Mitä matemaatikot tutkivat? Xiao Zhong matemaatikot tutkivat? Leikkivätkö he vain luvuilla? Voitko antaa minulle Mitä esimerkkejä matemaattisista kiinnostavista ongelmista joita tällä hetkellä tutkitaan? Matematiikan tutkijoilta kysytään usein tällaisia kysymyksiä. Valitettavasti matemaatikkojen ei ole kovin helppoa selittää muille ymmärrettävästi sitä mitä he tutkivat, sillä yhteinen kieli ja kokemusmaailma puuttuvat. Minun on oikeastaan mahdotonta antaa tyhjentävää vastausta kysymykselle mitä matemaatikot tutkivat, sillä en hallitse kaikkia matematiikan osaalueita. Matematiikassa tutkitaan muun muassa määriä, rakenteita, muutoksia ja avaruuksia. Tieteiden kuningatar, kuten Gauss matematiikkaa kuvasi, voidaan karkeasti jakaa aritmetiikkaan, algebraan, geometriaan ja analyysiin. Moderni matematiikan tutkimus on jakautunut lukuisiin osa-alueisiin, jotka ovat monimutkaisissa yhteyksissä toisiinsa. Matematiikkaa voi pitää pelkästään ajattelun tuloksena, jolloin motivaatio ja tutkimusongelmat tulevat matematiikasta itsestään, ilman mitään käytännön sovelluskohteita. Tästä huolimatta tapahtuu usein niin, että tällainen puhdas matematiikka löytää käytännöllisiä sovelluskohteita. Matematiikka on tärkeä työkalu useilla tieteen osa-alueilla, kuten luonnontieteissä, insinööritieteissä, lääketieteessä ja sosiaalitieteissä. Sovellettu matematiikka, matematiikan ala jossa matemaattista perusteoriaa pyritään käyttämään hyväksi käytännön elämässä, inspiroi ja hyödyntää uusia matemaattisia keksintöjä ja johtaa toistuvasti kokonaan uusien matemaattisten alojen kehittymiseen. Voin helposti antaa esimerkkejä matemaattisista ongelmista, joita matemaatikot ovat tutkineet ennen ja tutkivat parhaillaan. Esitän yhden kauniin kysymyksen. Ongelmana on löytää nopeimmin laskeva, kaksi erillistä pistettä yhdistävä tason käyrä. Olkoot kaksi pistettä, A ja B, kuten kuvassa siten, että A ei ole B:n alapuolella. A B Hiukkanen lähtee pisteestä A ja liikkuu käyrää pitkin pisteeseen B. Nyt täytyy löytää käyrä siten, että hiukkanen pääsee sitä pitkin nopeimmin pisteestä A pisteeseen B. Toisin sanoen haluamme rakentaa nopeimman liukumäen siten, että lapsilla on hauskaa sen kanssa. Jos hallitsemme fysiik- Academia Scientiarum Fennica 2011 73
kaa, voimme muotoilla tämän ongelmana seuraavasti: etsi funktio joka minimoi integraalin: 1 + y (x) 2 dx. y (x) Tämän muotoilun ymmärtämiseen tarvitaan myös hieman matematiikan tuntemusta. Se sisältää funktion derivaatan ja integraalin käsitteet. Nämä käsitteet kuuluvat differentiaalilaskennan alaan, jota opetamme yliopisto-opiskelijoille. Tavoitteena on nyt ratkaista tämä matemaattinen ongelma. Kyseisessä esimerkissä olemme erittäin tyytyväisiä, koska meillä on tarkka ratkaisu ongelmaan. Olemme myös erittäin onnekkaita, sillä seisomme jättiläisten olkapäillä. Emme opeta opiskelijoita ainoastaan muotoilemaan ongelmaa, vaan myös ratkaisemaan sen. Nämä eivät ole ainoita opiskelijoille opettamiamme asioita. Muuten heistä tulisi mekaanisia ongelmanratkaisijoita. Meidän tulee oppia käsittelemään tällaisia ongelmia. Opimme tekniikat, joilla ongelmat pystytään ratkaisemaan. Opimme, kuinka matemaatikot kehittävät uusia menetelmiä ongelmien nujertamiseksi. Matemaatikot eivät tyytyneet ainoastaan ratkaisemaan yllä olevaa ongelmaa. Sen sijaan he rakensivat kauniin matematiikan alan, variaatiolaskennan, jolla tämänkaltaisia kysymyksiä voi lähestyä yleisesti. Tämä kaikki on juuri sitä, mitä matemaatikot tekevät. Opiskelijoiden tulee oppia tästä esimerkistä: mistä matematiikan tutkimuksessa on kysymys; mikä on hyvää matematiikkaa. He voivat alkaa nauttia matematiikan kauneudesta ja eleganssista. Joskus matemaatikot kuvaavat matematiikkaa taiteen muodoksi. He vertaavat sitä hyvin usein musiikkiin ja runouteen. Edellä olevaa esimerkkiä tuleekin ajatella musiikkikappaleena. Minun mielestäni on tärkeämpää opettaa opiskelijat nauttimaan siitä kuin ratkaisemaan sen. Nautimme matematiikan luovuudesta. Nautimme hienoista ideoista. Nautimme tekniikoista ja metodeista. Sitten voimme alkaa kehittää omaa matemaattista makuamme. Tämä on esimerkki kysymyksistä, joita olemme jo tutkineet ja jotka osaamme ratkaista. Onko matematiikassa sitten enää mitään tutkimista? Eikö kaikki ole jo ajat sitten keksitty? Valitettavasti mitä enemmän tiedämme sitä enemmän emme tiedä. Mitä enemmän tiedämme sitä enemmän on tiedettävää. Minun on helpompi antaa ongelmia, joita matemaatikot parhaillaan tutkivat eivätkä vielä osaa ratkaista. Tässä on yksi esimerkki. Ongelma on jälleen lähtöisin fysiikasta. Se koskee Eulerin yhtälöitä virtausmekaniikassa. Eulerin yhtälöt kuvaavat