1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,, a n R ja vakio on b R (1):n ratkaisut ovat ne reaalilukujonot (s 1,, s n ), joilla (1) toteutuu, kun sijoitetaan x 1 s 1,, x n s n Esimerkki 111 a) Yhtälön 6x 1 3x + 4x 3 13 eräs ratkaisu on x 1, x 3, x 3 4 b) Tapaus n : Tuntemattomia merkitään usein symboleilla x ja y Yhtälön a 1 x + a y b (a 1 0 tai a 0) ratkaisut muodostavat suoran xy-tasossa (tästä nimitys lineaarinen ) () Äärellinen jono tuntemattomien x 1,, x n lineaarisia yhtälöitä a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n b m on lineaarinen yhtälöryhmä (tässä on m yhtälöä ja n tuntematonta; m 1, n 1), jonka kertoimet ovat a ij R (1 i m, 1 j n) ja vakiot b i (1 i m) ():n i:s yhtälö a i1 x 1 + a i x + + a in x n b i kirjoitetaan joskus muodossa L i 0, missä L i a i1 x 1 + a i x + + a in x n b i Lukujono (s 1,, s n ) on ():n ratkaisu, jos se on ():n jokaisen yhtälön ratkaisu Yhtälöryhmä () on homogeeninen, jos b 1 b n 0 Homogeenisella yhtälöryhmällä on aina triviaali ratkaisu x 1 x n 0 Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisu, jossa jokin x i 0, on epätriviaali Kaksi tuntemattomien x 1,, x n yhtälöryhmää ovat ekvivalentit, jos niillä on täsmälleen samat ratkaisut, so sama ratkaisujoukko Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen ensimmäisen yhtälöryhmän ratkaisu on myös toisen ratkaisu, ja kääntäen, jokainen toisen yhtälöryhmän ratkaisu on myös ensimmäisen ratkaisu

Yhtälöryhmän () ratkaiseminen tarkoittaa sen kaikkien ratkaisujen (ts ratkaisujoukon) määrittämistä Strategia: Muodostetaan ():n kanssa ekvivalentteja yhtälöryhmiä, joista ratkaisu voidaan helpommin lukea Seuraavat esimerkit 11 (a) (e) on tarkoitettu johdatukseksi lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen Systemaattinen ratkaisumenetelmä esitetään kappaleessa 15 Esimerkki 11 { x1 3x 7 (a) x 1 + x 7 (1) { x1 3x 7 7x 1 () { x1 3x 7 x 3 (3) { x1 7 + 3x x 3 (4) { x1 x 3 Yhtälöryhmällä on siis täsmälleen yksi ratkaisu, nimittäin (x 1, x ) (, 3) Selitykset: (1) Alempaan yhtälöön lisätään ylempi yhtälö kerrottuna puolittain puolittain luvulla, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x 1 alemmasta yhtälöstä () Alempi yhtälö kerrotaan puolittain luvulla 1 7, jolloin saadaan ratkaistua tuntematon x alemmasta (3) Ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan tuntematon x 1 tuntemattoman x avulla (4) Sijoitetaan x 3 ylempään, jolloin saadaan x 1 Usein esitystä on tapana pelkistää yhdistämällä itsestään selviä välivaiheita Esimerkiksi vaiheet (), (3) ja (4) voidaan yhdistää: { x1 3x 7 x 1 + x 7 { x1 3x 7 7x 1 { x1 7 + 3x x 3 8x 1 3x 7 7x 1 14 { x1 (b) 3x 1 x 0 7x 1 14 (1) 10x 1 x 14 () x 5x 1 7 3 10x 1 x 14 Saatiin siis yksikäsitteinen ratkaisu (x 1, x ) (, 3) Koska ratkaisu on sama kuin kohdassa (a), kyseiset yhtälöryhmät ovat ekvivalentit Selitykset: (1) Toiseen yhtälöön lisätään kolmas yhtälö kerrottuna puolittain luvulla 1, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x toisesta yhtälöstä Vastaavasti ensimmäiseen

yhtälöön lisätään kolmas yhtälö puolittain luvulla 3 kerrottuna, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x ensimmäisestä yhtälöstä () Koska ensimmäinen ja toinen yhtälö ovat samoja, voidaan toinen niistä pudottaa pois Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla 1, jolloin kyseisestä yhtälöstä 7 saadaan x 1 Ratkaistaan kolmannesta yhtälöstä x x 1 :n avulla ja sijoitetaan x 1, jolloin saadaan x 3 3 (c) { x1 3x 7 x 1 6x 7 (1) { x1 3x 7 0 1 Koska yhtälö 0 1 ei toteudu millään parilla (x 1, x ), yhtälöparilla ei ole ratkaisua Selitykset: (1) Lisätään alempaan yhtälöön ylempi yhtälö kerrottuna puolittain luvulla, jolloin saadaan eliminoitua alemmasta tuntematon x 1 Osoittautuu, että samalla eliminoituu myös tuntematon x (d) x 1 + x + 3x 3 6 x 1 3x + x 3 14 3x 1 + x x 3 x 1 + x + 3x 3 6 7x 4x 3 x + x 3 4 x 1 + x + 3x 3 6 x + x 3 4 10x 3 30 (3) (1) (5) x 1 + x + 3x 3 6 7x 4x 3 5x 10x 3 0 x 1 + x + 3x 3 6 x + x 3 4 7x 4x 3 (4) x 1 6 x 3x 3 1 x 4 x 3 x 3 3 () Saatiin yksikäsitteinen ratkaisu (x 1, x, x 3 ) (1,, 3) Selitykset: (1) Eliminoidaan tuntematon x 1 toisesta yhtälöstä lisäämällä toiseen yhtälöön ensimmäinen yhtälö luvulla kerrottuna Vastaavasti eliminoidaan x 1 kolmannesta yhtälöstä lisäämällä kolmanteen yhtälöön ensimmäinen yhtälö luvulla 3 kerrottuna () Sievennetään kolmas yhtälö kertomalla se puolittain luvulla 1 5 (3) Vaihdetaan keskenään toinen ja kolmas yhtälö

