Bayesiläisiä menetelmiä vakuutusyhtiöiden riskienhallinnassa Kuolevuusseminaari 9.4.2013 Anne Puustelli
2 Väitöskirja-artikkelit I. Puustelli, A., Koskinen, L., Luoma, A., 2008. Bayesian modelling of financial guarantee insurance. Insurance: Mathematics and Economics, 43, 245 254. The initial version of the paper was presented in AFIR Colloquium, Stockholm, Sweden, 12. 15.6.2007. II. Luoma, A., Puustelli, A., Koskinen, L., 2013. Bayesian analysis of equity-linked savings contracts with American-style options. Accepted in Quantitative Finance. The initial version of the paper titled Bayesian analysis of participating life insurance contracts with American-style options was presented in AFIR Colloquium, Rome, Italy, 30.9. 3.10.2008. III. Luoma, A., Puustelli, A. Hedging equity-linked life insurance contracts with American-style options in Bayesian framework. The initial version of the paper titled Hedging against volatility, jumps and longevity risk in participating life insurance contracts a Bayesian analysis was presented in AFIR Colloquium, Munich, Germany, 8. 11.9.2009. IV. Luoma, A., Puustelli, A., Koskinen, L., 2012. A Bayesian smoothing spline method for mortality modelling. Annals of Actuarial Science, 2, 284 306. Cambridge University Press.
3 Takausvakuutus 75 % posterioriennusteväli 50 % posterioriennusteväli Havaittu aineisto Mediaaniennuste Eläketurvakeskuksen TyEL takaisinlainojen takausvakuutuksesta muodostuneiden tappioiden jakauma 1974 2004 Mallina regressiomalli, jossa yhtenä selittäjänä edellisen vuoden tappioiden määrä suhteessa kaikkiin takauksiin ja toisena selittäjänä ko. vuoden ennustettu BKT:n kasvunopeus (mallinnettu Hamiltonin mallilla)
4 Säästöhenkivakuutus
5 Bayesiläisyys vakuutustieteessä "Actuaries have been using Bayesian methods in a credibility framework since Whitney (1918), but many have been slow to extend them for use in other natural contexts. Kuolevuusmallinnuksessa Bayesiläistä analyysiä Heligman & Pollard malli Dellaportas, P., Smith, A.F.M. & Stavropoulos, P. (2001). Bayesian analysis of mortality data. Journal of the Royal Statistical Society. Series A, 164, 275 291. Lee-Carter malli Czado, C., Delwarde, A. & Denuit, M. (2005). Bayesian Poisson log-linear mortality projections. Insurance: Mathematics and Economics, 36, 260 284.
6 Data Data HMD-tietokannasta (Human Mortality Database) Ikä-kohortti data, kuolevuudet (Death rates) ja altistukset (Exposure to risk) Kuolevuudet samana vuonna syntyneille, jolloin tarkasteluajankohta kahtena eri kalenterivuonna (vrt. ikä-periodi datassa kuolevuudet kalenterivuonna, jolloin tarkasteltavat henkilöt kahtena eri vuonna syntyneitä) Kohortin riippuvuus säilyy ja kohortin koko voidaan ottaa huomioon Estimoinnissa käytetään vuosina 1901 1941 syntyneistä ja 50 90-vuotiaita
7 Mallit
8 Estimointi Bayesiläisessä mallinnuksessa
9 Mallin hyvyystarkastelut Cairns et al.* listasivat stokastisen kuolevuusmallin hyvyyskriteerit 1. Kuolevuuksien pitää olla positiivisia 2. Mallin pitää olla sopusoinnussa historiallisen aineiston kanssa 3. Pitkän aikavälin dynamiikan pitää olla biologisesti järkevää 4. Parametrien estimaattien pitää olla robusteja suhteessa aineiston kokoon 5. Mallin ennusteiden pitää olla robusteja suhteessa aineiston kokoon 6. Ennusteiden epävarmuuden ja keskiennusteiden pitää olla uskottavia ja yhteensopivia kuolevuuden historiallisen trendin ja vaihtelun kanssa 7. Mallin pitää olla suoraviivaisesti implementoitavissa analyyttisin menetelmin tai nopeilla numeerisilla algoritmeilla 8. Mallin pitää olla suhteellisen vähäparametrinen 9. Mallilla tulee voida generoida ennustepolkuja ja laskea ennusterajoja 10. Mallin rakenteen pitää mahdollistaa parametriepävarmuuden huomioiminen simuloinnissa 11. Ainakin joissakin maissa mallin pitää sisältää stokastinen kohorttivaikutus 12. Mallilla pitää olla epätriviaali korrelaatiorakenne *Cairns, A.J.G., Blake, D. & Dowd, K. (2008). Modelling and management of mortality risk: a review. Scandinavian Actuarial Journal, 2, 79 113.
Mallin konsistenttius historiallisen aineiston kanssa 10 Mallin hyvyyttä voidaan testata replikoidun aineiston avulla Generoidaan parametrien posteriorijakaumat Parametriarvojen avulla replikoidaan havaittua dataa vastaava aineisto Mallin 1 tapauksessa multinormaalijakaumasta Mallin 2 tapauksessa rekursiivisesti generoimalla kuolemien lukumääriä binomijakaumasta ja päivittämällä sen perusteella seuraavan ajanhetken eletyt henkilövuodet (exposures) Replikoidusta datasta voidaan johtaa testisuureita esimerkiksi MSE:lle ja kohortin sisäiselle autokorrelaatiolle Voidaan verrata alkuperäisen aineiston ja replikoidun aineiston konsistenttiutta Kuvien tulkinnassa replikoitu aineisto on konsistentti alkuperäisen aineiston kanssa, jos pisteet ovat tasaisesti 45 kulmassa piirretyn viivan molemmin puolin.