nesteiden ja kaasujen liikettä. Puristumattomille, ideaalisille nesteille Eulerin yhtälöt voidaan esittää seuraavalla tavalla. u = 0; u + u u = p, t missä suure u on tuntematon nopeusvektori ja p paine. Ensimmäinen yhtälö on jatkuvuusyhtälö, ja toinen on liikeyhtälö. Perusongelmana on nyt tutkia ratkaisujen olemassaoloa, yksikäsitteisyyttä ja ominaisuuksia. Fysiikan kurssilla Virtausmekaniikka, ja myös matematiikan kurssilla Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, opetamme opiskelijoita johtamaan nämä yhtälöt. Annamme myös esimerkkejä ratkaisuista joillakin annetuilla alkunopeuksilla. Valitettavasti emme voi opettaa heitä ratkaisemaan näitä yhtälöitä, sillä emme tiedä kuinka se tehdään. Emme tiedä ratkaisujen käyttäytymistä. Emme edes tiedä onko ratkaisuja 74 Academia Scientiarum Fennica 2011
olemassa. Tämä haastava ja syvällinen matemaattinen ongelma on askarruttanut useita matemaatikkosukupolvia. Monia tärkeitä edistysaskelia on saavutettu. Tästä huolimatta näiden yhtälöiden ymmärtäminen on vielä vaillinaista. Itse asiassa se on varsin alkeellisella tasolla. Nesteet ovat tärkeitä, ja niiden käyttäytymistä on hankalaa käsittää. Näiden yhtälöiden fysikaalinen tausta voidaan unohtaa, ja tarkastella niitä puhtaasti matemaattisena ongelmana. Tai ehkä fysiikan unohtaminen ei olekaan oikea tapa hakea ratkaisua. Ehkä tarvitsemme ideoita fysiikasta oppiaksemme ymmärtämään mitä on tekeillä. Voi myös olla, että näiden yhtälöiden matemaattinen tutkiminen johtaa uuteen, fysikaalisesti merkittävään suureeseen. Emme tiedä. Mitä matemaatikot tutkivat? Kyllä, matemaatikot tutkivat lukuja. Itse asiassa monet lukujen ominaisuudet ovat edelleen matemaatikoille mysteerejä. Emme esimerkiksi tiedä onko Goldbachin otaksuma totta: voidaanko jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku esittää kahden alkuluvun summana? Lukuteoria on tietenkin ainoastaan yksi matematiikan osa-alue. Kuten edellisistä esimerkeistä näemme, matemaatikot ovat myös kiinnostuneita tosielämästä kumpuavista ongelmista. Lisäksi matematiikan teoria on kaukana valmiista, eikä se varmaan ikinä valmistukaan. Matematiikan tutkimus jatkuu edelleen. What do mathematicians study? Summary Do mathematicians do anything other than play games with numbers? Can you give me examples of problems that mathematicians are interested in and are studying now? Very often people consult researchers in mathematics with questions of this kind. Unfortunately, it is not so easy for mathematicians to explain to non-mathematicians what they do, because they have no common background or common language. Actually, it is impossible for me to give a complete and good answer to this question, due to lack of knowledge. Being the Queen of the Sciences, as referred to by Gauss, mathematics can broadly speaking be divided into arithmetic, algebra, geometry and analysis. Nowadays mathematical research has diverged into many fields having points of intersection with each other. What mathematicians do is to establish truth by rigorous deduction from appropriately chosen axioms and definitions. They engage in pure mathematics and build up mathematical theories. They study problems from the point of view of mathematics, without having any application in mind, although practical applications for what began as pure mathematics are often discovered. Mathematics is used as an essential tool in many fields, including the natural sciences, engineering, medicine and the social sciences. Applied mathematics, a branch of mathematics concerned with the application of mathematical knowledge to other fields, inspires and makes use of new mathematical discoveries, and sometimes leads to the de- Academia Scientiarum Fennica 2011 75
velopment of entirely new mathematical disciplines. It is not so difficult for me to give examples of problems that mathematicians have studied or are studying now. Here is a beautiful problem. The problem is to find the curve of fastest descent between two points on a vertical plane. Given two points, say A and B as in the picture, with A not lower than B, a body starts at point A at zero speed and moves along the curve to point B under the action of constant gravity and assuming no friction. Now the problem is to find a curve joining A and B so that the body slips to its destination in the least time. In other words, we want to build the fastest slide so that kids can have fun with it. With some knowledge of physics, we can formulate this problem in terms of the following mathematical one: to find a function that minimizes the integral here. For this formulation, some knowledge of