Otsoniaineiston analysointi lineaarisella tila-avaruusmallilla

Otsoniaineiston analysointi lineaarisella tila-avaruusmallilla Niilo Latva-Pukkila Tilastotieteen pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 6. tammikuuta 2014

Tiivistelmä: Niilo Latva-Pukkila: Otsoniaineiston analysointi lineaarisella tila-avaruusmallilla (engl. Gaussian state space models with an application in ozone modelling), tilastotieteen pro gradu -tutkielma, 44 s. + liitteitä 16 s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, 6. tammikuuta 2014. Tutkielma käsittelee yläilmakehän otsonimäärän mallintamista lineaarisella tila-avaruusmallilla. Ilmakehän otsonimäärä vaihtelee vuodenajan mukaan ja lisäksi tunnetaan joitakin luonnollisia tekijöitä, jotka vaikuttavat otsonimäärään. Tämän lisäksi erilaiset ihmisen toiminnan vuoksi ilmakehässä lisääntyneet aineet aiheuttavat muutoksia otsonimäärässä. Aiemmin otsonimäärää on mallinnettu yleistettyjen lineaaristen mallien avulla. Tila-avaruusmallit ovat kuitenkin huomattavasti monipuolisempia malleja, joilla voidaan hyvin mallintaa ajassa tapahtuvaa kehitystä. Mallin sovittamisessa käytetään modernia MCMC-algoritmia. Aineistona käytetään kahden eri satelliitti-instrumentin havaintoja otsonimäärästä. Nämä kaksi aikasarjaa on yhdistetty yhdeksi aikasarjaksi, joka kattaa aikavälin 1984 2011. Kun tunnettujen luonnollisten tekijöiden vaikutus on huomioitu, arvioidaan otsonimäärän laskeneen noin vuoteen 1998 asti. Tällöin lasku loppui ja määrän kehityksen estimoidaan kääntyneen jopa positiiviseksi. Muutokset ovat kuitenkin varsin pieniä ja lisätutkimusta tarvitaan, ennen kuin voidaan puhua otsonimäärän palautumisesta. Avainsanat: aikasarja-analyysi, tila-avaruusmalli, viivästetyn hylkäyksen adaptiivinen Metropolis-algoritmi, otsonikato, ilmakehä i Kansilehden kuva: ENVISAT-satelliitti auringon valon taittuessa ilmakehän läpi kulkiessaan. (Kuvan lähde: ESA)

Kiitokset Haluan kiittää Ilmatieteen laitoksen Ilmakehän kaukokartoitus - ryhmää kiehtovan ja haastavan aiheen ja aineiston antamisesta käyttööni sekä kesäharjoittelujaksojen tarjoamisesta. Erityiskiitokset FT Marko Laineelle arvokkaista ideoista ja palautteesta sekä inspiroivista keskusteluista. Lisäksi haluan kiittää työni ohjaajaa professori Jukka Nyblomia neuvoista ja palautteesta tämän prosessin aikana. Kiitokset myös Annalle ja Juholle tekstin oikolukemisesta. Helsingissä loppiaisena 6.1.2014 Niilo Latva-Pukkila ii

Sisältö Johdanto 1 Merkinnöistä 2 Luku 1. Tila-avaruusmallien teoriaa 3 1.1. Dynaaminen lineaarinen regressio 3 1.2. Mallin määrittäminen 4 1.2.1. Trendin mallintaminen 4 1.2.2. Taustamuuttujat 5 1.2.3. Kausivaihtelu 5 1.2.4. Mallikomponenttien yhdistäminen 7 1.3. Tilojen estimointi ja ennustaminen 8 1.3.1. Kalmanin suodin 9 1.3.2. Tilojen tasoitus 10 1.3.3. Ennustaminen 10 1.3.4. Puuttuvan tiedon käsittely 11 1.3.5. Alustus 11 1.4. Tilojen simulointi 11 1.5. Tuntemattomien parametrien estimointi 12 Luku 2. Metropolis-algoritmin laajennuksia 14 2.1. Metropolis-algoritmi 15 2.2. AM-algoritmi 16 2.3. DR-algoritmi 17 2.4. DRAM-algoritmi 18 2.5. DRAM-algoritmin sovellus tila-avaruusmalleihin 19 Luku 3. Otsonimäärän mallintaminen tila-avaruusmallilla 21 3.1. Otsoniaineisto 21 3.2. Taustamuuttujat 23 3.3. Otsonimalli 25 3.4. Tulokset 27 3.5. Mallidiagnostiikka 34 Luku 4. Pohdintaa 39 Lähdeluettelo 41 Liite A. R-koodi 45 iii

Johdanto Otsoni on kolmesta happiatomista muodostuva molekyyli, jota esiintyy luonnollisesti ilmakehässä. Otsoniin viitataan usein sen kemiallisella kaavalla O 3. Noin 90 prosenttia ilmakehän otsonista sijaitsee stratosfäärissä, eli yläilmakehässä, joka on noin 15-80 kilometrin korkeudella maan pinnasta. Loput 10 prosenttia sijaitsee ilmakehän alimmassa kerroksessa, troposfäärissä, joka ulottuu maan pinnan tasosta stratosfäärin alarajaan. Niitä stratosfäärin alueita joissa otsonin esiintyminen on kaikkein suurinta, kutsutaan yleisesti otsonikerrokseksi. (World Meteorological Organization, 2011, s. 4) Otsonikerros torjuu Auringosta peräisin olevaa haitallista B-tyypin ultraviolettisäteilyä (UVB). UVB-säteilyn tiedetään lisäävän ihmisten ihosyövän riskiä ja heikentävän ihmisten immuunijärjestelmää (Matsumura & Ananthaswamy, 2004). Otsonimäärän tiedetään vähentyneen vuosien 1979 ja 1997 välillä, mutta useissa tutkimuksissa on havaittu viitteitä siitä, että otsonimäärän kehityksessä on tapahtunut muutos noin vuonna 1997 (Newchurch et al., 2003; Jones et al., 2009; Kyrölä et al., 2013). Arveltu syy tälle muutokselle on vuonna 1987 voimaan astunut Montrealin pöytäkirja, jolla pyrittiin rajoittamaan otsonikatoa aiheuttavien aineiden, erityisesti kloorin ja bromin, joutumista ilmakehään (Kyrölä et al., 2013, s. 10645 10646). Tämän hetken tiedon perusteella uskotaan, että otsonikatoa aiheuttavien aineiden määrä ilmakehässä oli huipussaan vuosien 1995 ja 2000 välillä, mutta ennusteiden perusteella näiden aineiden määrä laskee vuotta 1980 edeltäneelle tasolle vasta vuosien 2050 ja 2060 välillä (Jones et al., 2009, s. 6055 6056). Otsonimäärän tiedetään muuttuvan luonnollisesti Auringon aktiivisuuden ja Singaporen tuulen vaikutuksesta (Angell & Korshover, 1964; Angell, 1989). Näiden vaikutus halutaan yleensä huomioida mallinnusprosessin aikana, sillä muutoin nämä vaikuttavat tarpeettomasti trendiin. Tämän tutkielman tavoittena on satelliittihavaintoja käyttämällä selvittää, miten otsonimäärä on kehittynyt ilmakehässä leveyspiirien 10 astetta pohjoista leveyttä (10 N) ja 20 astetta pohjoista leveyttä (20 N) välissä korkeusalueella 35.5 45 km vuosien 1984 ja 2011 välillä, kun on otettu huomioon tunnetut luonnolliset tekijät. Tätä mallinnetaan tila-avaruusmalleilla, jotka ovat suosittuja aikasarja-analyysin menetelmiä. 1

MERKINNÖISTÄ 2 Erityisen hyödyllisiä tila-avaruusmallit ovat tilanteissa, joissa malli voidaan jakaa osiin, kuten trendiin, kausivaihteluun ja regressiokomponentteihin. Laskennallisesti tehokkailla menetelmillä, kuten Kalmanin suotimella ja tasoituksella, voidaan laskea tehokkaasti mallin eri osien vaikutukset (Durbin & Koopman, 2012, s. 1 2). Toisinaan mallin tuntemattomien parametrien arviointi ei kuitenkaan ole helppoa. Vaikka Kalmanin suotimella voidaankin laskea tilat helposti, saattaa malli sisältää muita tuntemattomia parametreja. Näiden laskemiseen voidaan käyttää viime aikoina hyvin suosituksi nousseita MCMC-pohjaisia simulointimenetelmiä (Särkkä, 2013, luku 12). Ensimmäisessä luvussa käydään läpi yleistä tila-avaruusmallien teoriaa. Siinä näytetään, kuinka tila-avaruusmalleja voidaan käyttää esittämään useita erilaisia aikasarja-analyysin malleja ja esitetään menetelmiä tilojen ja mallin määrittämisessä mahdollisesti olevien tuntemattomien parametrien estimointiin. Toisessa luvussa esitellään kaksi Metropolis-algoritmin laajennusta sekä niiden yhdistelmä ja näytetään, kuinka niitä voidaan hyödyntää tila-avaruusmallien sovittamisessa. Kolmannessa luvussa esitellään käytössä oleva aineisto ja näytetään, kuinka kahdessa ensimmäisessä luvussa esiteltyjä menetelmiä voidaan käyttää otsonimäärän analysointiin. Lopuksi esitellään keskeisimmät tulokset ja tarkastellaan mallin sopivuutta. Merkinnöistä Tässä tutkielmassa käytetään toistuvasti seuraavia merkintöjä. Muut merkinnät esitellään asiayhteydessä. Y t on vastemuuttuja hetkellä t ja y t vastaava tehty havainto y 1:t tarkoittaa kaikkia havaintoja ajanhetkien 1 ja t välillä T on viimeisimmän havainnon ajanhetki A 1 on matriisin A käänteismatriisi A T on matriisin A transpoosi diag(x) tarkoittaa diagonaalimatriisia, jonka diagonaalilla on vektorin x alkiot blockdiag(a 1,..., A n ) tarkoittaa lohkodiagonaalista matriisia, jonka lohkoina ovat matriisit A 1,..., A n E[X] on satunnaismuuttujan X odotusarvo Var(X) on satunnaismuuttujan X varianssi X Y on satunnaismuuttuja X ehdolla Y N p on p-ulotteinen normaalijakauma R p on p-ulotteinen euklidinen avaruus Jakaumien yhteydessä isot kirjaimet (esim. P, Q) viittaavat jakaumiin ja pienet kirjaimet (esim. p, q) niiden tiheys- tai pistetodennäköisyysfunktioihin

