!! "! # $ %! &# '( ) * # + " & (, & # - "./ $ &!!! " " $ 0! &# '( ) # *& - 1 # 3 ) 45$!! "! $ # " ' "! 1 5 * ! 1 *#- $5 * $ : 5 ; 1<

Samankaltaiset tiedostot
-Jotta maailma olisi parempi paikka wappuna. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA /2012


c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

!"##$%&'(%&)*$%&+(),-*-"%$%.&

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Opetettavien aineitten patevyyskoodisto

ARKISTOLUETTELO A MERKINTÄKIRJAT. Aa Luokkien päiväkirjat. sis. 5 sidosta. 1 kansio. Aa: Päiväkirjoja. Päiväkirja. 4 sidosta.

Arocs 3663 L 8X4 B 16

KOHDE: Kansakoulukuja 1 Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros

Matematiikan olympiavalmennus

VETUMA-PALVELUN PALVELINVARMENTEET

MAHDOLLISUUKSIEN TASA-ARVO, SIVISTYS, KANNUSTAVUUS, SUVAITSEVAISUUS, VÄLITTÄMINEN

ARKISTOLUETTELO. Kopio SIVISTYSTOIMI KESKITETYT PALVELUT ORGANISAATIO JA TOIMINTA PÄÄTÖKSENTEKOMENETTELY LAKKAUTETUT TOIMIELIMET URHEILULAUTAKUNTA

Hysteerinen komedia meistä naisista...(ja vähän myös miehistä)! oivatuotanto.fi

3 *ä;r ä:e 5ä ä{ :i. c oo) S g+;!qg *r; Er ; l[$ E ;;iä F:ä ä :E ä: a bo. =. * gäf$iery g! Eä. a is äg*!=."fl: ä; E!, \ ins:" qgg ;._ EE üg.

Kuvat: Anju Asunta, Tuusulanjärven kamarimusiikki / Maarit Kytöharju, Järvenpään Teatteri / Timo Saarinen

"#$#%&'()$!*+,#-+,)(!!!./(012&&1-1! -13/,2-1! /)1*1! 4'5'%6#&#,)'*!,'%(&&+0()&+! 7!! &#$#%&'()$!&#$%#-(*-/(*&(1!32/01))1!!!

LUOKITUS EKSEGETIIKKA

CHEVROLET JA FORD OSIEN

TEKNISET TIEDOT. Männänvarreton sylinteri Ø 16 mm

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

Fax

Tietolan kansakoulun luokkapäiväkirjat. Ab Kirjastonhoidon päiväkirjat. Tietolan koulukirjaston hoidon päiväkirja

Algoritmit 2. Demot Timo Männikkö

SVUL Lahden Piiri Talletus: Lahden Hiihtomuseo SVUL:n arkiston sisällysluettelo

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %


Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX

TALVIKAUDEN LINJASTOSUUNNITELMALUONNOS

"#$#%&'()*%+,$-#.!&,*$#-/0!1'&),*,,.!23*&343.!'45,,.!#$3#6&#0#44,!!!!!

Peitelevy ja peitelaippa

!"#$%&'()$*&$(+,"+ )"##*(($(+ $-".+ #*/*(0"(+ /%.**11*2)&*.!213.'##'+

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Bc Tariffiyksikkökirjoja muuntopiireittäin ja järjestysnumeroittain

Ilmalämpöpumput. KUPARIPUTKI KIEPPI ARMACELL 1/4X3/8 L25M ERISTETTY LVI-numero PIKA VR06

TEKNISET TIEDOT. ISO 6431 / VDMA sylinterit Ø mm

Ratkaisut vuosien tehtäviin

SIRIUS ACT ohjauskalusteet valintaopas. Lyhennelmä luettelosta IC Luettelo sisältää tyypillisimmät. siemens.fi/sirius

Rakennepoikkileikkaus 1:100

LOIMAAN KAUPUNGIN ELINKEINOPOLIITTINEN OHJELMA (luonnos )

Mittamerkinnät. Yleistä. BEP-koodit

Stadicup 2011 F8 IKÄLUOKKA FAIR PLAY JOUKKUE (JAETTU PALKINTO) LPS JA LPS PINKIT, FAIR PLAY PELAAJA PEPPI PISILÄ NJS ESPANJOL/SININEN.

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

suomeksi eduskunta 2013

HINNASTO ME- ja 2TC- High Efficiency IE2 moottorit

TEOLOGIAN YLIOPPILAIDEN TIEDEKUNTAYHDISTYKSEN JULKAISU VUODESTA /2012

Arocs X4/4 B 16

tutuiks k äy t tö ö n kilpailuvu

Viiksikatkaisijat >> IVECO

05<0!< #,8=05+#: ;=0502



Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?

MARINE COMMANDER 3000

Uraputket ja -liittimet

Moniulotteista ja moniammatillista yhteistyötä muutosten keskellä

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

Hoitotyön vaikuttavuus erikoissairaanhoidossa

TIETOSUOJA MENESTYSTEKIJÄNÄ

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

A DIAARIT, PÄIVÄKIRJAT JA MERKINTÄKIRJAT. Ab Saapuneiden kirjeiden diaarit. Saapuneiden kirjeiden diaarit. Saapuneiden kirjeiden diaarit

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

!"#$%&&'()"*)$+%,"$-)).%$+ /0(1."&#23)"-4#4-&%#+ + +!!! #5667+,896:;<<=<+!!! >?7@@A56865B+ 0<==<CDEE+FGHG+!! 3<<686EC<I<@+D:EIE6EC:9J8IK<+

Aa lähtevien kirjeiden diaari. Saapuvien ja lähtevien kirjeiden diaari. Ab Saapuneiden kirjeiden diaari. Saapuneiden kirjeiden diaari

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

A DIAARIT JA PÄIVÄKIRJAT. Aa Saapuneiden ja lähtevien kirjeiden diaarikortit. Saapuneiden ja lähtevien kirjeiden diaarikortit

Hollolan Hinnasto: NSM Kartio Kartio 23. Kartio

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

+ + + y:llä. Vuoden 2017 lopussa oppilasmäärät ovat siis a =1,05x ja b =1,10y, mistä saadaan vuoden 2017 alun oppilasmäärien suhteeksi.

Humanistisen tiedekunnan opiskelijavalintaan liittyvät nimiluettelot

KESKI-UUDENMAAN PELASTUSLAITOS PALOLAUTAKUNTA

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

A4154!B47;29! C1D;6<11!EFGH! !!!!!!!!!!!!!! ! "##$#%&'(&#)*&!+*,%-+'&!(&)#.,/$#&&$!! 0! !:669634;<4656=49!>?2@6656!!!!!!!

ALA-MALMIN ALUESUUNNITTELU KÄYTTÄJÄKYSELYN TULOKSET

o13. pohjois. Euroopassa.

Sinusta Kvantin. toimittaja?

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

!!"#$#%#%#&#&#'###(#'###$#)#*#"#+#+#%#,#-#-#,#!!!

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

!"#$%&!$#'()&#* +"$,$%-.'/#-",()&0120

POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG

2 Kuvioita ja kappaleita

Tuovi 8: Interaktiivinen tekniikka koulutuksessa konferenssin tutkijatapaamisen artikkelit

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

Nokkavipuliittimet NOKKAVIPUL. UROS SK DN25 HST NOKKAVIPUL. UROS SK DN32 HST NOKKAVIPUL. UROS SK DN40 HST NOKKAVIPUL.

