LINEAARIALGEBRA, osat a ja b

LINEAARIALGEBRA, osat a ja b Martti E. Pesonen Epsilon ry. huhtikuuta 06

LUKIJALLE Lineaarialgebran kursseja edeltäviksi opinnoiksi suositellaan jotain lukion matematiikkaa teoreettiselta kannalta täydentävää kurssia, esimerkiksi Matematiikan johdantokurssia, jossa matematiikan perusasioita selvitellään huomattavasti abstraktimmalla tasolla kuin mitä asioita on koulussa käsitelty. Osallistujilla odotetaan olevan mm. perustiedot ja -taidot funktioista sekä järjestys- ja ekvivalenssirelaatioista. Kurssiin liittyy jonkin verran pakollisia tietokonedemonstraatioita, joista osassa keskitytään oppimaan uusia käsitteitä vuorovaikutteisten tehtäväarkkien avulla, ja osassa opetellaan lineaaristen struktuurien käsittelyä matematiikan tietokoneohjelmilla (Maple/Matlab). Nämä eivät kuitenkaan edellytä varsinaisten ohjelmointikielten tuntemusta. Lineaarialgebran kursseilla on tarkoitus oppia mm. ratkaisemaan lineaarisia yhtälöryhmiä (osa a) vektori- ja matriisilaskentaa (osa a) lineaariavaruuksien rakennetta ja teoriaa (osa a) lineaarikuvausten toimintaa ja teoriaa (osa b) sisätuloavaruuksien ominaisuuksia (osa b) ominaisarvojen ja -vektorien laskeminen (osa b) matriisin diagonalisointi ja neliömuototyypit (osa b) tietokoneen käyttöä lineaarialgebrassa (osat a ja b) edellisten tietojen ja taitojen soveltamista (osat a ja b) Kurssin pedagogisena tarkoituksena on tutustuttaa opiskelija paitsi konkreettiseen vektori- ja matriisilaskentaan sekä vektoriavaruuksiin, myös abstraktiin lineaariavaruuksien teoriaan. Tämä aksiomaattinen, puhtaasti joukko-oppiin ja logiikkaan perustuva teoria on ideaalinen esimerkki yhtaikaa käyttökelpoisesta mutta silti verrattain yksinkertaisesta struktuurista. Kurssin toivotaankin kehittävän käsitteenmuodostus- ja abstrahointitaitoa sekä harjaannuttaa näkemään jo ennestään tuttuja asioita uudesta näkökulmasta. Oppikirjana tai oheismateriaalina voi käyttää esimerkiksi teosta Leon, Steven J.: Linear algebra with applications, third edition. - Macmillan, New York, 990 tai myöhempi, luvut -6 (-3 osa a, 4-6 osa b). Joensuussa. huhtikuuta 06 Martti E. Pesonen

MERKINNÄT Kurssilla käytetään normaaleja logiikan merkintöjä: negaatio ja konnektiivit: ei, tai, ja, seuraa, yhtäpitävää kvanttorit: on olemassa, kaikilla, joukko-opin merkinnät: tyhjä joukko, kuuluu joukkoon, osajoukko joukko-operaatiot: joukon A komplementti A, joukkojen yhdiste, leikkaus, erotus \, tulo(joukko) Merkinnällä X := lauseke asetetaan symbolille X arvo lauseke. Z, Q, R ja C ovat kokonaislukujen, rationaalilukujen, reaalilukujen ja kompleksilukujen joukot. Luonnollisten lukujen joukko N on tässä aidosti positiiviset kokonaisluvut ja N 0 := N {0}. Lisäksi käytetään nk. lukumääräjoukkoa {, kun n = 0 [n] := {,, 3,..., n}, kun n N A + tarkoittaa joukon A aidosti positiivista osaa. Isot kirjaimet A, B, C,... edustavat tällä kurssilla yleensä matriiseja; U, V, W,... vektorijoukkoja tai lineaariavaruuksia ja L, M,... lineaarikuvauksia. Pienet ja kreikkalaiset kirjaimet ovat yleensä alkioita tai lukuja. Lihavoidut pienet kirjaimet ovat vektoreita; käsin kirjoitettuna ne on syytä alleviivata (u). Kalligrafiset kirjaimet P, C,..., tarkoittavat tavallisesti jotakin funktiojoukkoa; kuitenkin K tarkoittaa vektoriavaruuden kerroinkuntaa, joka yleensä on R tai C. Jos n N, niin n-ulotteisten vaakavektorien joukko on K n = {(x, x,..., x n ) x k K}.