(4) Eliminoidaan tuntematon x (uudesta) kolmannesta yhtälöstä lisäämällä (uusi) toinen yhtälö luvulla 7 kerrottuna kolmanteen yhtälöön (5) Ratkaistaan tuntematon x 3 kolmannesta yhtälöstä kertomalla kyseinen yhtälö puolittain luvulla 1 10 ; saadaan x 3 3 Ratkaistaan toisesta yhtälöstä tuntematon x tuntemattoman x 3 avulla ja sijoitetaan edellä saatu x 3 3; saadaan x Ratkaistaan lopuksi ensimmäisestä yhtälöstä tuntematon x 1 tuntemattomien x ja x 3 avulla ja sijoitetaan edellä saadut x ja x 3 3; saadaan x 1 1 4 (e) { x1 + x 3x 3 4 x 1 + x 3x 3 4 (1) { x1 + x 3x 3 4 3x + 3x 3 1 () { x1 4 x + 3x 3 4 (x 3 4) + 3x 3 x 3 + 4 x x 3 4 Ratkaisut ovat siis (x 1, x, x 3 ) (t + 4, t 4, t), missä x 3 t R on mikä tahansa reaaliluku (parametri); ratkaisuja on ääretön määrä Selitykset: (1) Eliminoidaan muuttuja x alemmasta yhtälöstä lisäämällä alempaan yhtälöön ylempi yhtälö puolittain luvulla kerrottuna () Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä tuntematon x tuntemattoman x 3 avulla ja ylemmästä yhtälöstä tuntematon x 1 tuntemattomien x ja x 3 avulla Sijoitetaan x :n lauseke ylempään yhtälöön, jolloin saadaan x 1 pelkästään x 3 :n avulla lausuttuna Nähdään, että jokaista arvoa x 3 t R kohti saadaan ratkaisu (x 1, x, x 3 ) (t + 4, t 4, t); kaikkiaan näitä rataisuja on ääretön määrä (niiden joukko on yhtä mahtava kuin reaalilukujen t joukko) Huomautus 113 Esimerkistä 11 nähdään, että lineaarisella yhtälöryhmällä voi olla ratkaisuja (ainakin) jokin seuraavista määristä: a) tasan yksi, b) ei yhtään, c) ääretön määrä Geometrinen tulkinta yhtälöparin { a11 x 1 + a 1 x b 1 (a 11 0 tai a 1 0) a 1 x 1 + a x b (a 1 0 tai a 0) tapauksessa: x 1 x -tason kahden suoran leikkaus on a) piste, b) tyhjä, c) suora l 1 a) b) l 1 l c) l 1 l l

Kuvailemme lopuksi yleisesti ne operaatiot, joilla yhtälöryhmiä esimerkissä 11 manipuloitiin Tarkastellaan yhtälöryhmää () eli L i 0, i 1,, m, missä L i a i1 x 1 + a i x + + a in x n b i Muodostetaan uusi yhtälöryhmä ( ) L i 0, i 1,, m, suorittamalla jokin seuraavista toimituksista: I Olkoon r s Määritellään L r L s, L s L r ja L i L i kaikilla i r, s; siis vaihdetaan ():n yhtälöt r ja s keskenään II Olkoon r {1,,, m} ja c R, c 0 Määritellään L r c L r ja L i L i kaikilla i r; siis kerrotaan ():n yhtälö r (puolittain) vakiolla c 0 III Olkoon r, s {1,,, m}, r s ja c R Määritellään L s L s + c L r ja L i L i kaikilla i s; siis ():n yhtälöön s lisätään c (yhtälö r) Lause 114 Yhtälöryhmät () ja ( ) ovat ekvivalentit Todistus Tapaus I on selvä Tapaus II Oletetaan, että L i 0 i Tällöin L i L i 0 i r ja L r c L r c 0 0 Oletetaan kääntäen, että L i 0 i Tällöin L i L i 0 i r ja L r (1/c) L r (1/c) 0 0 (Tässä tarvitaan ehtoa c 0!) Tapaus III Oletetaan, että L i 0 i Tällöin L i L i 0 i s ja L s L s + c L r 0 + c 0 0 Oletetaan kääntäen, että L i 0 i Tällöin L i L i 0 i s ja L s L s c L r L s c L r 0 c 0 0 Myöhemmin selitetään, millaiseen yhtälöryhmään toimituksilla I - III kannattaa pyrkiä 1 Matriisit ja matriisitoimitukset Kun edellä operoitiin lineaarisilla yhtälöryhmillä, käsiteltiin itse asiassa vain yhtälöryhmien kertoimia ja vakioita; tuntemattomat olivat vain paikanpitäjinä Kootaan kertoimet ja vakiot matriiseiksi Määritelmä 11 Olkoot m 1 ja n 1 kokonaislukuja (Reaalinen) m n - matriisi on lukukaavio a 11 a 1 a 1n a A 1 a a n a m1 a m a mn (a ij R kaikilla i, j); 5