Lähetettyjen kirjattujen kirjeiden diaarit Postikirjat

j n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

30 + x ,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = ,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) =

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Transkriptio:

!"! ##"$

!! "! # $ %! &# '( ) * # + " & (, & # - "./ $ &!!! " " $ 0! &# '( ) # *& - 1 # 3 ) 45$!! "! $ # " ' "! 1 5 * - 16 5! 1 *#- $5 * 4-14 5$ 7 89 1: 5 ; 1< 5 $ =! %> <?!# @ 4! A$ B # $ : < $ 9 $$4 CDEFG HI

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $4 & " @ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 $6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 $/ & " $ $ $ $ $ 9 $9 1 " ' 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $9 $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 $9 $4 : $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6 $; # @ " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / $; $ & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9 $; $4 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ; $; $6 ( $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $. 4 $! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 46 4 $4 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4/ 4 $6! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 49 4 $/ " # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4; 4 $/ $ 1!5! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4. 4 $/ $4 &# %! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 4 $/ $6! # 1=!5 $ $ $ $ $ 64 4 $/ $/ =! " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6/

4 $9 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6. 4 $9 $ 0! " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6. 4 $9 $4 0! " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6 4 $9 $6 0 1# 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6 4 $; " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / 4 $; $ " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / 4 $. < $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ /6 4 $.$ )!A"! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ /; 6 $ =# 1+ #!A '# 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / 6 $$ =# $ $ $ $ $ $ $ 96 6 $4 < # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9; 6 $4 $ = < # " $ $ $ $ $ $ $ 9. 6 $6 : 1# '# 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9 / $ & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ;6 / $4 & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ; / $6 % 7 :! $ $ $ $ $ $ $ $ $.4 9 $ : $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $.9 9 $4 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $.. 9 $6 0 # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $. 9 $/ % # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 9 $9 # 1" 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / ; $ 0 #!!:! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 ; $4 "!!! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9

! $ "#$%& 1"! :'5 $'( 1)*+,,-.5/ 4 $ 0 1 3 4 - ( 6 $ 4 5 3 &617/ 8 3 1 9 +/ / $ : 8 ; ( 5 < &687 ( 9 $ 4 &68 = +7 3 &687/ ; $ 8 3 8 9 +.$ (/ $ &68 = +7 3 5 $( $ :# & " >?@A B-C1C8D E FG 6 7 >H@I B-C1D E FJ = B1 9 +DFG 6 K 11 9 +5 7

4 " " " >@ B-C1D E F = FJ = B1 9 +DFG 6F 6 " 7 >J@ B-D E FH = BF = FJ = B1 9 +DFGD J FH = B- 9 +DBF = FJD = FG B1 9 +D J E F- = + - B- 9 +D B- J D, = # $ 3 $! 3 1" 5 3 1B 5 3 : $ =! " $ B"G#"J#,,,#"$D > B"GD =,,, = > B"$D B%&'(> B"GDC,,,C> B"$D)D 10 : "G "J 5 > * B+ D = > B"GD : 3 > B+ D = > B"JD : 3 ( 1: ( 5 3 K, 1 1: 5K 1=55 = " " $ @! " # 1 $5 "! $ -. % $ "#$%& & '( 1)*+,,-.5/ 1-5 # $ 0-3 1+5

" " " 6 4 *+,,, -. *+,,, -. 3 )*+,,, -. # 1 53 1 5 3 )* - = +,,,-.# 1 53 1 5 ( $ 1 5/ D 1 5/ > B - D 1 " 5/ 1 5 '( 1 # " 5/ " " #" $ & " # @ %! $ &# > B-D E FG C - + > - = FJ-!! $ # @ " & ' '##' - "# @ > B-D E > ( J = FJ- B> ( ) H = FJ, J D = FJ- *> ( H =FJ- E,,, ) ) E > = ( 1, FJ- J+ ),,, E,-./, > B+D = 01J -, FJ- FG- = FJ - 01J - B- 01J -D 3 4 # @ C - "B $ - $ C # $ % D B5D* > B+D FG > B-D 6> B 7 D = 8B -DC - 9$ C 9 +C C,,C : # @ - 9$ C # " + :

/ " " " > B-D > B 9$ D 6> B 9$@G D = 8B 9$ D 6B 6 > B 9$@J D = 8B 9$@G DD = 8B 9$ D 6J > B9$@J D = 6 8B 9$@G D = 8B 9$ D 6J B6 > B 9$@ D = 6 8B 9$@J DD = 6 8B 9$@G D = 8B 9$ D 6 > B9$@ D = J 6 8B 9$@J D = 6 8B 9$@G D = 8B 9$ D,,, 6 > B9$@ @G D = 8B $@G 6 9$@ D,,, 6$ > B+D = FG 6$ = $@G! # $ 3 FG-,-. 6 8B 9$@ D! # $ 6 8B 9$@ D 8B D F, @! " $@G > B-D FG 6$ = 8B 6 9$@ D $@G FG 6$ = 6, F $@ 9 FG 6$ = $$@G F9 B 6 6 9 9 D FG 6$ $ = F9, B FG 6$ = F,6$ $ 9 9,-. FG 6,-. = F,6 FG- $ D 7 9 + 9 + 7 9 + 7 # 9 9,-. 9 + 7 01 7 -,-. = F, B 6 9 9 +D@G, B-,-. 9 - D # @ * > B+D FG $ % > B-D 6> B D = F - C - 9$ 7 C # +C C,,

" "" $ > B-D B-,-. D C8 1 6 $ 9 61 F%# 4 $ > B-D B- DC8 1 6 9 8 6 F %# 6 $ > B-D B- -DC8 01 1 6 9 8 6 F %# % &$ " " 9 0#" 4 $ 0#" 6 " > B-D FG 6$ $ = F9, # $ $ FG 9 = F 9, # FG- = F- 01 7-, : " 1 5 > B-D B5D, > B5D C B5D " @ > B5D @ $ @ #"! " 1 " 5 1! 5 # B5DC> B5D > B # B5DD, @ " > B-D $ + B # B5D #D, > B # DC $ "! " @ @ $ % '( 1&6$$75/ 0 3 4 ( 4 3 &67/ 3 / : ; ( < &67 ( 4 &6 7 3 &67/ 3

; " " " ( $ (/ &6 7 3 " '# && ' ' ' @ )*+,,-. " 1 5 # " @ $ : 1 5 3 " @! 1 9!;5 $ & @ 1 FGCFJCFD > B-D FG = J BFJ = @G B1C $ + #D, #FD FG = B- 9 +DFJ = F @G J B1C $ + #D, # )*1.5 )*+.$$$ )*1 9 +. $ : 1 5 3 " @ )*+,,1 9 +. : 1 5 + B1C #D + 1 C # %C,,C1 9 +, 0

" "" " ". > B-D FG = B- 9 +DFJ = F @G # J 1 $ FG = B- 9 +DFJ = F + @G J 1 $ FG = B- 9 +DFJ = F + J 1, + F FG = B- 9 +DFJ = @G G 1 F FG = B- 9 +DFJ = -B- 9 +D B- J D, * # 1B1 9 +D % 1 5! @ $ : 1 '5 1 5 & &6 7 1 3 5 #% &6 7 $ ' :" ' 1 5 &6 7 $ # &6 7 4 $ &6 7 $ $! &6 7! # &6 7 6 $ 0 ' 1 5 ' 1 5 #"! $ # #" $ #" $ = $ 4 $ = @" $ = $ = 4 $ "#$%&&