mathematics is also required. It involves the derivative and integral of a function. These notions belong to a branch of mathematics called calculus, which we teach students at university. Now the task is to solve this mathematical problem. Here we are extremely happy, because we have an explicit solution to this problem. We are extremely happy because we are standing on the shoulders of the giants. We can teach the students not only to formulate the problem, but also to solve it. These are not the only things that we teach students; otherwise they would simply become mechanical problem-solvers. We should learn how mathematicians deal with problems that have a strong physical background. We learn the techniques for solving this problem, and learn how mathematicians develop new tools to handle problems. Indeed, mathematicians were not satisfied merely with solving this problem. Instead, they built up a beautiful branch of mathematics called the Calculus of Variations to deal with problems of this type. These all lie within the scope of mathematical research. Students are supposed to learn from this example what mathematical research is all about, what is good mathematics. Then they can start to enjoy the beauty and elegance of mathematics. Mathematicians sometimes describe mathematics as an art form, or at least as a form of creative activity. They very often compare it with music and poetry. The example here should be treated like a beautiful piece of music. In my opinion it is more important for us to teach students to enjoy a problem than to solve it. We can enjoy the creativity involved, enjoy the beautiful ideas. We can enjoy the techniques and the methods. Then we will start to develop our own taste for mathematics. This is an example of a problem that we already studied and that we know how to solve. Is there anything else in mathematics to be studied? Hasn t everything already been developed? Unfortunately, the more we know, the more we do not know. The more we know, the more we should know. It is easier for me to give an example of problems that mathematicians are studying right now and that they do not know how to solve. Here is one good example. The problem is again from physics. It concerns the famous Euler equations in fluid mechanics, the equations that describe the motion of fluids or gases. The Euler equations for ideal, incompressible fluids are these. In these equations u is the unknown velocity vector and p the pressure. The first equation is called the continuity equation. It follows from the fact that the mass does not change and that the fluids are incompressible. The other equation follows from Newton s second law. Now the 76 Academia Scientiarum Fennica 2011
basic problem is to study the existence and uniqueness of the solutions and the properties of these solutions. Students are taught to derive these equations in the course on fluid mechanics in the Department of Physics and also in the course on partial differential equations in the Department of Mathematics. We also give examples of solutions for particular given initial velocities. Unfortunately, we cannot teach them how to solve these equations, because we do not know how to do that. We do not know the behaviour of the solutions. We do not even know whether any solutions exist. This profound and challenging mathematical problem has attracted many generations of mathematicians. Many important contributions have been made, but our knowledge of these equations is still not complete. Actually, our understanding is still at quite a primitive level. Fluids are important and hard to understand, but one can forget the physical background to these equations, and regard this as a purely mathematical problem, although that is probably not the case. Maybe we need ideas from physics to handle this problem. It is also possible that the mathematical study of these equations will lead us to a new quantity with physical meanings. We do not know. What do mathematicians study? Yes, of course mathematicians study numbers, but actually there are many things in numbers that remain mysterious even to mathematicians. For example, we do not know whether the famous Goldbach s conjecture is true: can every even integer greater than two be expressed as the sum of two primes? Of course, number theory is only one branch of mathematics. As we saw from the previous examples, mathematicians are also interested in the underlying real-life problems. In addition, mathematical theory is far from complete, and in actual fact it will never be completed at all. Academia Scientiarum Fennica 2011 77