LUKU 1 Tila-avaruusmallien teoriaa Tässä tila-avaruusmallien teoriaa käsittelevässä luvussa esitellään tila-avaruusmallien peruskäsitteitä ja näytetään, kuinka muutamia erilaisia aikasarja-analyysin malleja voidaan esittää tila-avaruusmalleina. Tämän luvun pääasiallinen lähde on kirja Dynamic Linear Models with R (Petris et al., 2009). 1.1. Dynaaminen lineaarinen regressio Dynaaminen lineaarinen regressio on tila-avaruusmallien erikoistapaus, jossa tilojen kehitys ja tilojen kuvautuminen havainnoiksi oletetaan lineaarisiksi ja kaikki satunnaisvaihtelu oletetaan normaalijakautuneeksi. Yksiulotteinen dynaaminen lineaarinen malli voidaan kirjoittaa (1.1) (1.2) Y t = F t θ t + v t, v t N 1 (0, V t ), θ t = G t θ t 1 + w t, w t N p (0, W t ), t = 1,..., T. Satunnaismuuttujat v t ja w t oletetaan keskenään riippumattomiksi. Yhtälöllä (1.1) kuvataan sitä, miten tilat kuvautuvat havainnoiksi ja yhtälöllä (1.2) sitä, miten tilat kehittyvät ajan suhteen. Yhtälöä (1.1) kutsutaan havaintoyhtälöksi ja yhtälöä (1.2) tilayhtälöksi. Mallissa esiintyvien matriisien ja vektoreiden koot esitetään taulukossa 1.1. Taulukko 1.1. Dynaamisen lineaarisen regression matriisien ja vektorien koot ja tulkinnat Merkintä koko tarkoitus Y t skalaari vastemuuttuja hetkellä t θ t p 1 tilavektori F t 1 p liittää tilavektorin havaintoon G t p p määrittää tilojen kehittymisen V t skalaari satunnaismuuttujan v t varianssi W t p p tilojen kehityksen kovarianssimatriisi 3

1.2. MALLIN MÄÄRITTÄMINEN 4 1.2. Mallin määrittäminen Tila-avaruusmallit rakentuvat erilaisista mallikomponenteista. Näitä ovat muun muassa trendi, taustamuuttujat ja kausivaihtelu. Eri malleja voidaan myös yhdistellä. 1.2.1. Trendin mallintaminen. Aikasarjan trendillä tarkoitetaan aikasarjan keskimääräisen tason muutosta pitkällä aikavälillä. Se, mitä pitkällä aikavälillä tarkoitetaan, riippuu tietysti aikasarjan pituudesta. Lyhyissä aikasarjoissa trendiltä näyttävä ilmiö voi olla osa pitkäjaksoista syklistä vaihtelua, mutta lyhyen aikasarjan osalta sitä on kuitenkin usein järkevää mallintaa trendinä. (Chatfield, 2003, s. 12) Kaikkein yksinkertaisimmillaan aikasarjan tasoa voidaan mallintaa lokaalilla tasomallilla. Määritellään G = 1 ja F = 1, jonka seurauksena yhtälöt (1.1) ja (1.2) yksinkertaistuvat muotoon Y t = µ t + v t, v t N 1 (0, V t ), µ t = µ t 1 + w t,µ, w t,µ N 1 (0, σ 2 µ). Tässä tilavektori on normaalisti jakautunut skalaariarvoinen satunnaiskulku. Mikäli σ 2 µ = 0, ei tila muutu ajan suhteen lainkaan, eli µ t = µ kaikilla t = 1,..., T. Parametri µ kuvaa koko aikasarjan keskimääräistä tasoa. Tällaista mallia kutsutaan deterministiseksi lokaaliksi tasomalliksi. Mallia voidaan laajentaa sisällyttämällä siihen trendikomponentti. Tällaisessa mallissa tilavektori on kaksiulotteinen. Malli voidaan kirjoittaa Y t = µ t + v t, v t N 1 (0, V t ), µ t = µ t 1 + α t 1 + w t,µ, w t,µ N 1 (0, σ 2 µ), α t = α t 1 + w t,α, w t,α N 1 (0, σ 2 α). Tässä µ t kuvaa aikasarjan tasoa hetkellä t ja α t kulmakerrointa hetkellä t. Havainnot muodostuvat pelkästään ensimmäisestä tilakomponentista (µ t ) ja kohinasta (v t ). Toinen tilakomponentti ei vaikuta suoraan havaintoihin, mutta ensimmäinen tilakomponentti saadaan molempien tilakomponenttien summana, eli toinen tilakomponentti vaikuttaa ensimmäisen tilakomponentin kehittymiseen. Ensimmäisen tilakomponentin arvo voi siis muuttua kahdella tavalla: suoraan satunnaismuuttujan w t,µ välityksellä ja sen lisäksi toisen tilakomponentin välityksellä. Mikäli σ 2 µ = σ 2 α = 0, niin kyseessä on normaali lineaarinen regressiomalli, jota voidaan sanoa lokaaliksi lineaariseksi trendimalliksi, jossa on deterministinen taso ja kulmakerroin. Mikäli tilakomponentti α t on stokastinen (σ 2 α > 0), voidaan sitä ajatella regressiokertoimena, jonka arvo voi muuttua ajan suhteen. Samaan tapaan voidaan kirjoittaa myös yleinen asteen n trendimalli, jossa tilavektori on n-ulotteinen vektori (µ t, α t,1,..., α t,n 1 ) T. Tässä

1.2. MALLIN MÄÄRITTÄMINEN 5 ensimmäinen tilakomponentti µ kuvaa aikasarjan tasoa ja tilakomponentti α j sitä, kuinka tilakomponentti α j 1 kehittyy seuraavalla aikavälillä. Yksityiskohtaista toteuttamista varten katso Petris et al. (2009, s. 99 100). 1.2.2. Taustamuuttujat. Usein ollaan kiinnostuneita siitä, miten aikasarjan keskimääräinen taso muuttuu, kun jonkin toisen muuttujan arvo muuttuu. Lisäksi joissain sovelluksissa ollaan kiinnostuneita siitä, millaista trendiä jää jäljelle, kun tunnettujen taustamuuttujien vaikutus on eliminoitu pois. Molempiin kysymyksiin voidaan vastata sisällyttämällä malliin selittäjäksi halutut taustamuuttujat. Dynaamiseen lineaariseen malliin on helppo sisällyttää taustamuuttujia. Tällainen malli, eli dynaaminen regressiomalli, voidaan kirjoittaa Y t = β 0,t + k β i,t x i,t + ɛ t, ɛ t N 1 (0, σ 2 ). i=1 Mikäli kaikki parametrit β oletetaan vakioiksi, vastaa tämä normaalia lineaarista regressiomallia. Tila-avaruusmallien merkinnöillä tämä toteutetaan asettamalla vektori β = (β 0,..., β k ) T tilavektoriksi ja F t vastaamaan taustamuuttujien arvoja. Mikäli tilojen satunnaiskulku sallitaan, voidaan tämä kirjoittaa Y t = β 0,t + k β i,t x i,t + v t, v t N 1 (0, V t ), i=1 β t = β t 1 + w t,β, w t N k+1 (0, W t ). Dynaamista regressiomallia voidaankin ajatella tavallisen lineaarisen regressiomallin yleistyksenä, jossa regressiokertoimet voivat muuttua ajan suhteen. 1.2.3. Kausivaihtelu. Kausivaihtelu on aikasarjassa esiintyvää jaksollista vaihtelua. Kausivaihtelu voi olla esimerkiksi sitä, että aikasarjan taso on järjestelmällisesti erilainen eri vuodenaikoina tai vaikkapa eri vuorokaudenaikoina. (Chatfield, 2003, s. 12) Kausivaihtelua voidaan mallintaa tila-avaruusmalleilla useilla eri tavoilla. Kaikkein yksinkertaisin tapa toteuttaa tämä on estimoida oma parametri kullekin jakson hetkelle, esimerkiksi kuukausittaisen aineiston tapauksessa jokaiselle kuukaudelle. Tässä tutkielmassa käytetään kuitenkin Fourier-muotoa, jolla on erinäisiä hyviä puolia yksinkertaisempiin menetelmiin verrattuna. Merkitään kirjaimella s sitä, kuinka monta ajanhetkeä jaksossa on. Mikäli esimerkiksi aineisto on kuukausittaista ja mallinnetaan sitä, miten kukin kuukausi poikkeaa keskimäärin koko vuoden keskiarvosta, niin s = 12, koska vuodessa on 12 kuukautta. Vastaavasti jos mittauksia on neljännesvuosittain, niin s = 4.

1.2. MALLIN MÄÄRITTÄMINEN 6 Fourier-menetelmä perustuu siihen, että s-ulotteinen avaruus viritetään s kappaleella vektoreita, jotka muodostuvat trigonometristen funktioiden arvoista niin sanottuilla Fourier-taajuuksilla. Oletetaan ensin, että s on parillinen. Määritellään Fourier-taajuudet ω j = 2πj s, j = 1,..., s 2. Näiden avulla kausivaihtelun vaikutus hetkellä t voidaan kirjoittaa γ t = s 2 (a j cos(ω j t) + b j sin(ω j t)) j=1 joillain a j, b j R kaikilla j = 1,..., s. Koska s on parillinen, pätee 2 ω s = π ja edelleen sin(ω s t) = 0 kaikilla t = 1,..., T. Näin ollen 2 2 viimeinen sin-termi voidaan jättää huomioimatta. Trigonometriset funktiot vaihtavat merkkiään sitä tiheämmän, mitä suurempi j on. Tätä voidaan havainnollistaa piirtämällä trigonometristen funktioiden arvoja eri taajuuksilla (ks. esim. Petris et al., 2009, s. 104). Mikäli kausivaihtelun halutaan voivan muuttua ajan suhteen, kirjoitetaan kausivaihtelun vaikutus hetkellä t γ t = s 2 ζ t,j, j=1 jossa parametri ζ j saadaan päivityskaavojen ja ζ t,j = ζ t 1,j cos ω j + ζ t 1,j sin ω j + w t,ζj, w t,ζj N 1 (0, σ 2 ζ j ) ζ t,j = ζ t 1,j sin ω j + ζ t 1,j cos ω j + w t,ζ j, w t,ζ j N 1 (0, σ 2 ζ j ) avulla kaikille j = 1,..., s 2. Huomaa, että päivityskaavoissa tarvitaan myös tilat ζ j, jotka eivät ole mukana komponentissa γ t. Edellä oletettiin, että s on parillinen. Tämä oletus onkin hyvin usein voimassa, sillä usein kausivaihtelun ajatellaan muodostuvan esim. 12 kuukaudesta tai neljästä kvartaalista. Jos s ei ole parillinen, niin edelliset kaavat vaativat pieniä muutoksia (ks. esim. Petris et al., 2009, s. 108 109). Usein satunnaiskulkuun liittyvät varianssit oletetaan samaksi kaikille tilakomponenteille. Kuten kirjassa Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter (Harvey, 1990, s. 43) todetaan, ei varianssikomponenttien asettaminen samaksi yleensä huononna mallia paljoa, mutta tekee numeerisesta optimoinnista huomattavasti helpompaa. Monesti kausivaihtelu on luonteeltaan esimerkiksi vain vuosittaista tai puolivuosittaista. Tämä onkin yksi Fourier-muodon eduista, sillä