" " " 0' 1 5/ &6 7 < &6 7 " &6 7$ : $ 4 #3/ 3 / : # E ( 4 : &6#7 < ( #3# / : &67 " ( 3 / 0 # < 4 &3&6#7/&6#73&67/&673& ( (/ # (/ '( ' 1 5/ 0 < 4 3 1 5/ 3 1 5/ ' 1 5/ ' 1 5 ( $ " '# 15 & 1 5 1 5$ &# 1 5 $! : # E ( $$$ #! $ # 1 # 8 # 9 + #! #! # $ & " &67 E $ 0 # &6#7 1 5 $ 1!5 & 1 5 " 1 5$ &# $ #" @

" "" " " 1 5 &6 7 &! # " @ $ 1 % $ @ 1 5 3 &67 &6 7 $5 1'5 & 1 5 ' 1 5 1 #%$ 5$ % $ & # B- J D 1 " $ $5 &# : 1 5 3 " @ 3 1 5 1 # "5 @ " " 1 5 3 > B-D > B-D E FGC - + > B-D E $ J + B #D, B> B # 9 +D = > B- 9 # = +DD = FJ-C - " + B # D + B)*+. # )*. )*+.D - +, # 9 + - 9 + = - +, # 9 + - 9 + B # 9 +D -B- 9 +D =+ B)*. # )*+. )*. D " 4 "

" " " > B-D E $ J B # 9 +D -B- 9 +D B> B # 9 +D = > B- 9 # = +DD = FJ- -B- 9 +D @G -B- 9 +D B@G -B- 9 +D B@G -B- 9 +D @G B- 9 +D @G $G # > B $G # # D = @G $G # > B $G # # D = @G $G - > B # D = FJ- $ G > B #D = FJ- B> B # D = > B- 9 # DD = FJ- > B- 9 # D = FJ- $G B - 9 # D> B # DD = FJ- ( > 1 5 # @ 15 + > B-D - 9 + @G $G > B #D = -C - " 1 5 E > 1 5 3 FGCFJ $ # @ # B- 9 +D > B-D @G $G > B #D = -B- 9 +D B- 9D > B- 9 +D @J B- 9 +D > B-D 9 B- 9D $G > B #D = B- 9 +DB- 9D > B- 9 +D > B- 9 +D =B- 9 +D > B-D - - 9 + > B - 9 +D =, % " "

" " "" " > B-D - - 9 + > B - 9 +D = - - 9 + B- 9 + - 9 > B- 9D =D = - - 9 > B- 9D =B - - 9 + = +D - - 9 9 B- - 9 > B - 9 D =D =B - - 9 + = - - D - - 9 > B - 9 D = - B + - 9 = + - 9 + = + - D,,, - > B+D = -B + = + =,,, = - + D - = - B 9 +D C # += J G = G =,,, $ 0 - - = B+D @ > B-D B- 01 -D, > B-D - 0 - - = B-DC " " " $ : 1 $! 5 # $! # @@ $ " $ & 6 7! 1&6 7 #! 5 '( ' 1&6 75 4! /

4 " " " ( : ( &673 ( 4 &67!! (/ 0 &673 &673 # < % '! " ) % - E$ $ 7! # B # D$ = $ " @ #" $9 $ $9 $4 $ #" "$" $! # " $ ) " "! " $ 1 #5!! &6 7! $ 0 @ 3! $ 0,= 1 5 3 '! 3 $$, &< 1 5 3! &6 7 3 $$ >> ) B-D G "> B8D $ ) B1D, 36 3

" " "" " 1 & 6 4,= 1 5! 4 6 4 /, &< 1 5 4 / + '!! &6 7 #! &67 # - $ $! &6 7 # - $ 6 1 #" $5 = >> ) B-D $ - E -, + -, $$## $! % + ( B D # $ 1 F F = B D 9 B @GDC 1 GC,,,C 1 F " B D! $ & " "! / " "!

/ " " " $ G F G BF = B D 9 B @GDD G F = B D 9 B DC G F G F 9 B D = B D,! B)D & @! $ '! & @ #"! @ F F = 9 = + = B+ 9 D, = G F G F 9 B) D = B) D - 9 1@ 5 = 1@ 5. <" # @ " $ =! $ & 4 $ &! " 6 $ (

" " 9 " "#$$ # 1 5# @ * > B+D E F > B-D E B> B+DC,,,C> B- 9 +DC-DC - " C $! #! # ( $ " 1 5 & > B-D E B-C 6D 6! $ 1 5 6 " " B+C 6D " F B-C 6D " B B+C 6DC,,,C B - 9 +C 6DC-D, " @ > B-D E B-C 6D " +$ % $ # @ & = > B+D E FG * > B-D E> B- D = FJ-C - " > B-D E 6-01J - = 9 $ 6, + 01J + = 99" FG 9 " FG 6-01J - = 9 "B 6-01J - = 9D = FJ- 6-01J - 9 6- =9 = FJ- 6-9 9 " FJ- 6 9-9 FJ " # " 9FGC 6 FG = FJ > B-D E BFG = FJD- 01J - = FG $

; " " " "$##$ & $ # @ B5D* > B %D + > B-D > B- 9 +D J C - " + # @ @ #" B-D 01> B-D 1 5 # @ B % D 01J > B % D 01J + % * B-D 01J > B-D 01JB > B- 9 +D J D 01> : " & # @ B-D B 9 +D01J > B-D J @G,-./ B- 9 +D = 01J B- 9 +D = 01J J @G, 1 $ #5$ # @ * > BD + > B-D > B -D = +C * - - $, 7 @ # - $! ( 15 ( B # D> B$ D B+D > BD + * B # D > B$ D > B$ J D = + : " B # D # > B-D 01J - 9 +C * - -, B # D = +, 9 +$ & # @

" ". #$ $#$ # @ " /! $ C GC JC,,, $ $ 1< $ > B-D! # @ 5$ & ( 1! 5 &! ( B D, 1 5 +C +C +C,,, $ ( B D +, 1 5 < 4 / $$$; ( B D 1 5 < 4 6 $$$; ( + + 9, B D + +, 9 B D - B+ 9 D J & ( #! " " $ :! 1 5 C GC,,, $ ( $ B D C " ; " - + B % D "

" " " ( #! " $! # / " $ & # @ ( # $ 1 5 " $($/ 6# 7 1 5 ( / 6 7 1 5 $ 6 # 7 # @ * + @G C - " +, " C GC JC,,, $ $($ ( B D +, = G + = G @G + = G + = + = B D, B D + + 9, " + + 9,

" " 0 1 5, # @ * + @G = + " $( $ B D + = B G @G = +D + = G = G = B D = + + 9, B D + B+ 9 DB+ 9 D 0 " ( # G G@J G@ + ) B+ 9 DB+ 9 D + = 9 + 9 C & " $ # & " " # # @ @ B+ 9 DC B+ 9 D! G J C + + 9 + + 9 ) =, + 9 ) / + + ), + 9 9 + = 9 G 9+