11 Malli 1 Malli selittää aineiston autokorrelaation Korkeimmilla ikäluokilla alkuperäisessä aineistossa keskineliövirhe pienempi kuin replikoidussa aineistossa Mallin hyvyystestit Malli 2 Malli ei ehkä täysin selitä aineiston negatiivista autokorrelaatiota Malli selittää aineiston korkeiden ikäluokkien keskineliövirheen
12 Parametriestimaattien robustisuus Parametrien robustisuutta tutkittu vertaamalla kahden eri aineiston posteriorijakaumia Aineisto 1: iät 40 70, kohortit 1917 1947 (nuoret) Aineisto 2: iät 60 90, kohortit 1886 1916 (vanhat)
13 Parametrien robustisuus mallissa 1 vanhat vanhat nuoret nuoret nuoret vanhat vanhat nuoret
14 Parametrien robustisuus mallissa 2 vanhat nuoret nuoret vanhat
15 Ennustaminen Perustuu posterioriennustejakaumiin Generoidaan parametrien posteriorijakaumat Parametriarvojen avulla ennustetaan epätasapainoisen aineiston puuttuva osa Mallin 1 tapauksessa ehdollisesta multinormaalijakaumasta olettaen havaittu aineisto tunnetuksi Mallin 2 tapauksessa rekursiivisesti generoimalla kuolemien lukumääriä binomijakaumasta ja päivittämällä sen perusteella seuraavan ajanhetken eletyt henkilövuodet (exposures). Päivittäminen aloitetaan kunkin kohortin ensimmäisestä puuttuvasta arvosta. Aineiston koon vaikutus ja ennusteen vertaaminen havaittuun kuolevuuteen Valitaan estimointiaineistot niin, että ennustettu kuolevuus tunnetaan. Estimoinnista jätetään kuitenkin pois havainnot aineiston oikeasta alakulmasta. Ennustetaan kuolevuuksia 70- ja 90-vuotiaille Aineisto 1: kohortit 1876 1916, iät 30 70 (70-vuotiaiden ennuste) ja 50 90 (90-vuotiaiden ennuste) Aineisto 2: kohortit 1886 1916, iät 40 70 (70-vuotiaiden ennuste) ja 60 90 (90-vuotiaiden ennuste)
Ennustaminen Aineiston koon vaikutus ja ennusteen tarkkuus mallissa 1 16 havaittu kuolevuus 1 vuoden ennuste havaittu kuolevuus 9 vuoden ennuste havaittu kuolevuus pieni aineisto suuri aineisto 17 vuoden ennuste havaittu kuolevuus 25 vuoden ennuste
Ennustaminen Aineiston koon vaikutus ja ennusteen tarkkuus mallissa 2 17 havaittu kuolevuus 1 vuoden ennuste havaittu kuolevuus 9 vuoden ennuste havaittu kuolevuus 17 vuoden ennuste havaittu kuolevuus 25 vuoden ennuste pieni aineisto suuri aineisto
18 Ennustaminen Ennustevälit Perustuu posterioriennustejakaumiin Ennustetaan kohortin 1941 kuolevuutta Estimoinnissa käytetään kohortteja 1901 1941 ja ikiä 35 100 Aineistoa ikään 65 asti, ennuste 66 100 vuoteen Lasketaan tasoitusparametrin 95 % posterioriväli sekä 95 % posterioriennusteväli havaitulle logaritmoidulle kuolevuudelle
19 Ennustevälit Malli 1 Tasoitusparametrin 95 % posterioriväli ja 95 % posterioriennusteväli havaitulle logaritmoidulle kuolevuudelle samaa suuruusluokkaa Mallin 2 ennusteväli kapeampi, kertoo paremmasta mallisovitteesta Malli 2
20 Yhteenveto Aineistona käytetään ikä-kohortti aineistoa Mallit perustuvat tasoittaviin kaksiulotteisiin kuutiosplineihin, jotka saadaan muodostettua sopivilla priorijakaumilla Kaksi mallia Havaittuihin kuolevuuksiin perustuva malli Havainnoimattomiin, teoreettisiin kuolevuuksiin perustuva malli, jolloin mallinnetaan suoraan havaittuja kuolemalukumääriä Mallien hyvyyttä testataan Cairnsin kriteereillä Testaus yhteensopivuudesta historiallisen aineiston kanssa Parametrien ja ennusteiden robustisuuden testaus Mallien huono puoli: Estimointiaineiston kokoa pitää rajoittaa
21 Lisätietoa Kaikkien artikkeleiden laskennat on tehty R-ohjelmistolla, tietyt laskentaintensiivisimmät osiot C++:lla. Koodit ja datat ovat osoitteessa http://mtl.uta.fi/codes/ Artikkelin 3 koodeista ollaan työstämässä R-pakettia, jota ei ole vielä julkaistu Väitöskirja on ladattavissa osoitteesta http://acta.uta.fi/pdf/978-951-44-8636-4.pdf