6 reaaliluku a ij A(i, j) on A:n (i, j)-alkio; 1 n -matriisi [ a i1 a i a in ] on A:n i:s rivi (i 1,,, m); m 1 -matriisi a 1j a j a mj on A:n j:s sarake (j 1,,, n) Jos m n, A on neliömatriisi; tällöin a 11, a,, a nn ovat A:n lävistäjäalkiot Merkitään R m n kaikkien (reaalisten) m n -matriisien joukko; siis A R m n A on m n -matriisi Usein merkitään lyhyesti A [ a ij ] Määritelmä 11 Matriisit A [ a ij ] ja B [ b ij ] ovat samankokoiset jos niillä on yhtä monta riviä ja yhtä monta saraketta (esimerkiksi molemmat ovat m n - matriiseja) Edelleen matriisit A ja B ovat samat, merkitään A B, jos ne ovat samankokoiset ja a ij b ij i, j Esimerkki 13 1 [ 1 ] ; 1 1 3 4 1 w x 4 w 1, x 3, y 0, z 5 0 4 5 y 4 z Määritelmä 14 (Yhteenlasku) m n -matriisien A [ a ij ] ja B [ b ij ] summa on m n -matriisi A + B [ c ij ], missä c ij a ij + b ij i, j Esimerkki 15 1 0 1 + ei ole määritelty (matriisit ovat erikokoiset); 1 1 3 4 1 3 0 1 1 + 0 + 3 + 1 1 0 4 + 1 4 1 3 4 + 1 1 + 3 4 4 3 0

Määritelmä 16 (Skalaarilla kertominen) Jos A [ a ij ] on m n -matriisi ja t R on skalaari, niin ta [ c ij ] on se m n -matriisi, jolla c ij ta ij i, j Esimerkki 17 ( ) 4 3 7 3 8 4 6 14 6 4 7 Kahden m n -matriisin erotus on Esimerkki 18 3 5 4 1 A B A + ( 1)B 1 3 3 5 0 4 8 1 3 3 Summamerkintä Kun a 1, a,, a n R, merkitään a 1 + a + + a n n a i R i1 Täsmällisemmin tämä merkintä määritellään rekursiivisesti: 1 a i a 1 ; i1 ( n+1 n ) a i a i + a n+1 i1 i1 Summausindeksi i on sidottu muuttuja ; summa ei riipu sen merkintätavasta: Laskusääntöjä: n a i i1 n a r r1 n ca i c i1 n a i Tapauksessa n kyseessä on osittelulaki ca 1 + ca c(a 1 + a ); yleisesti kaava todistetaan induktiolla i1

8 Kaksinkertaisen summan summausjärjestyksen vaihtamissääntö: m n a ij ( n m ) a ij i1 j1 j1 i1 Tapaus m n : i1 j1 a ij (a i1 + a i ) (a 11 + a 1 ) + (a 1 + a ), i1 ( ) a ij j1 i1 (a 1j + a j ) (a 11 + a 1 ) + (a 1 + a ) j1 Reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuudesta ja liitännäisyydestä seuraa, että yllä olevissa yhtälöissä oikealla olevat lausekkeet ovat samat, joten kaksoissummat ovat samat Yleinen tapaus voidaan todistaa induktiolla Kysymys on siitä, että matriisin [ a ij ] rivisummien summa ja sarakesummien summa ovat yhtäsuuret; molemmat antavat tulokseksi kaikkien lukujen a ij summan Määritelmä 19 (Matriisitulo) m n -matriisin A [ a ij ] ja n p -matriisin B [ b ij ] tulo on m p -matriisi AB [ c ij ], jolla c ij n a ik b kj a i1 b 1j + a i b j + + a in b n,j, k1 i {1,, m}, j {1,, p} Huomautus 110 AB on määritelty A:n sarakkeiden lukumäärä B:n rivien lukumäärä j b 1j b j i a i1 a i a in c ij b nj c ij a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj

9 Esimerkki 111 1 1 3 1 4 5 4 3 1 [ 1 ( ) + 4 + ( 1) 1 5 + ( 3) + ( 1) 1 3 ( ) + 1 4 + 4 3 5 + 1 ( 3) + 4 1 ] 4 6 16 Olkoon A R m n ja B R n p Tällöin siis AB R m p on määritelty Kysymys: Mitä voidaan sanoa matriisista BA? Vastaus: BA on määritelty vain, jos p m Tällöin BA R n n (ja siis AB R m p R m m ) Jos m n, AB ja BA eivät ole samankokoiset, joten AB BA Jos m n, AB ja BA ovat molemmat n n -matriiseja ja voi olla AB BA, mutta yleensä tällöinkin AB BA Esimerkki 11 1 1 0 (a) 0 1 1 1 ; 1 0 1 1 1 0 1 ei ole määritelty (b) (c) 1 0 0 1 1 [ 1 ] [ 1 ] (1 1 -matriisi), 1 1 1 [ 1 ] ( -matriisi) 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 Huomautus 113 Olkoon A R m n ja B R n p ; A 1,, A m R 1 n A:n rivit ja B 1,, B p R n 1 B:n sarakkeet Tällöin AB:n rivit ovat A 1 B,, A m B R 1 p ; AB:n sarakkeet ovat AB 1,, AB p R m 1 ; A i 0 B j0 [ (AB)(i 0, j 0 ) ] R 1 1 Lineaarisen yhtälöryhmän matriisiesitys Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n b (1) a m1 x 1 + a m x + + a mn x n b m