4 " " " =" B D + 9 + 9 + 9 9! '' * %C G + @G = @J C - " " $( $ # @ B D % = = J B @G = @JD J = G G = = B D = J B D, B G 9 +D!, B D C + 9 9 J B+ 9 DB+ 9 D C * = 9+ + 9 + J G B+ = D J G B+ 9 D * # " B D + J 9 9 + % 6 7 B+ 9 DB+ 9 D ) + 9 = + 9

" " 4 ) % % $($ " + 9 + 9 G + 9 G + 9 + 9 + 9 + 9 +, B D + + + + 9 9 + + 9 + 9 B 9 D C "! '' + B 9 D C - " %,

44 " " "

& " 1 5!! " 6 7$ 1 5! " # 6! 7$ )! $! 1' 5 6 " 4 $ 1' 5 " " ' $ 6 $ " 1' 5 " "! ' $ / $ ' 1' ' 5 " 1"! ' 5 ' $ 9 $ 1"C" 5 " " " $ ; $ A" 1'5 6 " 6 "/ $ " #" @.$ 1 5 6 6 " " / $ $ 1 5 6 " " 6 / $ $ 1"C 6C" " 5 (9 " 9 E 6) C " (9 " 46 $ 9 6)$

4/ " " $ 1"C" " " " 5 1" 5E 1" 5/ $ < " #!! " $ 0! " A" $ ) #" " 1!! 5 # $ < 7 #! " # # 1$ " ' 5 " $ 1$ 5!!! '' " #" $!! 1$! #5! ''! " 1!5! 1 5 1$ ''! $5 &'& # "!!! B-D!! B- J D!! ) B-D 1 $ # 1$ 55 && &%& # # "!: ) ) 7! "!! B1D + 1 ",

" 49 7 "!! 15$ B D$ ' ' &&' # & B D ' "!!! "! B-D$ :# B- J D$ " # $ - = 3 # $ = 3 # # $ : 3 $ = 3! $ 1 Solmun 3: 6 syvyys = korkeus = 0 taso = 1 3 4 7 8 "! 5 9 ' 1 5 " E " & $ 1 5 " E$ G 9 + $ " $ G 9 +$ 1 5!! " 01J- $

4; " " "! "! $! #, $! &''& ' % 01 - $ &#! #!! 0B D " $ $ 1 5 6 " $ $ 0B D6/ 1 5 0B D 0B D 1 5 0B D $ 0B D $ 4 $$$! # 6 3 8 1 5 1 4 7 4 6 7 3 5 1 8 3 " # "!! +! & 1 5 ' $ " # "!!!! B- 01 -D! # " @ $ 4 8

" 4. +! " # $ #! # "! $ :# B- J D$ 7! $ 1= 5 # " B- 01 -D$ &# %! 1!5! "!! 13! #5 $ &# 1!5! 1 5! # ' # " $ 1:! 5! "! 1 45! $ " $! 14 /5! " $ $ #! $ 1 # $5 ' G 1!5! @G B G 6 9 +D E E 7@G G B G 9 9 +D 6 E # E 9, ' 1!5! # B01 - D, " 14 65! $ #! $ = # 3 6 #7 4 9. 4 ; $

4 " " 5 1 5 7 8 16 19 5 % 14 65!# 7 8 1 % " #" $ 16 19 / # / /! # / $$$ $ 1# " $5 4!6!# 5 1 5 7 8 16 19 5 7 8 1 16 19 9 (5) (1) 5 7 8 9 1 16 19 5 7 8 9 1 16 19 8 19 5 8 1 19 5 7 8 9 1 16 19 5 7 8 9 1 16 19

" 4 : #" / #" / $$$ $ ' $ 14 65! " #!!! "!! B- 01 -D$ $ &"! # 3 %" ;4 ''& ' %&% #! $ $ 6 6 8 8 } h = 0 1 4 7 h = 1 4 3 3 5 AVL-puu Binäärinen hakupuu, EI AVL " # K!! $ =! +! # $! # &# %!# 4! # # # # $ # # " & ## #" $

6 " " $ 4 5 1 3 1 4 0 0 3 5 u v v C u % B A B C A 0 # $ 0 1 5$ 0 #"! #" $ 0! B01 - D 1! &# %! E +C ** 01J - 51 5$ 0 1 # 5 $ 1# &!#/ # 5 u v v u C A B A B C

" 6 4 $ # 1#,!#/ # 5 u v v u A B C A B C 6 $ #! 1"! "/! # 5 1 u w v w v u A B C D A B C D Insert / $! 1,! "/! # 5 u 1 w A B w v C D u v B A C D Insert : &# %! 1 5$ ( ' $ &# %! " " #!!! +!! B- 01 -D$ 0 @ &# %! " # " # @$ <!! $

64 " " $""!!$!!$ #!!#"$ $ $ ' "! " "! 1 5$ = 13 5 $ B 01 - D$ & '!!< (! # '&&% '!:# B-D,!:! @ # $ <7 = 7 <7 & =& :&7 ) =+ <& 1 5 0 &# %! < $ # 6 $ 4 4 3 5 3 5 4 1 3 1 5 1 = 6 / 9 # $! B, - D$ < $ 1 1.. 3 3. 4 6. 1 5. * 4. 4 3 * 1 8. 3 7. 4 * 1 9. 3 4

" 66 :&< : + <& 1=3 95 0 1K 5 $ = 1 @ 5 p x x C A p A B B C 4 $ =! 1 &# %! 5. g 1. p D x A B C 6 $ =! 1! 5 x p g A B C D. 1. g x x p D A p g C B A B C D 1# $ &# %! 5 1.. g x x p C D A p g D A B B C =! " 1 +5 $ 1 " #" $5

6/ " " # "# ''&& ' '# # # B 01 - D $ ( B01 - D! #" # " $ 1 $ B-D 5 B> D 01J" B1D " B1D 3 $ = 1 > ' $ B1D, 01J" B1D < $ 3 01J > $ "! $ $! "! # & $ $! ( B> D B1DC B1D01J" B1DC B> D B 11 B> DD 0 FB 1 # D +C FB 1 # 6 # D FB 1 # 1 # D 1 GC,,,C 1 FB1 D FB1 D = B> D 9 B> @GD, ' $ =! # B B> D 9 B5DD = + B01 - D$ % & $ % # $

" 69 B DC" B DC B DC" B D $! E B B5D 9 B5DD = +!! E B B5D 9 B5DDC # $ G FB1 D E + = B$ B5D 9 $@G B5DD = B $@G B5D 9 $@J B5DD =,,, = B B5D 9 B5DD + = B$ B5D 9 B5DD + = B B> D 9 B5DD, 0< <7 & =& ) 0 ) = & 7 7)0 =< $ = ' 1 53 4 $ = ' 1 534 FB 1 # D + = B5D = B D 9 B5D 9 B D E + = B5D 9 B5D " B D E " B D E + = B B5D 9 B5DD B5D B5D " FB 1 # 6 # D = B5D = B D = BD 9 B5D 9 B D 9 BD E= B D = BD 9 B5D 9 B D E= B D = BD 9 B5D 0 " B D =" BD E" B5D " " B5D " BD " B D "" B5D 01J" B B D = BD01J" B D = 01J" BD D," BD E 01J*B" B D =" BDD J. E01JB" B5D D 01J" B5D 9 B5D 9, & 6 9 E = 6 9

