1 1 JOHDANTO Luento 4.9.2014 Tilastotiede menetelmätiede, joka käsittelee - tietojen hankinnan suunnittelua otantamenetelmät koejärjestelyt kyselylomakkeet - tietojen keruuta - tietojen esittämistä kuvailevaa tilastotiedettä - tietojen analysointia johtopäätelmien tekoa analysointimenetelmien avulla
2 Ks. tarkemmin http://www.mathstat.helsinki.fi/tilastosanasto/sanasto/ tilastotiede http://fi.wikipedia.org/wiki/tilastotiede Soveltajat käyttävät tilastotieteilijöiden kehittämiä menetelmiä - tietoaineiston keruuseen - kuvailuun - analysointiin Tilastotiedettä käytetään hyväksi aina, kun käsitellään empiiristä tietoaineistoa. Tietotekniikka ja matematiikka apuvälineitä.
3 Tilastollinen analyysi voidaan karkeasti jakaa - kuvailevaan analyysiin kuvataan tietoaineistoa, graafiset esitykset, tunnusluvut, taulukot - tilastolliseen päättelyyn johtopäätelmät aineiston (otoksen) perusteella, todennäköisyyslaskentaan perustuvien tilastollisten testien ja analysointimenetelmien avulla MTTTP1 - aineiston hankintaa - aineiston sisältämän tiedon esittäminen - tilastollisen testauksen alkeita
4 2 TILASTOLLINEN TUTKIMUS JA SEN TYÖVAIHEET Populaatio tutkimusobjektien muodostama joukko, johon tilastollinen tutkimus kohdistuu Tilastoyksikkö eli havaintoyksikkö populaatio yksikkö Esim. Henkilö, kunta, valtio, ruokakunta, kirja, auto, liikenneonnettomuus, www-sivu tilastoyksiköitä Empiirinen tutkimus tehdään lähes aina käyttäen vain osaa populaatiosta, otosta. Otoksen perusteella tehdään päättelyt koko populaatiosta.
5 Tilastoyksikön ominaisuudet tilastollisia muuttujia Esim. Henkilön ikä ja sukupuoli, kunnan asukasluku, valtion sijainti, auton väri muuttujia Yleisesti merkitä x, y, z,..., x 1, x 2, x 3,... Empiirinen havaintoaineisto (data) saadaan mittaamalla tilastoyksiköiden ominaisuuksia. Tilastolliset analyysimenetelmät ovat välineitä havaintoaineiston tutkimiseksi sekä johtopäätelmien tekemiseksi populaatiosta aineiston perusteella.
6 Esim. 2.1. Opintojaksolle ilmoittautuminen tilastoyksikkö opiskelija muuttujia pääaine/koulutusohjelma/tutkinto-ohjelma sukupuoli harjoitusryhmätoive opintojen aloitusvuosi Esim. 2.2. Opintojakson tenttiin osallistujat tilastoyksikkö opiskelija populaatio esim. kaikki opintojakson opiskelijat muuttujia esim. opiskelijan tutkinto-ohjelma, tenttipisteet
7 Esim. 2.3. a) Populaationa Suomen kunnat tilastoyksikkö kunta muuttujia esim. kunnan asukasluku, asuntojen keskikoko, lääni, jossa kunta sijaitsee b) Populaationa (tai otoksena) Eduskunta 2011 tilastoyksikkö kansanedustaja muuttujia edustajan ikä, puolue, äänimäärä, ammatti
8 Esim. 2.4. Tapahtuma tilastoyksikkönä - synnytys - liikenneonnettomuus - työtapaturma - jääkiekko-ottelu
9 Tilastollisen tutkimuksen työvaiheet 1 Suunnittelu tutkimuskohteen & aiheen valinta tilastoyksikkö muuttujat tutkimuksen suorittamisen suunnittelu kyselylomake otantamenetelmä koejärjestely jne. 2 Aineiston hankkiminen ja tallennus analysointia varten suunnitellun havaintoaineiston hankinta tallennus ja muokkaus analysointia varten
3 Aineiston kuvailu kuvailevan tilastotieteen keinoin aineiston sisältämän tiedon esittely ja tutkiminen 4 Tilastolliset mallit ja testaukset populaatiosta tehtyjen väittämien testaukset aineiston (otoksen) perusteella todennäköisyysteoriaan perustuvien tilastollisten mallien sovittaminen havaintoaineistoon 5 Raportointi johtopäätelmien teko ja niiden esittäminen ja tulkinta 10 Ks. Harjoitustyön ohjeet http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2014/harjoitustyo /ohjeet.html
11 Avainkäsitteet: Populaatio Otos Tilastoyksikkö Muuttuja Havaintoaineisto Tilastollinen tutkimus
1 KERTAUSTA Luento 9.9.2014 Populaatio tutkimusobjektien muodostama joukko, johon tilastollinen tutkimus kohdistuu, koko N Populaation yksikkö tilastoyksikkö, havaintoyksikkö Otos populaation osajoukko, koko n Tilastoyksikön ominaisuudet tilastollisia muuttujia
Esim. 2.4. Tapahtuma tilastoyksikkönä http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorun ko.pdf#page=6 a) tilastoyksikkö: synnytys muuttujia: äidin ikä, onko äidin 1. synnytys, syntyneiden lasten lukumäärä, 1. lapsen syntymäaika, 1. lapsen sukupuoli, 1.lapsen paino, 1. lapsen pituus, d) tilastoyksikkö: jääkiekko-ottelu muuttujia: yleisömäärä, joukkueet, kotijoukkueen jäähyt, vierasjoukkueen tehdyt maalit, vierasjoukkueen jäähyt, jäähyjen yhteismäärä, 2
3 Empiirinen havaintoaineisto (data) saadaan mittaamalla tilastoyksiköiden ominaisuuksia Tilastolliset analyysimenetelmät välineitä havaintoaineiston tutkimiseksi ja johtopäätelmien tekemiseksi Tilastollinen analyysi kuvailevaa analyysia tilastollista päättelyä
4 3 HAVAINTOAINEISTO JA HAVAINTOMATRIISI Aineiston hankinta otantatutkimus, päättely populaatiosta, tehdään satunnaisesti populaatiosta tehdyn otoksen (satunnaisotoksen) perusteella kokonaistutkimus, harvoin mahdollista
Esim. 3.1. Päättelytilanteita http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/l uentorunko.pdf#page=8 a) Puolueen kannatuksen arviointi, esim. Taloustutkimuksen tekemiä tutkimuksia http://www.taloustutkimus.fi ( > Tuotteet ja palvelut > Puolueiden kannatusarviot). Muodostetaan luottamusväli todelliselle kannatukselle. b) Halutaan arvioida suomalaisten naisten keskipituutta. Lasketaan otoksesta keskipituus ja arvioidaan virhettä, joka liittyy päättelyyn. Tässä voidaan muodostaa keskipituudelle luottamusväli. 5
Otantamenetelmät (tapoja satunnaisotoksen tekemiseen) yksinkertainen satunnaisotanta YSO systemaattinen otanta SO ositettu otanta OO ryväsotanta RY http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=8 6
7 Analysoitavassa aineistossa n tilastoyksikköä, a 1, a 2, a 3,..., a n p muuttujaa, x 1, x 2, x 3,..., x p Havaintomatriisi on n x p taulukko, jossa muuttujien arvot jokaiselta tilastoyksiköltä muodossa: x 1 x 2 x j x p a 1 x 11 x 12... x 1j... x 1p a 2 x 21 x 22... x 2j... x 2p.. a i x i1 x i2... x ij... x ip. a n x n1 x n2... x nj... x np Havaintomatriisissa n riviä ja p saraketta, sarake muodostaa kyseisen muuttujan jakauman.