1.2. MALLIN MÄÄRITTÄMINEN 7 Fourier-muodon käyttö antaa mahdollisuuden käyttää vain osaa taajuuksista. Jos vaihtelu on täysin harmonista, aineisto on kuukausittaista ja pisin ajateltu jakson pituus on yksi vuosi, vastaa ensimmäinen taajuus vuosivaihtelua, toinen puolivuosivaihtelua jne. Jos käytetään kaikkia taajuuksia, niin Fourier-muodon käyttö vastaa tilannetta, jossa kullekin jakson hetkelle estimoidaan oma parametrinsa. 1.2.4. Mallikomponenttien yhdistäminen. Dynaamiset lineaariset mallit koostuvat usein useammasta eri komponentista. Malliin voi kuulua esimerkiksi sekä trendi- että kausivaihtelukomponentit. Oletetaan, että haluttu malli koostuu S eri komponentista, joiden tilat havainnoiksi kuvaavat matriisit ovat F 1,t,..., F S,t, tilavektorit Θ 1,t,..., Θ S,t, tilojen kehittymistä kuvaavat matriisit G 1,t,..., G S,t ja tilojen kehittymisen satunnaisuuteen liittyvät kovarianssimatriisit W 1,t,..., W S,t. Nyt olettamalla että eri mallikomponenttien kehitys ja kehitykseen liittyvä satunnaisuus ovat riippumattomia, koko mallin määrittävät matriisit saadaan kirjoittamalla θ t = ( Θ 1,t,..., Θ S,t ) T, F t = (F 1,t,..., F S,t ), G t = blockdiag(g 1,t,..., G S,t ) ja W t = blockdiag(w 1,t,..., W S,t ). Edellä esitettiin, kuinka voidaan mallintaa trendiä, taustamuuttujien vaikutusta ja kausivaihtelua. Jos halutaan tehdä malli, jossa esiintyy nämä kaikki, voidaan nämä yhdistää samaan malliin. Esimerkiksi havaintoyhtälö malliin, joka sisältää lineaarisen trendin, jossa on stokastinen kulmakerroin, kolme taustamuuttujaa ja kuukausittainen kausivaihtelu, jossa on yhteinen varianssiparametri, voidaan kirjoittaa Y t = µ t + β t,1 X 1 (t) + β t,2 X 2 (t) + β t,3 X 3 (t) +ζ t,1 + ζ t,2 + ζ t,3 + ζ t,4 + ζ t,5 + ζ t,6 + v t, v t N 1 (0, σ 2 ɛ ),

1.3. TILOJEN ESTIMOINTI JA ENNUSTAMINEN 8 ja tilayhtälöt µ t = µ t 1 + α t 1 α t = α t 1 + w t,α, w t,α N 1 (0, σα) 2 β t,1 = β t 1,1 + w t,β1, w t,β1 N 1 (0, σ 2 β 1 ) β t,2 = β t 1,2 + w t,β2, w t,β2 N 1 (0, σ 2 β 2 ) β t,2 = β t 1,3 + w t,β3, w t,β3 N 1 (0, σβ 2 3 ( ) ( ) πi πi ζ t,i = ζ t 1,i cos + ζt 1,i sin + w t,ζi, w t,ζi N 1 (0, σ 2 6 6 ζ) ( ) ( ) πi πi ζt,i = ζ t 1,i sin + ζt 1,i cos + w t,ζ 6 6 i, w t,ζ i N 1 (0, σζ) 2 ζ t,6 = ζ t 1,6 + w t,ζ6, w t,ζ6 N 1 (0, σ 2 ζ), i = 1,..., 5. Merkitsemällä kunkin mallin komponentin tilojen kehittymisen määrääviä matriiseja G trendi = ( 1 1 0 1 ), G reg = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ( cos( πi πi ) sin( G kausi,i = 6 sin( πi πi ) cos( 6 ) 6 ) 6 ),, i = 1,..., 5 ja G kausi,6 = ( 1), koko malli voidaan esittää matriisimuodossa kirjoittamalla θ t = (µ t, α t, β t,1, β t,2, β t,3, ζ t,1, ζ t,1, ζ t,2, ζ t,2, ζ t,3, ζ t,3, ζ t,4, ζ t,4, ζ t,5, ζ t,5, ζ t,6 ) T, G = blockdiag(g trendi, G reg, G kausi,1, G kausi,2, G kausi,3, G kausi,4, G kausi,5, G kausi,6 ), F t = (1, 0, X 1 (t), X 2 (t), X 3 (t), 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1), W = diag(0, σ 2 α, σ 2 β 1, σ 2 β 2, σ 2 β 3, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ, σ 2 ζ). 1.3. Tilojen estimointi ja ennustaminen Tilojen estimoinnilla tarkoitetaan tilojen ehdollisten jakaumien laskemista ehdolla havainnot. Tilojen ehdollisia jakaumia voidaan merkitä yleisesti θ s y 1:t. Tämä voidaan jakaa kolmeen eri tapaukseen. Kun s = t, puhutaan tilojen suodatuksesta (engl. filtering). Tässä tapauksessa havainnot tunnetaan tarkasteltavaan ajanhetkeen asti. Tämä on tilanne useassa käytännön sovelluksessa, kun aineistoa saadaan

1.3. TILOJEN ESTIMOINTI JA ENNUSTAMINEN 9 käyttöön ajanjaksoittain ja ollaan kiinnostuneita systeemin tämän hetkisestä tilasta. Tilojen estimointia tilanteessa s < t kutsutaan tilojen tasoitukseksi (engl. smoothing). Tässä tapauksessa tunnetaan havaintoja myös tarkasteltavasta ajanhetkestä eteenpäin. Tämä on kiinnostavaa esimerkiksi tilanteissa, joissa tunnetaan koko tarkasteltavan ajanjakson havainnot ja halutaan retrospektiivisesti tutkia ilmiötä. Tilannetta s > t kutsutaan ennustamiseksi (engl. forecasting). Ennustamisessa halutaan laskea tilojen jakaumat tulevilla ajanhetkillä. Etenkin aikasarja-analyysissä ennustaminen on monesti pääasiallinen kiinnostuksen kohde. 1.3.1. Kalmanin suodin. Kalmanin suotimen tarkoituksena on laskea tilojen jakaumat hetkellä t ehdolla havainnot samaan hetkeen asti. Lineaarisessa ja gaussisessa tila-avaruusmallissa tilat ovat normaalisti jakautuneita, joten voidaan merkitä θ t y 1:t N p (m t, C t ). Näin ollen ehdollisen jakauman määrittämiseen riittää ehdollisen odotusarvon m t = E[θ t y 1:t ] ja ehdollisen kovarianssimatriisin C t = Var(θ t y 1:t ) laskeminen. Nämä saadaan laskettua seuraavien vaiheiden kautta (ks. todistus Petris et al., 2009, s. 54 55). (1) Oletetaan, että θ t 1 y 1:t 1 N p (m t 1, C t 1 ), jossa m t 1 ja C t 1 tunnetaan. (2) Lasketaan yhden askeleen ennustejakauma tilavektorille θ t ehdolla havainnot y 1:t 1. θ t y 1:t 1 N p (a t, R t ), jossa a t = E[θ t y 1:t 1 ] = G t m t 1 R t = Var(θ t y 1:t 1 ) = G t C t 1 G T t + W t (3) Lasketaan yhden askeleen ennustejakauma vastemuuttujalle Y t ehdolla havainnot y 1:t 1. Vastemuuttuja Y t y 1:t 1 noudattaa normaalijakaumaa keskiarvolla f t ja varianssilla Q t. f t = E[Y t y 1:t 1 ] = F t a t Q t = Var(Y t y 1:t 1 ) = F t R t Ft T + V t (4) Lasketaan ennustevirhe e t = y t f t. Tämän avulla saadaan laskettua tilavektorin ehdollinen odotusarvo ja kovarianssimatriisi m t = E[θ t y 1:t ] = a t + R t F T t Q 1 t e t ja C t = Var(θ t y 1:t ) = R t R t Ft T Q 1 t F t R t. Tilavektorin ehdollinen odotusarvo m t saadaan siis korjaamalla tilojen ennusteen odotusarvovektoria ennustevirheellä painotetulla vektorilla R t Ft T Q 1 t. Näin ollen yksittäisen havainnon y t vaikutuksen suuruus riippuu luvun Q t kautta vastemuuttujan varianssista V t ja tilojen kovarianssimatriisista R t.

1.3. TILOJEN ESTIMOINTI JA ENNUSTAMINEN 10 Tässä ratkaisussa ongelmaksi voi nousta laskennallinen epästabiilisuus matriisia C t laskettaessa. Tätä varten on kehitetty useita algoritmeja, jotka parantavat laskennallista vakautta. Tässä tutkielmassa käytetty R-paketti käyttää matriisin C t singulaariarvohajotelmaan (engl. singular value decomposition, SVD) perustuvaa algoritmia. 1.3.2. Tilojen tasoitus. Tilojen tasoituksessa halutaan laskea tilojen ehdolliset jakaumat hetkellä t < T, kun kaikki havainnot ovat tiedossa. Myös tässä tapauksessa tilat ovat normaalisti jakautuneita, joten voidaan merkitä θ t y 1:T N p (s t, S t ). Tilavektorin ehdollinen odotusarvo s t ja ehdollinen kovarianssimatriisi S t voidaan laskea hyödyntämällä Kalmanin suotimen laskukaavoissa esiintyviä matriiseja. Laskeminen tapahtuu laskemalla ensin Kalmanin suotimella ehdollinen jakauma θ T y 1:T ja tämän avulla rekursiivisesti jakaumat θ t y 1:T kaikilla t = T 1, T 2,..., 2, 1. Oletetaan, että θ t+1 y 1:T N p (s t+1, S t+1 ). Nyt θ t y 1:T N p (s t, S t ), jossa s t = m t + C t G T t+1rt+1(s 1 t+1 a t+1 ) ja S t = C t C t G T t+1rt+1(r 1 t+1 S t+1 )Rt+1G 1 t+1 C t. Todistus Petris et al. (2009, s. 61 62). 1.3.3. Ennustaminen. Ennustamisessa ollaan kiinnostuneita tilojen ja vastemuuttujan ehdollisista jakaumista ajanhetkillä, joilta ei ole havaintoja. Merkitään tilojen ennustejakaumaa θ t+k y t ja vastemuuttujan ennustejakaumaa Y t+k y t kaikilla k N. Samoin kuin Kalmanin suotimen ja tasoituksen tapauksissa, myös nämä ehdolliset jakaumat ovat normaalijakaumia ja näin ollen riittää laskea näiden odotusarvot ja kovarianssimatriisit. Tapaus k = 1 saadaan Kalmanin suotimen sivutuotteena, mutta usein ollaan kuitenkin kiinnostuneita ennustamaan tilojen tai vastemuuttujan arvoja myös pidemmälle. Määritellään aluksi neljä uutta merkintää. a t (k) = E[θ t+k y 1:t ] R t (k) = Var(θ t+k y 1:t ) f t (k) = E[Y t+k y 1:t ] Q t (k) = Var(Y t+k y 1:t ) Lisäksi asetetaan a t (0) = m t ja R t (0) = C t. Näiden avulla saadaan laskettua jakaumien θ t+k y t ja Y t+k y t keskiarvot ja kovarianssimatriisit seuraavasti: a t (k) = G t+k a t (k 1) R t (k) = G t+k R t (k 1)G T t+k + W t+k f t (k) = F t+k a t (k) Q t (k) = F t+k R t (k)ft+k T + V t Todistus Petris et al. (2009, s. 71).