Merkitään a 11 a 1 a 1n a A 1 a a n a m1 a m a mn, X x 1 x x n, B A R m n, X R n 1, B R m 1 A on (1):n kerroinmatriisi, a 11 a 1 a 1n b 1 a [ A B ] 1 a a n b (m (n + 1) -matriisi) a m1 a m a mn sen täydennetty matriisi Tulo AX on määritelty ja a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n a AX 1 x 1 + a x + + a n x n a m1 x 1 + a m x + + a mn x n Siten (x 1, x,, x n ) on (1):n ratkaisu jos ja vain jos X toteuttaa matriisiyhtälön AX B Esimerkki 114 11 e):n yhtälöryhmä on matriisimuodossa 1 3 x 1 x 1 3 4 4 x 3 Yhtälöryhmän (1) voi A:n sarakkeiden avulla myös kirjoittaa muodossa a 11 b 1 a x 1 1 + x + + x n b a 1 a b m a 1n a n b 1 b b m ; 10 a m1 a m a mn b m Transponointi Määritelmä 115 m n -matriisin A [ a ij ] transpoosi eli transponoitu matriisi on n m -matriisi A T [ c ij ], jolla c ij a ji kaikilla i, j Esimerkki 116 T 1 1 1 3 3 7 1 7 Huomautus 117 Jos A i on A:n i:s rivi ja A j A:n j:s sarake, niin (A i ) T A T :n i:s sarake ja (A j ) T on A T :n j:s rivi on

13 Matriisien laskulakeja m n -matriisien yhteenlasku toteuttaa samanlaiset laskulait kuin reaalilukujen yhteenlasku: (1) A + (B + C) (A + B) + C kaikilla A, B, C R m n (liitännäisyys) () A + 0 A kaikilla A R m n, missä 0 0 0 0 0 0 0 0 mn 0 0 0 Rm n on m n -nollamatriisi (nollarivejä m kappaletta ja nollasarakkeita n kappaletta) Jos m n, merkitään 0 n 0 nn (3) A + ( 1)A 0 kaikilla A R m n, missä A ( 1)A on A:n vastamatriisi (4) A + B B + A kaikilla A, B R m n (vaihdantalaki) Perustelu Yllä olevat tulokset seuraavat matriisien yhteenlaskun määritelmän nojalla reaalilukujen vastaavista ominaisuuksista Esimerkiksi liitäntälaki (1) seuraa reaalilukujen liitäntälaista, sillä a ij + (b ij + c ij ) (a ij + b ij ) + c ij kaikilla i, j 11 Skalaarilla kertomisen ominaisuudet on yhtä helppo johtaa: (5) s(a + B) sa + sb kaikilla A, B R m n, s R (6) (s + t)a sa + ta kaikilla A R m n, s, t R (7) s(ta) (st)a kaikilla A R m n, s, t R (8) 1A A kaikilla A R m n Matriisia 1 0 0 0 1 0 I n Rn n 0 0 1 kutsutaan ykkösmatriisiksi; siis I n [ δ ij ], missä { 1, kun i j δ ij 0, kun i j Matriisitulon ominaisuuksia:

Lause 131 Jos A, A R m n, B, B R n p, C R p q ja t R, niin seuraavat kaavat pätevät (ja erityisesti niissä esiintyvät matriisit ovat määriteltyjä): (a) A(B + B ) AB + AB, (b) (A + A )B AB + A B, (c) t(ab) (ta)b A(tB), (d) A(BC) (AB)C, (e) I m A A AI n Todistus Todistetaan malliksi kohdat (d) ja (e): 1 (d) ( ) n A(BC) (i, j) A(i, k) (BC)(k, j) k1 n ( p ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) k1 l1 p ( n ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) l1 k1 n ( p k1 l1 p ( n l1 k1 p (AB)(i, l) C(l, j) ( (AB)C ) (i, j) i, j l1 ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) (e) (I m A)(i, j) m δ ik A(k, j) δ ii A(i, j) + k1 m δ ik A(k, j) A(i, j) i, j, sillä δ ii 1 ja δ ik 0, kun i k Vastaavasti (AI n )(i, j) A(i, j) i, j Huomautus 13 Matriisitulolta puuttuu osa reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksista 11:ssa todettiin, että jos A, B R n n (ja n ), niin voi olla AB BA (tulo ei ole vaihdannainen ); lisäksi voi olla AB 0, vaikka A 0 ja B 0 ( tulon nollasääntö ei päde) Esimerkki 133 1 4 4 6 3 Transponoinnin ominaisuuksia: k1 k i 1 4 + ( ) 1 ( 6) + 3 0 4 + 4 ( ) ( 6) + 4 3

13 Lause 134 Olkoot A, A R m n, B R n p ja t R Tällöin (a) (A T ) T A, (b) (A + A ) T A T + A T, (c) (AB) T B T A T, (d) (ta) T ta T Todistus Todistetaan malliksi (c): n n (AB) T (i, j) (AB)(j, i) A(j, k) B(k, i) B(k, i) A(j, k) k1 k1 n B T (i, k) A T (k, j) (B T A T )(i, j) i, j k1 14 Eräitä erityisiä matriiseja Neliömatriisi A [ a ij ] R n n on lävistäjämatriisi, jos a ij 0 aina, kun i j (so lävistäjän ulkopuoliset alkiot 0); jos lisäksi a ii a R kaikilla i, A on skalaarimatriisi ( a I n ) Esimerkki 141 1 0, 0 0 0 0 0 0, 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 ovat lävistäjämatriiseja; ovat skalaarimatriiseja Jokainen skalaarimatriisi on tietysti myös lävistäjämatriisi Neliömatriisi A [ a ij ] R n n on yläkolmiomatriisi, jos a ij 0 aina kun i > j, ja alakolmiomatriisi, jos a ij 0 aina, kun i < j Esimerkki 14 Lävistäjämatriisi on sekä ylä- että alakolmiomatriisi; 1 3 0 4 5 on yläkolmiomatriisi; 1 0 0 3 0 on alakolmiomatriisi; 0 0 6 4 5 6 (Neliö)matriisi A [ a ij ] on symmetrinen, jos A T A eli a ji a ij kaikilla i, j, ja antisymmetrinen, jos A T A eli a ji a ij kaikilla i, j Antisymmetrisellä matriisilla erityisesti a ii a ii kaikilla i, joten jokainen lävistäjäalkio a ii 0