8 Esim. Esim. CTESTI-aineisto, muuttujien kuvaukset http://mtl.uta.fi/tilasto/tiltp1/syksy2004/ctesti_ muuttujienkuvaus.pdf PULSSI-aineisto http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lue ntorunko.pdf#page=98 ( > luento 11.9.) Esim. 3.5. HOTDOG-aineisto http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lue ntorunko.pdf#page=97 Kilohinta-muuttuja 1 unssi = 28,35 g, 1 dollari = 0,77 euroa, Kilohinta = ($/oz)x0,77/0,02835.
http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/l uentorunko.pdf#page=12 Esim. 3.3. Myytyjä kiinteistöjä http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lue ntorunko.pdf#page=11, käyttökelpoisia muunnoksia Eurohinta = 0,77 x P x 1000, Neliöt = 0,0929 x S x 1000 (1 square foot = 0,0929 m 2 ), Neliöhinta = Eurohinta/Neliöt 9
10 Esim. 3.6. Tampereella 12 kuukauden aikana myytyjä kerrostaloasuntoja, otos 4.6.2012, aineisto Tre_myydyt_asunnot_2012.sav sivulla http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html. Tutkimusongelmia? ( > luento 11.9.)
11 4 MITTAAMINEN Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. Mittausvirhettä mittari epätarkka häiriötekijät Mittarin reliabiliteetin alhainen toisistaan riippumattomat, samalle tilastoyksikölle tehdyt mittaukset antavat huomattavasti poikkeavia tuloksi
12 Mittarin ei validi ei mittaa sitä ominaisuutta, mitä tarkoitus mitata (mittari huonosti laadittu) Suoraan mitattavissa ja tulkittavissa olevia muuttujia Esim. Henkilön pituus, paino, kunnan asukasluku, lasten lukumäärä perheessä Eivät suoraan mitattavissa olevia muuttujia, määrittely ei yksikäsitteistä Esim. Henkilön älykkyys, musikaalinen lahjakkuus, uskonnollisuus, asenne johonkin; www-sivun käytettävyys
13 Esim. Henkilön uskonnollisuutta voidaan mitata kirkossa käyntien määrällä, uskonnollisen kirjallisuuden lukemisella, (nk. indikaattorimuuttujien avulla). Esim. Asenne-/mielipidemittauksissa asennetta/mielipidettä peilaavia väitteitä Vastaaja valitsee esimerkiksi vaihtoehdoista täysin samaa mieltä jokseenkin samaa mieltä ei osaa sanoa jokseenkin eri mieltä täysin eri mieltä
14 Muuttujia voidaan luokitella monella tavalla: 1) 2) 3) 4) kategorisiin eli kvalitatiivisiin numeerisiin eli kvantitatiivisiin mitta-asteikkojen perusteella jatkuva ei-jatkuva selitettävä selittäjä
1) Kvalitatiivinen (kategorinen) muuttuja jakaa tilastoyksiköt tarkasteltavan ominaisuuden suhteen luokkiin Esim. Henkilön siviilisääty, opiskelijan koulutusohjelma, kaupungin sijaintikunta, vaatteiden kokoluokitus Kvalitatiiviset muuttujat voidaan koodata numeerisesti, MUTTA numeroarvoilla ei määrällistä tulkintaa; ovat vain luokkien nimiä tai kuvaavat luokkien "suuruusjärjestyksen". 15
16 Kvantitatiivinen (numeerinen) muuttuja, muuttujan arvo mitattaessa reaalinen, mitataan lukumäärää tai mittaus mittayksikköä käyttäen Esim. Henkilön pituus, opiskelijan ikä, kaupungin asukasluku, vaatteen hinta
17 2) Muuttujien mitta-asteikot Luokittelu- eli laatuero- eli nominaaliasteikko kvalitatiivinen muuttuja, jonka luokkia ei voida asettaa järjestykseen (esim. paremmuus, suuruus, kovuus) Esim. Henkilön siviilisääty, opiskelijan koulutusohjelma, kaupungin sijainti Järjestys- eli ordinaaliasteikko kvalitatiivinen muuttuja, jonka luokat voidaan asettaa mielekkääseen järjestykseen mitattavan ominaisuuden suhteen
Esim. Asennekysymykset, vaatteiden kokoluokitus Suhdeasteikko numeerisen muuttuja, jonka arvo nolla vastaa tarkasteltavan ominaisuuden häviämistä, absoluuttista nollapistettä Esim. Henkilön paino (kg) ja pituus (cm), henkilön 100 m juoksuaika (s), asunnon vuokra ( ), urheilijan harjoitteluun käyttämä aika päivässä (min) Intervalliasteikko numeerisen muuttuja, jonka nollakohta ei suhdeasteikon tapaan määritelty Esim. Huoneen lämpötila Celsius-asteina. 18
19 Absoluuttinen asteikko suhdeasteikollinen, jossa mittaus kiinnitetyllä mittayksiköllä Esim. Asunnon huoneiden lukumäärä, perheessä lasten lukumäärä Mitta-asteikko vaikuttaa tilastollisen menetelmän valintaan. Numeeristen muuttujien yhteydessä lähes samat menetelmät ja tunnusluvut käyvät kaikille kolmelle mitta-asteikolle. Suhdeasteikolla muuttujan arvojen suhteilla on mielekäs tulkinta. Intervalliasteikolla voidaan vertailla arvojen eroja, mutta ei suhteita.
20 Esim. 4.2. Esim. Liikuntamäärien mittaus http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/l uentorunko.pdf#page=15 ( > luento 11.9.) CTESTI-aineiston muuttujien mitta-asteikot, muuttujien kuvaukset http://mtl.uta.fi/tilasto/tiltp1/syksy2004/ctest I_muuttujienkuvaus.pdf ( > luento 11.9.)
21 5 EMPIIRISET JAKAUMAT 5.1 Yksiulotteinen jakauma Havaintomatriisin sarakkeilla on muuttujien x 1, x 2, x 3,..., x p jakaumat. 5.1.1 Frekvenssijakauma Esim. Opintojaksolle ilmoittautuneet n=323, 4.9. Opiskelijat yksiköittäin (%) SIS 50 JKK 43 Muut 7 Ensimmäisen vuoden opiskelijoita 18 % Matematiikan ja tilastotieteen opiskelijoita 9 % Tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoita 36 % Uusien tutkinto-ohjelmien opiskelijoita 75 %
Esim. 5.1.1. Lepopulssin jakauma http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy20 14/luentorunko.pdf#page=16 ( > luento 11.9.) Esim. 5.1.5 & 5.1.6. Luokkarajat, luokkakeskus, luokan pituus, summafrekvenssi. ( > luento 11.9.) Esim. 5.1.7. Lepopulssin jakauma miehillä ja naisilla http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy20 14/luentorunko.pdf#page=19 ( > luento 11.9.) 22
Esim. 5.1.2. Yritykset toimialoittain http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy20 14/luentorunko.pdf#page=17 ( > luento 11.9.) 23 Esim. Tampereelle 2009 myytyjä pieniä (alle 35 m²) asuntoja, aineisto Tre_myydyt_asunnot_2009.sav sivulla http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html, frekvenssijakaumia. ( > luento 11.9.)
