Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla

Samankaltaiset tiedostot
Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä

Social Network Analysis Centrality And Prestige

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet

Koheesiiviset alaryhmät

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Johdatus graafiteoriaan

Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus

Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

Sosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data

A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus

Sosiaalisten verkostojen data

6.4. Järjestyssuhteet

Johdatus graafiteoriaan

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

Graafin virittävä puu 1 / 20

Hypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut

13 Lyhimmät painotetut polut

Diskreetit rakenteet

Hypermedian jatko-opintoseminaari

T Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Joukot. Georg Cantor ( )

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento

Graafiteoria matematiikkaako?

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.

Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä

Johdatus graafiteoriaan

SÄHKE-hanke. Abstrakti mallintaminen Tietomallin (graafi) lukuohje

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

T Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

PARITUS KAKSIJAKOISESSA

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut

Silmukkaoptimoinnista

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

10. Painotetut graafit

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

TIE Tietorakenteet ja algoritmit 261

Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

811120P Diskreetit rakenteet

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A.

Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

Optimoinnin sovellukset

Malliratkaisut Demot

P (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1)

Kiinalaisen postimiehen ongelma

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Puiden karakterisointi

Internet ja muut informaatioverkostot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

Eulerin verkkojen karakterisointi

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö


MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta

Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Harjoitus 3 ( )

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.

Verkko-optimointiin perustuva torjuntatasan laskenta mellakkapoliisin resurssien kohdentamisessa (valmiin työn esittely) Paavo Kivistö

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

9. Graafit Graafin abstrakti tietotyyppi

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Matematiikan tukikurssi

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

Transkriptio:

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio 1

Sisältö ja tavoitteet Oletuksena on, että (suuntaamattomien) graafien perusteet ovat lukijalle tuttuja Sisällöllisesti käymme läpi perusteita 1. suunnattuista sekä 2. etumerkillistä ja arvotettuista graafeista Perustuu pääosin teoksen Wasserman & Faust (2004) lukuihin 4.3-4.8 (s. 121-149) Tavoitteena ymmärtää suunnattujen graafien teoriaa sekä sen soveltamista sosiaalisen verkostojen analysiin TTY / Hypermedialaboratorio 2

1. Suunnatut graafit Kuva: Wikimedia Commons TTY / Hypermedialaboratorio 3

Suunnattu graafi (digraafi) Suunnattu graafi (digraafi) G d N, L koostuu kahdesta alkioiden joukosta: Solmujen joukosta N ={n 1, n 2,..., n g } sekä L={l 1, l 2,..., l L } Kaarien joukosta Jokainen kaari on järjestetty pari solmuja, ts. l k = n i,n j Suunnatussa graafissa kaarilla on suunta, siis n i, n j n j, n i, josn i n j Kaaren ensimmäinen solmu on lähettäjä ja toinen kaaren vastaanottava solmu Digraafien visualisoinneissa nuolen suunta merkintään vastaanottavan solmun suuntaan TTY / Hypermedialaboratorio 4

Johtuvuus ja naapuruus Solmu n x,1 x g on kaaren L y,1 y L suhteen johtuva (engl. incident), jos n x L y Digraafissa kaaren solmujen järjestys on merkityksellinen naapuruuden määrittäminen ei ole yhtä yksiselitteistä kuin suuntaamattomilla graafeilla Naapuruus määrittyy kaaren suunnan perusteella: Solmu n i on solmun n j naapuri jos n i,n j L (ja sama toisinpäin) Naapuruus on siis asymmetrinen (yksisuuntainen) ominaisuus Esimerkkejä digraafeista SNAssa: suunnattu ystävyyssuhteiden verkosto, kansainvälinen tuonti/vienti TTY / Hypermedialaboratorio 5

Aligraafit; dyadit Dyadi on yksinkertaisin täydellinen aligraafi, koostuen kahdesta solmusta ja niiden välille määritellyistä kaarista Digraafissa dyadille voidaan määrittää kolme erityyppistä (isomorfista) tilaa: Nolla-dyadi (null): ei kaaria kumpaakaan suuntaan Asymmetrinen: kaari vain toiseen suuntaan (2 vaihtoehtoa) Vastavuoroinen (engl. mutual): kaaret molempiin suuntiin TTY / Hypermedialaboratorio 6

