Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty 4 / 46 Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Miten lineaarinen yhtälöryhmä 8 >< a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 >: a k1 x 1 + a k x + + a kn x n = b k voidaan kirjoittaa muodossa Ax = b, missä A on matriisi, x ja b ovat vektoreita? (Luennolla) 5 / 46
Mitä matriisit oikeastaan ovat? Huomautus/määritelmä Olkoon A M(k, n) Tällöin 1 A määrää kuvauksen F A : R n! R k, F A (x) =Ax R k kaikilla x R n Kuvauksen F A määrittelyjoukko on siis R n ja maalijoukko on R k Yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko on siten pisteen b alkukuva kuvauksessa F A eli F 1 A ({b}) ={x Rn F A (x) =Ax = b} 6 / 46 Kuvauksen F A : x 7! Ax injektiivisyys Lause 4 Olkoon A M(k, n) Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä, toisin sanoen (a), (b), (c), (d): (a) Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 (b) Kaikilla b R k yhtälöllä Ax = b on korkeintaan yksi ratkaisu (c) Kuvaus F A : R n! R k, F A (x) =Ax on injektio (d) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä yhtälöryhmälle Ax = b johtaa tilanteeseen 1 0 0 J 0 1 0 0 O 0 1 T 0 0 A 6 7 4 I 5 0 0 N 7 / 46
Kuvauksen F A : x 7! Ax surjektiivisuus Lause 5 Olkoon A M(k, n) Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Kaikilla b R k yhtälöllä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu (b) Kuvaus F A : R n! R k, F A (x) =Ax on surjektio (c) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmässä tapaus () (eli rivi 0 0 c, missä c 6= 0) ei esiinny 8 / 46 KÄÄNTEISMATRIISI 9 / 46
Neliömatriisi, diagonaalimatriisi, identiteettimatriisi Määritelmä 10 Matriisi A on neliömatriisi, jos A M(n, n) jollakin n N Neliömatriisi A =[a ij ] on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 kaikilla i 6= j Diagonaalimatriisi 1 0 0 0 1 0 0 I =[ ij ]= 6 7 M(n, n) 4 5 0 1 on yksikkömatriisi eli identtinen matriisi 0 / 46 Neliömatriisi, diagonaalimatriisi, identiteettimatriisi Huomautus 4 Identiteettimatriisille käytetään myös merkintää ( 1, i = j 0, i 6= j Tässä Lause 6 Olkoon A M(n, n) Tällöin IA = AI = A Todistus HT 1 / 46
Käänteismatriisi Määritelmä 11 Neliömatriisi A M(n, n) on kääntyvä, jos on olemassa B M(n, n), jolle AB = BA = I Tällöin B on A:n käänteismatriisi ja sitä merkitään B = A 1 Kysymys Onko matriisilla A M(n, n) olemassa aina käänteismatriisi? / 46 Käänteismatriisi Lause 7 (a) Jos neliömatriisilla A on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen Erityisesti (A 1 ) 1 = A (b) Jos A, B M(n, n) ovat kääntyviä, niin AB on kääntyvä ja (AB) 1 = B 1 A 1 Lause 8 Olkoon A M(n, n) kääntyvä Tällöin kaikilla b R n yhtälöllä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x = A 1 b / 46
Käänteismatriisi Lause 9 Olkoot A, B M(n, n) Jos AB = I tai BA = I, niin A ja B ovat kääntyviä sekä A = B 1 ja B = A 1 Todistus Sivuutetaan 4 / 46 Gaussin ja Jordanin algoritmi käänteismatriisille Matriisin A M(n, n) kääntyvyys voidaan testata ja A 1 voidaan etsiä Gaussin ja Jordanin menetelmällä seuraavasti: (1) Tarkastellaan laajennettua kerroinmatriisia A I () Sovelletaan Gaussin ja Jordanin menetelmää () Jos A muuttuu I :ksi, on viivan oikealla puolella A 1 Ts I A 1 (jos tämä onnistuu) (4) Jos A ei muutu identiteettimatriisiksi I vaakarivimuunnoksilla, niin A ei ole kääntyvä (Perustelu ) 5 / 46