24 Avainkäsitteet: Havaintomatriisi Muuttujan jakauma Otantamenetelmät Mittaaminen Kvalitatiivinen muuttuja Kvantitatiivinen muuttuja Mitta-asteikot Frekvenssijakauma
1 KERTAUSTA Luento 11.9.2014 1) Havaintomatriisi Tilastoyksiköt: a 1, a 2, a 3,..., a n Muuttujat: x 1, x 2, x 3,..., x p Havaintomatriisissa n riviä ja p saraketta x 1 x 2 x j x p a 1 x 11 x 12... x 1j... x 1p a 2 x 21 x 22... x 2j... x 2p.. a i x i1 x i2... x ij... x ip. a n x n1 x n2... x nj... x np
2 Esim. 3.6. Sivun http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html aineisto: Tre_myydyt_asunnot_2012.sav, Tampereella 12 kuukauden aikana myytyjä kerrostaloasuntoja, otos 4.6.2012. 2) Mitta-asteikot Nominaaliasteikko Järjestysasteikko Intervalliasteikko Suhdeasteikko Absoluuttinen asteikko Ks. http://www.mathstat.helsinki.fi/tilastosanasto/sanasto/as teikko
Esim. 4.2. Liikuntamäärien mittaus http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf #page=15 mitta-asteikot. Esim. CTESTI-aineiston muuttujien mitta-asteikot, muuttujien kuvaukset http://mtl.uta.fi/tilasto/tiltp1/syksy2004/ctesti_muuttuj ienkuvaus.pdf 3
4 5 EMPIIRISET JAKAUMAT 5.1 Yksiulotteinen jakauma Havaintomatriisin sarakkeilla on muuttujien x 1, x 2, x 3,..., x p jakaumat. 5.1.1 Frekvenssijakauma Esim. 5.1.2. Yritykset toimialoittain http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2 014/luentorunko.pdf#page=17 Esim. 5.1.1. Lepopulssin jakauma http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2 014/luentorunko.pdf#page=16
5 Esim. 5.1.5 & 5.1.6. Mittaustarkkuus, pyöristetyt luokkarajat, todelliset luokkarajat, luokkakeskus, luokan pituus, frekvenssi, summafrekvenssi Esim. 5.1.11. Miesopiskelijoiden pituus. summa- luokka- todelliset frekv. frekv. keskus luokkarajat 154-160 5 5 157 153,5-160,5 161-167 20 25 164 160,5-167,5 168-174 39 64 171 167,5-174,5 175-181 28 92 178 174,5-181,5 182-188 8 100 185 181,5-188,5 Mittaustarkkuus 1, luokan pituus 7
6 Ehdolliset frekvenssijakaumat, tarkastellaan frekvenssijakaumaa toisen muuttujan mukaan ryhmiteltynä. Esim. 5.1.7. Lepopulssin jakauma miehillä ja naisilla http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2 014/luentorunko.pdf#page=19. Esim 5.1.4. Maisterin tutkinnosta 2012 valmistuneiden työelämään sijoittuminen, työtilanne koulutusaloittain vuosi valmistumisen jälkeen http://www.uta.fi/opiskelu/tyoelama/seuran nat/maisterit/index/sijoittumisseuranta%20 2012.pdf (s. 15)
Esim. Tampereelle 2009 myytyjä pieniä (alle 35 m²) asuntoja, aineisto Tre_myydyt_asunnot_2009.sav sivulla http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html, frekvenssijakaumia. 7
8 Esim. Aineisto Tre_myydyt_asunnot_2012.sav, huoneiden lukumäärä alueittain. Huoneiden lukumäärä Huoneiden lukumäärä * Sijainti Crosstabulation Sijainti Total Hervanta Kaleva Keskusta Tesoma Count 21 15 45 5 86 1 % within 16,4% 19,5% 27,4% 9,3% 20,3% Sijainti Count 53 43 66 14 176 2 % within 41,4% 55,8% 40,2% 25,9% 41,6% Sijainti Count 42 15 41 19 117 3 % within 32,8% 19,5% 25,0% 35,2% 27,7% Sijainti Count 12 4 12 16 44 4 % within 9,4% 5,2% 7,3% 29,6% 10,4% Sijainti Count 128 77 164 54 423 Total % within Sijainti 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%
9 5.1.2 Frekvenssijakaumien graafiset esitykset Piirakkakuvio Pylväs-, vaakapylväs-, janadiagrammi Frekvenssihistogrammi Esim. Aineisto Tre_myydyt_asunnot_2012.sav, muuttujien sijainti, huoneiden lukumäärä, neliöhinta graafiset esitykset ovat piirakkakuvio tai vaakapylväsdiagrammi, pylväsdiagrammi tai janadiagrammi, frekvenssihistogrammi. Neliöhintaa voidaan tarkastella myös sijainnin mukaan ehdollistettuna samoin huoneiden lukumäärää.
Sijainnin jakauma, piirakkakuvio 10
Sijainnin jakauma, vaakapylväsdiagrammi 11
Huoneiden lukumäärän jakauma, pylväsdiagrammi 12
Neliöhinnan jakauma, frekvenssihistogrammi 13
Neliöhinnan ehdolliset histogrammit 14
Huoneiden lukumäärä sijainnin mukaan, summapylväsdiagrammi 15 Grafiikan valinnasta esimerkkejä ks. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2013/grafiikan_v alinnasta.pdf
5.1.3 Yksiulotteisen jakauman tunnuslukuja 1 Luento 16.9.2014 Tunnusluvut kuvataan jakaumaa muuttujan arvoista lasketulla (tai arvojen avulla määritellyllä) luvulla kuvataan jakauman sijaintia, vaihtelua, vinoutta, huipukkuutta, jne. mitta-asteikko määrittää tunnusluvun valinnan 1) Sijainnin tunnuslukuja Keskilukuja moodi (Mo) mediaani (Md), järjestysasteikollisuus keskiarvo, kvantitatiivisuus
2 Muita sijainnin tunnuslukuja ala- ja yläkvartiili, muut fraktiilit, järjestysasteikollisuus laatikko-jana kuvio muodostetaan kvartiilien avulla 2) Vaihtelua mittaavia tunnuslukuja varianssi, keskihajonta, kvantitatiivisuus variaatiokerroin, suhdeasteikollisuus 3) Muita tunnuslukuja erilaisia vinous- ja huipukkuuskertoimia
3 1) Sijainnin tunnuslukuja Keskilukuja http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko. pdf#page=24 Moodi (Mo) Esim. 5.1.29. Sisarusten lukumäärä http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=33, Mo=0 Mediaani (Md), vaaditaan järjestysasteikollisuus Esim. 5.1.14. Tenttipistet: 95, 86, 78, 90, 62, 73, 89 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=24, Md=86
Esim. 5.1.29. Sisarusten lukumäärä http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=33, Md = 1. Keskiarvo, kaava (1) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=95, vaaditaan kvantitatiivisuus Esim. Etäisyydet, joista lepakot löysivät hyönteisiä, ks. Selityksiä ja esimerkkejä kaavoihin http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/esimer kit_kaavoihin.pdf Esim. 5.1.15. Keskiarvo tenttipisteistä http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=25 4
Esim. 5.1.16. Lepopulssin keskiluvut http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=25 Esim. 5.1.29. Sisarusten lukumäärän keskiarvo, keskiarvo frekvenssijakaumasta http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=33 Keskiarvoon liittyviä ominaisuuksia Keskistäminen http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lue ntorunko.pdf#page=25 Lineaarinen muunnoksen vaikutus keskiarvoon http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lue ntorunko.pdf#page=26 5
6 Ryhmäkeskiarvot http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lue ntorunko.pdf#page=26 Esim. 5.1.20. Lepopulssin keskiarvo miehillä ja naisilla, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/ luentorunko.pdf#page=26 Esim. 5.1.21. Voidaanko sadon määrää selittää käytetyllä viljelymenetelmällä? satomäärä = selitettävä eli riippuva muuttuja (y) viljelymenetelmä = selittävä, riippumaton muuttuja (x) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=27