Sisältö JOHDANTOA KERTAUSTA 0. Vektorit ja yhtälöt.......................... 0. Geometrinen näkökulma.......................3 Vektoreilla laskemisesta n-ulotteisessa avaruudessa........ 5.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 6 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 8. Yhtälö ja yhtälöryhmä....................... 8. Lineaariset yhtälöryhmät...................... 9.3 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen.............. 7.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 36 3 MATRIISILASKENTAA 40 3. Karteesinen tulo ja matriisi..................... 40 3. Matriisioperaatioita ja nimityksiä.................. 4 3.3 Laskusääntöjä............................ 45 3.4 Yhtälöryhmä matriisimuodossa................... 53 3.5 Ratkaisuja tehtäviin......................... 56 4 ANALYYTTISTÄ GEOMETRIAA 60 4. Suorat tasossa............................ 60 4. Tasot avaruudessa.......................... 6 4.3 Ratkaisuja tehtäviin......................... 66 5 KÄÄNTEISMATRIISI 70 5. Käänteismatriisin määrittely.................... 70 5. Laskusääntöjä............................ 7 5.3 Alkeisoperaatiot ja alkeismatriisit................. 73 5.4 Yhtälöryhmän ratkaisuista..................... 80 5.5 Eliminointimenetelmä........................ 8

SISÄLTÖ 5 5.6 Alimatriisit ja lohkotulot...................... 84 5.7 Ratkaisuja tehtäviin......................... 90 6 DETERMINANTTI 9 6. Determinantin määritelmä..................... 9 6. Determinantin kehittäminen.................... 95 6.3 Determinanttien laskusääntöjä................... 97 6.4 Alkeismatriisien determinantit................... 00 6.5 Determinantti ja säännöllisyys................... 0 6.6 Tulon determinantti......................... 0 6.7 Eliminointimenetelmä........................ 03 6.8 Laskutoimitusten määristä..................... 04 6.9 *Lohkomatriisien determinanteista................. 06 6.0 Ratkaisuja tehtäviin......................... 08 7 LIITTOMATRIISI JA CRAMERIN SÄÄNTÖ 0 7. Kofaktori- ja liittomatriisi...................... 0 7. Käänteismatriisin laskeminen liittomatriisin avulla........ 7.3 Yhtälöryhmän ratkaisu Cramerin säännöllä............ 3 7.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 6 8 SOVELLUTUKSIA 8 8. Lineaarisista malleista....................... 8 8. Lineaarinen yhtälöryhmä mallina.................. 9 8.3 Kysyntä tarjonta -malleja...................... 8.4 Matriiseilla mallintamisesta..................... 4 8.5 Käänteismatriisin käyttöä...................... 6 8.6 Ratkaisuja tehtäviin......................... 8 9 LINEAARIAVARUUS 3 9. Joukon sisäinen laskutoimitus................... 3 9. Skaalaus eli ulkoinen laskutoimitus................. 34