14 Esimerkki 143 1 3 4 5 on symmetrinen; 3 5 6 0 3 0 4 3 4 0 on antisymmetrinen Säännölliset matriisit Määritelmä 144 Neliömatriisi A R n n on säännöllinen eli kääntyvä, jos on olemassa sellainen matriisi B R n n, että AB I n ja BA I n Muussa tapauksessa A on singulaarinen Huomautus 145 Jos A R n n on säännöllinen, niin 144:ssä mainittu B R n n on yksikäsitteinen Jos nimittäin myös C R n n toteuttaa ehdot AC I n ja CA I n, niin C CI n C(AB) (CA)B I n B B Voidaan siis merkitä B A 1, säännöllisen matriisin käänteismatriisi Esimerkki 146 a) 1 1 -matriisi [ a ] R 1 1 on säännöllinen a 0; tällöin [ a ] 1 [ 1/a ] 1 0 1 0 1 0 1 b) R 1 0 on säännöllinen ja, sillä 1 0 1 0 c) 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 R 0 0 ei ole säännöllinen, sillä joka ei voi olla I 0 1 1 0 0 1 b11 b 1 b1 b, 0 0 b 1 b 0 0 0 1 1 0 Kappaleessa 16 kehitämme menetelmän, jolla voi selvittää, onko annettu A R n n säännöllinen, ja myönteisessä tapauksessa määrittää A 1 :n Lause 147 Jos A, B R n n ovat säännöllisiä, niin myös A 1, AB ja A T ovat säännöllisiä ja (A 1 ) 1 A, (AB) 1 B 1 A 1, (A T ) 1 (A 1 ) T

Todistus A 1 :n säännöllisyyttä ja käänteismatriisia koskevat väitteet seuraavat heti käänteismatriisin määritelmästä ja yhtälöistä AA 1 I n A 1 A Muut väitteet seuraavat yhtälöistä (AB)(B 1 A 1 ) A(BB 1 )A 1 AI n A 1 AA 1 I n, (B 1 A 1 )(AB) B 1 (A 1 A)B B 1 I n B B 1 B I n ; 15 A T (A 1 ) T (A 1 A) T I T n I n (A 1 ) T A T (AA 1 ) T I T n I n, joissa käytettiin laskulakeja 131 d) ja 134 c) Lineaariset yhtälöryhmät ja käänteismatriisit Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää, jossa on n yhtälöä ja n tuntematonta, matriisimuodossa AX B, missä A R n n ja X, B R n 1 Lause 148 Jos A R n n on säännöllinen, yhtälöryhmällä AX B on yksikäsitteinen ratkaisu X R n 1, nimittäin X A 1 B Todistus Jos X A 1 B, niin AX A(A 1 B) (AA 1 )B IB B, koska AA 1 I Kääntäen, jos AX B, niin X IX (A 1 A)X A 1 (AX) A 1 B, koska A 1 A I Todistuksessa tarvittiin siis molempia yhtälöitä AA 1 I ja A 1 A I Huomautus 149 Jos A R n n on säännöllinen ja B R n p, niin vastaavasti matriisiyhtälöllä AX B on yksikäsitteinen ratkaisu X A 1 B R n p 148:n tilanteessa(kin) yhtälöryhmä AX B on yleensä helpointa ratkaista suoraan 15:ssä esitettävillä menetelmillä, etsimättä käänteismatriisia A 1 15 Porrasmatriisit ja lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen Määritelmä 151 Matriisi on porrasmuotoinen eli porrasmatriisi, jos seuraavat ehdot (1), () ja (3) ovat voimassa: (1) Nollarivit (jos niitä on) ovat alimpina () Jokaisen nollasta eroavan rivin vasemmalta lukien ensimmäinen nollasta eroava alkio, ko rivin johtava alkio, on 1 (3) Alemman rivin johtavan alkion sarake sijaitsee aina ylemmän rivin johtavan alkion sarakkeen oikealla puolella Porrasmatriisi on redusoitu jos lisäksi (4) Jokainen johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta eroava alkio