Esim. 5.1.24. Voidaanko neliöhintaa selittää sijainnilla? y = neliöhinta x = sijainti http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=29 7 Esim. 5.1.17. Keskiluvut symmetristen ja vinojen jakaumien tapauksessa, http://www.sis.uta.fi/tilasto/tiltp7/moniste_4.pdf
Muita sijainnin tunnuslukuja http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorun ko.pdf#page=28 Ala- ja yläkvartiili, muut fraktiilit Laatikko-jana kuvio muodostetaan kvartiilien avulla Esim. 5.1.25. Neliöhinta sijainnin mukaan, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=30 Esim. 5.1.26. Lepopulssi miehillä ja naisilla, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=31 8
2) Vaihtelua mittaavia tunnuslukuja http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko. pdf#page=31 Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorun ko.pdf#page=95 Mittaa muuttujan arvojen keskittymistä keskiarvon ympärille, sallittu kvantitatiivisen muuttujan yhteydessä. Keskihajonta, kaava (3) Esim. 5.1.27. Keskihajonnat neliöhinnasta alueittain, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorun ko.pdf#page=32 9
Esim. Etäisyydet, joista lepakot löysivät hyönteisiä, ks. Selityksiä ja esimerkkejä kaavoihin http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/esimerkit _kaavoihin.pdf ( > luento 18.9.) Esim. 5.1.28. Varianssin laskeminen tenttipisteistä http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorun ko.pdf#page=33 ( > luento 18.9.) Lineaarinen muunnoksen vaikutus keskihajontaan http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorun ko.pdf#page=35 ( > luento 18.9.) Muuttujan standardointi http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorun ko.pdf#page=35 ( > luento 18.9.) 10
11 Esim. 5.1.35. Normaalijakauma http://www.sis.uta.fi/tilasto/tiltp7/moniste_6.pdf Esim. Laskuri http://vassarstats.net/, jossa keskiarvon ja varianssin lasku http://vassarstats.net/vsmisc.html ( > luento 18.9.)
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 18.9.2014 Tunnusluvut 1) Sijainnin tunnuslukuja Keskilukuja moodi (Mo) mediaani (Md) keskiarvo, kaava (1) Muita sijainnin tunnuslukuja ala- ja yläkvartiili, muut fraktiilit
2 2) Vaihtelua mittaavia tunnuslukuja Varianssi ja keskihajonta, kaavat (2) ja (3) 3) Muita tunnuslukuja Voidaan mitata esim. jakauman vinoutta ja huipukkuutta
Esim. Sivulta http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html aineisto Toyota.sav, jossa Toyota Avensis -farmariautoja vuosilta 2007-2009, oikotie.fi -sivustolta 2.2.2010. 3
4
5
Taulukosta laskettuna: Md = 2,0, Mo = 2,0, keskiarvo (1,6 5 + 1,8 25 +2,0 55 + 2,2 17 )/102 = 1,965. 6
7
Hopeisia on eniten (54,4 %). 8
Esim. Etäisyydet (cm), joista lepakot löysivät hyönteisiä, olivat 62, 52, 68, 23, 40. Näistä s = 18, ks. Selityksiä ja esimerkkejä kaavoihin http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/esimerkit_ka avoihin.pdf Esim. 5.1.28. Varianssin laskeminen tenttipisteistä http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko. pdf#page=33 9
Lineaarinen muunnoksen vaikutus keskihajontaan http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko. pdf#page=35 Muuttujan standardointi http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko. pdf#page=35 Esim. Laskuri http://vassarstats.net/, jossa keskiarvon ja varianssin lasku http://vassarstats.net/vsmisc.html 10
11 5.2 Kaksiulotteinen jakauma 5.2.1 Pisteparvi Esim. Auton hinta ja ajetut kilometrit, aineistona Audi A6 henkilöautoja sivulla http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html
12 Esim. Auton huippunopeus ja teho, aineistona auto94.sav (mikroluokissa)
13 Esim. Lumilaudan hinta ja pituus, aineistona Lumilaudat.sav sivulla http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html
14 Esim. 5.2.2. Tehdyt kalusteet ja työntekijän kokemus, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=38 Esim. 5.2.3. http://www.sis.uta.fi/tilasto/tiltp7/moniste_8.pdf Esim. 5.2.4. http://www.sis.uta.fi/tilasto/tiltp7/moniste_9.pdf
15 5.2.2 Ristiintaulukko Esim. Miesten, naisten ja lasten lumilaudat valmistusmaittain, aineistona Lumilaudat.sav sivulla http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html
16 Esim. 5.2.5. Automallien koot valmistusmaittain, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=39 Ristiintaulukko yleisesti http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=40 Tutkitaan y:n riippuvuutta x:stä vertaamalla y:n ehdollisia prosenttijakaumia. Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma tavaratalon koon mukaan, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=40
Esim. Miesten, naisten ja lasten lumilaudat valmistusmaittain, aineistona Lumilaudat.sav sivulla http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html 17
18 Esim. Asunnon kunto sijainnin mukaan, aineistona Tre_myydyt_asunnot_2010 sivulla http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/aineistoja.html Onko tässä korjattavaa?
19 5.2.3 Kaksiulotteisen jakauman tunnuslukuja ( > luento 23.9.) Mitataan kahden muuttujan välistä riippuvuuden voimakkuutta Ristiintaulukosta kontingenssikerroin Kvantitatiivisista muuttujista lineaarisen riippuvuuden voimakkuuden mittari korrelaatiokerroin (r) Järjestysasteikollisilla muuttujilla järjestyskorrelaatiokertoimet
20 Korrelaatiokerroin r Mittaa kahden kvantitatiivisen muuttujan välistä lineaarista riippuvuutta, sen voimakkuutta. Mittaa sitä, miten tiiviisti pisteet ovat sijoittuneet pisteparveen sovitetun suoran ympärille. Esim. Pisteparvia ja korrelaatiokertoimia: luentomonisteen esimerkit 5.2.8, 5.2.10, 5.2.11, 5.2.16, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=43, http://www.sis.uta.fi/tilasto/tiltp7/moniste_8.pdf.
Esim. Pisteparvia ja arviot korrelaatiokertoimista 21
Korrelaatiokertoimen ominaisuudet http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=42 Korrelaatiomatriisi, esimerkki 5.2.17 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=47 Korrelaatiokertoimen laskukaava http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=42 Kaavakokoelma kaava (4), ks. myös http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/esimerkit_ kaavoihin.pdf 22
23 Lineaarisen muunnoksen vaikutus korrelaatiokertoimeen http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=45 Korrelaatiokerroin ehdollisena http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=46 Osittaiskorrelaatiokerroin http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=47
24 6 AIKASARJOISTA Määritelmä http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=49 Graafinen esitys http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=40 Esimerkkejä luentomonisteen esimerkeissä 6.1.2.- 6.1.6.
