Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Sari Ropponen 13.5.2009 1
Agenda Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuun arviointi Ennustevirhe Ennustejakauma Bootstrap-/simulointimenetelmä Yhteenveto 2
Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuu = sattuneiden vahinkojen maksamattomat korvaukset Korvausvastuu (kollektiivivaraus) arvioidaan riskiltään samanlaisten vakuutusten joukolle yhteisesti Ennuste pyritään yleensä saamaan odotusarvon tasolle sattumisvuosi kehitysvuosi 1 2 3 4 5 6 1 1 001 854 568 565 347 148 2 1 113 990 671 648 422? 3 1 265 1 168 800 744?? 4 1 490 1 383 1 007??? 5 1 725 1 536???? 6 1 889????? 3
Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Halutaan tietää enemmän kuin vain odotusarvo: Riskienhallinta Korvausvastuun riittävyys Kuinka suuri varmuuslisä odotusarvon lisäksi? Solvenssi II,, reserviriski Sisäiset mallit Ennustevirhe Ennustejakauma Simuloinnin hyödyntäminen 4
Korvausvastuun arviointi Poisson-malli ylihajonnalla (over-dispersed Poisson, ODP) Stokastinen malli Mallinnetaan inkrementaalisten korvausten odotusarvot Ennusteet sovittamalla malli havaittuihin korvauksiin Varianssi kuvaa todellisen arvon vaihtelua odotusarvosta Ottaa huomioon korvausten taustalla olevan satunnaisuuden Vain stokastisessa mallissa saadaan arvioitua ennustevirheen suuruutta ja muodostettua ennustejakauma! 5
Ennustevirhe Todellisen arvon ja ennusteen välinen ero Mitä pienemmäksi ennustevirhe arvioidaan, sitä tarkempi on ennuste* Käytetylle mallille arvioitu ennustevirheen vaihtelu ei saisi olla liian suuri Karkeasti esitettynä: Ennustevirhe = estimointivirhe + prosessivirhe Mallin sovittamisesta aiheutuva epävarmuus. Millaista vaihtelua puhdas satunnaisuus aiheuttaa? Saadaan mallissa oletetusta varianssista. Tiedetäänkö vielä, mikä on suurin arvo, jonka korvausvastuu saa esim. 90 % todennäköisyydellä? * Ennustevirhettä mitataan varianssin ja hajonnan avulla (mean square error of prediction, prediction error) 6
Ennustejakauma Kertoo korvausvastuun kaikki mahdolliset arvot ja todennäköisyydet, joilla korvausvastuu toteutuu enintään kyseisen arvon suuruisena Odotusarvo vastaa korvausvastuun odotusarvoa Hajonta mittaa ennustevirheen suuruutta Saadaan paljon hyödyllistä tietoa varmuuslisän määrittämiseksi ja korvausvastuun riittävyyden arvioimiseksi Koska korvausvastuu on tulevien korvausten summa, joilla jokaisella on oma jakaumansa, ennustejakauman laskeminen analyyttisesti on raskasta 90 % Korvausvastuu, 7
Bootstrap-/simulointimenetelmä Bootstrap-menetelmä Korvataan teoreettiset päätelmät useasti toistetuilla empiirisillä päätelmillä: Tuotetaan pseudo-korvauskolmio alkuperäisestä korvauskolmiosta (otanta takaisinpanolla) Lasketaan tuleville korvauksille uudet odotusarvot alkuperäisellä menetelmällä Edelliset vaiheet toistetaan useita kertoja Simulointi odotusarvojen vaihtelu alkuperäisestä kertoo estimointivirheen suuruudesta Simuloidaan realisaatiot tuleville korvauksille niille oletetuista jakaumista ottaa huomioon prosessivirheen tuottaa realisaation korvausvastuusta 8
Bootstrap-/simulointimenetelmä Korvausvastuun mallin määrittely ja sovitus (ODP), jäännösten laskenta Bootstrap- vaihe Uusien estimaattien laskenta (mallin sovitus uuteen korvauskolmioon tai chain-ladder -menetelmän hyödyntäminen) (estimointivirhe) Simulointivaihe (prosessivirhe) Uusi korvauskolmio (jäännösten otanta takaisinpanolla) Toteutuvien korvausten simulointi jakaumasta, jonka odotusarvo ja varianssi edellisestä kohdasta Toistetaan useita kertoja. Joka kierroksen jälkeen simuloinnin tulokset talletetaan. Tuloksista lasketut korvausvastuut muodostavat ennustejakauman 9
Bootstrap-/simulointimenetelmä Korvausvastuun odotusarvo 10 523 Tuloksista 75 % jäänyt pienemmäksi kuin 10 690 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0,000 9 600 9 800 10 000 10 200 10 400 10 600 10 800 11 000 11 200 11 400 Reserve Hajonta on 249, joka on 2 % korvausvastuun odotusarvosta 10
Yhteenveto Ennustevirhettä arvioimalla saadaan käsitys siitä, kuinka paljon toteutuvat korvaukset voivat poiketa ennusteestaan Korvausvastuun riittävyyden varmistamiseksi ennustejakauma tuo hyödyllistä lisätietoa myös riskienhallintaa, sisäistä mallinnusta ja tulevia viranomaisvaatimuksia varten (Solvenssi II) Bootstrap-/simulointimenetelmällä saadaan helposti arvio ennustevirheestä ja ennustejakaumasta Vaatii taustalle stokastisen mallin, esim. Poisson-mallin ylihajonnalla. Datan tunteminen, mallin valinta ja tulosten analysointi on edelleen tärkeää Esim. menetelmällä saatu arvio keskimääräisestä ennustevirheestä ei sisällä virhettä siitä, että on valittu väärä malli mallinnettavalle ilmiölle 11