6; " " = FB 1 # 6# D E = B B5D 9D 9 B5D B B5D 9 B5DD E B B5D 9 B5DD " B5D "" B5D 6 $ = 0 1 5# @ B5D BD C B5D " B DC B5D E B DC" B5D =" BD E" B5D #" $

6. # 1! " 5 # - B- 01 -D$ @ # B B- 01 -DD #! $ &# 0! *1.! #" 1 8 *1. E *8., % " #"! $ & $ 4 $$$ 1 3 4 7 5 6 9 8 10 - " 6+,,-7 1 # 1 1 = +$ <" 11 v 1 3 4 7 5 6 9 8 10 11 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $## $$$$ # 6+,,-7 # 6+,,1 6 57 % E 1 6 5 E - $ & '& 3 1 #% 34 % 34K $

6 " " '( 1 B1D/ : 1 ; ( *1. < * 6! B1D. ( 4 *1. * 6! B1D./ ( 1 : 6! B1D! *1. $ '( 1 81 - B1D/! *1. $ 4 0 -B1D E : 1 1 6 5 ( * 1 - B1D. E *0 1 - B1D. 1-1 - -B1D : 1-1 1-0 1 - B1D : 0 1 - B1D E 1 6 5 ( *1. $ * 1-1 -. ( 4 *1. * 1- -./ 1 : 1- -/ 1 0 1 1 - B1D E 1 : 6 5 ( * 1 - B1D. E *0 1 - B1D. 1-1 -B1D 1 1- : 1-0 1 - B1D ( ( '( 1-! B 6 D/ 0 1 6 5-0 4 1 6 5 : 1 6 5 = +/ *1 6 5. : 6/ 1 B1 6 5D ( '(!61 / 8 0 1 : 1 6 5 (: ( 1 81 - B1D 0'!0!! 1-/ 0 1 6 5 % 0 4 : : 6 *+./ *+. *1 6 5.# ( 1 6 5 : 1 6 5 9 +# 1 81 - B+D/ 6

6 $## "# -! F I! F I! B01 - D$ = @ -!!!0!! 1-! " B01 - D$ D F! B- -D/ 01 B-D -! " #" E - $ 0 " #" F I!! E FB = +D 1' 5$ 0,-./ -, FB = +D EF-, #$$ "$ = + G *F- B-D, " 1'& 5 1 #& 5$ %&&! '(!6 B)*+,,-.D/ 1!61 B)*+,,-.D/ 0 : # - 9 + (: ( )*+. )* # = +./ 1 81-1& 5 1 81 - B)C +C #D 1 81 - % /! # # $ & B-D =! G $ B01 @G # D! B-D = -, B01 - D B- -D, 01

/ " " #" 1 " 5 $ &# " $ " G " #"!! $ B n B n : B 0 B 1 B B B 3 n+1 - " # ($ ) - 9 $ %& # ( 9 +)$ ++G + % ++J 01J - = + $! F 11 " - $ "! # %&% 0B D " $ @ 0B D E 0B D

/ " (+C C,,, C ++)! 1 4 10 5 6 11 8 3 7 9 # # $"# $#$ # 1 8 1 5 #" G $ "! # $ I = A F 7 F 6 & B01 1 = 01 8D 6C % 1(6) C 5 B01 D$ -! B- = 01 D$ 1 $! $95 : B01 D$ F 13

/4 " " ( C B01 D$ $ @ # J+@G " #" # % 1 @J+ C J+@G5 p 15 &&! 1! 5 B01 D$ #" 1$ ( #5 1$ B #5 1$ #5

" /6 1!A"! 5 0 @ # $ & 3 '# ;/ & '( 3 ).6.9 $ " # 1! $5 -! B01 - D $! # $ 0 "GC,,, C" / +C,,, C-$ & " (1) 1$ = % 1 & #& 5 1 5" " " C " " # A" 1 5 " $ $ 1 " $ = & " " 1 $! 5$ : 10 5$ $! $ *+,,-. *1. 1 " 115 *1. 8 B+D % 1 C C 5 0 1 + - ( 8 B-D 0 *1. *1. *1. - B- J D$ " " $

// " " : # $ 1" 5 $ "G (+C C C C ) "J ( C *C C ) 5 3 S. 1 1 S 3 4 S 7 9 8 6 1.53 % 14 65 1.536 & - %! B+D,! B01 B-D - B- J D 1# 5 '' " - D #! : : " " $ %!! $ 1= #5$ ' $ -! "! 01J- $ % & " " " %! "! " # $ > B> D "# &#' > B> D % 01J > $

" /9 &%' # #" >G >J T T 1 h(t) >G B>GD E 01J >G B>JD E 01J >J B> D %&'B B>JDC B>GD = +D E >J $ 0 "! E%&'B01J >J C + = 01J >G D %&'B01J >J 01J C >G D E = 01JB >G >J D 01J >, =! B01 - D$ " - %!! B- 01 -D$ '' ''& 115 #" "! 1 $ % $ r T r v p Tp v p-1 Tr r v p v p-1 v1 i T p-1 Tp Tp-1 T 1 T i v 1 T 1 i T i ' " - %!! B- 01 -D$ &##!5 9+ %!5 % +!5 # J / C # " +! 01 - # $ $!5 # " -,

/; " " 01 - E @ - ' $ " - %!! B- 01 -D$ # #$ # "# $ - %!!! 1-9 + %! 5$ 0! $ 0 %! B-D$! " & &! " %! 1 $! 5$! #! / " # # $ $ 1 1 "Charge" 3 5 6 7 8 4 3 4 5 6 1 1 7 8 "cost(j)" find(6) find(7) find(8) 3 3 ' % " # $! 1# # 5$ = # B D / (!5 B1 9 +D B D E!5 1) C % E 1 E 01 -, % # "!! " 1 1 1 5 # # #! /

" /. 1 5 / 1 5! # #! $ 0 " 15 0! + = B01 -D @ $ 1!5 0 E B!5 1 9!5 B1 9 +DD @ #" "! B D $ B D$ % $ = # B!5 1 9!5 B1 9 +DD, @ $,-. & " %! " " # $ = E @G G - E - @G G *+ = + = + * - @G -!5 1, =,-. B!5 1 9!5 B1 9 +DD - -,-. + 9!5 B1 9 +D E - 01 -,!5 1!5 1 " =,,,.