Harjoitustyön riippuvuustarkastelut Ks. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/htyop11 3.pdf#page=3 Riippuvuustarkastelu 1 Tarkastelu, jossa y (selitettävä) on kvantitatiivinen ja x (selittäjä) kvalitatiivinen. Menetelminä laatikko-jana-kuvio, ryhmäkeskiarvot, muut tarvittavat tunnusluvut sekä päättely riippumattomien otosten t-testi avulla (käytetään näitä jokaista). Jos ryhmiä enemmän kuin kaksi, niin t-testissä voi tarkastella niistä kahta tai yhdistellä ryhmiä sopivasti. Ks. luentomonisteen esimerkit 5.1.24, 5.1.25, 5.1.26, 7.7.9, 7.7.10, 7.7.11. 25
26 Riippuvuustarkastelu 2 Tarkastelu, jossa sekä y että x kvalitatiivisia (kvantitatiiviset voi myös luokitella), selitettävä muuttuja eri kuin riippuvuustarkastelussa 1. Menetelmänä ristiintaulukko ja χ 2 riippumattomuustesti. Ks. luentomonisteen esimerkit 7.7.6, 7.7.7, 7.7.8.
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko)
3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma tavaratalon koon mukaan Suunnitelma on ei yht. Henkilöstö- alle 100 13 10 23 määrä 100 500 18 12 30 yli 500 32 6 38 Markkinointisuunnitelman olemassaolon ehdolliset prosenttijakaumat (koon mukaan) Suunnitelma on ei Henkilöstö- alle 100 56,6 43,5 määrä 100 500 60,0 40,0 yli 500 84,2 15,8
Ristiintaulukko yleisesti 4
5 5.2.3 Kaksiulotteisen jakauman tunnuslukuja Mitataan kahden muuttujan välistä riippuvuuden voimakkuutta Ristiintaulukosta kontingenssikerroin Kvantitatiivisista muuttujista lineaarisen riippuvuuden voimakkuuden mittari korrelaatiokerroin (r) Järjestysasteikollisilla muuttujilla järjestyskorrelaatiokertoimet
6 Korrelaatiokerroin r Mittaa kahden kvantitatiivisen muuttujan välistä lineaarista riippuvuutta, sen voimakkuutta. Mittaa sitä, miten tiiviisti pisteet ovat sijoittuneet pisteparveen sovitettavan suoran ympärille. Esim. Pisteparvia ja korrelaatiokertoimia: luentomonisteen esimerkit 5.2.8, 5.2.10, 5.2.11, 5.2.16, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=43 http://www.sis.uta.fi/tilasto/tiltp7/moniste_8.pdf.
Esim. Pisteparvia ja arviot korrelaatiokertoimista 7
8 Korrelaatiokertoimen ominaisuudet http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=42 Korrelaatiomatriisi, esimerkki 5.2.17 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=47 Korrelaatiokertoimen laskukaava http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=42 Kaavakokoelma kaava (4), ks. myös http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/esimerkit_kaavoihin.pdf Lineaarisen muunnoksen vaikutus korrelaatiokertoimeen http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=45 Korrelaatiokerroin ehdollisena http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=46 Osittaiskorrelaatiokerroin http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunko.pdf#page=47
9 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa? Ovatko kaupungissa eri alueilla myynnissä olevien asuntojen neliöhinnat samoja? Riippuuko myytävän asunnon kunto sijainnista? Miten päättely populaatiosta otoksen perusteella tehdään?
10 Otos Populaatio otoskeskiarvo populaation keskiarvo, odotusarvo µ otosvarianssi s 2 populaation varianssi 2 otoshajonta s populaation hajonta %-osuus otoksessa p %-osuus populaatiossa Otoksesta määritellyt, s 2, s, p ovat otossuureita, joiden käyttäytymistä voidaan arvioida todennäköisyysjakaumien avulla. Näitä jakaumia käytetään hyväksi päättelyssä.
11 7.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma Esim. 7.1.1. Rahanheitto, nopanheitto, lottoaminen. Satunnaisilmiö (satunnaiskoe) useita tulosmahdollisuuksia, epävarmuus tuloksesta Perusjoukko (E) kaikki mahdolliset tulokset Tapahtuma (A) perusjoukon osajoukko
12 Esim. 7.1.2. Rahanheitto E ={kruunu, klaava} tapahtumia A = {kruunu} B = {klaava} Nopanheitto E ={1, 2, 3, 4, 5, 6} tapahtuma A = {saadaan parillinen} = {2,4,6}
13 7.2 Klassinen todennäköisyys Tapahtuman A todennäköisyys P(A) = k/n, n satunnaisilmiön perusjoukon tulosten lukumäärä k tapahtumaan A liittyvien tulosten lukumäärä Esim. 7.2.1. Rahanheitto A = {kruunu} P(A) = 1/2
14 Nopanheitto A = {saadaan parillinen} = {2,4,6} P(A) = 3/6 B = {1}, P(B) = 1/6 D = {suurempi kuin 4} = {5,6}, P(D) = 2/6. Tapahtumien A ja B riippumattomuus
7.3 Satunnaismuuttuja ja todennäköisyysjakauma ( > luento 25.9.) 15 Esim. 7.3.1. Nopanheitto X = saatu silmäluku P(X=1) = P(X=2) = = P(X=6) = 1/6 Esim. 7.3.2. Heitetään kolikkoa neljä kertaa, X = klaavojen lukumäärä heittosarjassa. P(X=0) = 1/16, P(X=3) = 4/16, P(X=1) = 4/16, P(X=4) = 1/16, P(X=2) = 6/16.
Esim. 7.3.4. Kahden alkion otokset luvuista 1, 2, 3, 4, 5, 6 systemaattisella otannalla ovat {1, 4}, {2, 5}, {3, 6}, joista keskiarvot 2,5; 3,5 ja 4,5, joten P( =2,5) = P( =3,5) = P( =4,5) =1/3. 16 Diskreetin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma P(X=x 1 ) = p 1, P(X=x 2 ) = p 2 p 1 + p 2 + = 1
17 Jatkuvan muuttujan X todennäköisyysjakauma jatkuva funktio f(x), jolle f(x) 0 ja f(x):n ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on yksi. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) = P(X x).
18 Esim. 7.3.5. Esimerkki erään jatkuvan muuttujan tiheysja kertymäfunktiosta Satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) =, varianssia Var(X) = 2, keskihajonta Muuttujien summat ja erotukset satunnaismuuttujia Satunnaismuuttujien riippumattomuus
1 Luento 25.9.2014 KERTAUSTA Satunnaisilmiö (satunnaiskoe) useita tulosmahdollisuuksia, epävarmuutta tuloksesta Perusjoukko kaikki mahdolliset tulokset, joita n kappaletta Tapahtuma (A) perusjoukon osajoukko, tuloksia k kappaletta
2 Klassinen todennäköisyys P(A) = k/n Tapahtumien riippumattomuus toisen tapahtuminen tai tapahtumatta jääminen ei vaikuta toisen todennäköisyyteen
3 7.3 Satunnaismuuttuja ja todennäköisyysjakauma Esim. 7.3.1. Nopanheitto X = saatu silmäluku P(X=1) = P(X=2) = = P(X=6) = 1/6 Esim. 7.3.2. Heitetään kolikkoa neljä kertaa, X = klaavojen lukumäärä heittosarjassa. P(X=0) = 1/16, P(X=3) = 4/16, P(X=1) = 4/16, P(X=4) = 1/16, P(X=2) = 6/16.
