Did the ancient egyptians record the period of the eclipsing binary Algol the Raging One?

Did the ancient egyptians record the period of the eclipsing binary Algol the Raging One? Lauri Jetsu et al. Department of Physics University of Helsinki lauri.jetsu@helsinki.fi Lauri Jetsu et al. Department of Physics University of Helsinki lauri.jetsu@helsinki.fi Did the ancient egyptians record the period of the eclipsing binary Algol the Raging One?

Kirjaisivatko muinaiset egyptiläiset pimennysten periodin kaksoistähti Algolista Tuosta raivoavasta? Lauri Jetsu et al. Fysiikan laitos Helsingin yliopisto lauri.jetsu@helsinki.fi

Co-authors Jetsu et al. Department of Physics Ph.D. student = M.Sc. Sebastian Porceddu M.Sc. Joonas Lyytinen M.Sc. Perttu Kajatkari M.Sc. Jyri Lehtinen Prof. Tapio Markkanen Department of World Cultures Doc. Jaana Toivari-Viitala No time to explain = Structure A: Method: Vectors, Rayleight test (Primary) B: Method: Statistics (Secondary) C: Paper: Data D: Paper: Period analysis E: Paper: Astrophysics F: Paper: Astronomy G: Paper: Egyptology H: Paper: Conclusions I: Questions

Muut tekijät Jetsu et al. Fysiikan laitos Tohtorikoulutettava = FK Sebastian Porceddu FK Joonas Lyytinen FK Perttu Kajatkari FK Jyri Lehtinen Prof. Tapio Markkanen Maailman kulttuurien laitos Dos. Jaana Toivari-Viitala Ei aikaa selittää = Rakenne A: Metodi: Vektorit, Rayleight testi (Yläaste) B: Metodi: Statististiikka (Lukio) C: Paperi: Data D: Paperi Periodianalyysi E: Paperi: Astrofysiikka F: Paperi: Astronomia G: Paperi: Egyptologia H: Paperi: Johtopäätökset I: Kysymykset

Vectors Blue = X-axis, Red = Y-axis, Green = X Y-combined and Black = Green combined Vector has length (scalar=number) and direction (angle) Vector notation r (Green vector) Length = r 0 Direction = Θ (Pronounced: Theta ) 0 o Θ < 360 o measured counterclockwise from x-axis Graphical vector example: r = 5, Θ 36. o 9 Notation r = [x, y] = [4, 3] Pythagoras: perpendicular triangle r 2 = x 2 + ȳ 2 = 4 2 +3 2 = 16+9 = 25 r = 25 = 5 x = [4, 0] (Blue vector) ȳ = [0, 3] (Red vector) r = x + ȳ = [4 + 0, 0 + 3] = [4, 3] cos Θ = x/ r x = r cos Θ = 5 4 5 = 4 sin Θ = y/ r y = r sin Θ = 5 3 5 = 3 r = [x, y] = [ r cos Θ, r sin Θ] = r [cos Θ, sin Θ]

Vektorit Sininen = X-akseli, Punainen = Y-akseli, Vihreä = X ja Y yhdistetty, Musta = Vihreät yhdistetty Vektorilla on pituus (skalaari=luku) ja suunta (kulma) Vektorin merkintä r (Vihreä vektori) Pituus = r 0 Suunta = Θ (Lausutaan: Theta ) 0 o Θ < 360 o mitataan vastapäivään x-akselista Graafinen esimerkki vektorista: r = 5, Θ 36. o 9 Merkitään r = [x, y] = [4, 3] Pytagoras: suorakulmainen kolmio r 2 = x 2 + ȳ 2 = 4 2 +3 2 = 16+9 = 25 r = 25 = 5 x = [4, 0] (Sininen vektori) ȳ = [0, 3] (Punainen vektori) r = x + ȳ = [4 + 0, 0 + 3] = [4, 3] cos Θ = x/ r x = r cos Θ = 5 4 5 = 4 sin Θ = y/ r y = r sin Θ = 5 3 5 = 3 r = [x, y] = [ r cos Θ, r sin Θ] = r [cos Θ, sin Θ]

Sum of two (n = 2) vectors First vector r 1 = [x 1, y 1] = [4, 2] Second vector r 2 = [x 2, y 2] = [ 2, 3.7] R = r 1 + r 2 R = [X, Y] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2] = [4 2, 2 + 3.7] = [2, 5.5] X = x 1 + x 2 = [x 1, 0] + [x 2, 0] = [x 1 + x 2, 0] = [2, 0] Ȳ = ȳ 1 + ȳ 2 = [0, y 1] + [0, y 2] = [0, y 1 + y 2] = [0, 5.5] Σ i=n i=1 is used to denote for a sum of n vectors X = Σ i=2 i=1 xi = x1 + x2 and Ȳ = Σi=n i=1ȳi = ȳ1 + ȳ2 R = X + Ȳ X and Ȳ perpendicular Pythagoras R 2 = X 2 + Ȳ 2 = (Σ i=n i=1 xi)2 + (Σ i=n i=1ȳi)2 This equation holds for the sum of n 2 vectors

Kahden (n = 2) vektorin summa Ensimmäinen vektori r 1 = [x 1, y 1] = [4, 2] Toinen vektori r 2 = [x 2, y 2] = [ 2, 3.7] R = r 1 + r 2 R = [X, Y] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2] = [4 2, 2 + 3.7] = [2, 5.5] X = x 1 + x 2 = [x 1, 0] + [x 2, 0] = [x 1 + x 2, 0] = [2, 0] Ȳ = ȳ 1 + ȳ 2 = [0, y 1] + [0, y 2] = [0, y 1 + y 2] = [0, 5.5] Σ i=n i=1 merkitsee n:n vektorin summaa X = Σ i=2 i=1 xi = x1 + x2 ja Ȳ = Σi=n i=1ȳi = ȳ1 + ȳ2 R = X + Ȳ X ja Ȳ kohtisuorat Pytagoras R 2 = X 2 + Ȳ 2 = (Σ i=n i=1 xi)2 + (Σ i=n i=1ȳi)2 Tämä kaava pätee kaikkien n 2 vektorien summille

Unit vectors Unit vector length = r = 1 Unit vector direction = Phase angle = Θ Unit vectors begin from the origin Unit vectors point to the unit circle r = [ r cos Θ, r sin Θ] = [cos Θ, sin Θ] x = [cos Θ, 0] ȳ = [0, sin Θ] r = x + ȳ cos Θ = x/ r x = cos Θ sin Θ = y/ r y = sin Θ Pythagoras: r 2 = x 2 + ȳ 2 1 2 = (cos Θ) 2 + 0 2 + 0 2 + (sin Θ) 2 Useful relation: cos 2 Θ + sin 2 Θ = 1 Four examples

Yksikkövektorit Yksikkövektorin pituus = r = 1 Yksikkövektorin suunta = Vaihekulma = Θ Yksikkövektorit alkavat origosta Yksikkö vektorit osoittavat yksikköympyrälle r = [ r cos Θ, r sin Θ] = [cos Θ, sin Θ] x = [cos Θ, 0] ȳ = [0, sin Θ] r = x + ȳ cos Θ = x/ r x = cos Θ sin Θ = y/ r y = sin Θ Pytagoras: r 2 = x 2 + ȳ 2 1 2 = (cos Θ) 2 + 0 2 + 0 2 + (sin Θ) 2 Hyödyllinen relaatio: cos 2 Θ + sin 2 Θ = 1 Neljä esimerkkiä

R = Sum of n unit vectors r i R = i=n i=1 ri = r1 + r2 +... + rn r 1 = x 1 + ȳ 1, r 2 = x 2 + ȳ 2,..., r n = x n + ȳ n R = x 1 + x 2 +... x n + ȳ 1 + ȳ 2 +...ȳ n = R = X + Ȳ X = i=n i=1 xi = i=n i=1 [cos Θi, 0] = [cos Θ1 + cos Θ2 +... + cos Θn, 0] = [ i=n i=1 cos Θi, 0] Ȳ = i=n i=1 ȳi = i=n i=1 [0, sin Θi] = [0, sin Θ1 + sin Θ2 +... + sin Θn] = [0, i=n i=1 sin Θi] X 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + 0 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 Ȳ 2 = 0 2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 = ( i=n i=1 sin Θi)2 Pythagoras R 2 = X 2 + Ȳ 2 Final result R 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 Rayleigh test statistic Rayleigh test statistic for n phase angles Θ 1, Θ 2,..., Θ n is z = R 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 n n

