 + s 2, s R x 4 2 2 Osoita nämä ratkaisujoukot samoiksi! Vihje: Merkitään yo ratkaisujen mukaisesti x 3 = s = + t, josta t = 2s 2 2 Nyt sijoitetaan tämä t ensimmäiseen ratkaisuun, ja sievennellään Tehtävä 234: (x x 2 x 3 ) T = (2 4 ) T Tehtävä 238: a) (x x 2 x 3 ) T = ( 3 5)T 0 b) Valitaan esimerkiksi x 3 = s R, jolloin (x x 2 x 3 ) T = ( 3s 5 s 5 s)t tai vaikkapa valitsemalla nyt t = s/5: (x x 2 x 3 ) T = ( 3t t 5t) T, t R Tehtävä 239: (x x 2 x 3 x 4 ) T = 2 (3 2)T Tehtävä 230: Viedään Gaussilla (lähes) porrasmuotoon Muodosta x + x 2 + 3x 3 = 2 x 2 + x 3 = (a 5)x 3 = b 4 nähdään a) ei ratkaisuja a 5 = 0 ja b 4 (0x 3 0) b) ääreettömästi ratkaisuja a 5 = 0 ja b = 4 (x 3 = t R) c) tasan yksi ratkaisu a 5 0 Tehtävä 232: a) Kun valitaan parametriksi R t = x 4, saadaan ratkaisuksi neliulotteisen avaruuden suora 3 x 0 3 x 2 x 3 = t 7 = t 0 0 4, t R x 4 0 5

24 Ratkaisuja tehtäviin 39 b) Kun valitaan parametriksi R s = x 3, saadaan ratkaisusuora muodossa x x 2 x 3 = s x 4 3 4 5 7 5 7 3 = s 0 4 4, s R 0 Tehtävä 233: Merkitsemällä ratkaisumuodot koordinaateittain samoiksi saadaan yhtälöryhmä s = 2 t t 2 s 2 = t 2 s + s 2 = 2 t Tällä (ylimäärätyllä) yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu s = 2 t t 2, s 2 = t 2 Sijoittamalla nämä arvot toiseen muotoon saadaan juuri ensimmäinen muoto (x x 2 x 3 x 4 ) T = (s 3 s 2 2 s s 2 ) T (x x 2 x 3 x 4 ) T = ( 2 t t 2 3 t 2 t ) T

3 MATRIISILASKENTAA Tässä luvussa käsitellään matriisialgebraa, opitaan muuntamaan lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuotoon sekä ratkaisemaan se 3 Karteesinen tulo ja matriisi Joukkojen X ja Y karteesinen tulo eli tulojoukko (product) on järjestettyjen parien joukko X Y := {(a,b) a X,b Y} Äärellinen n-ulotteinen (n-dimensional) tulojoukko on n X i = X X 2 X n := {(a,a 2,,a n ) a i X i } i= ja sen alkioita (a,a 2,,a n ) sanotaan vektoreiksi Erityisesti merkitään X n := X } {{ X } n kpl Jos tulojoukon tekijöitä X i on mn kappaletta, n, m N, ne voidaan indeksoida uudelleen ja kirjoittaa (m n)-suorakulmioksi muotoon m,n X = X ij := i,j X X 2 X n X 2 X 22 X 2n X m X m2 X mn Joukon X alkiot A ovat m n-matriiseja ja merkitään a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = (a ij ) m n =, a ij X ij a m a m2 a mn Kaksi matriisia A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) m n ovat samat (merkitään A = B), jos a ij = b ij kaikilla i [m], j [n], toisin sanoen, kaikki vastinalkiot ovat samoja Katso kuva 6

32 Matriisioperaatioita ja nimityksiä 4 rivi i a a a a 2 2 i a 22 a i2 a m a m2 a j a 2j a a ij mj sarake j a n a 2n a a in mn Kuva 6: alkio a ij Yksirivistä matriisia sanotaan myös vaaka- eli rivivektoriksi (row) ja yksisarakkeista pysty- eli sarakevektoriksi (column) Matriisilaskennan yhteydessä sekä vaaka- että pystyvektorien alkioiden väliset pilkut korvataan tavallisesti tyhjeillä Kuten jo Luvussa 22 sovittiin, tässä oppimateriaalissa euklidisen avaruuden R n vektoreita käsitellään pääsääntöisesti pystyvektoreina 32 Matriisioperaatioita ja nimityksiä Transponointi ja laskutoimitukset Matriisin A = (a ij ) R m n transpoosi on matriisi A T = (b kl ) R n m, missä b kl := a lk, ts rivit on vaihdettu järjestyksessä sarakkeiksi Avaruuden R m n matriiseja voidaan laskea yhteen, kertoa vakiolla ja kertoa keskenään alkioittain kuten vektoreitakin Matriisia O, jonka kaikki alkiot ovat nollia, kutsutaan nollamatriisiksi Nollamatriisi on matriisien yhteenlaskun neutraalialkio, so A+O = A ja O +A = A Matriisin A = (a ij ) vastamatriisi on vastaluvuista koostuva samankokoinen matriisi A = ( a ij ); silloin A + ( A) = O ja A + A = O