Esim. 7.3.4. Kahden alkion otokset luvuista 1, 2, 3, 4, 5, 6 systemaattisella otannalla ovat {1, 4}, {2, 5}, {3, 6}, joista keskiarvot 2,5, 3,5 ja 4,5, joten P( =2,5) = P( =3,5) = P( =4,5) =1/3. 4 Satunnaismuuttuja funktio, joka liittää yksikäsitteisen reaaliluvun jokaiseen tarkasteltavan satunnaisilmiön perusjoukon tulokseen
5 Diskreetin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma P(X=x 1 ) = p 1, P(X=x 2 ) = p 2 p 1 + p 2 + = 1 Jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma jatkuva funktio f(x), jolle f(x) 0 sekä f(x):n ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on yksi. Funktiota f(x) kutsutaan tiheysfunktioksi. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) = P(X x).
6 Esim. 7.3.5. Esimerkki erään jatkuvan satunnaismuuttujan tiheys- ja kertymäfunktiosta
Esim. Erään tiheysfunktion kuvaaja. 7
8 Todennäköisyysjakaumien tunnuslukuja odotusarvo E(X) = µ varianssi Var(X) = σ 2, keskihajonta σ. Satunnaismuuttujien summat, erotukset, suhteet, jne. ovat myös satunnaismuuttujia. Satunnaismuuttujien riippumattomuus määritellään vastaavalla tavalla kuin tapahtumien riippumattomuus.
9 7.4 Normaalijakauma Esim. 7.4.1. Vaahteraliigan pelaajien pituusjakauma. Kuvaan on piirretty normaalijakauman, jonka odotusarvo 183,35 ja varianssi 6,142 2, tiheysfunktio.
10 Normaalijakauma määritellään parametrein µ ja σ 2, merkitään X ~ N(µ, σ 2 ), tiheysfunktion kuvaajia http://www.mathstat.helsinki.fi/tilastosanasto/sanasto/nor maalijakauma Jos odotusarvo on nolla ja varianssi yksi, kyseessä standardoitu normaalijakauma, merkitään Z ~ N(0, 1). Tällöin P(Z z) = Φ(z), standardoidun normaalijakauman kertymäfunktiota merkitään Φ(z):lla.
11 Esim. 7.4.2. N(0, 1) jakauman tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Standardoidun normaalijakauman kertymäfunktion Φ(z) arvoja taulukoitu, http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=96
Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 12
Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 13
14 Esim. 7.4.3. z 0,05 = 1,6449 z 0,01 = 2,3264 z 0,05/2 = z 0,025 = 1,96
Standardoitu normaalijakauman symmetrinen nollan suhteen 15
16 Esim. 7.4.4. Olkoon Z ~ N(0, 1). P(Z 2,3264) = 0,01, P(Z -2,3264) = 0,01, P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025 P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05
17 7.5 Satunnaisotos, otossuure ja otantajakauma Päätelmät populaatiosta otoksen perusteella puolueen kannatus kynttilöiden keskimääräinen palamisaika asuntojen keskimääräiset neliöhinnat keskustassa ja lähiössä Miten päättely tehdään? Miten tulosten luotettavuutta voidaan arvioida?
18 Päättely satunnaisotoksen perusteella. Satunnaismuuttujajono X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos Xi:t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Esim. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ). Tällöin jokainen X i noudattaa normaalijakaumaa parametrien µ, σ 2 ja X i :t ovat toisistaan riippumattomia. Otossuure on satunnaisotoksen perusteella määritelty funktio.
Otoskeskiarvon on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden http://onlinestatbook.com/stat_sim/sampling_dist/index.h tml Viallisten prosenttiosuus otoksessa (p) on otossuure, jonka jakauma on likimain normaalijakauma. Otosjakauma (otantajakauma) on otossuureen todennäköisyysjakauma. Otossuureiden jakaumia käytetään päättelyyn liittyvien tulosten luotettavuuden arvioinnissa. 19
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden http://onlinestatbook.com/stat_sim/sampling_dist/index.h tml
2 Olkoon populaatiossa % tietyn tyyppisiä alkioita ja p = tietyn tyyppisten alkioiden % -osuus otoksessa. Tällöin p ~ N(, (100- )/n), likimain, kaava (7). Viallisten prosenttiosuus otoksessa (p) on otossuure, jonka jakauma on likimain normaalijakauma. Otossuureiden jakaumia käytetään päättelyyn liittyvien tulosten luotettavuuden arvioinnissa.
3 7.6 Piste-estimointi ja luottamusvälejä Esim. Vuonna 2010 suomalaisen miesten keskipituuden arvioitiin olevan 181 cm, naisten 167,5, otos vuonna 1983 ja jälkeen syntyneistä espoolaisista, http://fi.wikipedia.org/wiki/ihmisen_pituus#ihmisten_kes kipituus_eri_maissa
4 Esim. Jalkapalloilijat 2006, jalkapalloilijoiden keskipituuden arviointi.
Esim. Puolueen kannatusarviot, http://www.taloustutkimus.fi/tuotteet_ja_palvelut/puoluei den_kannatusarviot/puolueiden-kannatusarviot-2014/ 5
6 Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla (piste-estimointi) Estimaattori otossuure, jolla estimoidaan tuntematonta parametria Estimaatti estimaattorin arvo (tehdyn otoksen perusteella laskettu) Estimaattorin keskivirhe estimaattorin hajonta
7 Estimoitava Esti- Estimaattorin Estimoitu parametri maattori keskivirhe keskivirhe µ σ/ s/ p σ s Esim. 7.6.2. Puolueen kannatuksen arviointi p = 18 %, n = 100. Esim. 7.6.3. Kannatuksen estimoitu keskivirhe = 3,8. Esim. 7.6.1. Kerrostalohuoneistojen keskimääräisen neliöhinnan estimointi, =2398, s = 408, joten estimoitu keskivirhe on 408/ = 40,2.
Myös nk. luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria, tällöin kyse väliestimoinnista, edellä esillä piste-estimointi. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä, nk. luottamustasolla. Luottamusväli on satunnaisväli, joka sisältää estimoitavan parametrin todennäköisyydellä 1 -. Valitaan esim. 0,05 tai 0,01. Tällöin kyse 95 %:n tai 99 %:n luottamusvälistä. 8
9 7.6.1 Prosenttiosuuden luottamusväli Kaava (8), 100(1 - ) %:n luottamusväli prosenttiosuudelle / 2 p z p(100 p)/n 95 %:n luottamusväli, = 0,05, z 0,05/2 = z 0,025 = 1,96 99 %:n luottamusväli, = 0,01, z 0,01/2 = z 0,005 = 2,5758
10 Esim. 7.6.4. Satunnaisesti valituista 100 henkilöstä puoluetta kannatti 18 %. Puolueen kannatuksen 95 %:n luottamusväli 18 1,96 ( - 18 7,5 Arvioidaan kannatuksen olevan välillä 10,5 25,5. Virhemarginaali ±7,5 %-yksikköä. Esim. Puolueen kannatusarviot ja virhemarginaali, http://www.taloustutkimus.fi/tuotteet_ja_palvelut/puoluei den_kannatusarviot/puolueiden-kannatusarviot-2014/
Esim. 7.6.5. Yritys valvoo tuotantoaan. Virheellisten komponenttien osuus ei saisi olla suurempi kuin 4 %. Laaduntarkkailussa tehtiin 500 komponentin otos, jossa 28 komponenttia osoittautui virheellisiksi. Onko tuotanto keskeytettävä? ( > luento 2.10.) 95 %:n luottamusväli virheellisten komponenttien prosenttiosuudelle 5,6 1,96 5,6(100 5,6)/500 11 Virheellisten osuuden arvellaan olevan välillä 3,6 % - 7,6 %, joten vaihtelu on sallituissa rajoissa, koska 4 % kuuluu luottamusvälille.