R = Summa n:stä yksikkövektorista r i R = i=n i=1 ri = r1 + r2 +... + rn r 1 = x 1 + ȳ 1, r 2 = x 2 + ȳ 2,..., r n = x n + ȳ n R = x 1 + x 2 +... x n + ȳ 1 + ȳ 2 +...ȳ n R = X + Ȳ X = i=n i=1 xi = i=n i=1 [cos Θi, 0] = [cos Θ1 + cos Θ2 +... + cos Θn, 0] = [ i=n i=1 cos Θi, 0] Ȳ = i=n i=1 ȳi = i=n i=1 [0, sin Θi] = [0, sin Θ1 + sin Θ2 +... + sin Θn] = [0, i=n i=1 sin Θi] X 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + 0 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 Ȳ 2 = 0 2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 = ( i=n i=1 sin Θi)2 Pytagoras R 2 = X 2 + Ȳ 2 Lopputulos R 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 Rayleigh:n testiparametri Rayleigh:n testiparametri n:lle vaihekulmalle Θ 1, Θ 2,..., Θ n on z = R 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 n n

First example of Rayleigh test statistic z R is the sum of n = 3 unit vectors r 1 r 2 and r 3 First unit vector r 1 points to the third quarter First phase angle is 180 o < Θ 1 < 270 o Second unit vector r 2 points to the first quarter Second phase angle is 0 o < Θ 2 < 90 o Third unit vector r 3 points to the second quarter Third phase angle is 90 o < Θ 3 < 180 o Black vector in the lower plot shows R = i=3 i=1 ri = r1 + r2 + r3 = [ 0.10, 0.19] Unit vectors r 1 r 2 and r 3 point to different directions Length of their sum, R = 0.21, is small Rayleigh test statistic value, z = R 2 /n = 0.02, is small

1. esimerkki Rayleigh:n testiparametrista z R on n = 3 yksikkövektorin r 1 r 2 ja r 3 summa Ensimmäinen yksikkövektori r 1 kolmannessa neljänneksessä Ensimmäinen vaihekulma on 180 o < Θ 1 < 270 o Toinen yksikkövektori r 2 ensimmäisessä neljänneksessä Toinen vaihekulma on 0 o < Θ 2 < 90 o Kolmas yksikkövektori r 3 toisessa neljänneksessä Kolams vaihekulma on 90 o < Θ 3 < 180 o Alemman kuvan musta vektori on R = i=3 i=1 ri = r1 + r2 + r3 = [ 0.10, 0.19] Yksikkövektorit r 1 r 2 ja r 3 osoittavat eri suuntiin Niiden summan pituus, R = 0.21, on pieni Testparametrin arvo, z = R 2 /n = 0.02, on pieni

Second example of Rayleigh test statistic z R is the sum of n = 3 unit vectors r 1 r 2 and r 3 All unit vectors r 1, r 2 and r 3 point to the first quarter All phase angles Θ 1, Θ 2 and Θ 3 are between 0 and 90 degrees Black vector in the lower plot shows R = i=3 i=1 ri = r1 + r2 + r3 = [1.87, 2.09] Unit vectors r 1 r 2 and r 3 directions nearly parallel Length of their sum, R = 2.80, is large Rayleigh test statistic value, z = R 2 /n = 2.62, is large Conclusion: z measures the scatter of the n phase angles Θ 1, Θ 2,... and Θ n of unit vectors r 1, r 2,... and r n Conclusion: z small scatter of phase angles large unit vectors point to different directions Conclusion: z large scatter of phase angles small unit vector directions nearly parallel Maximum of z = n unit vectors point to same direction

2. esimerkki Rayleigh:n testiparametrista z R on n = 3 yksikkövektorin r 1 r 2 ja r 3 summa Kaikki yksikkövektorit r 1, r 2 ja r 3 ensimmäisessä neljänneksessä Kaikki vaihekulmat Θ 1, Θ 2 ja Θ 3 ovat 0 ja 90 asteen välissä Alemman kuvan musta vektori on R = i=3 i=1 ri = r1 + r2 + r3 = [1.87, 2.09] Yksikkövektorit r 1 r 2 ja r 3 lähes yhdensuuntaiset Niiden summan pituus, R = 2.80, on suuri Testiparametrin arvo, z = R 2 /n = 2.62, on suuri Johtopäätös: z mittaa yksikkövektorien r 1, r 2,... ja r n vaihekulmien Θ 1, Θ 2,... ja Θ n hajontaa Johtopäätös: z pieni vaihekulmien hajonta suuri yksikkövektorit osoittavat eri suuntiin Johtopäätös: z suuri vaihekulmien hajonta pieni yksikkövektorit lähes yhdensuuntaiset Maksimiarvo z = n kaikki yksikkövektorit yhdensuuntaiset

Rayleigh test statistics Hypothesis: The n phase angles Θ 1, Θ 2,... and Θ n are a sample drawn from an even (=random) distribution between 0 o and 360 o. Abbreviation H Θ is used for this particular hypothesis H Θ: Probability density distribution function of phase angles 0, Θ < 0 o 1 f (Θ) = 360, 0o Θ < 360 o, 0, 360 o Θ, H Θ: Cumulative density distribution function for phase angles F(Θ 0) = P(Θ Θ 0) = Θ 0 f (Θ)dΘ = Θ 0 dθ 360 = 0 0 dθ + Θ 0 dθ 0 360 = 0 + /Θ 0 Θ 0 360 = Θ 0 360 0 360 = Θ 0 360 F(Θ) = 0, Θ < 0 o Θ 360, 0o Θ < 360 o, 1, 360 o Θ, P(Θ Θ 0) is the probability that Θ is smaller than a fixed Θ 0 value Examples: P(Θ 90 o ) = 0.25, P(Θ 180 o ) = 0.5, P(Θ 270 o ) = 0.75 and P(Θ 360 o ) = 1 Problem: If H Θ is true, what is the probability density distribution of z?

Rayleigh:n testin statistiikka Hypoteesi: n vaihekulmat Θ 1, Θ 2,... ja Θ n ovat otos tasajakaumasta (=satunnaisesta) välillä 0 o ja 360 o. Tästä hypoteesista käytetään lyhennettä H Θ H Θ: Vaihekulmien todennäköisyys tiheysfunktio 0, Θ < 0 o 1 f (Θ) = 360, 0o Θ < 360 o, 0, 360 o Θ, H Θ: Vaihekulmien kumulatiivien todennäköisyys tiheysfunktio F(Θ 0) = P(Θ Θ 0) = Θ 0 f (Θ)dΘ = Θ 0 dθ 360 = 0 0 dθ + Θ 0 dθ 0 360 = 0 + /Θ 0 Θ 0 360 = Θ 0 360 0 360 = Θ 0 360 F(Θ) = 0, Θ < 0 o Θ 360, 0o Θ < 360 o, 1, 360 o Θ, P(Θ Θ 0) on todennäköisyys, että Θ on valittua Θ 0 arvoa pienempi Esimerkkejä: P(Θ 90 o ) = 0.25, P(Θ 180 o ) = 0.5, P(Θ 270 o ) = 0.75 and P(Θ 360 o ) = 1 Ongelma: Jos H Θ on totta, mikä on z:n todennäköisyys tiheysfunktio?

John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh (1842 1919) Copley Medal (1882), Nobel Prize for Physics (1904) e 2.71828 is Euler s number, e x is exponent function ln e x = x, where ln x is natural logarithm function H Θ true Probability density distribution function of z is { 0, z < 0 f (z) = e z z 0 H Θ: Cumulative density distribution function is F(z 0) = P(z z 0) = z 0 f (x)dz = 0 0 dz + z 0 0 e z dz = 0 + / z 0 0 e z = e z 0 ( e 0 ) = 1 e z 0 { 0, z < 0 F(z) = 1 e z, z 0, P(z z 0) is the probability that z is smaller than a fixed z 0 value Complementary case: P(z > z 0) = 1 P(z z 0) = 1 (1 e z 0 ) = e z 0 Example: 0.5 = P(z z 0) = 1 e z 0 e z 0 = 0.5 z 0 = ln 2 1 z 0 = ln 2 0.693. This means that half of the z values are within 0 z < 0.693, while the other half are between 0.693 z n.