1.4. TILOJEN SIMULOINTI 11 1.3.4. Puuttuvan tiedon käsittely. Havaitusta aikasarjasta puuttuu usein yksi tai useampia havaintoja. Kalmanin suodin perustuu yhden askeleen ennusteeseen, jota korjataan havaitun arvon perusteella lasketun ennustevirheen avulla. Mikäli havaintoa ei ole tehty, ei korjausta tehdä ja suodatetuksi odotusarvoksi asetetaan suoraan ennuste ja suodatetuksi varianssiksi ennusteen varianssi. Tilanteessa, jossa useita peräkkäisiä havaintoja puuttuu, ennustetaan niin monta arvoa eteenpäin kuin mitä havaintoja puuttuu. Tämä on teknisesti helppo toteuttaa asettamalla F t = 0 kaikille t, joilla havainto puuttuu. (Petris et al., 2009, s. 59) Koska tilojen tasoitus perustuu Kalmanin suotimen rekursiiviseen käyttöön, ei havaintojen puuttuminen vaadi tasoituskaavojen muokkaamista. 1.3.5. Alustus. Edellä esitetty teoria edellyttää, että tilojen jakauma hetkellä t = 1 tunnetaan kokonaan. Usein käytännön sovelluksissa tämä ei kuitenkaan toteudu. Yksinkertainen menetelmä tämän ongelman ratkaisemiseksi on niin sanottu diffuusi alustus. Diffuusissa alustuksessa asetetaan θ 1 N p (0, diag(,..., )). Käytännössä varianssiksi ei kuitenkaan voida asettaa ääretöntä, joten varianssiksi asetetaan jokin riittävän iso luku. Liian ison varianssin valitseminen voi johtaa helposti isoihin pyöristysvirheisiin, joten diffuusin alustuksen käyttö edellyttää huolellisuutta. On kehitetty myös menetelmiä, joilla tästä ongelmasta päästään eroon, mutta tässä tutkielmassa käytetään diffuusia alustusta menetelmän yksinkertaisuuden vuoksi. (Durbin & Koopman, 2012, s. 124 125) 1.4. Tilojen simulointi Edellä on näytetty, kuinka tiloille voidaan laskea estimaatteja Kalmanin suotimella ja tasoituksella. Toisinaan on kuitenkin hyödyllistä voida simuloida arvoja tilojen jakaumasta θ 0:T y 1:T. Tätä tarvitaan muun muassa silloin, kun tiloista halutaan laskea epälineaarisia tunnuslukuja. Toinen sovelluskohde on bayesläinen mallinnus, jota esitellään luvussa 2. Yksi tapa simuloida tiloja on FFBS-algoritmi, joka on akronyymi sanoista Forward Filtering Backward Sampling. FFBS-algoritmin ideana on ensin laskea Kalmanin suotimella jakauman θ T y 1:T parametrit ja sen jälkeen rekursiivisesti takaperin edeten kaikki loput jakaumat. Voidaan näyttää (esim. Petris et al., 2009, s. 162), että θ t θ t+1:t, y 1:T on sama jakauma kuin θ t θ t+1, y 1:T ja tämä on moniulotteinen normaalijakauma N p (h t, H t ), jossa ja h t = m t + C t G T t+1r 1 t+1 (θ t+1 a t+1 ) H t = C t C t G T t+1r 1 t+1g t+1 C t.

1.5. TUNTEMATTOMIEN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 12 Tässä m t, C t, R t+1 ja a t+1 saadaan Kalmanin suotimesta ja G t+1 on määritelty mallissa. Algoritmi etenee siis seuraavasti: (1) Aja Kalmanin suodin (2) Arvo θ T jakaumasta N p (m T, C T ) (3) Toista kaikilla t = T 1,..., 0: (a) Laske parametrit h t ja H t (b) Arvo θ t jakaumasta N p (h t, H t ) 1.5. Tuntemattomien parametrien estimointi Kalmanin suotimen ja tasoituksen käyttö edellyttää, että kaikki mallin määrittävät matriisit F t, G t, V t ja W t tunnetaan täysin. Näin ei kuitenkaan ole useissa käytännön tilanteissa. Erityisesti havaintovarianssia V t ja tilojen kehityksen kovarianssimatriisia W t ei usein tunneta. Kootaan kaikki matriisien F t, G t, V t ja W t tuntemattomat parametrit yhteen vektoriin ψ. Kun ψ on asetettu johonkin arvoon, niin kaikkien havaintojen yhteisjakauma voidaan kirjoittaa p(y 1,..., y n ; ψ). Uskottavuusfunktio on vakiokerrointa lukuun ottamatta tämä yhteistiheysfunktio tulkittuna parametrin ψ funktiona. (1.3) L(ψ) = c p(y 1,..., y n ; ψ) = c n p(y t y 1:t 1 ; ψ), jossa c R. Lausekkeen oikealla puolella olevat jakaumat ovat lineaarisen ja gaussisen mallin tapauksessa normaalijakaumia, joiden tiheysfunktiot voidaan kirjoittaa suljetussa muodossa. Näin ollen uskottavuusfunktion logaritmi voidaan kirjoittaa muodossa t=1 (1.4) l(ψ) = 1 2 n log Q t,ψ 1 2 t=1 n t=1 (y t f t,ψ ) T Q 1 t,ψ (y t f t,ψ ), jossa f t,ψ ja Q t,ψ saadaan Kalmanin suotimesta. Suurimman uskottavuuden estimaattori on vektori ˆψ, joka maksimoi funktion l(ψ). ˆψ = argmax(l(ψ)) Käytännössä funktiota l(ψ) optimoidaan aina numeerisesti. Dynaamisten lineaaristen mallien uskottavuusfunktiolla voi olla useita lokaaleja maksimeja, joten numeeristen optimointialgoritmien käyttö edellyttää huolellisuutta. On suositeltavaa aloittaa optimointi useista eri alkupisteistä ja tarkastella, että konvergoiko algoritmi aina samaan pisteeseen. (Petris et al., 2009, s. 144) Toinen mahdollinen ongelma muodostuu, jos uskottavuusfunktio on hyvin lattea. Tällöin suurimman uskottavuuden estimaattorin varianssi

1.5. TUNTEMATTOMIEN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 13 on suuri ja uskottavuusfunktion arvo on likimain sama useilla eri vektoreilla ψ. Tämä tilanne esiintyy muun muassa silloin, kun malli on yliparametrisoitu. Suurimman uskottavuuden estimaattorin varianssia voidaan arvioida logaritmisen uskottavuusfunktion Hessen matriisin avulla, sillä tietyin lievin ehdoin suurimman uskottavuuden estimaattori on asymptoottisesti normaalisti jakautunut vektorin ˆψ ympäristössä. Tällöin logaritmisen uskottavuusfunktion Hessen matriisin käänteismatriisin H 1 arvo pisteessä ˆψ estimoi suurimman uskottavuuden estimaattorin varianssia. (Petris et al., 2009, s. 144) Optimoimisen sijasta uskottavuusfunktiota voidaan myös simuloida. Simuloinnin etuna on, että siinä paljastuu helposti, mikäli uskottavuusfunktio on hyvin lattea. Näin ollen parametrien estimoinnissa oleva epävarmuus tulee huomioiduksi. Simulointialgoritmeja ja niiden soveltamista tila-avaruusmalleihin esitellään luvussa 2.

LUKU 2 Metropolis-algoritmin laajennuksia Simulointiin perustuvat menetelmät ovat yleistyneet tilastotieteessä huimasti viime vuosikymmenien aikana. Sen sijaan, että laskettaisiin satunnaismuuttujan jakauma ja siitä johdettuja tunnuslukuja analyyttisesti, simuloinnissa pyritään saamaan satunnaisotos satunnaismuuttujan jakaumasta ja lasketaan halutut tunnusluvut siitä. Mikäli esimerkiksi haluttaisiin laskea piste, jonka alapuolelle jää 95 % havainnoista, voidaan simuloida lukuja kyseisestä jakaumasta ja laskea, minkä pisteen alapuolelle jää 95 % simuloiduista arvoista. (Gelman et al., 2003, s. 25) Simulointia voidaan hyödyntää tila-avaruusmalleissa muun muassa tuntemattomien parametrien estimoinnissa. Tässä tutkielmassa käytetään menetelmää, jossa Kalmanin suotimesta laskettavaa uskottavuusfunktiota (funktio (1.3) sivulla 12) simuloidaan. Tämä tekniikka on esitetty kirjassa Bayesian Filtering and Smoothing (Särkkä, 2013). Joissain tapauksissa halutusta jakaumasta voidaan simuloida lukuja suoraan. Esimerkiksi normaalijakauman tapaukseen on kehitetty useita menetelmiä, jolla voidaan simuloida toisistaan riippumattomia lukuja normaalijakaumasta (esim. Box & Muller, 1958). Usein ei kuitenkaan ole mahdollista tai laskennallisesti kannattavaa pyrkiä simuloimaan toisistaan riippumattomia lukuja. Metropolis et al. (1953) esittivät menetelmän, jossa seuraava simuloitu luku voi riippua edellisestä simuloidusta luvusta. Vaikka tämä nykyisin Metropolis-algoritmina tunnettu menetelmä esitettiinkin alunperin fysiikan numeerisena integrointimenetelmänä, käytetään sitä nykyisin hyvin laajasti satunnaislukujen simulointiin eri todennäköisyysjakaumista. Metropolis-algoritmi vaatii jonkin verran säätötoimenpiteitä, joten sen käyttö voi olla hyvin työlästä erityisesti moniulotteisissa tapauksissa. Tätä varten on kehitetty adaptiivisia Metropolis-algoritmeja (engl. Adaptive Metropolis, AM ), jotka säätävät itse itsensä. Tässä tutkielmassa esitellään niistä yksi (Haario et al., 2001). Toinen varsin suosittu Metropolis-algoritmin parannus on viivästetyn hylkäyksen menetelmä (engl. Delayed Rejection, DR), jonka esittivät nykymuodossaan Tierney & Mira (1999). Siinä ideana on hyödyntää useita eri ehdotusjakaumia samassa algoritmissa. Haario et al. (2006) näyttivät, että nämä kaksi tehokasta menetelmää voidaan myös yhdistää viivästetyn hylkäyksen adaptiiviseksi Metropolis-algoritmiksi (engl. Delayed Rejection Adaptive Metropolis, DRAM ). 14