Esim. Kahvin myyjä väittää, että 15 % kahvin juojista valitsee kahvimerkin hinnan perusteella. Tutkitaan myyjän väitettä. Tehdään tutkimus, jossa 250 kahvin juojalta kysytään kahvimerkin valintaan vaikuttavia tekijöitä. Vastanneista 25 valitsi kahvinsa hinnan perusteella. Uskotko myyjän väitteen? 12 Nyt n = 250, p = 100 25/250 = 10. 95 %:n luottamusväli virheellisten komponenttien prosenttiosuudelle 10 1,96 10(100 10)/250 10 ± 3,7. Koska 15 ei kuulu luottamusvälille, ei uskota väitettä.
13 99 %:n luottamusväli 10 2,5758 10(100 10)/250 10 ± 4,9, sama päättely.
14 7.6.2 Populaation odotusarvon luottamusväli Esim. 7.6.6. Arvioidaan poikien keskimääräistä syntymäpituutta, siis poikapopulaation keskiarvoa. Otoksessa 65 pojan syntymäpituuden keskiarvo 50,95 cm ja keskihajonta 1,97 cm. Arvio populaation odotusarvon luottamusvälin avulla, määrittämisessä käytetään otoskeskiarvoa ja otoshajontaa. Poikien keskipituuden arvellaan olevan välillä 50,5 cm 51,4 cm. SPSS-tulos:
15 Kaava (9), 100(1 - ) %:n luottamusväli odotusarvolle X t n s / / 2; 1 n
Studentin t-jakauman taulukkoarvot t,df ja t /2,df 16
17
18 Esim. 7.6.9. Tiedetään, että eräs kirjailija käyttää tuotannossaan virkkeitä, joiden keskipituus on 32 sanaa. Tutkija lukee erään tekstin, jossa on 30 virkettä. Näiden 30 virkkeen keskipituus on 35,0 sanaa ja keskihajonta 6,8 sanaa. Voisiko teksti olla peräisin kyseisen kirjailijan tuotannosta? Muodostetaan odotusarvon 95 %:n luottamusväli. Nyt t 0,05/2;30 1 =2,045 ja luottamusväli 35,5 2,045 6,8/ 30. Saadaan väliksi 32,5 37,5, jolle 32 ei kuulu. Päätellään, että teksti ei ole kyseisen kirjailijan tuotantoa.
Esim. 7.6.7. Poikien keskimääräinen syntymäpituus esimerkissä 7.6.6, luottamusväli laskettu 50,95±2 1,972/ 65, (t 0,05/2;65 1 2). ( > luento 2.10.) 19
Esim. 7.6.8. Esimerkin 5.1.30 kovuusindeksien erotukset -5, 1, -2, -5, 2,-7, -1, -7, 1, 0, joista keskiarvo -2,3 ja keskihajonta 3,4. Odotusarvon 95 %:n luottamusväli -2,3±2,262 3,4/ 10-2,3±2,4. Lisäaineilla ei eroja, koska nolla kuuluu luottamusvälille. 20 ( > luento 2.10.)
Esim. Lepakoiden tunnistusmatkat, ks. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/esimerkit_ kaavoihin.pdf ( > luento 2.10.) 21
22 7.6.3 Kahden populaation odotusarvon erotuksen luottamusväli Esim. 7.6.10. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=76 ( > luento 2.10.)
1 Luento 2.10.2014 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä, nk. luottamustasolla.
2 Olkoon populaatiossa % viallisia. Nyt :n 100(1 - ) %:n luottamusväli kaava (8) on p z p(100 p) / / 2 n
Esim. Rahapelin pitäisi antaa voitto 20 %:lle pelatuista peleistä. Pelaat peliä 200 kertaa ja voitat 32 kertaa. Voitko uskoa, että 20 % peleistä voittaa? Muodostetaan 95 %:n luottamusväli prosenttiosuudelle. Nyt = 0,05, z 0,05/2 = z 0,025 = 1,96, n = 200, p = 16, luottamusväli 16 1,96 16 5,1 Koska 20 kuuluu luottamusvälille, päätellään pelin toimivan luvatulla tavalla. 3
Esim. 7.6.5. Yritys valvoo tuotantoaan. Virheellisten komponenttien osuus ei saisi olla suurempi kuin 4 %. Laaduntarkkailussa tehtiin 500 komponentin otos, jossa 28 komponenttia osoittautui virheellisiksi. Onko tuotanto keskeytettävä? 95 %:n luottamusväli virheellisten komponenttien prosenttiosuudelle 5,6 1,96 5,6(100 5,6)/500 4. Virheellisten osuuden arvellaan olevan välillä 3,6 % - 7,6 %, joten vaihtelu on sallituissa rajoissa, koska 4 % kuuluu luottamusvälille.
5 Populaation odotusarvon µ 100(1 - ) %:n luottamusväli kaava (9) on X t n s / / 2; 1 n Esim. Eräs tehdas valmistaa tiiliä, joiden keskipaino pitkän aikavälin seurannassa on ollut 2,000 kg. Erään päivän tuotannosta valittiin satunnaisesti 16 tiiltä. Näiden keskipainoksi saatiin 1,972 kg ja keskihajonnaksi 0,054 kg. Onko keskipainossa tapahtunut muutosta? Muodostetaan odotusarvon 95 %:n luottamusväli. Nyt t 0,05/2;16 1 =2,131 ja luottamusväli 1,972 2,131 0,054 / 16. Saadaan väliksi 1,972 ± 0,029. Koska 2,000 kuuluu välille, päätellään ei muutosta.
6 Esim. 7.6.7. Poikien keskimääräinen syntymäpituus esimerkissä 7.6.6, otoksessa 65 pojan syntymäpituuden keskiarvo 50,95 cm ja keskihajonta 1,97 cm, luottamusväli laskettu 50,95±2 1,972/ 65, (t 0,05/2;65 1 2). Esim. Lepakoiden tunnistusmatkat, ks. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/esimerkit_ kaavoihin.pdf
Esim. 7.6.8. Esimerkin 5.1.30 kovuusindeksien erotukset -5, 1, -2, -5, 2,-7, -1, -7, 1, 0, joista keskiarvo -2,3 ja keskihajonta 3,4. Odotusarvon 95 %:n luottamusväli -2,3±2,262 3,4/ 10-2,3±2,4. Lisäaineilla ei eroja, koska nolla kuuluu luottamusvälille. 7
8 7.6.3 Kahden populaation odotusarvon erotuksen luottamusväli Esim. 7.6.10. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=76 Esim. 7.6.11. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luentorunk o.pdf#page=76
9 7.7 Hypoteesien testausta Tutkimusongelmia: Puolueen kannatus? Väite: = 18 % Virheellisten komponenttien osuus tuotannossa? Väite: = 4 % Kynttilöiden keskimääräinen palamisaika? Väite: µ = 20 h
10 Asuntojen keskimääräiset neliöhinnat keskustassa ja lähiössä? Väite: µ 1 = µ 2 Painon ja pituuden välinen lineaarinen riippuvuus? Väite: = 0 Opintosuunnan vaikutus kurssiarviointiin? Väite: ei riippuvuutta
11 Tilastollinen hypoteesi on väite populaatiosta, usein populaation jakauman parametrista. Esim. H0: = 0 H0: µ = µ 0 Hypoteesin testaus on väitteen tutkimista otoksen perusteella. Käytetään sopivaa otossuuretta (testisuuretta), jonka jakauma tunnetaan, kun H0 tosi.