John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh (1842 1919) Copleyn Mitali (1882), Fysiikan Nobel (1904) e 2.71828 on Eulerin luku, e x on eksponenttifunktio ln e x = x, where ln x on luonnollisen logaritmin funktio H Θ tosi z:n todennäköisyys tiheysfunktio on { 0, z < 0 f (z) = e z z 0 H Θ: Kumulatiivinen todennäköisyys tiheysfunktio on F(z 0) = P(z z 0) = z 0 f (x)dz = 0 0 dz + z 0 0 e z dz = 0 + / z 0 0 e z = e z 0 ( e 0 ) = 1 e z 0 { 0, z < 0 F(z) = 1 e z, z 0, P(z z 0) on todennäköisyys, että z on valittua z 0 arvoa pienempi Komplementti tapaus: P(z > z 0) = 1 P(z z 0) = 1 (1 e z 0 ) = e z 0 Esimerkki: 0.5 = P(z z 0) = 1 e z 0 e z 0 = 0.5 z 0 = ln 2 1 z 0 = ln 2 0.693. Tarkoittaa, että puolet z arvoista välillä 0 z < 0.693, eli toinen puoli on välillä 0.693 z n.

Random walk Begin a random walk from origin Take n steps r 1, r 2,..., r n Every step length is r i = cos Θ i 2 + sin Θ i 2 = 1 Choose the direction Θ i of every step randomly H Θ = true Problem: Solve the probability of how far from origin do you get? Q = P(z > z 0) = 1 P(z z 0) = 1 (1 e z 0 ) = e z 0 Q = e z 0 ln Q = z 0 z 0 = ln Q z 0 = R 0 2 n R 0 = n z 0 = n ln Q Distances R 0 solved for n = 10 and n = 100 steps Probabilities are Q = 0.5 (half of the cases), Q = 0.1 (one out of ten) and Q = 0.01 (one out of one hundred) Dots are ends of 500 random walks. Case Q 0.01 routes displayed with green colour Q = 0.5 Q = 0.1 Q = 0.01 n = 10 z 0 = 0.69 z 0 = 2.30 z 0 = 4.60 R 0 = 2.63 R 0 = 4.80 R 0 = 6.79 n = 100 z 0 = 0.69 z 0 = 2.30 z 0 = 4.60 R 0 = 8.33 R 0 = 15.17 R 0 = 21.46 continuous dotted dashed

Satunnaiskulku Aloita satunnaiskulku origosta Ota n askelta r 1, r 2,..., r n Jokaisen askeleen pituus on r i = cos Θ i 2 + sin Θ i 2 = 1 Valitse jokaisen askeleen suunta Θ i satunnaisesti H Θ = tosi Ongelma: Kuinka kauas origosta todennäköisesti pääset? Q = P(z > z 0) = 1 P(z z 0) = 1 (1 e z 0 ) = e z 0 Q = e z 0 ln Q = z 0 z 0 = ln Q z 0 = R 0 2 n R 0 = n z 0 = n ln Q Etäisyydet R 0 ratkaistu n = 10 ja n = 100 askeleelle Todennäköisyydet ovat Q = 0.5 (puolet tapauksista), Q = 0.1 (yhden kerran kymmenestä) ja Q = 0.01 (yhden kerran sadasta) Pisteet ovat 500 satunnaiskulun päätepisteiteitä. Tapausten Q 0.01 reitit näytetty vihreän värisinä Q = 0.5 Q = 0.1 Q = 0.01 n = 10 z 0 = 0.69 z 0 = 2.30 z 0 = 4.60 R 0 = 2.63 R 0 = 4.80 R 0 = 6.79 n = 100 z 0 = 0.69 z 0 = 2.30 z 0 = 4.60 R 0 = 8.33 R 0 = 15.17 R 0 = 21.46 jatkuva pisteitä tavuviivoja

Phases φ Angles Θ Analysing n time points t 1, t 2,..., t n with Rayleigh test Period is P. Frequency is f = 1/P. Zero epoch in time is t 0 Phases (φ is pronounced phi ) are (ti t0) φ i = FRAC[ ] = FRAC[f (t i t 0)] P FRAC[x] removes integer part of x, e.g. FRAC[4.12]=0.12 Angles are Θ i = 360 o φ i (degrees) or Θ i = 2πφ i (radians) Example: five (n = 5) random time points 0 t i 5 Tested period is P = 1.2 and zero epoch is t 0 = 0 Symbols of t 1:, cos Θ 1 = blue arrow and sin Θ 1 = red arrow (t i t i t 0 ) i P = f (t i t 0) φ i Θ i[ o ] Θ i [rads] cos Θ i sin Θ i 1 0.84 0.70 0.70 252.3 4.40-0.30-0.95 2 1.87 1.56 0.56 200.4 3.50-0.94-0.35 3 2.93 2.44 0.44 158.5 2.77-0.93 0.37 4 3.85 3.21 0.21 74.2 1.29 0.27 0.96 5 4.87 4.06 0.06 21.9 0.38 0.93 0.37 i=5 i=1 cos Θi = -0.97 i=5 i=1 sin Θi = 0.40 z = ( i=5 i=1 cos Θi)2 + ( i=5 i=1 sin Θi)2 = ( 0.97)2 + (0.40) 2 = 0.22 is small n 5

Vaiheet φ Kulmat Θ Tehdään Rayleigh testi n:lle aikapisteelle t 1, t 2,..., t n Periodi on P. Frekvenssi on f = 1/P. Ajan nollakohta on t 0 Vaiheet (φ lausutaan fii ) ovat (ti t0) φ i = FRAC[ ] = FRAC[f (t i t 0)] P FRAC[x] kokonaisluku pois x:stä, esim. FRAC[4.12]=0.12 Kulmat ovat Θ i = 360 o φ i (asteita) tai Θ i = 2πφ i (radiaaneja) Esimerkki: viisi (n = 5) satunnaista aikapistettä 0 t i 5 Testattava periodi on P = 1.2 ja ajan nollakohta on t 0 = 0 t 1 merkintä:, cos Θ 1 = sininen ja sin Θ 1 = punainen (t i t i t 0 ) i P = f (t i t 0) φ i Θ i[ o ] Θ i [rads] cos Θ i sin Θ i 1 0.84 0.70 0.70 252.3 4.40-0.30-0.95 2 1.87 1.56 0.56 200.4 3.50-0.94-0.35 3 2.93 2.44 0.44 158.5 2.77-0.93 0.37 4 3.85 3.21 0.21 74.2 1.29 0.27 0.96 5 4.87 4.06 0.06 21.9 0.38 0.93 0.37 i=5 i=1 cos Θi = -0.97 i=5 i=1 sin Θi = 0.40 z = ( i=5 i=1 cos Θi)2 + ( i=5 i=1 sin Θi)2 = ( 0.97)2 + (0.40) 2 = 0.22 on pieni n 5

Phases φ Angles Θ Another example: seven (n = 7) periodic time points 0 t i 5 Tested period is P = 1.2 and zero epoch is t 0 = 0 Symbols of t 1:, cos Θ 1 = blue arrow and sin Θ 1 = red arrow z = ( i=7 i=1 cos Θi)2 + ( i=7 i=1 sin Θi)2 n = ( 4.55)2 + (4.09) 2 = 5.35 is large 5 Q = P(z > 5.35) = e 5.35 = 0.005 = 1/200 If H Θ = true, this happens only once in 200 cases (t i t i t 0 ) i P = f (t i t 0) φ i Θ i[ o ] Θ i [rads] cos Θ i sin Θ i 1 0.46 0.38 0.38 137.7 2.40-0.74 0.67 2 0.48 0.40 0.40 144.4 2.52-0.81 0.58 3 1.54 1.28 0.28 102.3 1.79-0.21 0.98 4 1.56 1.30 0.30 108.8 1.90-0.32 0.95 5 1.84 1.54 0.54 192.9 3.37-0.97-0.22 6 4.01 3.34 0.34 122.0 2.13-0.53 0.85 7 4.14 3.45 0.45 163.2 2.85-0.96 0.29 i=7 i=1 cos Θi = -4.55 i=7 i=1 sin Θi = 4.09

Vaiheet φ Kulmat Θ Seitsemän (n = 7) periodista aikapistettä 0 t i 5 Testattu periodi on P = 1.2 ja ajan nollakohta on t 0 = 0 t 1 merkintä:, cos Θ 1 = sininen ja sin Θ 1 = punainen z = ( i=7 i=1 cos Θi)2 + ( i=7 i=1 sin Θi)2 n = ( 4.55)2 + (4.09) 2 = 5.35 on suuri 5 Q = P(z > 5.35) = e 5.35 = 0.005 = 1/200 Jos H Θ = tosi, tämä tapahtuu vain kerran 200 tapauksesta (t i t i t 0 ) i P = f (t i t 0) φ i Θ i[ o ] Θ i [rads] cos Θ i sin Θ i 1 0.46 0.38 0.38 137.7 2.40-0.74 0.67 2 0.48 0.40 0.40 144.4 2.52-0.81 0.58 3 1.54 1.28 0.28 102.3 1.79-0.21 0.98 4 1.56 1.30 0.30 108.8 1.90-0.32 0.95 5 1.84 1.54 0.54 192.9 3.37-0.97-0.22 6 4.01 3.34 0.34 122.0 2.13-0.53 0.85 7 4.14 3.45 0.45 163.2 2.85-0.96 0.29 i=7 i=1 cos Θi = -4.55 i=7 i=1 sin Θi = 4.09