Olkoon A [ a ij ] R m n porrasmatriisi, jossa on r nollasta eroavaa riviä Ehdosta 151 (1) seuraa, että nollasta eroavat rivit ovat rivit 1,,, r ja nollarivit ovat rivit r + 1, r +,, m Olkoon i:nnen rivin johtava alkio kohdassa (i, j i ) (i 1,,, r) ():n nojalla a iji 1 kaikilla i {1,,, r} ja (3):n nojalla 1 j 1 < j < < j r n 16 Erityisesti täytyy olla 0 r min {m, n} A on muotoa 0 0 1 a 1,j1 +1 a 1n 0 0 1 a,j +1 a n 0 0 1 a 3,j3 +1 a 3n 0 0 1 a r,jr +1 a rn 0 0 0 0 0 Jos A on redusoitu, niin lisäksi a kji 0, kun k < i (i 1,,, r) Havainto 15 Jos neliömatriisi A [ a ij ] R n n on redusoidussa porrasmuodossa, niin joko (1) A:ssa on nollarivejä, tai () A I n (Tapaukset (1) ja () eivät ole yhtä aikaa voimassa) Todistus Olkoot A:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),,(r, j r ) kuten yllä Oletetaan, että A:ssa ei ole nollarivejä Tällöin r n Koska 1 j 1 < j < < j n n ja lukuja j 1, j,, j n on n kappaletta, niin välttämättä j 1 1, j,, j n n, ja siis a 11 a a nn 1 151:n kohtien () (4) nojalla muut A:n alkiot 0 Rivitoimitukset Olkoot A, B R m n m n -matriiseja, joiden rivit ovat rivit A 1,, A m ja B 1,, B m

Määritelmä 153 B on saatu A:sta yhdellä alkeisrivitoimituksella seuraavissa kolmessa tapauksessa: I Eräillä r, s {1,,, m}, r s, on B r A s, B s A r ja B i A i Kaikilla i r, s (A:n rivit r ja s on vaihdettu) II Eräillä r {1,,, m} ja c R, c 0, on B r ca r ja B i A i Kaikilla i r (A:n rivi r on kerrottu vakiolla c 0) III Eräillä r, s {1,,, m}, r s, ja c R on B s A s + c A r ja B i A i kaikilla i s (A:n riviin s on lisätty c (A:n rivi r)) Määritelmä 154 Matriisi A R m n on riviekvivalentti matriisin B R m n kanssa, jos B saadaan A:sta äärellisen monella alkeisrivitoimituksella, ts jos on olemassa sellaiset matriisit A 0, A 1,, A k, että A 0 A, A k B ja A l+1 on saatu A l :stä yhdellä alkeisrivitoimituksella (l 0, 1,, k 1) Lause 155 Jokainen m n -matriisi A on riviekvivalentti jonkin redusoidun porrasmatriisin kanssa Todistus Esitämme algoritmin, joka muuntaa A:n alkeisrivitoimituksin redusoituun porrasmuotoon Jos A 0, A on jo redusoidussa porrasmuodossa (pelkkiä nollarivejä) Olkoon siis A 0 Vaihe 1: A muunnetaan porrasmuotoon (1) Etsitään (vasemmalta lukien) A:n ensimmäinen nollasta eroava sarake ja valitaan ko sarakkeesta jokin alkio a 0 () Siirretään a:n sisältävä rivi ylimmäksi vaihtamalla (tarvittaessa) kaksi riviä keskenään (3) Kerrotaan 1 (ylin) rivi luvulla 1/a On päästy muotoon (missä mikä tahansa luku) 0 1 0 a 0 a m (4) Lisätään i:nteen riviin ( a i ) (1 rivi), i,, m; tuloksena on matriisi 0 1 0 0 A, 0 0 17

missä A on (m 1) p -matriisi jollakin p < n (5) Jos A 0, on saatu porrasmatriisi; jos A 0, sovelletaan siihen kohtia (1) (4) Äärellisen monen askeleen jälkeen saadaan porrasmatriisi C Vaihe : Porrasmatriisi C muunnetaan redusoiduksi porrasmatriisiksi Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) (1) Muutetaan kohdissa (i, j r ), i 1,,, r 1, mahdollisesti olevat nollasta eroavat alkiot nolliksi lisäämällä kyseisiin riveihin r:nnen rivin sopivat kerrannaiset () Seuraavaksi tuotetaan vastaavasti nollat kohdan (r 1, j r 1 ) yläpuolelle jne Esimerkki 156 Muunnetaan annettu 4 5 -matriisi a) porrasmatriisiksi, b) redusoiduksi porrasmatriisiksi 0 3 4 1 1 1 5 1 0 0 3 4 5 4 0 0 3 4 (a) (1) 0 3 4 1 Selitykset: 0 6 9 7 0 6 9 7 1 1 5 1 0 0 3 4 0 3 4 () 0 3 4 1 3 4 1 (3) 1 7 3 0 1 7 3 3 1 3 1 1 1 0 3 4 0 3 4 (4) (5) 1 7 3 0 3 4 (6) 3 4 3 4 [ 1 3 (7) 3 4 ] [ 1 3 (8) 0 0 0 (1) Vaihdetaan rivit 1 ja 3 keskenään ja kerrotaan sen jälkeen rivi 1 vakiolla 1 () Lisätään riviin 4 rivi 1 vakiolla kerrottuna (3) Koska rivi 1 ja sarake 1 eivät tämän jälkeen muutu, ne voidaan jättää jatkotarkasteluissa pois (4) Vaihdetaan rivit 1 ja ja kerrotaan sen jälkeen rivi 1 luvulla 1 (5) Lisätään riviin 3 rivi 1 luvulla kerrottuna ] 18