/ " " %! B-D! B 01 -D B- -D 01! # BB- = D01 -D,

- $ %! $ # # @ & '' & % &&' ''$ $ : " $ = 1 5 # / 1 5 #! 1 #" @ 5 1 5 1 B 5 $ * * * * * etenevä poikittaiskaari puukaari * * * sivuttaiskaari * * takautuva poikittaiskaari * /

9 " " "#$%& # $ & = B C D *.C $ #% 0 " $ 0! > > $ &# > : 0 '# ( ' 6 73B/ 0 '# 0 ' 6 ( 73 B ' 1 5/ '( ' 1 5/ 4 ' 6 73"/ 0 '# *. ( 0 ' 6 73 B 4 &1B C D C> 5/ ' 1 5 (/ ( $ ' $ = B C D # B- =!D -! $ % & $ & B-D$ :" ' B C D! # 1 5 # # " $ # " " #"!! & 6 7 $ & %& 6 7 $

" " "#$%& # 6! 7$ & = B C D *.C $ #% 0 " $ 0! > > $ &# > : /! - : +/ 1 - : +/ 0 '# ( ' 6 73B/ 0 '# 0 ' 6 ( 73 B ' 1 5/ '( '# 1 5/ 4 & 6 73! - /! - :! - = +/ ' 6 73"/ 0 '# *. ( 0 ' 6 73 B 4 &1B C D C> 5/ ' 1 5 (/ & %& 6 73 1 - / 1 - : 1 - = +/ ( $ ' $ 1 C 5 #! & 6 7 ; & 6 7 & %& 6 7 ; & %& 6 7$ % &$ $ & 6 7 < & 6 7 ' 1 5 # $! ' 1 5 1 C $ =# = @$ @ 5 %& %#%$ #'&&# @! # $ # B D $ $ 1 C 5 B D B D$ '& '! $ B D & %& 9 6 7$ =# # "! $ 9

94 " " ' '& & & % & % && = B C D ' '& & % & % && # $ 6 # " $7 # # # #! # $ "#$%& $ 7 # $ 4 $ " $ 6 $ 0 # #!! $ / $ 7 # #! $ 11 10 9 11 10 9 11 10 9 3 8 3 8 3 8 1 7 1 7 1 7 6 5 6 5 6 5 4 4 G Gr ' $ <" B B- =!D - C! $ 4 Gr C D # # % & $ & 1 # K 5$ & "! # # # $

" " 96 $ @ @ $ # # $ #/ 5 $ @ 5 5 " @ 5 5 $ $ 5 $ 0 5 # " " 1 - *5. $ 1 - *.C $ # '# 1 '# 155$ 0 5 '# 1 5 '# 155 $ = '# 15 5 $$$ '# 1 5 $$$ '# 1 5 $$$ '# 15 5 5 $ " " $ $$ "" "" =#! 0 $! $ : " # #" $ 1< # $5

9/ " " < $ 1 5 3 4 % ## # $ B C D # 1 5 $ = '& #''&%&& # $ #! & $ 1 #@! $5 & " @ #! '$ B C D # " B C > D 13# 5 $ = 6 @ 1 5 6 " # 4 / 1 5 6 " 6 1 5 #" # 6 #! $ % & $ # 6! $ # 1 5 6 #! $ 1 6 $5 # 1 5 $ @ " " 6 " -# -! $ 0 a

" " 99 % "! # #" -@- # > #" $ # B! " 1! 5 # $ $ B6 73 1 6 7 B6 7 > 6 7 1 C 5 $5 "#$%& 0 '# ( 6 73B/ 3 / 0 '# 0 ( 6 73B '#! 1 5/ '( '#! 1 5/ 4 6 73"/ 6 73 / B6 73 / 3K/ 0 '# 0*. ( 0 6 7 3 B 4 '#! 1 5/ 0 B6 7 " 6 7 < ; B6 73 1B6 7B6 75 ( B6 73 1B6 7 6 75 ( & " @ 4!# $ 1= 4!# " $5

9; " " - = # $ # < & %# " 1 $! 5$ ' $ < 1% $ <.695$ < # 1 5 # / 1 5 $ % = $ # " $ " B $ <! #! $ $ 1 5 + $ : B C 9+D,# " C D! #! 1 5$ # GC,,, C $ $ " < # $ 7 " # + < # $ G 1 G 3 G: G = " " P ' < $ = # < 4 $ ' <- $ = # < 3 #@ #" $ $ 3$ $! #" $ $3$ $K $

" 9. $ #! "$ # & # # B C D$ #% # < # + $ &# 0 *. #" "! - @ - $ "! < # + $ &! #" # @ + 1 $ " # 5 # " $ " ' ''& 0 #! - - + - - $ &! B D$ 0' < 1 5/ 4 C D *.C / $ B 1: 5/ $ / : / 0 *. - @ - 4 D / $! B C 1 : 5/ + # $ $! - -/ : ( 4 $! B C D + - - /! - -/ : ( + - -/ + ( $

9 " " -- = - - - GC,,, C - -# - GC,,, C $ < " # # ) G J H? G J H? 6 + # $ " # # " " 1$ 5$ # " @! "! " # # @ & ## & ' & 1$ (' '# 5 S1 S S 3 S 4 t 1 t t 3 t 4 S t 5 5 S5 t 5 &# B C D $ # & ' & $ $ # $ : & ## # 1 $ 3 45$ ' &% $# ' @" $ $ #" $ : ' ' %' $ & %# & '! $ $ " G JC G J $ $ B G JD$ ' 1:$ 695$ B G JC D G J $ G " B D S 1 S S 3 S 4 t 1 t t 3 t 4

" " " " 9 B D ( J C B C D ), @ " G B D " $ % &$ = $ G B D ", G, @! G J $ $ 1 " " # $5 G G B( $ " G)D ( G) + G G J $ @ G " " B GC GD$ J G G $ B( GC J)D " J G ( GC J) $ J $$$ $ u 1 v 1 u u 3 0 @ $ J $ -! - G " " "! + v v 3 v u v u k k k-1 i+1 v i u 1 # # + - - " $ $ # + B GC,,, C $DC # $ +

; " " & & %# G $ '& '&' $ # # &# 0 & B D B D, ' $ + " $ @ @ + + = +$ % & $ + +G +JC+G C +J, P: v v v v v v 1 3 4 k-1 k P 1 P @ + B +J! D +G! 0 +G +J = + + = +, " $ & : $ 4 $ < " + $6 7 6 $ & : + $

" " " " ; / $ 4 6 " @"$ @ $ & " ' $! B C D$ @ " $ % & $ $ @ B C D " $ 0 # 4 $ = # 15 / 1!5 / 1'5 / " / @ " C " C B "D B "D, 0 $ @ " $ " $ =! 1'5! $ "! $ " @ # # $ 0! " $ #! B G JC D $ = J G G J $ @ " # G # J $ " @ # B = D$ 0 # 4 " " B, B = DD B, DC ",

;4 " " V V 1 V 1 V V V 1 0 " # # " #" # "! B, D, 6 '( 3 0.67 @ B, 6 ' 3 # 7$ D!