Phases φ Angles Θ H Θ was: The n phase angles Θ 1, Θ 2,... and Θ n are a sample drawn from an even (=random) distribution between 0 o and 360 o. H Θ=true f (z) = e z for z 0 F(z) = 1 e z for z 0 Phases are φ i = FRAC[(t i t 0)/P] = FRAC[f (t i t 0)] Phases fulfill 0 φ i < 1 Angles are Θ i = 360 o φ i (degrees) or Θ i = 2πφ i (radians) What is a suitable hypothesis for the n phases φ i? H φ : The n phases φ 1, φ 2,... and φ n are a sample drawn from an even (=random) distribution between 0 and 1. H φ : Probability density distribution function of phases 0, φ < 0 f (φ) = 1, 0 1 < 1, 0, 1 φ, P(φ 0.5) = F(0.5) = 0.5, i.e. half of φ values below or above 0.5 H Θ = true H φ = true Data are angles H Θ Data are time points H φ Cumulative distribution function is 0, φ < 0 F(φ) = φ, 0 φ < 1, 1, 1 φ,

Vaiheet φ Kulmat Θ H Θ oli: n vaihekulmat Θ 1, Θ 2,... ja Θ n ovat otos tasajakaumasta (=satunnaisesta) välillä 0 o ja 360 o. H Θ=tosi f (z) = e z for z 0 F(z) = 1 e z for z 0 Vaiheet ovat φ i = FRAC[(t i t 0)/P] = FRAC[f (t i t 0)] Vaiheille toteutuu 0 φ i < 1 P(φ 0.5) = F(0.5) = 0.5, siis puolet φ arvoista on alle tai yli 0.5 H Θ = tosi H φ = tosi Data on kulmia H Θ Data on aikapisteitä H φ Kulmat ovat Θ i = 360 o φ i (asteita) tai Θ i = 2πφ i (radiaaneja) Mikä on sopiva hypoteesi n:lle vaiheelle φ i? H φ : n vaiheet φ 1, φ 2,... ja φ n ovat otos tasajakaumasta (=satunnaisesta) välillä 0 ja 1. H φ : Vaiheiden todennäköisyys tiheysfunktio on 0, φ < 0 f (φ) = 1, 0 1 < 1, 0, 1 φ, Kumulatiivinen todennäköisyys tiheysfunktio on 0, φ < 0 F(φ) = φ, 0 φ < 1, 1, 1 φ,

Testing many periods Question: How did you know that P = 1.2 was a good period in the previous example? Answer: I simulated n = 7 time points with this periodicity. Question: Could you find this P = 1.2 period from the data, if someone else had simulated this periodicity, but would not have told you this numerical P value? Answer: Yes. I would find this period by testing many periods. Time points were t 1 = 0.46, t 2 = 0.48, t 3 = 1.54, t 4 = 1.56, t 5 = 1.84, t 6 = 4.01 and t 7 = 4.15 Time span was T = t n t 1 = 4.15 0.46 = 3.39 No information after the end of data Largest tested period P < P max < T = 3.39 No information from gaps between time points Smallest tested period P > P min > T n = 0.53 Selected lower limit: 0.53 < P min = 0.8 f max = 1.25 Selected upper limit: 3.39 > P max = 3.0 f min = 0.33 Tested frequencies f are between f min = 0.33 and f max = 1.25 Distance between independent frequencies f 0 = 1 T = 0.271 Number of independent tested frequencies is m = fmax f min f = 1.25 0.33 0 0.271 = 3.38 Number of independent tested frequencies must be a positive integer m = INT[3.38] = 3 INT[x] removes the decimals of x There are m = 3 independent tested frequencies between between f min = 0.33 and f max = 1.25

Monen periodin testaus Kysymys: Mistä tiesit, että P = 1.2 oli hyvä periodi edellisessä esimerkissä? Vastaus: Simuloin n = 7 aikapistettä sillä periodilla. Kysymys: Pystyisitkö löytämään tämän P = 1.2 periodin datasta, jos joku muu olisi sen sinne simuloinut, mutta ei olisi kertonut sinulle P:n numeroarvoa. Vastaus: Kyllä. Löytäisin tämän periodin testaamalla monta periodia. Aikapisteet olivat t 1 = 0.46, t 2 = 0.48, t 3 = 1.54, t 4 = 1.56, t 5 = 1.84, t 6 = 4.01 and t 7 = 4.15 Aikaväli oli T = t n t 1 = 4.15 0.46 = 3.39 Ei informaatiota aikavälin ulkopuolelta Suurin testattava periodi P < P max < T = 3.39 Ei informaatiota aikapisteiden välisistä aukoista Pienin testattava periodi P > P min > T n = 0.53 Valittu alaraja: 0.53 < P min = 0.8 f max = 1.25 Valittu yläraja: 3.39 > P max = 3.0 f min = 0.33 Testattavat frekvenssit f välillä f min = 0.33 ja f max = 1.25 Riippumattomien testattavien frekvenssien välinen etäisyys f 0 = 1 T = 0.271 Riippumattominen testattavien frekvenssien määrä on m = fmax f min f = 1.25 0.33 0 0.271 = 3.38 Määrän tulee olla positiivinen kokonaisluku m = INT[3.38] = 3 INT[x] poistaa x:n desimaalit Alarajan f min = 0.33 ja ylärajan f max = 1.25 välissä on m = 3 riippumatonta testattavaa frekvenssiä

Testing many periods Q = P(z > z 0) = e z 0 is the probability that z exceeds the fixed value z 0 in one m = 1 test 1 Q is the probability that z does not exceed the fixed value z 0 in one m = 1 test (1 Q) m is the probability that z does not exceed the fixed value z 0 in m > 1 tests Q = 1 (1 Q) m is the probability that z exceeds the fixed value z 0 at least once in m > 1 tests t = [0.46, 0.48, 1.54, 1.56, 1.84, 4.01, 4.15], n = 7, T = 3.69 f min = 0.33, f max = 1.25, f 0 = 1/ T = 0.271, m = 3 Periodogram values z(f j) marked with Overfilling factor OFAC=10 Denser frequency step f step = f 0/OFAC = 0.0271 Periodogram with this denser step = Periodogram with even more denser step = continuous line Maximum value z 0 = 5.362 = highest periodogram peak gives Q = 1 (1 e z 0 ) m = 1 (1 e 5.362 ) 3 = 0.016 Highest peak: f = 0.821 P = 1.218 is not exactly 1.2 (I simulated an error) j f j = f min + j f 0 z(f j) 0 0.333 1.976 1 0.604 0.729 2 0.875 4.325 3 1.146 2.003 4 1.417 0.695

Monen periodin testaus Q = P(z > z 0) = e z 0 on todennäköisyys, että z ylittää valitun arvon z 0 yhdessä m = 1 testissä 1 Q on todennäköisyys, että z ei ylitä valittua arvoa z 0 yhdessä m = 1 testissä (1 Q) m on todennäköisyys, että z ei ylitä kertaakaan valittua arvoa z 0 m > 1 testissä Q = 1 (1 Q) m on todennäköisyys, että z ylittää valitun arvon z 0 ainakin kerran m > 1 testissä t = [0.46, 0.48, 1.54, 1.56, 1.84, 4.01, 4.15], n = 7, T = 3.69 f min = 0.33, f max = 1.25, f 0 = 1/ T = 0.271, m = 3 Periodogrammin arvot z(f j) merkitty Ylitäyttö muuttuja OFAC=10 Tiheämpi frekvenssien väli f step = f 0/OFAC = 0.0271 Periodogrammi tällä tiheämmällä välillä = Periodogrammi vielä tiheämmällä välillä = jatkuva viiva Maksimi arvo z 0 = 5.362 = korkein periodogrammin huippu antaa Q = 1 (1 e z 0 ) m = 1 (1 e 5.362 ) 3 = 0.016 Korkein huippu: f = 0.821 P = 1.218 ei ole tasan 1.2 (Simuloin virheen!) j f j = f min + j f 0 z(f j) 0 0.333 1.976 1 0.604 0.729 2 0.875 4.325 3 1.146 2.003 4 1.417 0.695