6 SISÄLTÖ 9.3 Lineaariavaruuden määritelmä................... 35 9.4 Määritelmän seurauksia....................... 38 9.5 Omituisempia esimerkkejä..................... 4 9.6 Ratkaisuja tehtäviin......................... 44 0 ALIAVARUUDET 50 0. Aliavaruuden määrittely...................... 50 0. Polynomi- ja funktioavaruuksia................... 5 0.3 Aliavaruuksien summa....................... 53 0.4 Vektorijoukon virittämä aliavaruus................. 55 0.5 Virittävän joukon sieventämisestä................. 57 0.6 Ratkaisuja tehtäviin......................... 59 LINEAARINEN RIIPPUMATTOMUUS 6. Riippumattomuuden määritelmä.................. 6. Ominaisuuksia........................... 64.3 Lineaarinen riippumattomuus ja singulaarisuus.......... 66.4 Funktioiden lineaarinen riippuvuus................. 67.5 Yksikäsitteisyydestä........................ 69.6 Suora summa............................ 69.7 Analyyttistä geometriaa tason yhtälö............... 70.8 Ratkaisuja tehtäviin......................... 73 KANTA, KOORDINAATIT JA DIMENSIO 76. Kanta ja koordinaatit........................ 76. Kantavektorien lukumäärä..................... 77.3 Kannan olemassaolo........................ 79.4 Dimensio.............................. 80.5 Aliavaruuksien dimensioista.................... 8.6 Kannaksi täydentäminen...................... 83.7 Ratkaisuja tehtäviin......................... 84

SISÄLTÖ 7 3 MATRIISIIN LIITTYVÄT ALIAVARUUDET 86 3. Matriisin nolla-avaruus....................... 86 3. Rivi- ja sarakeavaruudet....................... 87 3.3 Lineaarisista yhtälöryhmistä dimensiolause........... 9 3.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 93 4 LINEAARIKUVAUS 94 4. Lineaarikuvauksen määrittely.................... 94 4. Tason lineaarikuvauksia....................... 96 4.3 Lineaarikuvauksia R n R m.................... 98 4.4 Muita esimerkkejä......................... 00 4.5 Ratkaisuja tehtäviin......................... 0 5 LINEAARIKUVAUS JA ALIAVARUUDET 04 5. Aliavaruuksien säilyminen..................... 04 5. Bijektiiviset lineaarikuvaukset................... 06 5.3 Dimensiolause............................ 09 5.4 Dimension säilyminen....................... 5.5 Isomorfisuus............................. 4 5.6 Ratkaisuja tehtäviin......................... 6 6 LINEAARIKUVAUKSEN MATRIISIESITYS 8 6. Kuvaukset R n R m (luonnolliset kannat)............. 8 6. Yleinen tapaus........................... 0 6.3 Erikoistapaus R n R m...................... 6 6.4 Ytimet ja kuva-avaruudet...................... 8 6.5 Lineaarikuvausten yhdistäminen.................. 9 6.6 Yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen määristä............ 30 6.7 Ratkaisuja tehtäviin......................... 3 7 LINEAARIAVARUUDEN KANNANVAIHTO 36 7. Yleinen tapaus........................... 36

8 SISÄLTÖ 7. Kannanvaihto avaruudessa R n................... 40 7.3 Ratkaisuja tehtäviin......................... 4 8 SISÄTULOAVARUUS 44 8. Sisätulon määritelmä........................ 44 8. Normi ja metriikka......................... 47 8.3 Metrinen avaruus ja normiavaruus................. 5 8.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 5 9 ORTOGONAALISET JOUKOT PROJEKTIOT 54 9. Kulman määrittely......................... 54 9. Ortogonaalinen joukko ortonormaalisuus............. 57 9.3 Projektiot.............................. 58 9.4 Projektiot aliavaruuksiin...................... 60 9.5 Gram-Schmidtin ortonormitusmenetelmä............. 6 9.6 Sovellutuksia pisteen etäisyys.................... 64 9.7 Ratkaisuja tehtäviin......................... 66 0 ORTONORMAALIT KANNAT JA MATRIISIT 70 0. Ortonormaali kanta......................... 70 0. Ortogonaalinen matriisi....................... 7 0.3 Isometrinen lineaarikuvaus..................... 73 0.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 74 ORTOGONAALISET ALIAVARUUDET JA PNS MENETELMÄ 76. Ortogonaalinen komplementti................... 76. Matriisin määräämät ortogonaaliset avaruudet........... 79.3 Pienimmän neliösumman ratkaisu................. 80.4 Normaaliyhtälö........................... 8.5 PNS ja 3 -yhtälöryhmän geometrinen tulkinta.......... 83.6 PNS ja yhtälöryhmät yleensä.................... 85.7 Ratkaisuja tehtäviin......................... 86