12 Esim. H 0 : µ = µ 0 t X s / n 0 ~ tn 1, kun H 0 tosi. H 0 : = 0 Z p 0 100 ) / n 0 ( 0 likimain ~ N(0,1), kun H 0 tosi.
13 Otossuureen (testisuureen) arvon perusteella H 0 hyväksytään tai hylätään. Jos testisuureen arvoa pidetään tavanomaisten arvojen joukkoon kuuluvaksi, niin H 0 hyväksytään. Jos arvoa pidetään harvinaisten arvojen joukkoon kuuluvaksi, niin H 0 hylätään. Mikä on harvinaista? Mihin H 0 :n hylkääminen johtaa?
14 Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 vaihtoehtoinen hypoteesi Z likimain p 0 ~ N(0,1) 100 ) / n 0 ( 0, kun H 0 tosi. Nyt harvinaisiksi arvoiksi katsotaan suuret arvot, suuremmat kuin z. Tällöin merkitsevyys- eli riskitaso on. Usein = 0,05, 0,025, 0,01 tai 0,001.
Jos H 0 hylätään, niin H 1 hyväksytään. 15
16 Miten H 1 asetetaan? Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 (yksisuuntainen testi) tai H 1 : > 0 (yksisuuntainen testi) tai H 1 : 0 (kaksisuuntainen testi) Kaksisuuntaisessa testissä harvinaisten arvojen joukko on jakauman hännillä.
17 Esim. H 0 : = 0 H 1 : 0 (kaksisuuntainen testi) Päättely p-arvon perusteella, p-arvo on pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä.
18 Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 Jos p-arvo on pienempi kuin valittu riskitaso, niin H 0 hylätään.
19 Testisuureita H 0 : = 0 Z p 0 100 ) / n 0 ( 0 likimain ~ N(0,1), kun H0 tosi. Esim. 7.7.1. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=79 ( > luento 7.10.) Esim. 7.7.2 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=80 ( > luento 7.10.)
H 0 : µ = µ 0 t X s / n 0 ~ tn 1, kun H 0 tosi. Esim. 7.7.3. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=82 ( > luento 7.10.) Esim. 7.7.4. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=82 ( > luento 7.10.) Esim. 7.7.5. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=83 ( > luento 7.10.) 20
1 KERTAUSTA TESTAUKSESTA Luento 7.10.2014 Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo.
Kiinnitetään riskitaso (eli todennäköisyys, että tosi H 0 hylätään). Määritetään testisuureen harvinaisten arvojen joukko. 2 Hylätään H 0, jos saatu arvo kuuluu harvinaisten arvojen joukkoon, muulloin hyväksytään. H 0 :n hylkääminen johtaa H 1 :n hyväksymiseen.
Päättely voidaan myös tehdä p-arvon perusteella, p-arvo on pienin riskitaso, jolla H 0 voidaan hylätä. Jos p-arvo on valittua riskitasoa pienempi, niin H 0 hylätään, muulloin hyväksytään. 3
4 p-arvo tulos tilastollisesti < 0,05 melkein merkitsevä < 0,01 merkitsevä < 0,001 erittäin merkitsevä
5 7.7.1 Prosenttiosuuden testaus H 0 : = 0 Z p 0 100 ) / n 0 ( 0 likimain ~ N(0,1), kun H 0 tosi. Esim. 7.7.1. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=79 Esim. 7.7.2 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=80
Esim. Kahvin myyjä väittää, että 15 % kahvin juojista valitsee kahvimerkin hinnan perusteella. Tutkitaan myyjän väitettä. Tehdään tutkimus, jossa 250 kahvin juojalta kysytään kahvimerkin valintaa vaikuttavia tekijöitä. Vastanneista 25 valitsi kahvin hinnan perusteella. Uskotko myyjän väitteen? 6
7 7.7.2 Odotusarvon testaus H 0 : µ = µ 0 t X s / n 0 ~ tn 1, kun H 0 tosi. Esim. 7.7.3. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=82 Esim. 7.7.4. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=82
Esim. 7.7.5. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=83 Esim. Lepakoiden tunnistusmatkat, ks. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/es imerkit_kaavoihin.pdf 8
9 7.7.3 χ 2 riippumattomuustesti ( > luento 9.10.) Kahden muuttujan välinen riippuvuustarkastelu ristiintaulukon perusteella. H0: ei riippuvuutta H1: on riippuvuutta Esim. 7.7.6 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=85 Esim. 7.7.7 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=86
Esim. 7.7.8 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=87 Oletuksen testin käyttöön liittyen http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=85 10
11 7.7.4 Odotusarvojen yhtäsuuruuden testaaminen t-testillä ( > luento 9.10.) Tutkitaan kahden populaation odotusarvojen yhtäsuuruutta riippumattomien otosten t-testillä, asetetaan H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Esim. 7.7.9 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=88
Esim. 7.7.10 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=89 Esim. 7.7.11 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=90 Oletukset testin käyttöön liittyen http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=88 12
13 7.7.5 Lineaarinen riippuvuus ( > luento 9.10.) Populaation korrelaatiokertoimen testaus H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=91
1 Luento 9.10.2014 7.7.3 χ 2 riippumattomuustesti Kahden muuttujan välinen riippuvuustarkastelu ristiintaulukon perusteella, kaava (12), hypoteesit H0: ei riippuvuutta H1: on riippuvuutta Esim. 7.7.8 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=87
2 Esim. Tre_myydyt_kolmiot_2010, http://www.sis.uta.fi/tilasto/tiltp_aineistoja/tre_myyd yt_kolmiot_2010.sav
3 Esim. 7.7.6 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=85 Esim. 7.7.7 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/lu entorunko.pdf#page=86 Oletuksen testin käyttöön liittyen http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=85
4 7.7.4 Odotusarvojen yhtäsuuruuden testaaminen t-testillä Tutkitaan kahden populaation odotusarvojen yhtäsuuruutta riippumattomien otosten t-testillä, kaava (12), hypoteesit H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Esim. 7.7.9 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=88
5 Esim. 7.7.11 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=90 Esim. 7.7.10 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy201 4/luentorunko.pdf#page=89 Esim. Tre_myydyt_kolmiot_2010, http://www.sis.uta.fi/tilasto/tiltp_aineistoja/tre_ myydyt_kolmiot_2010.sav, keskimääräiset neliöhinnat alueittain, keskimääräiset koot alueittain, eroja näissä joidenkin alueiden välillä.
6 Oletukset t-testin käyttöön liittyen http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=88 7.7.5 Lineaarinen riippuvuus Populaation korrelaatiokertoimen testaus H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/luento runko.pdf#page=91
7 KERTAUSTA Olennaisimmat kaavat esimerkkeineen http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2014/olenna iset_kaavat.pdf