Rayleigh test in our paper Rayleigh test in our paper n = Data = Time points t 1 t 2... t n H 0 : The n phases φ 1, φ 2,... and φ n are a sample drawn from an even (=random) distribution between 0 and 1. γ = 0.001 = Preassigned significance level for rejecting H 0 is fixed = Probability of falsely rejecting H 0 is one 1 out of 1000 f min and f max = Tested frequency interval is selected f 0 = 1/ T = 1/(t n t 1 ) = Distance between independent frequencies is solved m = INT[(f max f min )/f 0 ] = Number of independent frequencies is solved f j = Tested frequency values are computed with a step of f step = f 0 /OFAC = f 0 /100 φ i = FRAC[f j t i ] = Phases solved with each tested f j. Phase angles are Θ i = 2πφ i z(f j ) = ( i=n i=1 cos Θ i) 2 +( i=n i=1 sin Θ i) 2 = Periodogram values solved for each tested f n j z 0 = max[z(f best )] = Highest peak of the periodogram is at the frequency f best Q = 1 (1 e z 0) m = Critical level for this frequency f best Reject H 0, if Q < γ = 0.001. If H 0 is rejected P best = 1/f best period detected

Rayleigh testi paperissamme Rayleigh testi paperissamme n = Data = Aikapisteet t 1 t 2... t n H 0 : n vaiheet φ 1, φ 2,... ja φ n ovat otos tasajakaumasta (=satunnainen) välillä 0 ja 1. γ = 0.001 = Ennalta kiinnitetty merkittävyys taso H 0 :n hylkäämiseksi = Todennäköisyys virheellisesti hylätä H 0 on yksi tuhannesta f min and f max = Testattava frekvenssiväli valittu f 0 = 1/ T = 1/(t n t 1 ) = Etäisyys riippumattomien frekvenssien välillä ratkaistu m = INT[(f max f min )/f 0 ] = Riippumattomien frekvenssien määrä ratkaistu f j = Testattavien frekvenssien välit ovat f step = f 0 /OFAC = f 0 /100 φ i = FRAC[f j t i ] = Lasketaan vaiheet testattavalla f j. Vaihekulmat ovat Θ i = 2πφ i z(f j ) = ( i=n i=1 cos Θ i) 2 +( i=n i=1 sin Θ i) 2 = Periodogrammin arvo ratkaistaan jokaisella f n j z 0 = max[z(f best )] = Korkein periodogrammin huippu on frekvenssin f best kohdalla Q = 1 (1 e z 0 ) m = on tämän frekvenssin f best merkittävyys H 0 hylätään, jos Q < γ = 0.001. Jos H 0 hylätään Periodi P best = 1/f best löydetty

Data 3200 years ago in Egypt Calendars of Lucky and Unlucky days Prognoses for days or parts of a day Prognosis was good or bad Papyrus Cairo 86637 contains the best preserved Cairo Calendar (CC) Three progonoses for each day Descriptive text for each prognosis One papyrus page. Holes eaten by ants. Egyptian year had 365 days 12 months (M) of 30 days (D) 3 seasons of 4 months: Akhet (flood), Peret (winter) and Shemu (harvest) 5 additional epagomenal days Table on the next page: all CC prognoses Notation (Leitz 1994): G =Gut=Good S =Schlecht=bad = damaged = No prognosis

Data 3200 vuotta sitten Egyptissä Hyvien ja Huonojen päivien Kalenteri Ennuste päivälle tai osalle päivää Ennuste oli hyvä tai huono Papyrus Cairo 86637 sisältää parhaiten säilyneen kalenterin ( Cairo Calendar = CC) Kolme ennustetta joka päivälle Kuvaava teksti joka ennusteelle Papyrus sivu: Muurahaiset syöneet reiät. Egyptiläinen vuosi oli 365 päivää 12 kuukautta (M). Jokaisessa 30 päivää (D) 3 vuodenaikaa. Jokaisessa 4 kuukautta: Akhet (tulva), Peret (talvi) ja Shemu (sadonkorjuu) 5 ylimääräistä epagomenaalista päivää Seuraava sivu: kaikki CC ennusteet Merkinnät (Leitz 1994): G =Gut=Hyvä S =Schlecht=Huono = Vahingoittunut = Ei ennustetta

Akhet Akhet Akhet Akhet Peret Peret Peret Peret Shemu Shemu Shemu Shemu I II III IV I II III IV I II III IV D M = 1 M = 2 M = 3 M = 4 M = 5 M = 6 M = 7 M = 8 M = 9 M = 10 M = 11 M = 12 1 GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG 2 GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG 3 GGS GGG GGG SSS GGG SSS GGG GGG SSS SSS 4 GGS SGS GGG GGG GGG GSS GGG SSS SSS GGG SSG 5 GGG SSS GGG GSS GGG GGG SSS GGG SSS GGG 6 SSG GGG GGG SSS GGG GGG SSS GGG SSS 7 GGG SSS GGG SSS SSS GGG SSS GGG GGG SSS SSS 8 GGS GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG SSS GGG 9 GGG GGG SSS GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG 10 GGG GGG GGG GGG SSS SSS SSS GGG SSS GGG 11 SSS GGG GGG GGG SSS GGG GGG SSS SSS SSS SSS 12 SSS SSS SSS GGG GGG SSS GGG GGG 13 GSS GGG SSS GGG GGG SSS GGG SSS GGG GGG 14 GGG SSS GGG SSS SGG GGG SSS GGG 15 GSS GSS SSS GGG SSS GGG SSS GGG SSS 16 SSS GGG GGG GGG GGG SSS GGG GGG GGG SSS GGG 17 SSS GGG SSS GGG SSS SSS GGG SSS GGG 18 GGG SSS SSS SSS GGG SSS GGG GGG SSS SSS SSG 19 GGG GGG SSS SSS SSS GSS GGG GGG SSS SSS GGG 20 SSS SSS SSS SSS SSS SSS SSS SSS SSS SSS 21 GGG SSG GGG SSG GGG SSS SSG GGG GGG 22 SSS GGG GGG GGG SSS SSS GGG SSS SSS GGG 23 SSS SSS GGS GGG GGG GGG GGG GGG SSS SSS 24 GGG SSS GGG GGG SSS SSS SSS GGG GGG GGG 25 GGS SSS GGG GGG GGG SSS GGG GGG GSG GGG 26 SSS SSS GGG GGG SSS SSS GGG SSS GGG GSG 27 GGG SSS GGG GGS GGG SSS SSS SSS SSS SSS 28 GGG GGG GGG SSS GGG GGG GGG GGG GGG SSS GGG 29 SGG GGG GGG SSS GGG SSS GGG GGG GGG GGG GGG GGG 30 GGG GGG GGG GGG GGG SSS GGG GGG GGG GGG GGG GGG

Data: CC to time points I Akhet 25 had GGS 1st and 2nd part were good 3rd part of this day was bad Egyptian day began from dawn 1st part: morning (t 1) 2nd part: midday or midday and evening (t 2) 3rd part: evening or night (t 3) Problem 1: What daytime length? Changes t 1, t 2 and t 3 values Problem 2: Where within a day? Changes t 1, t 2 and t 3 values Egyptian days N E = 30(M 1) + D Gregorian days (N G = 1 is 1st of January) { NE + N N G = 0 1, N E 366 N 0 N E + N 0 366, N E > 366 N 0, Data: CC to time points N 0 is a transformation constant We tested N 0 = 62, 187, 307 Separation of 120 days = 4 months Daytime length depends on declination of the Sun (δ ) and geographical latitude (φ) φ = 26. o 7 is constant in Middle Egypt Declination is the angle between the solar rays and the plane of the Earth s equator. δ is not constant. Depends on N G δ = δ (N G) 23.45 o cos [ 360o (N G + 10) ] 365.25 Daytime in hours for Gregorian day N G is l D = l D(N G) = A acos{ tan[φ] tan[δ (N G)]} Constant A = 24/180 o transforms degrees into hours Daytime and nighttime length solved Problem: Where do we put t 1, t 2 and t 3?