SISÄLTÖ 9 KÄYRÄN SOVITUS PNS-MENETELMÄLLÄ 90. Interpolaatio ekstrapolaatio.................... 90. Polynomin sovittaminen pistejoukkoon............... 9.3 Ratkaisuja tehtäviin......................... 96 3 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 98 3. Lineaarikuvauksen ominaisarvot ja ominaisvektorit........ 98 3. Matriisin ominaisarvot ja -vektorit................. 30 3.3 Karakteristinen yhtälö........................ 303 3.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 30 4 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 3 4. Ominaisarvot ja lineaarinen riippumattomuus........... 3 4. Diagonalisoituvuus......................... 33 4.3 Ratkaisuja tehtäviin......................... 38 5 SYMMETRISET MATRIISIT JA SPEKTRAALILAUSE 30 5. Symmetrisen matriisin ominaisarvoista............... 30 5. Spektraalilause symmetrisille reaalimatriiseille.......... 3 5.3 Symmetristen matriisien luokittelu................. 3 5.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 34 6 NELIÖMUODOISTA 36 6. Neliömuoto............................. 36 6. Neliömuotojen luokittelu...................... 37 6.3 Pääakseliongelma.......................... 330 6.4 Ratkaisuja tehtäviin......................... 334 A LIITE: Algebrallisista rakenteista 336 A. Ryhmä................................ 336 A. Kunta................................ 338

JOHDANTOA KERTAUSTA. Vektorit ja yhtälöt Lineaarialgebran perusolioita ovat mm. vektorit ja matriisit sekä niiden lineaarikombinaatiot eli lineaariset yhdistelmät. Lineaarikombinaatio on äärellinen summa c X + c X +... + c n X n missä c, c,..., c n ovat skalaareja (reaali- tai kompleksilukuja) ja x, x,..., x n ovat vektoreita (tai matriiseja); esimerkiksi reaalilukuja, kompleksilukuja, abstrakteja vektoreita, avaruuden R n vektoreita, funktioita, lukujonoja, suppenevia sarjoja, jne... Muotoa c X + c X +... + c n X n = Y oleva yhtälö, missä symbolit edustavat c i ovat tunnettuja skalaareja ja Y on tunnettu vektori, on n:n tuntemattoman (lineaarinen) vektoriyhtälö. Yhtä hyvin vektorit x i voivat olla tunnettuja ja skalaarit c i tuntemattomia, tai tuntemattomista osa voi olla skalaareja, osa vektoreita. Esimerkki.. Ratkaise vektori (x, y) R yhtälöstä a) (x, y) = (3, 4) b) 3(x, y) + 4(y, 3x) = (, ). Ratkaisut. a) Tässä tarvitsee tietää mitä tarkoittaa skalaarilla kertominen eli skaalaus ja vektorien samuus (=). Vektoriyhtälö palautuu tavallisten yhtälöiden ryhmäksi: (x, y) = (3, 4) (x, { y) = (3, 4) x = 3 { y = 4 x = 3 y = Siis (x, y) = ( 3, ) = (3, 4). b) Tähän sisältyy myös vektorien yhteenlaskua: 3(x, y) + 4(y, 3x) = (3x, 3y) + (8y, x) = (3x + 8y, 3y + x) = (, )