Solmujen asteluvut Solmun asteluku määräytyy sen naapurien summana Koska digraafissa naapurusto on asymmetrinen, asteluvut määritellään erikseen saapuville- ja lähteville kaarille: Solmun tuontiluku d I n i (engl. nodal indegree) = solmuun tuovien kaarien lukumäärä Solmun vientiluku d O n i (engl. nodal outdegree) = solmusta lähtevien kaarien lukumäärä TTY / Hypermedialaboratorio 7

Solmujen luokittelu asteluvuilla Astelukujen perusteella graafin solmut voidaan luokitella neljään tyyppiin: Solmu on eristynyt jos d I n i =d O n i =0, Lähettäjä jos d I n i =0 ja d O n i 0, Vastaanottaja jos d I n i 0 ja d O n i =0, Tavallinen tai kuljettaja jos d I n i 0 ja d O n i 0, Kuljettaja (engl. carrier) on tavallisen solmun erikoistapaus. Siinä d I n i =d O n i =1 TTY / Hypermedialaboratorio 8

Asteluvut SNAssa SNAssa asteluvuilla on mielekkäitä sovelluskohteita Vientiluvulla voidaan mitata solmun laajentuvuutta, vastaavasti tuontiluvulla vastaanottavuutta tai suosiota Koko verkoston tunnusluvuiksi voidaan laskea astelukujen tilastollisia muuttujia, erityisesti niiden keskiarvo ja keskihajonta TTY / Hypermedialaboratorio 9

Tiheys Digraafissa tiheys lasketaan graafiin määriteltyjen kaarien suhteena kaikkiin mahdollisiin kaariin: Tiheys = L g g 1,0 1 L = kaarien lkm g = solmujen lkm TTY / Hypermedialaboratorio 10

Kulku, reitti ja polku Suunnattu kulku tai lyhyemmin kulku on solmujen jono, joka noudattaa määriteltyjä kaaria niiden suuntaisesti Esimerkkikulku: W =n 5 n 1 n 2 n 3 n 4 n 2 n 3 Kulku sallii saman solmun käytön useamminkin kerran Puolikulussa ei välttämättä noudateta kaarien suuntia Reitti on kulku, jossa kukin kaari esiintyy vain kerran, Polussa kukin solmu ja kaari esiintyvät vain kerran Vastaavasti määritellään myös puolireitti ja puolipolku TTY / Hypermedialaboratorio 11

Solmujen väliset suhteet Kaikkien graafin solmujen välisiä suhteita voidaan määritellä polkujen avulla. Graafin kaksi mielivaltaista solmua ja ovat: n i n j (i) Heikosti yhdistetyt, jos niitä yhdistää puolipolku (ii) Yksipuolisesti yhdistetyt, jos niitä yhdistää polku n i n j tai polku n j n i (iii) Vahvasti yhdistetyt, jos on olemassa polku n i :stä n j :n ja toisinpäin siten, että erisuuntaiset polut voivat sisältää eri kaaria (iv) Rekursiivisesti yhdistetyt, jos ne ovat vahvasti yhdistetyt ja lisäksi polku n i :stä n j :n käyttää täsmälleen samoja solmuja ja kaaria, kuin vastakkaissuuntainen polku Yleistämällä yksittäisen dyadin välisiä suhteita, voidaan vastaavasti määritellä koko digraafin liitännäisyys Tällöin vastaavien kohtien i-iv pädettävä kaikille solmupareille TTY / Hypermedialaboratorio 12

Geodeesi, etäisyys ja halkaisija Digraafissa geodeesi on suuntaamattoman graafin tavoin lyhin polku kahden graafin solmun välillä Etäisyys d n i,n j kahden mielivaltaisen solmun n i ja n j välillä on asymmetrinen. Ei siis välttämättä päde d n i,n j =d n j,d i Halkaisija on koko graafin pisin geodeesi. Digraafin halkaisija voidaan määritellä ainoastaan, jos graafi on vahvasti tai rekursiivisesti yhdistetty Tämä sen takia, että heikosti tai yksipuolisesti yhdistetyssä digraafissa n i N, n j N : d n i,n j =d n j,n i = TTY / Hypermedialaboratorio 13

2. Etumerkilliset ja arvotetut graafit TTY / Hypermedialaboratorio 14

Etumerkillinen graafi, arvotettu graafi Arvotetussa graafissa kaareen liitetään sen arvotusta kuvaavaa informaatiota (kaarien valenssit) Solmujen joukosta N ={n 1, n 2,..., n g } Kaarien joukosta L={l 1, l 2,...,l L }, sekä Valenssien joukosta V ={v 1, v 2,...,v L } Etumerkillinen graafi voidaan käsittää arvotetun graafin erikoistapaukseksi. Siinä arvojen (valenssien) joukkona käytetään ainoastaan etumerkkejä +/- Laskennallisesti voidaan ajatella, että v i {-1,+1},1 i L TTY / Hypermedialaboratorio 15