Data: CC aikapisteiksi I Akhet 25 ennuste GGS 1. osa ja 2. osa olivat hyviä 3. osa päivästä oli huono Egyptiläinen päivä alkoi auringon noususta 1. osa: aamu (t 1) 2. osa: keskipäivä tai keskipäivä ja ilta (t 2) 3. osa: ilta tai yö (t 3) Ongelma 1: Mikä oli päivän pituus? Muuttaa t 1, t 2 ja t 3 arvoja Ongelma 2: Mitkä kohdat vuorokaudesta? Muuttaa t 1, t 2 and t 3 arvoja Egyptiläinen päivä N E = 30(M 1) + D Gregoriaaninen päivä (N G=1 =Tammikuu 1) { NE + N N G = 0 1, N E 366 N 0 N E + N 0 366, N E > 366 N 0, Data: CC aikapisteiksi N 0 on muunnosvakio Me testasimme N 0 = 62, 187, 307 Aikaerot 120 päivää = 4 kuukautta Päivä pituus riippuu auringon deklinaatiosta (δ ) ja paikallisesta leveysasteesta (φ) φ = 26. o 7 on vakio Keski Egyptissä Deklinaatio on auringon säteiden ja maan ekvaattorin tason välinen kulma. δ ei vakio. Riippuu N G:stä. δ = δ (N G) 23.45 o cos [ 360o (N G + 10) ] 365.25 Gregoriaanisen päivän N G pituus tunneissa l D = l D(N G) = A acos{ tan[φ] tan[δ (N G)]} Vakio A = 24/180 o muuntaa asteet tunneiksi Päivän ja yön pituudet ratkaistu Ongelma: Mihin me laitamme t 1, t 2 ja t 3?

Data: First day division Three time points during daytime (a) t 1(N E) = (N E 1) + 1 [ ] ld(n G) 24 6 t 2(N E) = (N E 1) + 1 [ ] 3ld(N G) 24 6 t 3(N E) = (N E 1) + 1 [ ] 5ld(N G) 24 6 Data: Second day division Two daytime points and one nighttime point (b) t 1(N E) = (N E 1) + 1 [ ] ld(n G) 24 4 t 2(N E) = (N E 1) + 1 [ ] 3ld(N G) 24 4 t 3(N E) = (N E 1) + 1 [ 12 + ld(ng) ] 24 2

Data: 1. Päiväjako Kolme aikapistettä päivällä (a) t 1(N E) = (N E 1) + 1 24 t 2(N E) = (N E 1) + 1 24 t 3(N E) = (N E 1) + 1 24 [ ] ld(n G) 6 [ ] 3ld(N G) 6 [ ] 5ld(N G) 6 Data: 2. Päiväjako Kaksi aikapistettä päivällä ja yksi aikapiste yöllä (b) t 1(N E) = (N E 1) + 1 [ ] ld(n G) 24 4 t 2(N E) = (N E 1) + 1 [ ] 3ld(N G) 24 4 t 3(N E) = (N E 1) + 1 [ 12 + ld(ng) ] 24 2

Data: Prognoses removed D = 1 has 12 times GGG P = 30 days D = 20 has 8 times SSS P = 30 days These GGG or SSS prognoses removed from some samples Data: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 = 24 samples Z 1 = 3 Transformations between Egyptian and Gregorian year (N 0 = 62, 187 or 307) Z 2 = 2 Day divisions (3 daytime points or 2 daytime and 1 nightime point) Z 3 = 2 Analysed prognoses (G or S) Z 4 = 2 Removed GGG at D = 1 or SSS at D = 20 Data: Why 24 samples? Do period analysis results depend on Placing of seasons within year (Z 1) Placing of time points within day (Z 2) Selected or removed prognoses (Z 3 or Z 4) Selected Samples of Time Points (SSTP) SSTP N 0 Div X Remove n T 1 62 (a) G none 564 359.3 2 62 (a) G D = 1 528 358.3 3 187 (a) G none 564 359.4 4 187 (a) G D = 1 528 358.4 5 307 (a) G none 564 359.3 6 307 (a) G D = 1 528 358.3 7 62 (b) G none 564 359.6 8 62 (b) G D = 1 528 358.6 9 187 (b) G none 564 359.6 10 187 (b) G D = 1 528 358.6 11 307 (b) G none 564 359.6 12 307 (b) G D = 1 528 358.6 13 62 (a) S none 351 354.0 14 62 (a) S D = 20 321 354.0 15 187 (a) S none 351 354.0 16 187 (a) S D = 20 321 354.0 17 307 (a) S none 351 354.0 18 307 (a) S D = 20 321 354.0 19 62 (b) S none 351 354.0 20 62 (b) S D = 20 321 354.0 21 187 (b) S none 351 354.0 22 187 (b) S D = 20 321 354.0 23 307 (b) S none 351 354.0 24 307 (b) S D = 20 321 354.0

Data: Poistetut ennusteet D = 1 oli 12 kertaa GGG P = 30 päivää D = 20 oli 8 kertaa SSS P = 30 päivää Nämä GGG tai SSS ennusteet poistettu joistakin otoksista Data: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 = 24 otosta Z 1 = 3 Muunnos Egyptiläisestä Gregoriaaniseen vuoteen (N 0 = 62, 187 or 307) Z 2 = 2 Päiväjako (3 päivällä tai 2 päivällä ja 1 yöllä) Z 3 = 2 Analysoidut ennusteet (G tai S) Z 4 = 2 Poistettu GGG, kun D = 1. Poistettu SSS, kun D = 20 Data: Miksi 24 otosta? Vaikuttavat periodianalyysin tuloksiin Vuodenaikojen paikka vuoden sisällä (Z 1) Aikapisteiden paikka päivän sisällä (Z 2) Valitut tai poistetut ennusteet (Z 3 or Z 4) Selected Samples of Time Points (SSTP) (Kääntäminen tarpeetonta) SSTP N 0 Div X Remove n T 1 62 (a) G none 564 359.3 2 62 (a) G D = 1 528 358.3 3 187 (a) G none 564 359.4 4 187 (a) G D = 1 528 358.4 5 307 (a) G none 564 359.3 6 307 (a) G D = 1 528 358.3 7 62 (b) G none 564 359.6 8 62 (b) G D = 1 528 358.6 9 187 (b) G none 564 359.6 10 187 (b) G D = 1 528 358.6 11 307 (b) G none 564 359.6 12 307 (b) G D = 1 528 358.6 13 62 (a) S none 351 354.0 14 62 (a) S D = 20 321 354.0 15 187 (a) S none 351 354.0 16 187 (a) S D = 20 321 354.0 17 307 (a) S none 351 354.0 18 307 (a) S D = 20 321 354.0 19 62 (b) S none 351 354.0 20 62 (b) S D = 20 321 354.0 21 187 (b) S none 351 354.0 22 187 (b) S D = 20 321 354.0 23 307 (b) S none 351 354.0 24 307 (b) S D = 20 321 354.0

Analysis Rayleigh test applied to these 24 samples of time points t 1 < t 2 <... < t n T = t n t 1 360 P max = 90 days Data of 4 cycles, or more, with all tested P 3 or 0 time points each day P min = 1.5 days Tested P longer than typical gaps in data P max = 90 d f min = 1/90 d 1 = 0.011 d 1 P min = 1.5 d f max = 1/1.5 d 1 = 0.666 d 1 Tested frequencies f j between 0.011 d 1 and 0.666 d 1. Compute phase angles Θ i = 2πf jt i. z(f j) = ( i=n i=1 cos Θ i )2 +( i=n i=1 sin Θ i )2 n = Periodogram values solved for each tested f j Highest peak at z best = z(f best) Q = 1 (1 e z best ) m is the probability that z(f ) exceeds this fixed value z best m = Number of independent frequencies Reject hypothesis H 0 ( Data are noise ), if Q < γ = 0.001 If H 0 rejected Periodicity with P best = 1/f best If H 0 not rejected No periodicity Same results for all transformations from Egyptian to Gregorian days (seasons have no effect) Same results for both day divisions (shifting time points within days has no effect) Periodicity detected only in G prognoses

Analyysi Rayleigh:n testi jokaiselle 24 otokselle aikapisteitä t 1 < t 2 <... < t n T = t n t 1 360 P max = 90 päivää Kaikille testatuilla P vähintään 4 kierrosta dataa 3 tai 0 aikapistettä päivässä P min = 1.5 päivää Testatut P arvot pidempiä kuin aikapisteiden väliset etäisyydet P max = 90 d f min = 1/90 d 1 = 0.011 d 1 P min = 1.5 d f max = 1/1.5 d 1 = 0.666 d 1 Testattavat frekvenssit f j välillä 0.011 d 1 ja 0.666 d 1. Laske vaihekulmat Θ i = 2πf jt i. z(f j) = ( i=n i=1 cos Θ i )2 +( i=n i=1 sin Θ i )2 n = Periodogrammin arvot ratkaistaan jokaiselle f j Korkein huippu on z best = z(f best) Q = 1 (1 e z best ) m on todennäköisyys, että z(f ) ylittää tämän valitun arvon z best m = Riippumattomien frekvenssien määrä Hypoteesi H 0 ( Data on kohinaa ) hylätään, jos Q < γ = 0.001 Jos H 0 hylätään Periodisuutta arvolla P best = 1/f best. Jos H 0 ei hylätä Ei periodisuutta Samat tulokset kaikille muunnoksille Egyptiläisestä Gregoriaaniseen vuoteen (vuodenajoilla ei merkitystä) Samat tulokset molemmille päiväjaoille (aikapisteiden paikoilla päivän sisällä ei merkitystä) Periodisuutta vain G ennusteissa

Analysis: SSTP=1 All G prognoses & No days removed (a) Peaks at 29.4 and 2.85 days We simulated noise with same t i What level z 0 expected? P(z < z 0) = 1 e z 0 = 1/2 z 0 = 0.693 (dotted line) (b) Noise periodogram = z (f ) z (f ) deviates from 0.693 z (f ) shows peaks at low f Statistics break down Q estimates unreliable Normalization: z N(f ) = z(f )/z (f ) (c) z N(f ) peaks at 29.6 days (shifted) and 2.85 days (not shifted) Had to solve simulated Q 29.6 and 2.85 days best Q < γ = 0.001 (7.5 and 1.5 days ) SSTP=3, 5, 7, 9, 11: Same results!