2.1. METROPOLIS-ALGORITMI 15 Tässä luvussa esitellään aluksi tavanomainen Metropolis-algoritmi. Tämän jälkeen esitellään adaptiivinen Metropolis-algoritmi ja viivästetyn hylkäyksen Metropolis-algoritmi ja näytetään, kuinka nämä kaksi menetelmää voidaan yhdistää viivästetyn hylkäyksen adaptiiviseksi Metropolis-algoritmiksi. Lopuksi näytetään konkreettisesti, miten tätä DRAM-menetelmää voidaan hyödyntää tila-avaruusmallien sovittamisessa. Vaikka tässä tutkielmassa hyödynnetäänkin simulointimenetelmiä vain tila-avaruusmalleissa, esitetään kaikki simulointiin liittyvä teoria yleistä notaatiota käyttäen, koska tässä tutkielmassa esiteltävät simulointimenetelmät eivät sinänsä ole suunniteltu mihinkään yksittäiseen sovelluskohteeseen. Myös liitteessä A esitetty funktio DRAM on kirjoitettu siten yleiskäyttöiseksi, että sitä voidaan hyödyntää myös muiden jakaumien simuloinnissa. 2.1. Metropolis-algoritmi Metropolis-algoritmin tavoitteena on poimia satunnaisotos todennäköisyysjakaumasta, jonka tiheysfunktion arvot voidaan laskea skaalaustekijää lukuunottamatta. Metropolis-algoritmi ei tuota toisistaan riippumattomia lukuja, sillä seuraava arvottu luku riippuu aina edellisestä luvusta. Tämä ei kuitenkaan ole välttämättä ongelma, sillä tunnuslukuja voidaan estimoida harhattomasti myös toisistaan riippuvia havaintoja käyttäen (Lunn et al., 2012, s. 63). Jos kuitenkin halutaan riippumattomampia lukuja, voidaan ketjua harventaa (engl. thinning). Tällöin ketjusta käytetään vain esimerkiksi joka n:ttä arvoa (Lunn et al., 2012, s. 77). Metropolis-algoritmin ideana on, että uutta lukua ehdotetaan aina edellisen luvun perusteella. Tämä uusi luku joko hyväksytään tai hylätään tietyllä todennäköisyydellä. Näin satunnaisluvuista muodostuu ketju, joka riittävän monen simuloinnin jälkeen on edustava otos halutusta jakaumasta. Alla esitetään Metropolis-algoritmi kuten kirjassa Gelman et al. (2003, s. 289 290). Merkitään kirjaimella x satunnaismuuttujaa, jonka jakaumaa P (x) halutaan simuloida. Satunnaismuuttuja x voi olla joko skalaari- tai vektoriarvoinen muuttuja. Tässä merkitään satunnaismuuttujan x dimensiota kirjaimella d. Ehdotusjakauma on symmetrinen jakauma Q(x x t 1 ), jolle siis pätee Q(x x t 1 ) = Q(x t 1 x) (1) Valitse aloituspiste x 0 R d siten, että tiheysfunktion arvo p(x 0 ) > 0 (2) Toista t = 1, 2,...: (a) Arvo ehdokaspiste x symmetrisestä ehdotusjakaumasta Q(x x t 1 )

2.2. AM-ALGORITMI 16 (b) Laske tiheysfunktion arvojen suhde: r = p(x ) p(x t 1 ) (c) Laske hyväksymistodennäköisyys α = min(r, 1) (d) Aseta { x x t todennäköisyydellä α = x t 1 muutoin Hastings (1970) kehitti Metropolis-algoritmia siten, ettei ehdotusjakauman Q tarvitse olla symmetrinen. Tämä Metropolis-Hastingsalgoritmi on muutoin vastaava kuin Metropolis-algoritmi, mutta ehdotuksen x hyväksymistodennäköisyyden laskemisessa käytetään myös ehdotusjakauman tiheysfunktion arvoja. Katso yksityiskohdat esim. Gelman et al. (2003, s. 297). Ehdotusjakauma Q(x x t 1 ) voi teoriassa olla melkein mikä tahansa jakauma, mutta käytännön kannalta on erittäin suuri merkitys sillä, miten se valitaan. Tyypillinen valinta on esimerkiksi edellisen arvon ympärille keskittynyt tasajakauma tai normaalijakauma, mutta toisinaan käytetään myös esimerkiksi nollan suhteen peilattua tasajakaumaa. Huomaa, että sekä tasajakauma että normaalijakauma ovat symmetrisiä jakaumia, joten Metropolis-algoritmia voidaan käyttää. Mikäli aloituspiste x 0 on huono, voi ketjulla kestää jonkin aikaa, ennen kuin se pääsee alueelle, jossa p(x) on suuri. Tätä kutsutaan ketjun lämpenemiseksi. Usein onkin tapana, ettei ensimmäisiä simulointeja (ns. burn-in-jaksoa) käytetä, kun ketjusta tehdään päättelyä. (Lunn et al., 2012, s. 71 72) Hastings (1970) näytti, että Metropolis-Hastings-algoritmissa vektoriarvoisen satunnaismuuttujan x komponentit voidaan päivittää joko kaikki kerralla tai vain yksi kerrallaan. Tässä tutkielmassa rajoitutaan tarkastelemaan algoritmin versiota, jossa kaikki komponentit päivitetään kerralla. 2.2. AM-algoritmi Metropolis-algoritmia toteuttaessa tulee määrittää ehdotusjakauma Q(x x t 1 ). Tyypillinen valinta on normaalijakauma, jonka keskiarvo on ketjun edeltävän hetken sijainti x t 1 ja kovarianssimatriisi C. Kovarianssimatriisi C tulee valita huolellisesti, sillä jos varianssit ovat liian suuria, suurin osa ehdotuksista on hyvin kaukana edellisestä pisteestä ja hylkäyksiä tulee usein, mutta jos taas varianssit ovat liian pieniä, kestää kohtuuttoman pitkään, ennen kuin ketju on ehtinyt kulkea kaikilla alueilla, joissa p(x) > 0 (Gelman et al., 2003, s. 292). Lisäksi kovarianssimatriisin C ei-diagonaaliset alkiot, eli parametrien väliset kovarianssit, tulisi määrittää siten, että parametrien välinen riippuvuusrakenne huomioidaan tehokkaalla tavalla. Tämä ei ole aina helppoa,

2.3. DR-ALGORITMI 17 etenkään korkeaulotteisissa tapauksissa. Tätä varten on kehitetty menetelmiä, jotka säätävät kovarianssimatriisia C aiemmin simuloitujen arvojen perusteella. Haario et al. (2001) esittivät adaptiivisen Metropolis-algoritmin (lyh. AM), jossa kovarianssimatriisi on aina aiemmin simuloitujen arvojen empiirinen kovarianssimatriisi kerrottuna vakiolla. Ennen adaptoinnin aloittamista kuitenkin käytetään hetki käsin määriteltyä kovarianssimatriisia C 0. Ehdotusjakauma on siis jossa C t = x x t 1 N d (x t 1, C t ), { C0, t t 0 s d Cov(x 0,..., x t 1 ), muutoin. Tässä t 0 määrittää, että kuinka pitkään ketjua ajetaan ennen adaptoinnin aloittamista. Vakiokerroin s d tulee valita käsin, mutta on näytetty, että tietyssä mielessä optimaalinen valinta on s d = 2.42 d. Vakiokertoimen s d arvo riippuu siis satunnaismuuttujan x dimensiosta d. Tässä tutkielmassa käytetään tätä arvoa vakiokertoimelle s d. Huomattava on, ettei tällä tavalla simuloitu ketju enää ole Markovin ketju, sillä ehdotusjakauma riippuu koko historiasta, eikä vain edeltävästä arvosta. Haario et al. (2001) näyttivät kuitenkin, että konvergenssitulokset ovat voimassa tästä huolimatta. Haario et al. (2001) ehdottivat myös, että laskennan nopeuttamiseksi voidaan tehdä niin, että kovarianssimatriisia ei lasketa jokaisella ajanhetkellä vaan ainoastaan tietyin väliajoin. 2.3. DR-algoritmi Toinen yleinen muunnelma Metropolis-algoritmista on viivästetyn hylkäyksen Metropolis-algoritmi (lyh. DR), jonka kehittivät Tierney & Mira (1999). Viivästetyn hylkäyksen Metropolis-algoritmissa on ideana, että kun tavallisessa Metropolis-algoritmissa tulee hylkäys, niin paikallaan pysymisen sijaan yritetään uutta ehdotusta eri ehdotusjakaumalla. Tämä mahdollistaa erilaisten ehdotusjakaumien yhdistämisen samaan algoritmiin. Haario et al. (2006) vertaavat tätä tenniksen syöttöstrategiaan, jossa ensimmäisellä syöttöyrityksellä yritetään rohkeaa ässäsyöttöä, mutta toisella syöttöyrityksellä tyydytään varmempaan suoritukseen. Jakauman simuloinnissa tämä tarkoittaa, että ensimmäisellä ehdotuksella voidaan yrittää suurta, globaalia siirtymää, mutta toisella ehdotuksella pyritään varmistamaan, että ketju liikkuu edes johonkin. Tässä esitellään melko yksinkertainen versio viivästetyn hylkäyksen Metropolis-algoritmista. Tämän menetelmän on esitellyt Mira (2001).

2.4. DRAM-ALGORITMI 18 Oletetaan, että Metropolis-algoritmissa on edetty vaiheeseen, jossa ehdokaspiste x on poimittu ehdotusjakaumasta Q 1 (x x t 1 ), hyväksymistodennäköisyydeksi on laskettu α 1, mutta ehdotus päätyy hylkäykseen. Nyt poimitaan uusi ehdokaspiste x jakaumasta Q 2 (x x t 1, x ). Tämä uusi ehdokaspiste hyväksytään todennäköisyydellä [ p(x )q 1 (x x )q 2 (x i 1 x, x ) 1 min α 2 = min 1, p(x i 1 )q 1 (x x i 1 )q 2 (x x i 1, x )(1 α 1 ) ( 1, p(x ) p(x ) )] Jos ehdotusjakauma Q 2 ei riipu ensimmäisestä ehdotetusta arvosta ja se on symmetrinen, yksinkertaistuu edellinen kaava muotoon [ ( )] p(x )q 1 (x x ) 1 min 1, p(x ) p(x α 2 = min 1, ). p(x i 1 )q 1 (x x i 1 ) (1 α 1 ) On kehitetty useita eri tapoja määritellä toinen ehdotusjakauma Q 2. Tässä tutkielmassa käytetään hyvin yksinkertaista keinoa, jossa molemmat ehdotusjakaumat Q 1 ja Q 2 ovat normaalijakaumia, joiden molempien keskiarvovektori on ketjun nykyinen sijainti, x t 1. Toisen ehdotusjakauman kovarianssimatriisi on skaalaustekijää lukuunottamatta sama kuin ensimmäisen ehdotusjakauman kovarianssimatriisi. Tässä siis molemmat ehdotusjakaumat ovat symmetrisiä ja toinen ehdotusjakauma ei riipu ensimmäisestä ehdotuksesta. Näin ollen voidaan käyttää yksinkertaisempaa muotoa hyväksymistodennäköisyydestä. Ensimmäinen ehdotusjakauma on siis ja toinen ehdotusjakauma Q 1 = N d (x t 1, C) Q 2 = N d (x t 1, γc), jossa γ > 0. Parametri γ voidaan valita vapaasti, mutta useat simulointikokeet (Green & Mira, 2001; Haario et al., 2006) ovat osoittaneet, että useimmiten on hyödyllistä valita γ < 1. Olisi mahdollista rakentaa myös useamman askeleen viivästetyn hylkäyksen Metropolis-algoritmi (Haario et al., 2006). Tämä tarkoittaisi sitä, että mikäli toinenkin ehdotus päätyy hylkäykseen, otettaisiin seuraava ehdotus ehdotusjakaumasta Q 3 ja niin edelleen. Tässä kuitenkin rajoitutaan tarkastelemaan vain kahden ehdotuksen versiota. 2.4. DRAM-algoritmi Toisinaan käy niin, ettei kumpikaan edellä esitetyistä Metropolisalgoritmin parannelluista versioista yksinään riitä tuottamaan hyvää tulosta. Adaptiivisen Metropolis-algoritmin heikkous on se, että mikäli ehdotusjakauman kovarianssimatriisin alkuarvo C 0 on liian suuri, ei ehdotuksia hyväksytä juuri lainkaan ja algoritmilla on vaikeuksia päästä alkuun. Mikäli taas C 0 on liian pieni, voi kestää kauan ennen kuin ketju.

2.5. DRAM-ALGORITMIN SOVELLUS TILA-AVARUUSMALLEIHIN 19 on ehtinyt kulkea laajan alueen läpi ja C t on saatu adaptoitua riittävän suureksi. Viivästetyn hylkäyksen Metropolis-algoritmin heikkous taas on siinä, että mikäli kaikki ehdotusjakaumat ovat määritelty huonosti, ei algoritmi tuota tuloksia järkevässä ajassa. Haario et al. (2006) näyttivät, että nämä kaksi menetelmää voidaan yhdistää viivästetyn hylkäyksen adaptiiviseksi Metropolis-algoritmiksi (lyh. DRAM). Viivästetyn hylkäyksen adaptiivisen Metropolis-algoritmin idea on, että varsinaista ehdotusjakaumaa Q 1 adaptoidaan kuten normaalisti AM-algoritmissa. Sen lisäksi käytetään toista ehdotusjakaumaa Q 2, jonka kovarianssimatriisi on skaalaustekijää lukuunottamatta sama kuin ensimmäisen ehdotusjakauman. Algoritmi etenee siis hetkellä t seuraavasti: (1) Lasketaan ensimmäisen ehdotusjakauman kovarianssimatriisi C t kuten luvussa 2.2 näytettiin (2) Ehdotetaan uutta pistettä x jakaumasta N d (x t 1, C t ) (3) Todennäköisyydellä α (ks. luku 2.1) asetetaan x t = x, muutoin: (a) Ehdotetaan uutta pistettä x jakaumasta N d (x t 1, γc t ) (b) Todennäköisyydellä α 2 (ks. luku 2.3) asetetaan x t = x, muutoin asetetaan x t = x t 1. Haario et al. (2006) näyttivät, että DRAM-algoritmi ratkaisee useita ongelmia, joita esiintyy AM- ja DR-algoritmeissa. Liitteessä A on R- ohjelmoinnilla toteutettu funktio DRAM, joka suorittaa DRAM-simulointia. 2.5. DRAM-algoritmin sovellus tila-avaruusmalleihin Adaptiiviset MCMC-menetelmät soveltuvat hyvin tila-avaruusmallien analysointiin. Luvussa 1.5 esitettiin, että mallin uskottavuusfunktiota (1.3) tai logaritmista uskottavuusfunktiota (1.4) voidaan optimoida numeerisilla menetelmillä. Numeeriseen optimointiin liittyy kuitenkin usein epävarmuutta, koska uskottavuusfunktiolla voi olla useampia lokaaleja maksimeita, joihin optimointialgoritmi jää jumiin. Toinen mahdollinen ongelma on, että toisinaan uskottavuusfunktio on melko tasainen, eli sen arvo on useassa eri pisteessä liki sama. Tällöin eri alkuarvoista aloitetut optimoinnit voivat päätyä hyvinkin erilaisiin arvoihin. Numeerisen optimoinnin käyttö edellyttääkin siis parhaimmillaankin suurta huolellisuutta. (Petris et al., 2009, s. 144) Suurimman uskottavuuden menetelmässä (luku 1.5) toimitaan niin, että uskottavuusfunktion maksimoiva vektori ˆψ sijoitetaan suoraan malliin ikään kuin tunnettuna tosiasiana. Petris et al. (2009, s. 148) esittävätkin, että parametreja ψ käsiteltäisiin satunnaismuuttujina, joiden estimoinnin epävarmuus on huomioitava analyysissä. Yksi vaihtoehto

2.5. DRAM-ALGORITMIN SOVELLUS TILA-AVARUUSMALLEIHIN 20 olisi käyttää konjugaattiprioreihin nojaavaa Gibbs-otantaa (esim. Petris et al., 2009, luku 4.1.), mutta tässä tutkielmassa käytetään uskottavuusfunktion simulointia Metropolis-algoritmilla, kuten Särkkä (2013, luku 12) ohjeistaa. Kalmanin suotimella laskettu uskottavuusfunktio L(ψ) on havaintojen ja tuntemattomien parametrien yhteisjakauman uskottavuusfunktio. Käytännössä useimmin lasketaan kuitenkin sen logaritmi l(ψ). Särkkä (2013, s. 188) kertoo, että tätä uskottavuusfunktiota voidaan simuloida Metropolis-Hastings-pohjaisia simulointialgoritmeja käyttämällä, jotta parametrejen ψ yhteisjakauma saadaan selville. Mikäli ollaan kiinnostuneita myös tiloista, niin niitä voidaan simuloida käyttämällä luvussa 1.4 esiteltyä FFBS-algoritmia. Tällöin siis poimitaan vuorotellen realisaatio varianssiparametrien jakaumasta käyttäen Metropolisalgoritmia (tässä tutkielmassa DRAM-algoritmia) ja tilojen jakaumasta käyttäen FFBS-algoritmia, kuten Petris et al. (2009, s. 163) ohjeistaa. Parametreille ψ voidaan asettaa myös priorijakauma. Simuloitava jakauma on tällöin priorijakauman ja uskottavuusfunktion tulo. Kuten Gamerman (1997, s. 58) kertoo, dynaamiset lineaariset mallit mahdollistavat ennakkotiedon hyödyntämisen tehokkaasti priorien avulla. Tässä tutkielmassa käytetään kuitenkin hyvin yksinkertaista prioria, joka saa vakioarvon kun ψ i 0 kaikilla i ja muutoin arvon 0. Näin ollen posteriorijakauman tiheysfunktion arvo on L(ψ) kun ψ i 0 kaikilla i ja 0 muutoin. Tällöin posteriorin maksimi (MAP, maximum a posteriori) on myös uskottavusfunktion maksimi. On huomattava, ettei tällä tavalla määritelty priori ole aito jakauma, sillä sen tiheysfunktion integraali ei suppene. Posteriorijakauma on kuitenkin aito jakauma, sillä uskottavuusfunktio määrittää aidon jakauman, eikä positiiviseksi rajatun tasajakauman tiheysfunktiolla kertominen vaikuta tiheysfunktion integraalin suppenemiseen. Viivästetyn hylkäyksen adaptiivinen Metropolis-algoritmi on hyvin käytännöllinen valinta tuntemattomien parametrien posteriorijakauman simulointiin tila-avaruusmalleissa, sillä hyvä ehdotusjakauma on usein vaikea määritellä. Adaptiivisuus pitää huolen siitä, että ehdokasjakaumaksi saadaan sopiva jakauma ja viivästetty hylkäys taas auttaa adaptointia pääsemään alkuun.

LUKU 3 Otsonimäärän mallintaminen tila-avaruusmallilla Tässä luvussa käytetään edellä esitettyjä menetelmiä otsonimäärän mallintamiseen. Aluksi esitellään käytössä oleva aineisto ja kuvataan lyhyesti, miten se on muokattu käytössä olevaan muotoon. Tämän jälkeen tarkastellaan, millä tavalla otsonimäärää on mallinnettu aiemmin ja esitetään perustelut, miksi tätä mallia tulee parantaa. Tila-avaruusmallien avulla rakennetaan paranneltu otsonimalli, jonka yhteensopivuutta ja tuloksia tarkastellaan yhden leveyspiirin yhdellä korkeusalueella. 3.1. Otsoniaineisto Tässä tutkielmassa käytetty otsoniaineisto on saatu Ilmatieteen laitoksen Uudet havaintomenetelmät -yksikön Ilmakehän kaukokartoitus -ryhmältä. Vastemuuttujana käytetty aikasarja sisältää kahden eri satelliitti-instrumentin tuottamia havaintoja otsonin määrästä yläilmakehässä. Yhdysvaltain ilmailu-ja avaruushallinnon (National Aeronautics and Space Administration, NASA) satelliitti-instrumentti Stratospheric Aerosol and Gas Experiment II (SAGE II) kiersi maapalloa ympäri ERBS-satelliitin mukana vuodesta 1984 vuoteen 2005 saakka. SAGE II -instrumentin toiminta perustui siihen, että se mittasi ilmakehän läpi kulkevan auringonvalon auringonnousun ja -laskun aikoina. Auringon valon spektrin taittuminen riippuu ilmakehän koostumuksesta. Näin ollen mitatun spektrin perusteella voidaan matemaattista inversiota käyttämällä tehdä päätelmiä ilmakehän koostumuksesta. SAGE II -instrumentin toimintaperiaatetta havainnollistaa kuva 3.1. SAGE II keräsi tietoa muun muassa otsonin (O 3 ), typpidioksidin (NO 2 ) ja veden (H 2 O) tiheyksistä ilmakehässä 0,5 kilometrin ja 70 kilometrin korkeuksien väliltä. (National Aeronautics and Space Administration, 2012) Tässä tutkielmassa käytetty versio SAGE II -aineistosta on saatu käyttämällä artikkelissa Chu et al. (1989) esiteltyä inversioalgoritmia. Toinen tässä tutkielmassa käytetty satelliitti-instrumentti on GOMOS. GOMOS, eli Global Ozone Monitoring by Occultation of Stars, oli ENVISAT-satelliittiin kiinnitetty satelliitti-instrumentti, joka tuotti tietoa ilmakehän tilasta vuosien 2002 ja 2012 välillä. GOMOS oli Euroopan avaruusjärjestön (European Space Agency, ESA) projekti. GOMOSinstrumentti on osittain Suomessa suunniteltu ja tehty, ja siihen liittyvää algoritmikehitystä tehdään edelleenkin Ilmatieteen laitoksella. 21

3.1. OTSONIAINEISTO 22 Kuva 3.1. SAGE II -instrumentin toimintaperiaate (Kuvan lähde: NASA) Kuva 3.2. GOMOS-instrumentin toimintaperiaate (Kuvan lähde: Ilmatieteen laitos) GOMOS-instrumentin perusideana oli mitata ilmakehän läpi kulkevien tähtien valon spektri. GOMOS siis toimi vastaavalla periaatteella kuin SAGE II, mutta Auringon valon sijaan se pystyi hyödyntämään noin 180 kirkkaimman tähden valoa (Tamminen et al., 2010). Tätä havainnollistetaan kuvassa 3.2. Tällä tavalla saatiin tietoa muun muassa otsonin (O 3 ), typpidioksidin (NO 2 ), nitraatin (NO 3 ), veden (H 2 O) ja hapen (O 2 ) määristä ilmakehässä. (European Space Agency, 2007) GOMOS-instrumentin tekemien havaintojen, eli tähtien valon spektrin, muuntamista ilmankehän koostumusta kuvaaviksi tunnusluvuiksi on käsitelty laajemmin artikkelissa Kyrölä et al. (2010) ja varsinainen inversioalgoritmi esitellään artikkelissa Bertaux et al. (2010). SAGE II ja GOMOS -aikasarjat on yhdistetty yhdeksi pitkäksi aikasarjaksi käyttäen hyväksi yhteistä toiminta-aikaa vuosien 2002 ja 2005 välillä. Aikasarjojen yhdistämistä käsitellään laajemmin artikkelissa Kyrölä et al. (2013).

3.2. TAUSTAMUUTTUJAT 23 Tässä tutkielmassa käytetyssä otsoniaikasarjassa kutakin kuukautta edustaa vain yksi arvo. Tämä arvo on saatu laskemalla keskiarvo kunkin korkeusalueen havainnoista kunkin kuukauden ajalta. Tämä luku on saatu jakamalla aineisto leveyspiirin, korkeuden ja ajan suhteen osiin ja laskemalla keskiarvo tämän osion kaikista havainnoista. Havainnon epävarmuutta kuvaa samasta osiosta laskettu keskiarvon keskihajonta. Otsonimäärän yksikkö tässä aineistossa on molekyyliä/cm 3. Otsoniaikasarja alkaa lokakuusta 1984 ja loppuu lokakuuhun 2011. Näin ollen aikasarja kattaa yhteensä 324 kuukautta, mutta näistä 67 kuukaudelta havainto puuttuu. Havaintojen puuttuminen johtuu mittaustekniikan epävarmuudesta. Tätä käsitellään laajemmin artikkelissa Kyrölä et al. (2013). 3.2. Taustamuuttujat On olemassa luonnollisia tekijöitä, jotka tunnetusti vaikuttavat otsonin määrään ilmakehässä. Näihin kuuluu sekä Auringon aktiivisuus että Singaporen tuuli. Auringon magneettinen aktiivisuus vaikuttaa muun muassa auringonpurkausten ja auringonpilkkujen määrään. Auringon aktiivisuus vaikuttaa myös maapalloon, sillä Auringon ollessa aktiivisimmillaan ultraviolettisäteilyn ja sähkömagneettisen säteilyn määrä maapallon yläilmakehässä on huomattavasti normaalia korkeampi. Auringon magneettinen aktiivisuus vaihtelee noin 11 vuoden mittaisissa sykleissä. (Hathaway, 2010) Auringonpilkkujen lukumäärä korreloi hyvin voimakkaasti Auringon magneettisen aktiivisuuden kanssa, jonka vuoksi sitä on käytetty pitkään kuvaamaan Auringon magneettista aktiivisuutta. Auringonpilkkujen lukumäärää voi tarkastella yksinkertaisesti kaukoputkea käyttämällä, joten siitä on voitu kerätä aineistoa jo 1700-luvulta lähtien. Toisaalta juuri tästä syystä auringonpilkkujen laskeminen on myös ongelmallista, sillä havaittu auringonpilkkujen lukumäärä voi riippua havainnoijasta ja havainnointi ei onnistu kaikissa sääolosuhteissa. Tästä syystä Auringon magneettista aktiivisuutta on viime aikoina tarkasteltu Auringon 10.7 cm radiovuon (engl. solar radio flux) avulla (Hathaway, 2010). Auringon radiovuolla on oma yksikkö, SFU (solar flux unit). 1 SFU = 10 22 Wm 2 Hz 1 (Lee et al., 1995). Auringon aktiivisuuden vaikutusta ilmakehän otsonimäärään on tutkittu jo pitkään. Angell (1989) näytti, että otsonimäärällä ja auringonpilkkujen lukumäärällä on voimakas yhteys. Angell (1989) käytti aineistona maan pinnalta tehtyjä mittauksia otsonimäärästä. Koska Auringon aktiivisuuden jaksot ovat melko pitkiä ja ilmakehän kaukokartoitus on uudehko tieteenala, ei Auringon aktiivisuuden vaikutusta pystytty

3.2. TAUSTAMUUTTUJAT 24 Auringon 10.7 cm radiovuo (SFU) 300 250 200 150 100 50 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Vuosi Kuva 3.3. Auringon aktiivisuus vaihtelee noin 11 vuoden sykleissä estimoimaan kunnolla satelliittimittauksista ennen kuin 1990-luvulla (Miller et al., 1996). Canadian Solar Radio Monitoring Programme on kerännyt Auringon 10.7 cm radiovuon arvoja vuodesta jo 1946 (Hathaway, 2010). Tämä aikasarja esitetään kuvassa 3.3. Aineisto on vapaasti ladattavissa Internet-sivustolta http://www.spaceweather.ca/data-donnee/sol_ flux/sx-5-mavg-eng.php. Singaporen tuuli (engl. quasi-biennial oscillation, QBO) on päiväntasaajan lähialueilla vaikuttava ilmiö, jolla on suuri merkitys moniin muihin stratosfäärissä tapahtuviin ilmiöihin (Baldwin et al., 2001). Singaporen tuuli puhaltaa joko idästä tai lännestä ja tämä vaihtelee noin kahden vuoden mittaisissa jaksoissa. Tuulen voimakkus ja suunta ilmoitetaan yleensä metreinä sekunnissa siten, että positiiviset arvot tarkoittavat länsituulta ja negatiiviset itätuulta. Tuulen voimakkuus ja jakson vaihe riippuvat korkeusalueesta, kuten kuvasta 3.4 voidaan havaita. Erityisesti Singaporen tuulen vaikutus otsonimäärään on tunnettu jo pitkään (esim. Angell & Korshover, 1964). Vaikka Singaporen tuuli puhaltaakin vain päiväntasaajan lähettyvillä, on sillä vaikutusta otsonimäärään myös muilla leveyspiireillä, kuten esimerkiksi artikkeleissa Bowman (1989) ja Randel & Cobb (1994) on havaittu. Singaporen tuulen vaikutusta otsonimäärään tutkitaan käyttämällä mittaustuloksia kahdelta eri korkeusalueelta, 10 hpa ja 30 hpa. Ilmanpaineen muuntaminen korkeudeksi merenpinnan yläpuolella riippuu hieman sääoloista, mutta 10 hpa vastaa noin 26 km korkeutta ja 30 hpa noin 22 km korkeutta merenpinnan yläpuolella. Nämä kaksi korkeusaluetta on valittu, koska ne kuvaavat tuulen eri vaiheita. Korkeusalueiden valintaa tarkastellaan artikkelissa Hauchecorne et al. (2010) ja näitä valittuja korkeusalueita on käytetty vastaavassa mallintamisessa myös muissa alan tutkimuksissa (esim. Kyrölä et al., 2013).

3.3. OTSONIMALLI 25 10 20 Ilmanpaine (hpa) 20 30 40 50 60 10 0 10 20 30 70 1990 1995 2000 2005 2010 Vuosi Kuva 3.4. Singaporen tuulen voimakkuus (m/s) ja suunta vaihtelevat korkeuden ja ajanhetken mukaan. Positiiviset arvot tarkoittavat länsituulta ja negatiiviset itätuulta. Aineisto on vapaasti saatavilla Internet-sivustolta http://www.geo. fu-berlin.de/en/met/ag/strat/produkte/qbo/. 3.3. Otsonimalli Aineiston analysoinnissa käytetään pohjana mallia, jota on käytetty aiemmin vastaavassa otsoniaineiston analysoinnissa (Newchurch et al., 2003). Aiemmin käytetty malli on (3.1) O 3 (t) = β 1 + β 2 t + β 3 sin(2πt) + β 4 cos(2πt) +β 5 sin(2π2t) + β 6 cos(2π2t) + β 7 QBO 1 (t) +β 8 QBO 2 (t) + β 9 SOLAR(t) + ε(t), jossa trigonometriset funktiot kuvaavat vuosittaista ja puolivuosittaista kausivaihtelua, QBO 1 (t) ja QBO 2 (t) ovat Singaporen tuulen vaikutusta kuvaavia indeksejä ja SOLAR(t) on auringon aktiivisuutta kuvaava indeksi. Tässä t on ajanhetki vuosina. Virheterminä on ε(t). Mallissa oletetaan, että virhetermit ovat toisistaan riippumattomia ja normaalisti jakautuneita. Otsonin määrän kehityksessä uskotaan tapahtuneen muutos noin vuonna 1997 (Newchurch et al., 2003) ja mallin (3.1) jäännöksiä tutkimalla selviää, että trendi ei ole täysin lineaarinen myöskään sitä ennen. Kyrölä et al. (2013) laajensivat mallia siten, että malli mahdollistaa lineaarisen trendin muuttumisen yhdessä ennalta asetettussa käännöspisteessä. Ei kuitenkaan ole perusteltua syytä olettaa, että trendi muuttuu vain tasan yhdessä pisteessä ja lisäksi vaikka näin olisi, niin tämä käännöspiste tulisi tietää etukäteen. Tämän vuoksi halutaan mahdollistaa trendin vapaampi muuttuminen. Tässä tutkielmassa tämä toteutetaan tila-avaruusmallilla.

3.3. OTSONIMALLI 26 QBO1 QBO2 30 10 10 SOLAR 100 200 40 20 0 20 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika Kuva 3.5. Taustamuuttujien aikasarjat tarkasteltavalla aikavälillä Mallissa käytetään hyväksi kuhunkin havaintoon liittyvää keskiarvon keskivirhettä. Näiden lukujen ajatellaan estimoivan havaintojen keskihajontoja yhteistä skaalaustekijää lukuunottamatta. Merkitään kutakin keskiarvon keskivirhettä ɛ t ja yhteistä skaalaustekijää σ ɛ. Luvut ɛ t siis tunnetaan kaikilla t = 1,..., N, mutta σ ɛ tulee estimoida. Näin ollen mallissa havaintovirhe v t N 1 (0, σɛ 2 ɛ 2 t ) Trendi rakennetaan käyttämällä lokaalia lineaarista trendimallia. Aiemmissa tutkimuksissa trendi on ollut lineaarinen (esim. Newchurch et al., 2003; Jones et al., 2009) tai paloittain lineaarinen (Kyrölä et al., 2013), mutta tässä tutkielmassa halutaan mahdollistaa trendin vapaampi muuttuminen, joten trendin varianssiparametri estimoidaan. Mallissa on kolme taustamuuttujaa: Singaporen tuuli kahdella eri korkeusalueella (QBO 1 ja QBO 2 ) ja Auringon aktiivisuus (SOLAR) Näiden aikasarjat tarkasteltavalta aikaväliltä esitetään kuvassa 3.5. Näihin liittyville regressiokertoimille sallitaan satunnaiskulku. Malliin kuuluu myös kausivaihtelu, jonka mallintaminen toteutetaan Fourier-taajuuksilla. Aineisto on kuukausittaista, joten kausivaihtelun mallintamiseen tarvitaan 11 tilakomponenttia. Kausivaihtelulle sallitaan satunnaiskulku, mutta satunnaiskulkuun liittyvät varianssit oletetaan samaksi kaikille tilakomponenteille.

3.4. TULOKSET 27 Taulukko 3.1. Varianssiparametrien tunnuslukuja parametri 5% kvantiili mediaani 95% kvantiili MAP-estimaatti σα 2 1.519 10 6 2.344 10 5 1.668 10 4 3.465 10 6 σζ 2 1.597 10 4 4.214 10 4 8.580 10 4 3.987 10 4 σβ 2 1 6.634 10 4 9.378 10 3 4.536 10 2 1.021 10 4 σβ 2 2 2.281 10 5 4.842 10 4 5.124 10 3 3.056 10 3 σβ 2 3 2.641 10 4 5.809 10 3 2.651 10 2 9.990 10 3 σɛ 2 17.68 26.76 38.81 29.7 Kun nämä komponentit yhdistetään samaan malliin, saadaan samanlainen malli kuin aliluvussa 1.2.4. Näin ollen tuntemattomat parametrit mallin määrityksessä ovat varianssit σα, 2 σβ 2 1, σβ 2 2, σβ 2 3, σζ 2 ja havaintovirhematriisin yhteinen tekijä σɛ 2. Myös muita mahdollisia varianssien määrityksiä kokeiltiin, mutta tämä malli oli diagnostiikaltaan selvästi paras. Tuntemattomien parametrien yhteisjakaumaa simuloitiin luvussa 2 esitellyllä DRAM-algoritmilla. Ketjun alkupisteeksi asetettiin suurimman uskottavuuden estimaatit ja ehdotusjakauman kovarianssimatriisin alkuarvoksi diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla on vastaavat suurimman uskottavuuden estimaatit kerrottuna vakiolla 0.1. Tilat simuloitiin käyttäen harvennettua varianssiparametrien ketjua ja FFBS-algoritmia. Kaikki laskeminen tehtiin käyttäen vapaan lähdekoodin ohjelmistoa R (R Development Core Team, 2011) ja sen toimintaa laajentavaa pakettia dlm (Petris, 2010) sekä tätä tarkoitusta varten kirjoitettuja uusia funktioita (liite A). Aineiston käsittelyyn ja joidenkin kuvien piirtämiseen käytettiin ohjelmistoa MATLAB (The MathWorks Inc., 2013). 3.4. Tulokset DRAM-algoritmia ajettiin 500000 kierrosta, josta poistettiin alusta 10000 ensimmäistä kierrosta burn-in-jaksona. Tämän jälkeen ketju harvennettiin siten, että joka viideskymmenes iteraatio tallennettiin. Varianssiparametrien harvennetut MCMC-ketjut esitetään kuvassa 3.6. Kuten siitä voidaan havaita, löytyi hyvä ehdotusjakauma nopeasti ja ketju on silmämääräisen tarkastelun perusteella hyvin konvergoinut. Hyväksyttyjen ehdotusten osuus oli 66.7 %. Kuvassa 3.7 esitetään varianssiparametrien histogrammit. Tästä voidaan nähdä, että jokaisen varianssiparametrin arvot voivat vaihdella jokseenkin leveällä välillä. Tämä havainnollistaa sitä, minkä vuoksi analyysissä halutaan huomioida varianssiparametrien epävarmuus. Varianssiparametrien tunnuslukuja esitetään taulukossa 3.1. Kuvassa 3.8 esitetään havainnot ja MAP-varianssiestimaateilla sovitetun mallin Kalmanin tasoituksella lasketut ennusteet. Kuten tästä kuvasta voi havaita, ei malli pysty selittämään kaikkea vaihtelua.

3.4. TULOKSET 28 sigma^2_alpha 0e+00 0 2000 6000 10000 ACF 0.0 1.0 0 10 20 30 40 Simulointikierros Viive sigma^2_zeta 0.0000 0 2000 6000 10000 ACF 0.0 1.0 0 10 20 30 40 Simulointikierros Viive sigma^2_beta1 0.00 0 2000 6000 10000 ACF 0.0 1.0 0 10 20 30 40 Simulointikierros Viive sigma^2_beta2 0.000 0 2000 6000 10000 ACF 0.0 1.0 0 10 20 30 40 Simulointikierros Viive sigma^2_beta3 0.00 0 2000 6000 10000 ACF 0.0 1.0 0 10 20 30 40 Simulointikierros Viive sigma^2_epsilon 20 0 2000 6000 10000 Simulointikierros ACF 0.0 1.0 0 10 20 30 40 Viive Kuva 3.6. Simuloidut MCMC-ketjut harvennuksen jälkeen ja vastaavat autokorrelaatiofunktion kuvaajat

3.4. TULOKSET 29 Frekvenssi 0 4000 0e+00 1e 04 2e 04 3e 04 4e 04 5e 04 6e 04 7e 04 sigma^2_alpha Frekvenssi 0 800 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 sigma^2_zeta Frekvenssi 0 800 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 sigma^2_beta1 Frekvenssi 0 4000 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 sigma^2_beta2 Frekvenssi 0 2000 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 sigma^2_beta3 Frekvenssi 0 600 10 20 30 40 50 sigma^2_epsilon Kuva 3.7. Varianssiparametrien histogrammit. Punainen viiva merkitsee MAP-estimaattia

3.4. TULOKSET 30 Otsoni 7.0e+12 8.0e+12 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika Kuva 3.8. Havainnot (mustat pisteet) ja Kalmanin tasoituksella lasketut ennusteet (violetti viiva), kun varianssiksi on asetettu MAP-estimaatit Taustamuuttujien vaikutuksen arvioinnissa on paljon epävarmuutta. Kuten kuvasta 3.9 voi havaita, ovat kaikki regressiokertoimet varsin lähellä nollaa ja käytännössä kaikilla ajanhetkillä nolla kuuluu 95 % luottovälille. Tässä aineistossa taustamuuttujilla ei siis näy kovin selvää vaikutusta. Kuva 3.10 näyttää kunkin taustamuuttujan vaikutuksen, eli simuloidulla regressiokertoimella kerrotun taustamuuttujan arvon. Siitä näkee hyvin, kuinka paljon näiden taustamuuttujien estimointiin liittyy epävarmuutta. Erityisesti auringon aktiivisuuden vaikutus voi saada monia eri suuruisia arvoja. Tämä korostaa sitä, minkä takia on tärkeää ottaa huomioon varianssiparametrien estimoinnin epävarmuus. Kuvassa 3.10 esitetään kaikki mallin komponentit. Mallisovite on siis näiden komponenttien summa. Tästä voidaan havaita, että kaikkein eniten mallissa on vaikutusta kausivaihtelulla. Tutkimuskysymyksenä oli selvittää, miten otsonimäärä on kehittynyt, kun tunnetut luonnolliset tekijät ja kausivaihtelu on huomioitu. Tätä analysoidaan tutkimalla mallin ensimmäistä tilaa µ t. Otsonimäärän estimoidaan laskeneen noin 1990-luvun alusta aina noin vuoteen 1995 saakka, jolloin lasku alkoi hidastua ja otsonimäärän estimoitiin

3.4. TULOKSET 31 beta1 (SOLAR) 1.5 0.5 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika beta2 (QBO1) 0.2 0.4 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika beta3 (QBO2) 0.5 0.5 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika Kuva 3.9. Simuloitujen regressiokertoimien mediaani kullakin ajanhetkellä (yhtenäinen viiva) ja sen 95 % luottoväli (katkoviivat). kääntyneen jopa nousuun (kuva 3.11). Muutokset ovat kuitenkin varsin pieniä ja etenkään otsonimäärän kääntymisestä nousuun ei ole kovin voimakasta näyttöä. Tätä voidaan tarkastella myös kuvista 3.12 ja 3.13, jotka esittävät aikasarjan keskimääräisen tason (tila µ t ) suhteellista muutosta ajankohtien tammikuu 1990 ja tammikuu 1997 (kuva 3.12) ja tammikuu 1997 ja joulukuu 2011 (kuva 3.13) väleillä. Nämä histogrammit on saatu laskemalla simuloiduista 1. tiloista kiinnostuksen kohteena olevat muutokset. Kuten kuva 3.12 osoittaa, on hyvin voimakasta näyttöä siitä, että keskimääräinen otsonimäärä laskenut vuosien 1990 ja 1997 välillä. Arvoista 99.5 % on negatiivisia ja 95 % arvoista kuuluu välille [ 0.071; 0.011]. Kuvasta 3.13 taas nähdään, että vuosien 1997 ja 2011 välillä muutos ei ole näin selvä. Suuri osa arvoista (81.3 %) on positiivisia, mutta tämä ei ole vielä kovin voimakasta näyttöä otsonimäärän noususta. Arvoista 95 % on välillä [ 0.020; 0.054].

3.4. TULOKSET 32 Taso 6.5e+12 8.0e+12 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika SOLAR 1e+12 5e+11 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika QBO1 1e+12 5e+11 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika QBO2 1e+12 5e+11 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika Kausivaihtelu 1e+12 5e+11 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Aika Kuva 3.10. Mallin komponenttien mediaanit (yhtenäiset viivat) ja niiden 95 % luottovälit (katkoviivat).

3.4. TULOKSET 33 Kuva 3.11. 1000 simuloitua realisaatiota 1. tiloista, eli aikasarjan tasosta (mustat viivat), 95 % luottoväli (punaiset viivat) ja mediaani (vihreä viiva). Tässä ollaan huomioitu varianssiparametrien estimoinnin mukanaan tuoma epävarmuus. Frekvenssi 0 1500 0.10 0.05 0.00 Estimoitu suhteellinen muutos 01 1990 ja 01 1997 välillä Kuva 3.12. Ensimmäisen tilan suhteellinen muutos tammikuun 1990 ja tammikuun 1997 välillä Nämä tulokset ovat hyvin linjassa aiemman aihetta koskeneen tutkimuksen (esim. Newchurch et al., 2003; Jones et al., 2009; Kyrölä et al., 2013) kanssa, mutta tässä tapauksessa trendiä ei ole rajoitettu lineaariseksi, ja näin ollen päästään tarkastelemaan paremmin trendin mahdollisia käännepisteitä.