42 3 MATRIISILASKENTAA Esimerkki 32 Olkoot ( ) 2 2 A := 3 0 ja B := ( ) 2 2 3 Transpoosit ovat silloin 3 2 A T = 2 0 ja B T = 3 2 2 Yhteenlaskun tulos on summa A + B = ( 2 2 3 0 ) + ( ) 2 2 = 3 ( ) 3 4 4 3 2 Skalaarilla kertominen: ( ) ( ) 2 4 4 2 4 4 ( 2)A = 2A = = 6 0 2 6 0 2 Alkioittainen tulo (jolla ei lineaarialgebrassa juuri ole käyttöä): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 A B = = 3 0 3 3 0 Varsinainen matriisien kertolasku määritellään seuraavasti: Matriisien A = (a ij ) R m n ja B = (b jk ) R n r (matriisi)tulo on matriisi AB = C = (c ik ) R m r, missä c ik := n j= a ijb jk Tulomatriisin alkio c ik on siis matriisin A rivin i ja matriisin B sarakkeen k pistetulo Pystyvektorien x = (x x 2 x n ) T ja y = (y y 2 y n ) T R n pistetulo voidaan kirjoittaa matriisitulona x y = x T y = x y + x 2 y 2 + + x n y n Pystyvektorin x = (x x 2 x n ) T normille x pätee x 2 = x 2 + x 2 2 + + x 2 n = n x 2 i = x T x i= x = (x 2 + x 2 2 + + x 2 n) 2 = xt x

32 Matriisioperaatioita ja nimityksiä 43 Esimerkki 322 Esimerkin 32 matriiseille tuloja AB ja BA ei ole määritelty, koska molemmat ovat 2 3-matriiseja; sen sijaan ( ) 2 2 2 AB T = 3 3 0 ( 2 ) ( ) 2 + 2( ) + ( 2)( 2) + 2 3 + ( 2) 4 5 = = 3 2 + 0( ) + ( 2) 3 + 0 3 + 4 4 3 ( ) 5 8 A T B = 2 0 2 2 = 4 2 4 3 2 3 5 5 Tehtävä 323 Laske ( ) 2 4 a) 2 b) 2 3 c) a a 2 ( x x 2 ) x 3 a 3 e) seuraavassa tulossa ( ) 2 3 x x 4 5 6 2 x 3 d) ( ) x a a 2 a 3 x 2 x 3 3 2 4 3 3 2 4 2 2 3 5 0 2 2 rivillä 3 sarakkeessa oleva luku Ratkaisut sivulla 56 Tehtävä 324 Olkoot ( ) 0 A :=, B := ( 2 3 ) T 2 3 2 ja C := ( 3 2 ) Laske normit a) B ja b) C T, c) pistetulo (AB) (C T ), sekä matriisitulot ) ) d) 2A T BC, e) A(BC) (AB)C, f) C ((( C)A T B Ratkaisut sivulla 56 Tehtävä 325 Laske a) ( ) (( ) b a a 2 + b 2 ( c c 2 )) b) ( ) ( ) b a a 2 + ( ) ( ) c a b a 2 2 c 2

44 3 MATRIISILASKENTAA Ratkaisu sivulla 57 Avaruuden R n n alkiot ovat neliömatriiseja (square matrix) Avaruus R n n on suljettu matriisien kertolaskun suhteen, sillä tulo on myös n nmatriisi Matriisin (a ij ) diagonaali eli päälävistäjä on pystyvektori (a,,a nn ) T Matriisia sanotaan diagonaalimatriisiksi, jos sen diagonaalin ulkopuolella olevat alkiot ovat nollia Edellä on jo määritelty nollamatriisi O ja vastamatriisit Yksikkömatriisi (identity) on diagonaalimatriisi I, jonka diagonaalialkiot ovat ykkösiä Yksikkömatriisi on matriisitulon neutraalialkio: jos A R n n, niin AI = IA = A Matriisi A = (a ij ) n n on symmetrinen, jos A = A T, eli a ij = a ji kaikilla i,j [n] Symmetrisyys tarkoittaa diagonaalin suhteen symmetrisyyttä Matriisi on yläkolmiomatriisi (upper triangular), jos sen diagonaalin alapuolella on vain nollia; vastaavasti määritellään alakolmiomatriisi Matriisitulo ei ole vaihdannainen; yleensä AB BA Kahden nollasta eriävän matriisin tulo voi olla nollamatriisi; voi jopa olla A 2 (= AA) = O, vaikka A on nollasta eriävä matriisi Tulon supistussääntö ei myöskään päde: siitä, että AC = BC ei seuraa A = B Sen sijaan laskutoimitukset + ja ovat liitännäisiä ja niille pätevät mm osittelulait Esimerkki 326 Matriisitulo ei ole vaihdannainen edes neliömatriiseille: ( )( ) ( ) 3 2 4 2 = 4 2 2 2 6 ( )( ) 2 3 2 4 2 = ( ) 6 4 6 4