(6) Koska rivi 1 ja sarake 1 eivät tämän jälkeen muutu, ne voidaan jättää jatkotarkasteluissa pois (7) Kerrotaan rivi 1 luvulla 1 (8) Lisätään riviin rivi 1 luvulla kerrottuna Koska saatiin matriisi, jonka alin rivi on nollarivi, tehtävä on valmis Lopuksi yhdistetään yllä olevat vaiheet (), (5) ja (8) jolloin saadaan alkuperäisen kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi 1 1 5 1 3 1 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 b) Redusoidun porrasmatriisin saamiseksi jatketaan viimeksi saadusta muodosta 19 19 1 1 0 4 7 1 0 0 9 0 1 0 17 5 4 (1) 3 0 0 1 0 1 0 17 5 4 () 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Selitykset: (1) Koska alin johtava kerroin on kohdassa (3, 3), hävitetään aluksi kolmannelta sarakkeelta mainitun kohdan yläpuolella olevat nollasta eroavat alkiot Sitä varten lisätään toiseen riviin kolmas rivi luvulla 3 kerrottuna, ja ensimmäiseen riviin lisätään kolmas rivi luvulla 5 kerrottuna 19 () Koska seuraavaksi alin johtava kerroin sijaitsee kohdassa (, ), lisätään ensimmäiseen riviin toinen rivi luvulla 1 kerrottuna Näin saadaan alkuperäisen matriisin kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Haluamme ratkaista (matriisimuotoisen) lineaarisen yhtälöryhmän AX B, A R m n, X R n 1, B R m 1 Tarkastelemme täydennettyä matriisia [ A B ] R m (n+1) Lause 157 Jos [ A B ] on riviekvivalentti [ C D ]:n kanssa, yhtälöryhmät AX B ja CX D ovat ekvivalentit (eli niillä on samat ratkaisut) Todistus Tyyppiä I, II ja III olevat alkeisrivitoimitukset (ks 153) vastaavat lineaarisille yhtälöryhmille suoritettavia toimituksia I, II ja III (sivu 5) Väite seuraa siten lauseesta 114 155:n nojalla yllä [ C D ]:ksi voidaan valita (jopa redusoitu) porrasmatriisi Tällöin CX D on helppo ratkaista:

Esimerkki 158 Yhtälöryhmän CX D ratkaiseminen, kun [ C D ] on a) porrasmatriisi, b) redusoitu porrasmatriisi: a) Myös C on selvästi porrasmatriisi Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) Tällöin [ C D ] on muotoa 0 0 1 c 1,j1 +1 d 1 0 0 1 c,j +1 d 0 0 1 c 3,j3 +1 d 3 0 0 1 c r,jr +1 d r 0 0 d r+1 0 0 0 0 0 0 missä d r+1 0 tai 1 (1) Jos r < m (C:ssä on nollarivejä) ja d r+1 1 0, mukana on mahdoton yhtälö 0 d r+1 1, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja tässä tapauksessa () Oletetaan, että r m (C:ssä ei ole nollarivejä) tai d r+1 0 i) Tuntemattomat x k, k / {j 1,, j r } (n r kappaletta), ovat vapaat muuttujat, joiden arvot voidaan valita vapaasti: annetaan vapaille muuttujille x k1, x k,, x kn r, missä 1 k 1 < k < < k n r n, arvot ii) Yhtälöstä r, x k1 s 1 R, x k s R,, x kn r s n r R x jr + k l >j r c rkl s l d r, lausutaan x jr parametrien s l (k l > j r ) avulla iii) Yhtälöön r 1, x jr 1 + c r 1,jr x jr + c r 1,kl s l d r 1, k l >j r 1 sijoitetaan takaisin x jr kohdasta ii) ja lausutaan x jr 1 parametrien s l (k l > j r 1 ) avulla iv) Ratkaistaan vastaavalla tavalla muita johtavien kertoimien sarakkeita vastaavat tuntemattomat järjestyksessä x jr,, x j, x j1 0,

Huomautus Jos ():ssa r n, vapaita muuttujia ei ole, ja ratkaisu on yksikäsitteinen Jos r < n, jokaista parametrijonoa (s 1,, s n r ) vastaa tietty ratkaisu (x 1,, x n ) (ääretön määrä ratkaisuja) b) Olkoon [ C D ] redusoitu porrasmatriisi Menetellään kuten a)-kohdassa, paitsi että kohdan () takaisinsijoituksia ei tarvita, vaan suoraan x jp d p k l >j p c pkl s l, p 1,, r 1 Esimerkki 159 Olkoon [ 1 1 0 5 [ C D ] 1 0 0 0 1 3 1 ] Tällöin CX D on { x1 + x + x 3 5 x 5 3 x 4 + 1 x 5 1 Vapaat muuttujat ovat x, x 3 ja x 5 Merkitään x s 1 R, x 3 s R, x 5 s 3 R, jolloin ratkaisut ovat tai matriisimuodossa X x 1 x x 3 x 4 x 5 x 1 3 x x 3 + 5 x 5 3 s 1 s + 5 s 3 x s 1 x 3 s x 4 1 1 x 5 1 1 s 3 x 5 s 3, 3 0 0 1 0 5 1 1 0 0 + s 1 0 + s 1 + s 3 0 0 0 1 ; s 1, s, s 3 R 0 0 1 Lineaarinen yhtälöryhmä AX B voidaan siis ratkaista (mm) jommallakummalla seuraavista menetelmistä: Gaussin eliminointimenetelmä: A Etsitään (rivitoimituksin) [ A B ]:n kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi [ C D ] B Ratkaistaan CX D takaisinsijoituksin (jos ratkaisuja on)

Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä: A Etsitään (rivitoimituksin) [ A B ]:n kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi [ C D ] B Luetaan suoraan yhtälöryhmän CX D ratkaisut (jos niitä on) Esimerkki 1510 Ratkaise Gaussin menetelmällä x + 3x 3 4x 4 1 x 3 + 3x 4 4 x 1 + x 5x 3 + x 4 4 x 1 6x 3 + 9x 4 7 Ratkaisu [ A B ] muunnettiin rivitoimituksin porrasmuotoon [ C D ] 156 a):ssa Yhtälöryhmän CX D eli x 1 + x 5 x 3 + x 4 x + 3 x 3 x 4 1 x 3 + 3 x 4 0 0 ratkaisu on x 1 x + 5 x 3 x 4 ( 5 + 17 4 s) + 5 ( 3 s) s 19 x 1 3 x 3 + x 4 1 3 ( 3 s) + s 5 + 17 4 s x 3 3 x 4 3 s x 4 s R 9s Huomautus 1511 Porrasmuotoon pyrkiminen ei aina ole nopein ratkaisumenetelmä Esimerkiksi yhtälöryhmästä x 1 1 x 1 1 x 1 x 3 0 saadaan heti x 1 + x 1 + x 3 1 x 1 x + x 3 1 x 3 x 1 1, vaikka matriisi ei ole porrasmuotoinen Homogeeniset yhtälöryhmät Tarkastellaan homogeenista ryhmää AX 0, A R m n, X R n 1 (m yhtälöä ja n tuntematonta) Tällä on aina triviaali ratkaisu X 0

Lause 151 Jos m < n (eli yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia), yhtälöryhmällä AX 0 on myös epätriviaaleja ratkaisuja Todistus Täydennetyn matriisin [ A 0 ] kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi on muotoa [ C 0 ], eli siinäkin vakiot ovat nollia Kun yhtälöryhmää CX 0 ratkaistaan kuten 158 a):ssa, tapaus (1) ei näin ollen ole mahdollinen, joten yhtälöryhmällä on ratkaisuja joko tasan yksi tai ääretön määrä sen mukaan, onko vapaiden muuttujien lukumäärä n r nolla vai positiivinen Koska m < n, on r min {m, n} m < n; siis vapaita muuttujia on n r > 0 kappaletta, ja ratkaisuja on ääretön määrä Ratkaisuista yksi on triviaali ja muut (joita on ääretön määrä) epätriviaaleja Tarkastellaan lopuksi yleistä lineaarista yhtälöryhmää AX B, A R m n, X R n 1, B R m 1 Lause 1513 Olkoon S 0 R n 1 yhtälöryhmän AX B eräs ratkaisu Silloin S R n 1 on ko ryhmän (yleinen) ratkaisu S S 0 + T, missä T R n 1 on homogeenisen ryhmän AX 0 (yleinen) ratkaisu Todistus Olkoon S S 0 + T, missä AT 0 Koska AS 0 B, on AS A(S 0 + T ) AS 0 + AT B + 0 B Olkoon AS B Tällöin S S 0 + (S S 0 ) S 0 + T, missä AT A(S S 0 ) AS AS 0 B B 0 16 Alkeismatriisit ja matriisin säännöllisyys Kun r, s {1,,, m}, määritellään neliömatriisi I rs [ e ij ] R m m asettamalla { 1, kun (i, j) (r, s) e ij 0, muulloin Siis I rs :n (r, s)-alkio 1, kaikki muut alkiot 0 (Samalla tavalla voidaan yleisemmin määritellä m n -matriisi I rs, kun r {1,, m}, s {1,, n}) Olkoon A [ a ij ] R m n m n -matriisi Lasketaan I rs A: m (I rs A)(i, j) e ik a kj k1 Kun i r, e ik a kj 0 a kj 0 kaikilla k; kun i r, { 1 asj a sj, kun k s e rk a kj 0 a kj 0, kun k s Näin ollen { asj, kun i r (I rs A)(i, j) 0, kun i r, ts I rs A:n r:s rivi A:n s:s rivi ja I rs A:n muut rivit 0 3

Määritelmä 161 m m -matriisi E on alkeismatriisi, jos se saadaan ykkösmatriisista I m yhdellä alkeisrivitoimituksella Lemma 16 Olkoon A R m n m n -matriisi, ja olkoon alkeismatriisi E R m m saatu I m :stä tietyllä alkeisrivitoimituksella Tällöin EA saadaan A:sta samalla alkeisrivitoimituksella Todistus Tutkitaan alkeisrivitoimitusten tyypit I, II ja III erikseen rivit A 1, A,, A m R 1 n 4 Olkoot A:n I Vaihdetaan rivit r ja s (r s) Tarkastellaan ensin erikoistapausta m 3, r, s 3, eli kolmirivisessä ykkösmatriisissa vaihdetaan toinen ja kolmas rivi Tällöin saadaan alkeismatriisi E 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 + 0 0 0 0 0 0 + 1 0 0 0 0 0 I 3 + I 3 + I 11 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Yleisessä tapauksessa saadaan tämän erikoistapauksen mukaisesti E I rs + I sr + I kk, josta edelleen seuraa Edellä todetun mukaan k r,s EA I rs A + I sr A + (1) I rs A:n r:s rivi A s ; muut rivit 0 () I sr A:n s:s rivi A r ; muut rivit 0 k r,s I kk A (3) I kk A:n k:s rivi A k ; muut rivit 0 (k r, s) Näin ollen EA:n r:s rivi A s, s:s rivi A r, k:s rivi A k (k r, s) II Kerrotaan rivi r luvulla c, c 0 Tarkastellaan jälleen ensin erikoistapausta m 3, r 3, ts kerrotaan ykkösmatriisin I 3 kolmas rivi vakiolla c, jolloin saadaan alkeismatriisi E 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 + 1 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 1 0 ci 33 + I 11 + I 0 0 c 0 0 c 0 0 0 0 0 0 Tämän mukaisesti yleisessä tapauksessa E ci rr + k r I kk,