Analyysi: SSTP=1 Kaikki G ennusteet & Ei poistettuja (a) Huiput 29.4 ja 2.85 päivää Simuloimme kohinaa samoille t i Mikä on odotettu z 0 taso? P(z < z 0) = 1 e z 0 = 1/2 z 0 = 0.693 (piste viiva) (b) Kohinan periodogrammi = z (f ) z (f ) poikkeaa 0.693 tasosta z (f ) huippuja pienillä f Statistiikka hajoaa Q arviot epäluotettavia Normalisaatio: z N(f ) = z(f )/z (f ) (c) z N(f ) huiput 29.6 päivää (siirtynyt) ja 2.85 päivää (ei siirtynyt) Oli ratkaistava Q simuloimalla 29.6 and 2.85 päivää parhaat Q < γ = 0.001 (7.5 ja 1.5 päivää ) SSTP=3, 5, 7, 9, 11: Samat tulokset!

Analysis: SSTP=2 G prognoses & D = 1 removed (a) Peaks of z(f ) at 2.85 and 64.8 days 29.6 days period has vanished (b) z (f ) deviates from 0.693 New z (f ) peaks at higher f Statistics break down again (c) z N(f ) peaks at 2.85 and 1.54 (new period) days Unreal 64.8 days period vanished Only 2.85 and 1.54 days fulfilled Q < γ = 0.001 1.54 days was also an unreal period SSTP=4, 6, 8, 10, 12: Same results! No G removed: Best 29.6 ± 0.02 Moon: 29.53 days synodic period G of D = 1 removed: Best 2.850 ± 0.002 SSTP=13-24 (S): No periodicity!

Analyysi: SSTP=2 G prognoses & D = 1 poistettu (a) Huiput z(f ) 2.85 ja 64.8 päivää 29.6 päivän periodi on kadonnut (b) z (f ) poikkeaa 0.693 tasosta Uusia z (f ) huippuja suurilla f Statististiikka hajoaa jälleen (c) z N(f ) huiput 2.85 ja 1.54 päivää (uusi periodi) Epätodellinen 64.8 päivää kadonnut Vain 2.85 ja 1.54 päivää toteuttivat Q < γ = 0.001 1.54 päivää myös epätodellinen SSTP=4, 6, 8, 10, 12: Samat tulokset! Ei G poistoja: paras 29.6 ± 0.02 Kuu: 29.53 päivän synodinen periodi G poistettu D = 1: paras 2.850±0.002 SSTP=13-24 (S): Ei periodisuutta!

Astrophysics: Mira What is P = 2.850 ± 0.002 days with 0.000051 Q 0.000160? What is a variable star? (planets move!) 1596: David Fabricius (German, 1564 1617) discovered 1st periodic variable star: Mira 1638: Johannes Holwarda (Friisian, 1618 1651) Appears and disappears in 11 months Variable star: expands and contracts Astrophysics: Algol 1667: Geminiano Montanari (Italian, 1633 1687) discovered 2nd periodic variable star: Algol (β Per) Montanari did not notice periodicity Eclipsing binary: Two stars rotating around a common center of mass Line of sight and orbital plane nearly coincide

Astrofysiikka: Mira Mikä on P = 2.850 ± 0.002 päivää ja saavuttaa 0.000051 Q 0.000160? Mikä on muuttuva tähti? (planeetta liikkuu!) 1596: David Fabricius (Saksalainen, 1564 1617) löysi 1. periodisesti muuttuvan tähden: Mira 1638: Johannes Holwarda (Friisiläinen, 1618 1651) Ilmestyy ja katoaa 11 kuukaudessa Muuttuva tähti: laajenee ja kutistuu Astrofysiikka: Algol 1667: Geminiano Montanari (Italialainen, 1633 1687) löysi 2. periodisen muuttuvan tähden: Algol (β Per) Montanari ei huomannut periodisuutta Pimennysmuuttuja: Kaksi tähteä kiertää yhteistä massakeskipistettä Näkösäde lähes kiertotason suuntainen

Astrophysics: Goodricke John Goodricke (English, 1764 1786) Amateur astronomer Deaf, mute and died at the age of 21 1783: discovered 2.867 days period in eclipses of Algol with bare eyes Copley Medal of the Royal Society of London Hypothesis: eclipse or spots! Astrophysics: Algol A B M = mass of the Sun Algol A: main sequence, 3.7M, brighter Algol B: giant, 0.8M, dimmer Algol B bigger than Algol A Light curve: two minima No measurable period increase of Algol in two centuries Small irregular alternating period changes Reason for 0.017 ± 0.002 day increase?

Astrofysiikka: Goodricke John Goodricke (Englanti, 1764 1786) Amatööri astronomi Kuuro, mykkä ja kuoli 21 vuotiaana 1783: määritti Algolin 2.867 päivän periodin paljain silmin Copleyn Mitali (the Royal Society of London) Hypoteesi: pimennys tai pilkkuja Astrofysiikka: Algol A B M = Auringon massa Algol A: pääsarja, 3.7M, kirkkaampi Algol B: jättiläinen, 0.8M, himmeämpi Algol B suurempi kuin Algol A Valokäyrä: kaksi minimiä 230 vuotta: Ei mitattavaa periodin kasvua Pieniä epäsäännöllisiä muutoksia ylös ja alas päin Syy 0.017 ± 0.002 päivän kasvuun?

Astrophysics: Goodricke Astrophysics: Goodricke Compared magnitudes Human eye: accuracy 0.1 magnitudes Made notes Solved epochs of minima Epochs were multiples of 2.867 days How did Goodricke discover the period? Magnitudes: m increases brightness decreases Goes Stays Name m m below below Algol 2.1 1.3 α Per 1.8 never never γ And 2.3 2 hours 6 hours ζ Per 2.8 3 hours 4 hours ɛ Per 2.9 0.1 3 hours 4 hours γ Per 2.9 3 hours 4 hours β Tri 3.0 3 hours 4 hours δ Per 3.0 3 hours 4 hours

Astrofysiikka: Goodricke Astrofysiikka: Goodricke Vertasi magnitudeja Silmän tarkkuus 0.1 magnitudia Teki muistiinpanoja Ratkaisi minimien ajanhetket Ajanhetket 2.867 päivän monikertoja Miten Goodricke löysi periodin? Magnitudit: m kasvaa kirkkaus laskee Menee Pysyy Nimi m m alle alla Algol 2.1 1.3 α Per 1.8 ei ei γ And 2.3 2 tuntia 6 tuntia ζ Per 2.8 3 tuntia 4 tuntia ɛ Per 2.9 0.1 3 tuntia 4 tuntia γ Per 2.9 3 tuntia 4 tuntia β Tri 3.0 3 tuntia 4 tuntia δ Per 3.0 3 tuntia 4 tuntia

Astrophysics: Roche lobe Region of space: orbiting material can not escape the gravitational pull of a star Outside lobe: material begins to escape Astrophysics: Algol paradox Law: More massive stars evolve faster Less massive Algol B has evolved to a giant More massive Algol A is still in main sequence, i.e. burning hydrogen? Astrophysics: Mass transfer Formation: Algol B (m B = 2.81M ) more massive than Algol A (m A = 2.50M ) Algol B evolved to a giant and filled its Roche lobe Material overflowed to Algol A, which became more massive Currently: m A = 3.7M and m B = 0.8M Mass transfer from less to more massive member should cause period increase P 1 = 2. d 850 dated to t 1 = 1224 B.C. P 2 = 2. d 867328 dated to t 2 = 2012 A.D. Ṗ/P = [(P 2 P 1)/(t 2 t 1)]/P Ṗ/P = [3 ṁ B (m A m B)]/(m Am B) Our result was ṁ B = 2.2x10 7 M per year. An evolutionary model by Sarna (1993) predicted ṁ B = 2.9x10 7 M per year Conclusion: Mass transfer could explain period increase in past three millennia