. Vektorit ja yhtälöt { 3x + 8y = { 3y + x = x 3y = 4 { x + 3y = x 3y = 4 { 9y = y = 9 x = 3 (3y 4) = 87 Siis (x, y) = ( 3 87, 9 ). Esimerkki.. Ratkaise vektorit (x, y) ja (u, v) R vektoriyhtälöryhmästä { (x, y) + (u, v) = (, 3) (x, y) + 3(u, v) = (, ) Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtäpitäväksi koordinaateittaiseksi vektoriyhtälöryhmäksi { (x + u, y + v) = (, 3) (x + 3u, y + 3v) = (, ) joka puolestaan on ekvivalentti skalaariyhtälöryhmän x + u = y + v = 3 x + 3u = y + 3v = kanssa. Tässä kannattaa ryhmitellä yhtälöt kahteen ryhmään, joissa kummassakin on vain kaksi tuntematonta: x + u = x + 3u = y + v = 3 y + 3v = eli (x, y) = (7, 7) ja (u, v) = ( 4, 5). x = 7 u = 4 y = 7 v = 5 Lineaariset vektoriyhtälöt johtavat siis luonnollisella tavalla skalaariyhtälöiden muodostamaan yhtälöryhmään.

JOHDANTOA KERTAUSTA. Geometrinen näkökulma Lineaarinen kahden tuntemattoman x ja y yhtälö voidaan aina saattaa muotoon ax + by = c, mikä analyyttisen geometrian mielessä vastaa suoraa tasossa R. Kahden suoran yhteiset pisteet selviävät näiden suorien yhtälöiden muodostamasta yhtälöryhmästä { ax + by = c dx + ey = f Sen ratkaisuksi on tunnetusti kolme mahdollisuutta: ei lainkaan ratkaisua, jolloin suorat ovat yhdensuuntaiset, mutteivät samat, yksi piste (x, y ), suorien leikkauspiste, kokonainen suora, jolloin yhtälöt esittävätkin samaa suoraa. Mikäli yhtälöitä on enemmän kuin kaksi (Kuva ), ratkaisuja ei tavallisesti ole, mutta silloinkin voidaan yleensä laskea eräänlainen kompromissiratkaisu, nk. pienimmän neliösumman ratkaisu (PNS), ks. Luku. Kuva : Kaksi tuntematonta, kolme yhtälöä, ei ratkaisua Tehtävä.. Piirrä xy-tasoon seuraavat suorat ja määritä niiden leikkauspisteet (tai yleisemmin niiden yhteiset pisteet): a) y = x + ja y = x + 3 b) x + y = ja x y = c) x y = ja x + y = d) x y = ja y = x e) x y =, x + y 3 = 0 ja y = x + 3 f) y = x +, y = x + ja y = 0 Ratkaisut sivulla 6.