+ + 7:! " # " $ # ## # # - @ - 1 $! $ # $ + 5 : < $")> + = " +! " $ # " +! " -! - + + $ & +! "! # # # $ @ # #B 5 # # ( $ D &&% &% $# ' B C" C FDC ;6

;/ " " " 1 5 # 5 " B5D " F ( F : " $ $ 5, " B5D 1 5 FB5C D E FB5C D " B5D, * 6 5 : FB5C D " FB5C D " B5D., F B5D FB5C D $ " B5D # $ # # B5C D FB5 C D 9 F B5D F B5D, * 6 5 : F B5D 9 FB5C FB5C D D. B5C D " % B5C D % $ # ) )B5D " B5D 5, & )! " % = B C" C FD B5C)B5DD E 5, " BD 3 " / 3 / FB C D < 0 ' #,! 1 5/ 4 C D/ $ B : / : (

" " ;9 4 15 1 C 53 / 3 ( )/ ( $ 3 # # (/ &! " BD$ ( 15 $ # 8 8 $ 1 $ $5 = " + B C D 9 E +C $! $ 1 #5$ :# #,! E ( 9 01 01 01 ),

;; " " =: >"+ >"+! # B # @ C C FD FB C D E FB C D = FB C D C C, @ >"+! 7:! " $ 1="" E =: "! # @,5 < =@ B C C FD 15 " > / 145 " > - > #" -/ 165 - - # $ 5 1 8 T C T 6 4 3 7 C > $ = FB D FB> D FB D E FB D " $ # 8! # @ 8 " $ 0 > FB> D E FB D " FB D EFB> D EFB DC $ # 1! 5$

" " ;. " " # 1 5 $ &% '#$%&! =@ B C C FD/ 15 " > / > / 145 " 6 " #" 7/ 165 " < # B C > D 1/5 " - -! Virittävä puu (V ympyröity) Eräs pariutus E = FB D E FB Oikaistu reitti C D FB> D = FB D, "! " E G JFB D, 0 FB D E G JFB " FBD E FB> D = FB D E FB D = + FB D FB D D $ 9 # 1 G J! 5$

; " " =: =: ' + + =:! #! # " % $ % & =:! ) FB C )BDD E #, F BDC + D # " % $ @ #! B + " B C D =:! C 8 $ 8B C D * + C B C D B # = +D, C 3 # $ #, $ & ) # FB)B C 8DD E #,, # " $ % @ =:! $ = =:! "! "! $! " " " =: " + =!! ' $ + # " F $ % & $ = 6& $ <<<,= 47$ " @! " $

" " ; B C" C!D 1& %# % 5 '&&% % & ' )B5C D $ % 5 1 5 )B5C D " B5D B5C)B5C DD E / 1 5 1! B5C D E 10 B 5 D$ # 1 5 # " B11 D 1! B5C D E 10 B 5 C G D, & & & %# % $! # $ %! # # $ & $ " ) B5D )B5C D $ 10 7 &:=&,0 5 " $ " -- '& ' GC,,,C GC,,,C -- - - $ # %##& '& ' & " (+C,,,C-) $ $ E", '& ' &' 1 5 B D, 7 :! " 1# $ :& 7! 5 " 1 5! # " $

. " " "#$%& 0' ' 1 *+,,-.C *+,,-.C" 5/ * %,,.36-10 C- 10 C,,,7/ 4 * : %. # 6 5 : %/ 0 # : + - ( 0 : 65 (: ( ( $ 0 *. 4 : *./ 0 *1. = * #. E" 4 : = * #.# : (#)/ 0 *. 3 *. : 4 : *. / 0 *1. *8. *. : (/ 0 $ 65 6 5 : ( (/ B 6 5C * 65.D & * %,,. G *. @"! " $ 1 $ # #! $5 & " 1B- D $ &! 1! 5 # $! @ # &%& %# % $ & "!! $ 1= " # " # $5 "! '

" ". G C,,, C C GC,,, C $ B D G C,,, C C G F C,,, C F C $ $ @ " 6 $ $ 7 " F F " F F " F 6! 7 B F 9 +D 9 F " B D 9 -F, 6! 7 6 $ 7 = B D " B D " B D 9 -FC " # # -F E - F C B D 65( 1 +C,,,C-), " " B- FD B- J FD, # $ % F, - " B- D!! $

.4 " " - ' 1 $%".95$ ) + $ @! + ) + ) ) 1 $ ) E )C) ) $5$ ' + + 7 : : 7 :! " $ + $ # # % %##&' -7 :! " - #! " + 7 : " " : 7:! " # A G B GC GD J B JC JD$ # " "! : G J B C D G B B DC B DD J C G #" 13!5 & - $! # 0 + #C 0 - - # #"! #" " 1# $:.95 @ $! 7 :$ " # "! 7 :! " $ 1 $$!! : $5, 1 $,37 : 5$ '!,3( ) ) ), # " " '!:3:$ = '! 7 :37 :$ 1 7 : #5$ % 7: '!7 : 7 : 1 5 " 7 : 1 $ 5$ 0 )#& ' 0 ) '!7 :! " ) 7 :! " $ '!7 :! " $ & $ $!, 0

" " " " "" ".6 " +"+ ) () ) " $ @ $) C +"+ ) () ) " $ @ - " $- $) # : =:&,<3'!: =:&,< + + C F1 9 + +"+ ), < " :3: =:&,< $ #" -:37 :-! ' 1 $ =B '#.65$ +"+ ) +"+ ), : =:&,<! " 0 A " $ & B G5GDB J5JD,,,B 5 D B5G C,,,C5 D 5GC,,,C5 (%C +) C, C 5 B D +> () ) ) C +"+ ) () ) ),! ' " +"+ ) +> +"+ ) # / $! ' " % &' %() &/

! " "! % % & &' % % & ' " # + + +"+ ) +>, ' " # ) &' %() & &' % % & ) + & $ &' %() & C, C 5 C &' % % &! ' " ) / C, C 5 C J! $ $,

$ $ $ ( ( $$ / $ $ $ $ -!" - -# $ % & -' ()* +,-./01/33,31 % 45 6 7859:5; 4 # 6 78 # 9: # ; <=><"? <@A?B? $ 4C 6 D45 E 7 F D;4 # 9 G D G H I 45 4 JKLJ" 454 # # " MMBBM JKLJ" 454 N # $ OP

O!! $ 44 # 445 4 P P 3 P 0 P 1 P 1 P 454 # 4 # 4C 454 # 4C4 45 6 7859:5; 4 # 6 78 # 9: # ; 7859:59; 78 # 9: # 9;?"B?BM 45 4 # 6 85 :5 8 # : 6 F4 # # 45 45 4!" $ 45 # %! # 45 6 4 # 45 44 # 445 745F4;74 # F4; 6 85 F 8 :5 F : 8 # F 8 : # F : 6 785 F8;7: # F:;F78 # F8;7:5F:; $ H 454 # 4 # 4C 74 # F 45; 74C F4 # ; $ 454 # 4C4 & & 774 # F45; 74C F45;;774 # F45; 74 F 45;; G 9 774 F 4C; 745 F4C;;774 F 4C; 74 # F4C;; G

! OO (),,00.//3,,3 7-#; % $ # I & $ & $ 77- E ;!" -; JKL>?B@? J!B> "5" #M$ % &?B@??L> & & ' ( ' ) & & *?$>& B+#,$- L>>B> + #,$- A=> + #,$- A>. +#,$- 7!" -; "5 " # / 8 "5 %0 " # '

O # # "5 " * # B$?>?<<M$?$B> / ' 4 4 "?$>& B+#,$- A=> + #,$- A>. +#,$- 4 " A=> + #,$- A>. +#,$- L>>B> + #,$- &?B@??<=B?=MM$ 7!" ; 7!" ; 7!" ; &?B@? J!B> "5" #M$ % &?B@??L> ( ) 7!"; 77 E ;!" ; * (),0/,-! " 6 #459HHH94 $ <=><$? =>&K % ' & ' 7"; " % 4 (

O " P 10 P 1 P 11 P 9 P 7 P P 5 6 P P 8 4 P P 1 P 0 & &!" & & ;!" *!" P 3 n=1 k=5 &?B@? ) J!B> " 4 4 #M$ ) & ' 7"; & & 5 &?B@??L> ) ) & ' 7"; ) & & 4 4 59HHH9