Astrofysiiikka: Rochen pinta Alue avaruudessa: materia ei voi paeta tähden painovoimakentästä Alueen ulkopuolella: materia alkaa karata Astrofysiikka: Algol paradoksi Laki: Painavammat tähdet kehittyvät nopeammin Kevyempi Algol B kehittynyt jättiläiseksi Painavampi Algol A on yhä pääsarjassa, eli polttaa vetyä? Astrofysiikka: Massavirtaus Syntyhetki: Algol B (m B = 2.81M ) massiivisempi kuin Algol A (m A = 2.50M ) Algol B kehittyi jättiläiseksi täyttäen Roche pintansa Materiaa alkoi virrata Algol A:han, josta tuli massiivisempi Nykyhetki: m A = 3.7M ja m B = 0.8M Massavirtauksen kevyestä painavampaan tähteen pitäisi kasvattaa periodia P 1 = 2. d 850 ajanhetkelle t 1 = 1224 ekr P 2 = 2. d 867328 ajanhetkelle t 2 = 2012 jkr Ṗ/P = [(P 2 P 1)/(t 2 t 1)]/P Ṗ/P = [3 ṁ B (m A m B)]/(m Am B) Meidän tuloksemme oli ṁ B = 2.2x10 7 M per vuosi. Sarnan (1993) evoluutiomalli ennusti: ṁ B = 2.9x10 7 M per vuosi Johtopäätös: Massavirtaus selittäisi periodin kasvun kolmessa vuosituhannessa

Astrophysics: Mass transfer Artist s view Radius of the dimmer Algol B larger Radius of the brighter Algol A smaller Astrofysiikka: Algol C Algol C changes orbital plane of Algol A B system Eclipses not always observed Φ = pronounced phi (capital) Φ = Angle between orbital planes of Algol A B and Algol AB C systems Older Φ No eclipses in ancient Egypt Φ = 95 o ± 3 o (Zavala, 2010) or 96 o ± 5 o (Csizmadia 2009) Eclipses or No eclipses? Astrophysics: Algol C Triple system (1888) Only three members (1970) Algol A B system: 2.867 days Algol AB C system: 680 days Baron et al. (May 3rd, 2012) Φ = 90 o.2 ± 0 o.32 Certainly eclipses in ancient Egypt!

Astrofysiikka: Massavirtaus Taiteilijan kuvaus Himmeämmän Algol B:n säde suurempi Kirkkaamman Algol A:n säde pienempi Astrophysics: Algol C Algol C kääntää Algol A B systeemin ratatasoa Pimennyksiä ei aina havaita Φ = lausutaan phi (Iso kirjain) Φ = Ratatasojen välinen kulma Algol A B ja Algol AB C systeemeillä Vanhat Φ Ei pimennyksiä Egyptissä 1224 ekr Φ = 95 o ± 3 o (Zavala, 2010) or 96 o ± 5 o (Csizmadia 2009) Kyllä tai ei pimennyksiä? Astrofysiikka: Algol C Kolmoistähti systeemi (1888) Vain kolme tähteä (1970) Algol A B systeemi: 2.867 päivää Algol AB C systeemi: 680 päivää Baron et al. (May 3rd, 2012) Φ = 90 o.2 ± 0 o.32 Varmasti pimennyksiä Egyptissä 1224 ekr!

Astronomy: Bare eys Problem: What is periodic in the sky and can be detected with bare eyes? Solution: Sun, Moon, planets and stars P > 90 days: Sun and planets P < 90 days: Moon (29.6 days detected!) and some variable stars Problem: Which one of over 40 000 known variable stars? Solution: Sequence of ten selection criteria Human eye limit: magnitude m = 6 m increases brightness decreases C 1: The maximum brightness of the variable is m max 4.0. 237 candidates Human eye limit: 0. m 1 differences between stars C 2: The amplitude of the variable is m > 0.4. 109 candidates C 3: The brightness of the variable has a known period P. 30 candidates C 4: The period of the variable is shorter than 90 days. 13 candidates

Astronomia: Paljain silmin Ongelma: Mitä periodista voi havaita taivaalta paljain silmin? Ratkaisu: Aurinko, Kuu, planeetat ja tähdet P > 90 päivää: Aurinko ja planeetat P < 90 päivää: Kuu (29.6 päivää havaittu!) ja joitakin muuttuvia tähtiä Ongelma: Mitkä 40 000 tunnetusta muuttuvasta tähdestä? Ratkaisu: Läpikäydään kymmenen valintakriteeriä Ihmisen silmä: rajamagnitudi m = 6 m kasvaa kirkkaus pienenee C 1: Muuttuvan tähden maksimikirkkaus on m max 4.0. 237 kandidaattia Ihmisen silmä: havaitsee 0. m 1 kirkkauserot tähtien välillä C 2: Muuttuvan tähden kirkkausvaihtelun amplitudi m > 0.4. 109 kandidaattia C 3: Kirkkauden vaihtelun periodi P tunnetaan. 30 kandidaattia C 4: Periodi on alle 90 päivää. 13 kandidaattia

Astronomy C 5: The variable was not below, or too close to, the horizon of Middle Egypt in 1224 B.C. 10 candidates C 6: The brightness of the variable can be predicted. 7 candidates 4 cepheids: ζ Gem, l Car, η Aql and δ Cep Cepheids pulsate: expand and contract Periodic light curve 3 eclipsing binaries: Algol, λ Tau, β Lyr Same scale: Algol brightest & largest amplitude

Astronomia C 5: Muuttuja ei ollut horisontin alapuolella, tai liian lähellä horisonttia, Egyptissä 1224 ekr 10 kandidaattia C 6: Muuttujan kirkkauden voi ennustaa. 7 kandidaattia 4 kefeidiä: ζ Gem, l Car, η Aql and δ Cep Kefeidit laajenevat ja kutistuvat Periodinen valokäyrä 3 pimennysmuuttujaa: Algol, λ Tau, β Lyr Sama skaala: Algol kirkkain & vaihtelu suurinta

Astronomy C 7: Variability can be detected during a single night. 12 hours night Vertical lines denote brightness changes ζ Gem and l Car eliminated? Algol and λ Tau largest changes Same scale: Algol eclipse lasts 10 hours Sometimes observed during a single night λ Tau eclipse lasts 14 hours Never observed during a single night

Astronomia C 7: Kirkkauden vaihtelu havaittavissa yhdessä yössä. 12 tunnin yöt Viivat osoittavat kirkkauden vaihtelun ζ Gem and l Car eliminoitu? Algol ja λ Tau suurin vaihtelu Sama skaala: Algolin pimennys kestää 10 tuntia Joskus havaittavissa yhtenä yönä λ Tau pimennys kestää 14 tuntia Ei koskaan havaittavissa yhtenä yönä

Astronomy Not a single night Many nights? (Mira) C 8: Variability causes a detectable change in the pattern of the constellation. Objects in the field Brighter stars Comparison stars Other variable stars Altitude Extinction Light curve period Remaining objects: Algol, λ Tau, perhaps β Lyr C 1,..., C 8 fulfilled Variability detected Problem: Period is still unknown

Astronomia Ei yhdessä yössä Usea yö? (Mira) C 8: Kirkkausvaihtelu muuttaa havaittavasti tähtikuviota. Kohteet kentässä Kirkkaammat tähdet Vertailu tähdet Muut muuttuvat tähdet Altitudi Ekstinktio Valokäyrän periodi Viimeiset kandidaatit: Algol, λ Tau, ehkä β Lyr C 1,..., C 8 toteutuvat Muuttuja löydetty Ongelma: Periodi on vielä tuntematon

Astronomy C 9: Period of variability could be determined from naked eye observations in 1224 B.C. Hipparcus (190-125 B.C): error of 1. m 0 Ptolemy (100-125 A.D.): error from 0. m 4 to 1. m 0 Astrolabe Differential photometry Time series Measurements m(t 1), m(t 2),... Cartesian coordinates or Modern time series analysis ζ Gem, l Car, η Aql, δ Cep or β Lyr periods Impossible Eclipse epochs Series of time points t 1, t 2,... regular multiples λ Tau and Algol periods Possible C 10: The period of variability was determined first in the modern history of Astronomy. Algol (2nd: Montanari, 1669; Goodricke 1783) λ Tau (>18th: Baxendell, 1848) C 1,..., C 10 criteria Algol is the best candidate Detective story: Search from over 40 000 variable stars completed!