. Geometrinen näkökulma 3 Koulussa opittu tapa ratkaista yhtälöryhmiä niin, että ratkaistaan joistakin yhtälöistä tietyt tuntemattomat muiden suhteen ja sijoitetaan jäljellä oleviin yhtälöihin, ei ole mielekäs suurten (n, m > ) lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen. Sen sijaan keino, jossa yhtälöitä kerrotaan sopivilla nollasta eriävillä luvuilla ja yhtälöitä lasketaan puolittain yhteen tai vähennetään toisistaan tuntemattomien eliminoimiseksi, on läheistä sukua niin kutsutulle Gaussin eliminointimenetelmälle, joka on eräs kurssin keskeisimmistä työkaluista. Menetelmässä yhdistetään edelliset kaksi operaatiota muotoon yhtälöstä vähennetään toisen monikerta, mikä nopeuttaa prosessia. Menetelmän yleinen muoto esitetään Luvussa.3, mutta otetaan tässä valmisteleva esimerkki. Prosessin ensimmäinen vaihe on esimerkiksi seuraava: { { ax + by = c R a x + b y = c R A R dx + ey = f R d x + e y = f R R A R missä luvut A ja A valitaan niin, että a = ja d = 0. Sitten edelleen nollataan b :n kohdalla oleva luku ja skaalataan e :n kohdalla oleva luku ykköseksi. Oheinen vuorovaikutteinen Javasketchpad-animaatio johtaa konkreettisella tavalla Gaussin eliminointiprosessiin (jopa Gauss-Jordanin prosessiin, jossa eliminoidaan kaikki mahdollinen!), katso Luku.3. Suorat tasossa (linkki JavaSketchpad-animaatioon) http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/lineaarialgebra/ Kurssimateriaali/LAText/DSuorat.htm Esimerkki.. Ratkaistaan yhtälöryhmä { x 3y = 7 3x + 5y = 3 Merkitään yhtälöryhmän rivejä symboleilla R i ja kirjoitetaan muunnettujen rivien perään kuinka yhtälö on saatu edellisestä muodosta. Kun tässä jälkimmäisestä vähennetään edellinen puolitoistakertaisena: { x 3y = 7 R 3x + 5y = 3 R { x 3y = 7 R R (3 3 )x + (5 3 ( 3))y = 3 3 7 R R 3 R on jälkimmäisestä nollattu tuntemattoman x kerroin, eli x on eliminoitu. Alkuperäisellä yhtälöryhmällä on edelleen samat ratkaisut kuin yhtälöryhmillä { { x 3y = 7 R x 3 9 y = 57 R y = 7 R R y = 3 R 9 R Ratkaisuksi saadaan näin (x, y) = (4, 3).

4 JOHDANTOA KERTAUSTA Tehtävä..3 Piirrä x x -tasoon seuraavien yhtälöiden ratkaisut. Mitkä ovat vastaavien yhtälöryhmien ratkaisut? a) x + x = ja x x = b) x + x = ja x + x = c) x + x = ja x x =. Ratkaisu sivulla 7. Vastaavasti lineaarinen yhtälö ax + by + cz = d esittää xyz-avaruuden tasoa. Useamman tason leikkauspiste (x,y,z ) on siten näiden tasojen yhtälöiden muodostaman yhtälöryhmän ratkaisu, mikäli näitä on vain yksi. Jos ratkaisuja on äärettömästi, on ratkaisujoukko suora tai taso (katso Luku.). Tehtävä..4 Onko tasoilla a) x + y z = 0 ja x y + z = b) x + y z = 0, x y + z = ja 3x y = yhteisiä pisteitä? Ratkaisu sivulla 7.

.3 Vektoreilla laskemisesta n-ulotteisessa avaruudessa 5.3 Vektoreilla laskemisesta n-ulotteisessa avaruudessa Joukkoa R n varustettuna vektorien alkioittaisella yhteenlaskulla ja vakiolla (skalaarilla) kertomisella (x, x,..., x n ) + (y, y,..., y n ) := (x +y, x +y..., x n +y n ) α(x, x,..., x n ) := (αx, αx,..., αx n ) sanotaan n-ulotteiseksi euklidiseksi avaruudeksi. Vektoreiden piste- eli skalaaritulo (dot product, scalar product) on koordinaateittain muodostettujen tulojen summa (x, x,..., x n ) (y, y,..., y n ) := n x i y i i= ja vektorin normi eli pituus on (x, x,..., x n ) := n x i. i= Normin neliö on täten vektorin pistetulo itsensä kanssa. Esimerkki.3. Lasketaan vektorien (, 3, ) ja ( 6,, ) pistetulo ja normit. Merkitään x := (, 3, ) ja y := ( 6,, ). Silloin x y = (, 3, ) ( 6,, ) = ( 6) + 3 + = x = + 3 3 + = 4 x = 4 y = ( 6) ( 6) + + = 4 y = 4 Normin kaava voidaan tulkita Pythagoraan lauseen yleistykseksi, miten? Kurssilla käsitellään myös jonkin verran kompleksilukuja ja -vektoreita, erityisesti kurssin loppupuolella.