# # &K@ $ + - " 4 454 >@BJ$B < + - M$K +4, - M$K +45, - M$K +4 #, - >BBB + -, B + - 4 ( + - M$K 4 (?<=B?=MM$ ( 7!" ; 7; 4 ( " F 1) P 10 ) P 10 P 3 P 3 P 1 P P 1 P 0 P 1 P 0 P P 1 3) P 10 4) P 10 P 3 P 1 P P 1 P 3 P 1 P P 1 P 0 P 0 5) P 10 P 5 6) P 10 P 5 P 1 P 4 P P 3 P 1 P 4 P P 1 P 3 P 1 P 0 P 0

&?B@? ) J!B> 45 4 #M$ ) + - & & 5 &?B@??L> ) 5 & & & & # 5 % ( & ' 7"; ( 5 ( % % " " $ 45 4 # 45 6 4 # " 4 ' 4 " " #4 $ 6 45 " 4 ' 4 " " #4 $ &?B@??<=B?=MM$ 6 & ' 7"; * q 4 = p q 5 q 3 q = p 1 1 q

$ () 1! 13 /3,,3 # # # &?B@? % J!B> 454 #M$ 4 6 7859: # ; 6 78 # 9: # ; 749 ; 6 785 F 8 # ;# E 7:5 F : # ;# &?B@??L> M$BM$ " 8 : ( % "9 9 $?B G " " " 6 " " 6 " " " ' % "9 9 $ % "9 9 $ " " 6 79;?B$> ) :

# # # # &<> K=?B ) 4 O Q l Q r δ δ δ P l Pr δ mahd. kaksoispisteitä δ l l P joukon Q l pist. etäisyys > δ joukon Q r pist. etäisyys > δ?<=b?=mm$ 7!" ; 7; 6 7; E 7; 7; 6 7!" ;

()( - 0 3-3 # # % &?B>@ 749 ; 4 ' 749 ; 6 # # 749 ; G 7 9 ; $ ( 4 ( &? $M ( ' 749 ; 74; 6 &? $ &@? &? < & <? ( &? <=?! 7; P &?B>@ ( & & 7; ( >M J <@??B? (

# + #- P ( ( M$> 74; 4 4 6 4 749 ; M$> 74; ( & ' 7; #L?$BM$ 74; 4 & ' 7; 74; 4 I 4 4 4 & ' 7; 4 4 I 4 q p S r

# # M$>! 7; 7; M$> )! 7; 7; F #L?$BM$ (! 7; 6 7; ) 7; F I % 6 #789:; 8 % 0 $ 9 6 #789:; 8 $ 0 $ 9 0 8 6 #4 # 749 ; 6 749 ; $ 9 749 ; 6 # 749 ; $ >@@ 6 #749 ;! 7; 4 9! 7; 6 7! 7; $ 7 ;; 7! 7; 7 ;;9 7 ; 6 #789:; # 8 % 8! 78 9:; $ 7 ; 6 #789:; # 8 $ 8! 78 9:; $ P L(P) P R(P)

# + #- O &?B@?! & ' J!B> ( #M$! 7; & ' 7; %! 7;9 & ' 7; $ &?B@??L> M$BM$ 8?B 6 #4 $! 7; 6 & ' 7; 6 #4 $ )! 9&'! & ' %! 9&' $! & '?B$> ) & ' & ' ( J $??<$? & ' 7; & ' & ' & ' 7;! 7; ( : : # &<> & ' & ' 4 & ' & ' " 4!! * 4 " ( 4 "

# # I 4 " " " 4 I 49 ( )! 7;! 7;! 7;! 7; &?B@??<=B?=MM$ 7!"

# + #- * ( 6 % 9 $ 8 % %! 9&' $ * %! 9&' $ * 4 & ' & ' 749 ;# $ '4& ' # $ " >B & ' # $ 4 9 ; "9 ; 4 >B & ' 749 ; # $ " " '"& ' 749 ; " 6 & ' & ' & ' # # % 7 7; 7 ;; 7 7; 7 ;;9 & ' $

# #

/ G G $ F F 7 ; 5 5 ( MBK &&?$ &BB 7 E ;

$ )*.3! --/ +- 33,,3, 1 A A A AA AA A A A A $ ) A A A AA AA A A A A & & I A A A AA AA A A A A ) A A $ ) * A A A AA AA A A A A A A A AA AA A A A A I A A O O

# ## # A A $ O A O A A A AA AA A A A A A A A AA AA A A A A A A A AA AA A A A A $ I I I I I $ P O I $ $ I ) I 6 I

I I ) 7 E ; I 7 ; ( I I I I G $ $ I I I I I G I I I I $ I I ) I I % I 6 I I ) I I $ 6 I I ( ) I $

# P ),- -, -/,,3, 1 ) * % % %% % % % ( I I ' ' I I * G ' %

7; 7; 6 7 ; E 9 6 9 H $ 7; 6 7; G 7 ; E 9 $ 7; 6 6 9 5 6 9 6 5 F # 9 H ) 7F ;7F; 7; 6 4 9 7; 6 5 4 5 9 9 9 9HHH 9999HHH / 4 4 7; 7; O

P ( 7; / $ O P $ / / &7#; O / 7 ; 59HHH9 5 5 F F P $ $ O P / $ 7 ; % $ O P / ( % $ % &7; 6 7 E ; % 7 ;

# 8 : 6 8 % $ $ I( % ) $ ( ) / $ O P $ $ 8 7 78; F 78;; 78; 8 78; ( P $ P P $ O / O / / 5 / G G O O$ O ( 6 # $ 9 6 9HHH9 6 7 9 E 9 ; 6 7 9 E 9 ; 799;

7 9 9 ; 79 9; 6 7 ; &7 ; / ( 6 9 9 6 9 9HHH9 9 ( 6 6 6 6 6 6 6 ( $ % $ 7 9 ; $ $ $$ ( 6 7 9 ;

# ( $ $ ) 5 # $ 5 6 # / ) $ % $ $ $ $P % ( * $ / / 5 # HHH # / / 6 % / F / / 5 # HHH 5 / # HHH 5 # HHH 5

$ $O ( 6 #9HHH9 $ 59HHH9 8( ( 8( 6 8 6 * ) $ 7 9 ; 6 9 9 6 9 9 ( ( ( ( ) % $ & & $ & & $ $ $ $ O P $$ O PO P$ I % 79; 859HHH98 % % 859HHH98 % 8(

# $ ( O P 6 I I I % O P 6 I ( ) % / P % I 4 $ 6 F 4 ( F $ P % 4 $ 6 F 4 6 F $ ) $ O # / ) 7; F *

8 F % 6 5 HHH 9 ( ( 6 8(5 HHH 8( H 8( % ) ( ( ( ( $ 6 I 4 $ G % 4 7 4; $$$ ) / 4 4 6 7 # $ 9 ; " 6 #" 7 4; $ / ) G % 4 5 7 4; $$P ( ( OP % $$ % / / 0 : 8 / : / # 0 6 #0 0 $ ( $ $ %

# $ ( 4 " ( E 4 " H H 4 H H H " H H * I O $ 45 6 7859:5; 4 # 6 78 # 9: # ; 45 4 # 6 85 :5 8 # : $ 4 # # 45 P 4594 # 9HHH94 % ( O F 4 % F E 4 6 * P

* ( (