33 Laskusääntöjä 45 33 Laskusääntöjä Matriisin osien poimiminen ja osiin viittaaminen Olkoon a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = (a ij ) m n = a m a m2 a mn Osavektorin ja -matriisin poiminta: jos p q m ja r s n, niin A(p : q,j) := A(p : q,r : s) := pj a A(i,r : s) := ( ) a ir a is a qj Kokonaisen rivin ja sarakkeen poiminta: a pr a ps a qr a qs A(i, :) := ( ) a i a in, A(:,j) := Edellisiä merkintöjä käytetään mm Matlab-ohjelmassa Matriisin sarakkeita merkitään myös a j = A(:,j) Tällöin A = ( a a n ) Olkoon myös B m n matriisi Tällöin summassa A + B on alkio (A + B)(i,j) = A(i,j) + B(i,j) rivi (A + B)(i, :) = A(i, :) + B(i, :) sarake (A + B)(:,j) = A(:,j) + B(:,j) Tulossa AB on taas a j a mj alkio (AB)(i,j) = A(i, :)B(:,j) = n k= A(i,k)B(k,j) rivi (AB)(i, :) = A(i, :)B sarake (AB)(:,j) = A(B(:,j))

46 3 MATRIISILASKENTAA Tehtävä 33 Poimi matriisista 2 2 5 3 4 2 4 2 A := 2 0 0 2 4 2 3 3 8 2 0 a) A(3, :), b) A(4, 2 : 4), c) A(2 : 3, : 3), d) A(:, 2), e) A(:, 2 : 3), f) A(:, :) Transponointi Lause 332 Olkoon α skalaari ja matriisit A ja B sellaisia, että seuraavassa esiintyvät laskutoimitukset ovat järjellisiä, so määriteltyjä Silloin (A T ) T = A 2 (αa) T = αa T 3 (A + B) T = A T + B T 4 (AB) T = B T A T Todistus Kohdat 3 ovat ilmeisiä Kohta 4: Olkoot A = (a ij ) m n B = (b ij ) n r C := AB = (c ij ) m r D := B T A T = (d ij ) r m Silloin (AB) T ja B T A T ovat samaa kokoa r m, joten riittää näyttää, että niissä on samat vastinalkiot Olkoot A T = (a ij), B T = (b ij) ja C T = (c ij) On osoitettava, että c ij = d ij kaikilla i [r] ja j [m] Koska b ik = b ki ja a kj = a jk, on matriisitulon määritelmän mukaan n n d ij = b ika kj = a jk b ki = c ji = c ij k= k=

33 Laskusääntöjä 47 Matriisialgebra Lause 333 Kaikille skalaareille α ja β ja kaikille matriiseille A, B ja C, joille seuraavassa esiintyvät operaatiot on määritelty, pätee () A + B = B + A vaihdannaisuus (+) (2) (A + B) + C = A + (B + C) liitännäisyys (+) (3) (AB)C = A(BC) liitännäisyys ( ) (4) A(B + C) = AB + AC I osittelulaki (+, ) (5) (A + B)C = AC + BC II osittelulaki (+, ) (6) (αβ)a = α(βa) skalaariliitännäisyys (7) α(ab) = (αa)b = A(αB) skalaarin siirto (8) α(a + B) = αa + αb I skalaariosittelulaki (9) (α + β)a = αa + βa II skalaariosittelulaki Todistus Kohdat (), (2), (6), (7), (8) ja (9) ovat helppoja Kohta (4): Olkoot A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) n r, C = (c ij ) n r sekä merkitään D := A(B + C) ja E := AB + AC Silloin D ja E ovat m r-matriiseja ja niiden alkiot ovat d ij = n a ik (b kj + c kj ) ja e ij = k= n n a ik b kj + a ik c kj k= k= Koska summille pätee n a ik (b kj + c kj ) = k= n n a ik b kj + a ik c kj, k= k= on d ij = e ij ja siten A(B + C) = D = E = AB + AC Katso kuvat 7 ja 8 Kohta (5) on samankaltainen kuin kohta (4) Kohta (3): Olkoot A = (a ij ) m n, B = (b ij ) n r ja C = (c ij ) r s sekä merkitään D := AB ja E := BC On osoitettava, että DC = AE ) Ne ovat samaa kokoa: