FE- HYBRIDIMENETELMÄ Jukka Tanttari VTT PL 1300, 33101 Tampere 1 JOHDANTO Laskentakapasiteetti raoittaa mallinnus- a simulointimenetelmien valintaa a käyttöä yhä vähemmän. Tämän kehityksen myötä elementti- a reunamenetelmien hyödyntämismahdollisuudet autoen, koneiden a laitteiden akustisten ominaisuuksien a äänensäteilyn simuloinnissa ovat kasvaneet. Menetelmät voidaan valita tarkasteltavan tehtävän kannalta aiempaa tarkoituksenmukaisemmin. Laskentatehon riittävyyden lisäksi on olemassa muita raoitteita. Nämä liittyvät tehtävän luonteeseen. Vibroakustisiin ärestelmiin liittyvien mallinnustehtävien luonteen mukainen pääako on deterministinen vs. tilastollinen (Random). Deterministisessä tehtävässä sekä heräte että ärestelmä ovat täsmällisesti tunnettua. Tilastollisessa tehtävässä sekä heräte että ärestelmä ovat tilastollisesti tunnettua, so. niiden odotusarvot tunnetaan, mutta yksityiskohdat ovat epävarmoa. Tilastolliset herätteet (satunnaisherätteet) ovat tuttu käsite. Tilastolliseen ärestelmäänkään ei liity erityistä mystiikkaa. Otetaan esimerkiksi teräslaatta, onka nimellinen paksuus on 3 mm. Jos laatan paksuus on oka kohdassa 3 mm a materiaalit, mitat a muoto samoin kuin reunaehdot tunnetaan tarkasti, on laatan vibroakustinen käyttäytyminen erittäin tarkasti ennakoitavissa mm. elementtimenetelmillä. Jos laatan ominaisuuksilla on keskiarvo a haonta, vaikkapa paksuudella 3 ± 0,2 mm, tulee laatan vibroakustisen käyttäytymisen ennakointi yksittäisillä taauuksilla a yksittäisissä kohdissa väääämättä epäluotettavaksi taauuden kasvaessa riittävän suureksi. Taauuden a paikan suhteen keskimääräinen käyttäytyminen on suurilla taauuksilla ennakoitavissa hyvällä tarkkuudella käyttäen tilastollisia menetelmiä kuten. Herätteiden a osaärestelmien moninaisuuden sekä taauusalueen laauuden vuoksi käytännön vibroakustiset tehtävät sisältävät hyvin usein sekä deterministisiä että tilastollisia piirteitä. Menetelmät on tähän saakka ouduttu valitsemaan vain yhdestä näkökulmasta, mikä ohtanut epätarkoituksenmukaisiin malleihin tai tehtävän liialliseen raaamiseen. Deterministisen a tilastollisen mallin luontevaa kytkemistä on haettu pitkään. Erilaisia elementtimallien tilastollistamis- a älkikäsittelytekniikoita on sovellettu pitkään, samoin mallien tarkentamista FE-laskennan avulla. R.S. Langley a P. Bremner formuloivat determinististen globaalien a tilastollisten lokaalien moodien pohalta erään kytketyn ratkaisun [1], ota ei kuitenkaan saatu toimimaan tyydyttävästi. Läpimurto ulkaistiin vuonna 2005 P. Shorterin a R.S. Langleyn kahdessa artikkelissa [2,3]. Niissä kuvataan aaltotarkasteluun, tehotasapainoon sekä suoran kentän säteilyn a kaiuntaisen diffuusin kentän herätekuormituksen väliseen yhteyteen perustuva kytketty FE- -menetelmä. Menetelmää alettiin FE- hybridimenetelmän nimikkeellä hyödyntää kaupallisessa ohelmistossa [4]. VTT on soveltanut menetelmää sen ulkistamisesta saakka sekä osallistunut menetelmää evaluoivan kansainvälisen teollisen konsortion [5] toimintaan. Tässä paperissa kuvataan menetelmän pääpiirteitä sekä havainnollistetaan sen toimintaa yksinkertaisilla esimerkeillä. 1
Tanttari FE- HYBRIDIMENETELMÄ 2 FE- HYBRIDIMENETELMÄ Alla on tiivistelmä FE- -hybridimenetelmän pääkohdista. Perusteellinen, tutustumisen arvoinen esitys löytyy viitteistä [2] a [3]. Analyysissa voidaan erottaa seuraavat vaiheet: 1) Luodaan FE-malli ärestelmän deterministisestä, yksityiskohtia myöten tarkasti tunnetusta osasta. Luodaan vastaavasti tilastollisista osista -osaärestelmät. FE-osaärestelmän vapausteet q voivat liittyä sekä laaaan osarakenteeseen (q 1 ) että kahden -osaärestelmän väliseen liitokseen (q 2 ), kuva 1. Kuva 1. FE- -malli [2]. (a) on FE- osaärestelmä, (b) a (c) -osaärestelmiä. 2) Kytketään FE- a -osaärestelmät. Kytketyn FE-osaärestelmän liikeyhtälö on D tot q = f ext + f rev (1) f ext on ulkoinen herätevoima a f rev -osaärestelmän vasteesta aiheutuva diffuusi kaiuntainen herätevoima. Dynaaminen äykkyysmatriisi D tot koostuu FE-osaärestelmän osuudesta D d a -osaärestelmien suoran kentän osuudesta D dir : D tot = D d + D k ( k ) dir (2) Suoran kentän äykkyysmatriisia D dir käytetään -osaärestelmiin siirtyvän tehon laskennassa. 3) -osaärestelmän tehotasapainoyhtälö on E E k ω η E + ωη d, E + ωη k n = Pin, (3) k n nk on kulmataauus, E värähtelyenergia, η, a η d, häviökertoimia, η k kytkentähäviökerroin, n ominaismuototiheys a P in FE-osaärestelmästä kohdistuva heräteteho. Tärkeät parametrit heräteteho a kytkentähäviökerroin lasketaan FE-osaärestelmän mallin avulla. Heräteteho lasketaan hybridiliitosten vapausasteet huomioiden yhtälöstä in, rs ( ) 1 1* T { Ddir, rs }( Dtot S ff Dtot rs P = ( ω / 2) Im ) (4) 2
FE- HYBRIDIMENETELMÄ Tanttari missä S ff on FE-osaärestelmään kohdistuvan ulkoisen herätteen autospektri a rs on äykkyysmatriisin termin rivi-sarakeindeksi. Uusi termi ns. klassiseen :aan verrattuna on FEosaärestelmään siirtyvän (häviö)tehon huomioiva erillinen häviökerroin η d,. 4) -osaärestelmän vaste saadaan yhtälöstä 3 a FE-osaärestelmän vaste yhtälöstä S qq ( k ) 1* T { D } D (5) ω 1 4Ek = Dtot S ff + Im dir tot k n π k missä S qq on vapausasteen q poikkeaman autospektri. Menetelmän pääyhtälöt 3 a 5 ovat kytkettyä siten, että -osaärestelmien heräteteho riippuu FE-osaärestelmän siirtymävasteesta a FE-osaärestelmän herätevoiman tilastollinen osa riippuu -osaärestelmien energioista. -osaärestelmien suoran kentän äykkyys näkyy FE-osaärestelmän äykkyysmatriisissa, yhtälö 2. Kaiuntaisen energian E k sisältävä herätetermi ilmaisee kaiuntakentän aiheuttaman herätevoiman f rev a suoran kentän äykkyyden D dir välisen yhteyden. Kuvassa 2 on kaavio tehovirrasta -osaärestelmässä. - a FE-osaärestelmät erottaa deterministinen reuna (Deterministic boundary). Fiktiivinen satunnainen reuna (Random boundary) on tilastollisuuden muodollinen aiheuttaa. Kuva 2. Tehovirrat -osaärestelmässä [2]. Jos ärestelmässä ei ole lainkaan -osaärestelmiä, on menetelmä puhtaasti elementtimenetelmä; os taas vain -osaärestelmien paikallisia erillisiä liitoksia mallinnetaan elementtimenetelmällä, on menetelmä periaatteessa klassinen, ossa käytetään apuna elementtimenetelmää. Tehovirrat lasketaan elementtimenetelmällä, olloin klassisen :n oletusta tehon verrannollisuudesta moodienergioiden erotukseen ei tarvita. 3 KAKSI ESIMERKKIÄ HYBRIDIMALLIEN TOIMINNASTA Kuvassa 3 on neliöputkipalkin a kahden laatan muodostama rakenne. Laatat ovat suurikokoisia a ohuita, olloin niiden värähtelyn a äänensäteilyn -ennusteet ovat suhteellisen luotettavia. Palkki on äreä a aiheuttaa epävarmuutta rakenteen puhtaan -mallin toimivuuteen. 3
Tanttari FE- HYBRIDIMENETELMÄ Kuva 3. Laatta-palkki-laatta teräsrakenne. Pienen laatan mitat [mm] ovat 2000x500x3 a ison 2000x1000x3. Neliöputkipalkki on 50x50x2000x3. Palkki on päistään äykästi kiinni. Tarkastellaan kahta eri tapausta. Tapauksessa i) pieneen laattaan kohdistuu 1W/taauuskaista heräteteho. Tapauksessa ii) palkkiin kohdistuu 1N/kaista pistevoimaheräte. Laskettava suure on ison laatan taivutusvärähtelyn keskimääräinen nopeustaso taauusalueella 10 3200 Hz. Kuvassa 4 on - a FE- -mallit. Laskentatulokset ovat kuvassa 5. i) Voima ii) Teho FE Kuva 4. Teräsrakenteen -malli (oikealla) a FE- -malli (vasemmalla). Laattoen häviökerroin on 0,05 a palkin 0,001. 160 155 FE- 150 145 140 135 130 125 115 FE- 110 105 100 95 85 75 Kuva 5. Isomman laatan taivutusvärähtelyn nopeustaso - a FE- -mallien mukaan. Vasen kuva: pienen laatan tehoheräte; oikea kuva: palkin pistevoimaheräte. 4
FE- HYBRIDIMENETELMÄ Tanttari Tehoherätteen tapauksessa -malli a FE- -malli antavat melko yhteneviä tuloksia palkin muutaman alimman ominaistaauuden yläpuolella. Palkkiin kohdistuvan voimaherätteen tapauksessa tulosten trendi suurilla taauuksilla on yhtenevä, mutta yksityiskohdat eroavat huomattavasti toisistaan. Suurempi ero ohtuu herätetehon tarkemmasta laskennasta FE- - mallissa. Ratkaisu on kytketty, eli laattoen äykkyydet muuttavat palkin värähtelyominaisuuksia, näkyvät häviöinä a niiden vaste vaikuttaa sen vasteeseen. Kuvassa 6 on palkin värähtelyvaste pistevoimaherätteelle kytkemättömänä (ilman laattoa) a laattoihin kytkettynä. 150 140 Kytkemätön Kytketty 130 110 100 Kuva 6. Palkin kytkemätön a kytketty vaste voimaherätteellä. Ääneneristävyystehtävissä kiinnostavat taauudet ovat usein pieniä a keskisuuria. Eristävä rakenne on usein detalikas. Toisaalta lähetys- a vastaanottopuolen tilat ovat suuria a niiden suhteen kiinnostaa ensisiaisesti ääniteho, ei äänikenttien yksityiskohdat. Tällöin FE- malli on varsin luonteva työkalu. Kuvassa 7 vasemmalla yksikertaisen 400x500mm laatan ääneneristävyyden - a FE- laskentamallit. Laskentatulokset nivelöidylle 5 mm teräslaatalle taauusalueella 16 10000 Hz ovat kuvassa 8. Laatan häviökerroin on 0,02. Puolivapaa äänikenttä Diffuusi heräteäänenpaine FE Puolivapaa äänikenttä Kuva 7. Laatan ääneneristävyyden laskentamallit. vasemmalla a FE- oikealla. Kaksipuolinen kytkentä ilmaan ei uuri vaikuta 5 mm paksun teräsrakenteen värähtelyominaisuuksiin tai vasteeseen, kuva 8 oikea puoli. Kevytrakenteiden akustiikkaa samoin kuin rakenteiden äänensäteilyä veteen laskettaessa on kuormituksen vaikutus välttämätöntä huomioida. 5
Tanttari FE- HYBRIDIMENETELMÄ FE- 130 Kytkemätön Kytketty TL [db] 60 50 40 30 110 100 20 10 60 Kuva 8. Laatan ääneneristävyys - a FE- -mallien mukaan, vasen kuva; laatan kytkemätön a kytketty vaste diffuusilla 1Pa herätteellä, oikea kuva. 4 YHTEENVETO FE- -menetelmä taroaa uuden tehokkaan vibroakustisen mallinnustyökalun. Laaat mallit koostuvat pitkälti yllä esitetyistä yksinkertaisista perustapauksista. Vibroakustinen ärestelmä aetaan käyttään päättämällä tavalla deterministiseen (pitkäaaltoiseen, globaalit muodot käsittävään) a tilastolliseen (lyhytaaltoiseen, lokalisoituneet moodit käsittävään) osaan. Rakenteelliset a akustiset osaärestelmät käsitellään yhtäläisin periaattein. Hybridimenetelmää on validoitu varsin laaasti esim. [6]. Suuren mittakaavan sovelluksia on ulkaistu auto-, ilmailu- a avaruussektorien tuotteista, [7], [8], [9]. VTT:llä menetelmää sovelletaan tuotantokäytössä erilaisiin koneakustiikan tehtäviin sekä mm. rakenteiden vedenalaisen äänensäteilyn laskentaan. VIITTEET 1. LANGLEY, R.S. & BREMNER, P. A hybrid method for the vibration analysis of complex structural-acoustic systems. J. Acoust. Soc. Am. 105(1999)1, 1657-1671. 2. SHORTER, P. & LANGLEY, R.S. Vibro-acoustic analysis of complex systems. J. Sound Vib. 288(2005), 669-699. 3. SHORTER, P. & LANGLEY, R.S. On the reciprocity relationship between direct field radiation and diffuse reverberant loading. J. Acoust. Soc. Am. 117(2005)1, 85-95. 4. http://www.esi-group.com/products/vibro-acoustics/va-one 22.4.2009. 5. http://www.esi-group.com/corporate/news-media/press-releases/2008-english-pr/esi-groupsuccessfully-concludes-the-mari-consortium 22.4.2009. 6. COTONI, V., SHORTER, P. & LANGLEY, R.S. Numerical and experimental validation of a hybrid finite element-statistical energy analysis method. J. Acoust. Soc. Am. 122(2007)1, 259-2. 7. LARKO, J. M. & COTONI, V., Vibroacoustic response of the NASA ACTS spacecraft antenna to launch acoustic excitation. Proceedings ICSV 14, Cairns, Australia 9-12 July 2007. 8. COTONI, V. et al. Advanced Modeling of Aircraft Interior Noise using the Hybrid FE- method. SAE Paper 2008-36-0575. 9. CHARPENTIER, A., SREEDHAR, P. & FUKUI, K., Using the Hybrid FE- method to predict structure-borne noise transmission in a trimmed automotive vehicle. SAE Paper 2007-01-2181. 6