.4 Ratkaisuja tehtäviin Tehtävä..: a) (/3, 5/3), b) (, 0), c) eivät leikkaa, d) suora y = x, e) (/3, 5/3), f) leikkaavat vain pareittain, pisteissä (, 0), (, 0) ja (0, ). 4 3 y 4 3 0 3 4 x 3 4 4 3 y 4 3 0 3 4 x 3 4 a) suorat y = x + ja y = x + 3 b) suorat x + y = ja x y = 4 3 y 4 3 0 3 4 x 3 4 4 3 y 4 3 0 3 4 x 3 4 c) suorat x y = ja x + y = d) suorat x y = ja y = x 4 3 y 4 3 0 3 4 x 3 4 4 3 y 4 3 0 3 4 x 3 4 e) suorat x y =, x + y 3 = 0 f) suorat y = x +, y = x + ja y = x + 3 ja y = 0

.4 Ratkaisuja tehtäviin 7 Tehtävä..3: Yhtälöryhmien ratkaisut ovat (ks. Kuva ) a) (0, ), b) ei ratkaisua, c) suora x + x =. x - x = x + x = x + x = Kuva : Tehtävän..3 suorat Tehtävä..4: a) Kertomalle ensimmäinen yhtälö kahdella ja vähentämällä alemmasta ylempi puolittain saadaan { { x y + z = x y + z = x + y z = 0 3y 5z = Tästä näkyy, että esimerkiksi z saa olla mielivaltainen, z R, ja siten (ääretön) ratkaisujoukko tasojen leikkausjoukko on suora, jonka pisteet ovat muotoa x = 3 3 z y = 3 + 5 3 z z R b) On yksi, sillä sopivilla kertomis- ja vähentelyoperaatioilla saadaan x y + z = x + y z = 0 3x y = x y + z = 3y 5z = 8 z = 3 3 x y + z = 3y 5z = y 6z = 3 x = 8 y = 7 8 z = 8

LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT. Yhtälö ja yhtälöryhmä Sovitaan aluksi muutamista yleisistä yhtälöryhmiä koskevista nimityksistä: Olkoon J R n ja F : J R funktio. Muotoa F (x, x,..., x n ) = 0 oleva ilmaus on (reaalinen) n tuntemattoman yhtälö tuntemattomina arvoina x, x,..., x n. Vastaavasti voidaan puhua kompleksisista ym. yhtälöistä riippuen siitä, millaisia arvoja tuntemattomille sallitaan. Yhtälöryhmäksi sanotaan yhden tai useamman (äärellisen monen) yhtälön sisältävää kokonaisuutta F (x, x,..., x n ) = 0 F (x, x,..., x n ) = 0. F m (x, x,..., x n ) = 0 Jos yhtälöryhmä sisältää yhteensä n tuntematonta x, x,..., x n, sen (yksittäisellä) ratkaisulla tarkoitetaan sellaista n luvun järjestettyä jonoa (x, x,..., x n), jonka jäsenien sijoittaminen tuntemattomien paikalle toteuttaa yhtälöryhmän kaikki yhtälöt. Yhtälöryhmän ratkaiseminen tarkoittaa sen kaikkien ratkaisujen etsimistä. Yhtälöryhmän kaikkien ratkaisujen joukkoa {(x, x,..., x n) F i (x, x,..., x n) = 0, i =,, 3,..., m} sanomme sen ratkaisuksi tai ratkaisujoukoksi. Yhtälöryhmällä voi olla yksi tai useampia ratkaisuja tai ei ollenkaan ratkaisua. Kaksi yhtälöryhmää ovat keskenään yhtäpitäviä eli ekvivalentteja, jos niissä esiintyy täsmälleen samat tuntemattomat ja niillä on tarkalleen samat ratkaisut. Esimerkki.. a) Yhtälön x x = 3 määrää funktio F : R R, F (x) := x x 3. b) Yhtälöryhmän { x ln y = x + ln y = 3 määräävät funktiot F, F : R ]0, [ R, F (x, y) = x ln y F (x, y) = x + ln y 3. ()