Transpoosi Määritelmä 1 Olkoon A M(k, n) Matriisin A transpoosi on A T M(n, k), missä (A T ) ij = A ji kaikilla i = 1,,n ja j = 1,,k Huomautus 5 Transpoosin rivit ovat alkuperäisen matriisin sarakkeita ja transpoosin sarakkeet ovat alkuperäisen matriisin rivejä Esimerkki 1 apple 5 1 (a) Jos A = 4 1 6, niin AT = x 1 (b) T 6 x 1 x n = 4 x n 7 5 5 4 41 15 6 6 / 46 Transpoosin ominaisuuksia Lause 10 Olkoot A, B M(k, n), C M(n, l) ja (a) (A T ) T = A (b) (A + B) T = A T + B T (c) ( A) T = A T (d) (AC ) T = C T A T R Tällöin Todistus Harjoitustehtävä 7 / 46
Transpoosin ominaisuuksia Lause 11 Olkoon A M(n, n) kääntyvä Tällöin A T on kääntyvä ja (A T ) 1 =(A 1 ) T Todistus Luennolla 8 / 46 DETERMINANTTI 9 / 46
Determinantti Määritelmä 14 Matriisin A M(n, n) ij:s alimatriisi A ij M(n 1, n 1) saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake Neliömatriisin A M(n, n) determinantti on luku det A = nx ( 1) 1+j A 1j det A 1j, j=1 missä det[a] =a Huomautus 6 Matriisin A M(n, n) sarakevektoreiden virittämän n-ulotteisen suuntaissärmiön tilavuus on det A Erityisesti, 1-ulotteisen suuntaissärmiön eli janan pituus on det a = a 40 / 46 Determinantti Lause 1 Neliömatriisin A determinantille pätee (a) kehittämissääntö i:nen rivin suhteen det A = nx ( 1) i+k a ik det A ik, k=1 (b) kehittämissääntö j:nen sarakkeen suhteen det A = nx ( 1) k+j a kj det A kj k=1 Todistus Sivuutetaan (Helppo uskoa tilavuustulkinnasta) 41 / 46
Determinantti Huomautus 7 Neliömatriisin A determinantti voidaan kehittää minkä tahansa rivin/sarakkeen suhteen Kannattaa usein valita esimerkiksi sarake/rivi missä on paljon nollia 4 / 46 Determinantti Lause 1 Olkoon A M(n, n) Seuraavat ominaisuudet pätevät: (a) Olkoon B matriisi, joka on saatu kertomalla jokin A:n rivi/sarake luvulla R Tällöin det B = det A (b) Jos jokin A:n rivi/sarake on nolla, niin det A = 0 (c) Jos A:ssa on kaksi samaa riviä/saraketta, niin det A = 0 (d) Jos matriisi B saadaan A:sta vaihtamalla kaksi riviä/saraketta keskenään, niin det B = det A (e) Jos B saadaan A:sta lisäämällä riviin/sarakkeeseen i rivi/sarake j 6= i, kerrottuna luvulla R, niin det B = det A 4 / 46
Determinantti Lause 1 (jatkuu) (f) Olkoon A = S 1 S n, missä S j on A:n j:s sarake Jos S j = V 1 + V jollekin j, niin det A = det S 1 V 1 + V S n = det S 1 V 1 S n + det S 1 V S n (g) Vastaavasti olkoon A = 4 R 1 R n R i = W 1 + W jollekin i, niin R 1 5, missä R i on A:n i:s rivi Jos det A = det W 6 1 + W = det W 7 6 1 + det W 7 6 7 4 5 4 5 4 5 R n R n R n R 1 R 1 44 / 46 Determinantti Merkintä Merkintä A S ij (c) tarkoittaa, että i:s sarake kerrotaan luvulla c ja lisätään sarakkeeseen j ja A R ij (c) tarkoittaa vastaavaa rivioperaatiota Esimerkki 15 Esimerkkejä 45 / 46
Determinantti Lause 14 Matriisi A M(n, n) on kääntyvä, jos ja vain jos det A 6= 0 Lause 15 Olkoot A, B M(n, n) Tällöin (a) det(ab) =det A det B, (b) det(a T )=det A, (c) jos A on kääntyvä, niin det(a 1 )= 1 det A 46 / 46