Etumerkillinen digraafi, arvotettu digraafi Etumerkillisiin ja arvotettuihin graafeihin voidaan lisätä digraafien tavoin tieto arvotuksen suunnasta Tällöin jokainen kaari on järjestetty pari solmuja, ts. l k = n i, n j,1 k L Esimerkki suunnatun, arvotetun graafin sovelluksesta: Ihmisten välisten ystävyys- ja vihasuhteiden ilmaiseminen suunnattujen, etumerkillisten graafien avulla TTY / Hypermedialaboratorio 16

Dyadi ja kierto Etumerkillisessä, suuntaamattomassa graafissa dyadilla on kolme mahdollista tilaa: Positiivinen (+) Negatiivinen (-) Ei suhdetta Tilat voidaan vastaavasti määrittää etumerkillisen graafin triadille sekä yleistää mille tahansa arvotetulla graafille kombinatorisesti, mutta tämä ei aina ole mielekästä Kierto etumerkillisessä. graafissa kuvaa suljettua kulkua siten, että ainoastaan alku- ja loppupiste on sama solmu Kierron etumerkki lasketaan kulun kaarien etumerkkien tulona TTY / Hypermedialaboratorio 17

Polut ja polkujen arvotus Kulut ja polut määritellään vastaavasti kuin graafeissa (ja digraafeissa). Lisäksi voidaan arvotusten perusteella laskea erilaisia suureista polusta Polun arvo Polun kaarien pienin arvo eli Polku-käsitteen tulkintaesimerkki: viestinkulku ihmisten välillä on juuri niin tehokasta kuin yksittäinen, rajatuin viestiyhteys Polun arvoa ja sen ominaisuuksia käytetään hyväksy mm. kohesiivisia osajoukkoja tutkittaessa Saavutettavuus (engl. reachability) Määräytyy suhteellisesti polun arvoon (=tasoon) Polun saavutettavuuden taso = polun arvo TTY / Hypermedialaboratorio 18

Arvotettujen graafien sovelluksia Erityisesti yleistetyillä, arvotetuilla graafeilla ja digraafeilla on runsaasti mielekkäitä sovelluksia: Niiden avulla voidaan kuvata käytännössä mitä tahansa suunnattua tai suuntaamatonta vuorovaikutusta Esim. maiden välisiä tuonti- ja vientisuhteita (esim. suhteiden arvotukset euromääräisinä) Ystävyyssuhteita niiden subjektiivisen arvotuksen perusteella ( parempi kaveri suurempi arvotus kaaressa) Erityisenä sovelluskohteena arvotettujen graafien tulkinta (bayesilaisina) todennäköisyyksinä, ts. graafien tulkinta stokastisina markovin ketjuina TTY / Hypermedialaboratorio 19

Kohti yleisempiä graafirakenteita Esitetyt yksinkertaiset graafirakenteet soveltuvat sosiaalisten verkostojen analysointiin, erityisesti kun halutaan mitata ainoastaan yhtä suuretta Eesim. toimijoiden välisten ystävyyssuhteiden läheisyyden tunnusluku Poistamalla rajoitus yhden kaaren (per suunta) määrittelylle, saadaan monigraafi, joka mahdollistaa mm. usean yhtäaikaisen suureen mittaamisen verkostosta Esim. ystävyyssuhteiden läheisyyden ja keston tunnusluvut Vaihtoehtona yksinkertaisille graafille SNAssa voivat olla myös matemaattiset relaatiot TTY / Hypermedialaboratorio 20

Lopuksi Suunnattujen, arvotettujen ja digraafien soveltaminen sosiaalisten verkostojen analysointiin ml. visualisointiin Selvästi epätyypillisempää erityisesti visualisoinnissa kuin yksinkertaisempia graafirakenteiden käyttö Graafien esittäminen graafisesti hankaloituu erityisesti monigraafien ja suunnattujen graafien osalta. TTY / Hypermedialaboratorio 21

Lähteet Wasserman, S. & Faust, K. 1994. Social Network Analysis: Methods and Applications. New York: Cambridge University Press Lopuksi-sivun kuva: jaycross / flickr.com. Joitain oikeuksia pidätetään. TTY / Hypermedialaboratorio 22