. Lineaariset yhtälöryhmät 9 Tehtävä.. Esitä yhtälöryhmä x + x + y = z x + y + z = 0 z y = sopivien funktioiden avulla muodossa (). Ratkaisu sivulla 36.. Lineaariset yhtälöryhmät Kaikilla tieteenaloilla esiintyy ongelmia, joita kuvaamaan sopii jokin lineaarinen yhtälö tai yhtälöryhmä. Ongelma voi olla sellainen, että yhtälöryhmän ratkaisu antaa tarkan, yleispätevän tuloksen. Useat konkreettiset ongelmat ovat kuitenkin epälineaarisia tai niin monimutkaisia, että mallia muodostettaessa joudutaan tekemään yksinkertaistuksia. Näille muodostettu lineaarinen malli on approksimatiivinen ja vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu on pätevä vain tietyllä tarkkuudella ja rajoitetuilla muuttujien arvoilla. Nykyään yhä suurempia yhtälöryhmiä voidaan ratkaista tarkasti tietokoneilla. Kuitenkin suuret yhtälöryhmät ratkaistaan edelleen erilaisilla numeerisilla menetelmillä, joiden käsittely kuuluu numeerisen lineaarialgebran piiriin (katso esimerkiksi Leon, Luku 7). Määritelmä.. Olkoot luvut a ij ja b j tunnettuja ja luvut x i tuntemattomia. Yhtälöryhmää a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x + + a mn x n = b m sanotaan m yhtälön ja n tuntemattoman x i lineaariseksi yhtälöryhmäksi (system of linear equations), jatkossa lyhyemmin (lineaariseksi) m n-yhtälöryhmäksi. Luvut a ij ovat yhtälöryhmän kertoimia (coefficient). Lineaarinen yhtälöryhmä on homogeeninen, jos luvut b j ovat nollia, muutoin epähomogeeninen. Jos m = n, yhtälöryhmä on kvadraattinen. Luvussa.3 opetellaan systemaattinen yleispätevä ratkaisumenetelmä, niin kutsuttu Gaussin eliminointimenetelmä, joka on (lähes) sellaisenaan ohjelmoitavissa tietokoneelle. Tätä ennen kuitenkin tutustutaan menetelmässä käytettyihin operaatioihin ja koetetaan havainnollistaa niiden merkitystä.

0 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Tehtävä.. Mitkä seuraavista ovat lineaarisia yhtälöitä a) x 3y = 0 b) x 3y = 3 c) x 3y = z d) x + xy y = 0? Ratkaisu sivulla 36. Tehtävä..3 Esitä Tehtävän.. kolmen ensimmäisen yhtälön muodostama yhtälöryhmä funktioiden avulla muodossa (). Ratkaisu sivulla 36. 3 3-yhtälöryhmän geometrinen tulkinta Yhtälöryhmän { a x + a x = b a x + a x = b yhtälöt esittävät x x -tason suoria. Yhtälöryhmän mahdollinen ratkaisu on näiden suorien leikkauspiste tai kokonainen suora, mikäli yhtälöt esittävät samaa suoraa. Tällöin yhtälöt ovat verrannolliset, ts. toinen saadaan toisesta kertomalla vakiolla. Lineaarinen kolmen tuntemattoman x, x ja x 3 yhtälö voidaan aina saattaa muotoon a x + a x + a 3 x 3 = b, mikä analyyttisen geometrian mielessä vastaa tasoa avaruudessa R 3. Kaksi tällaista yhtälöä muodostaa yhtälöryhmän { a x + a x + a 3 x 3 = b a x + a x + a 3 x 3 = b ja sen ratkaisuksi on tunnetusti kolme mahdollisuutta: ei lainkaan ratkaisua, jolloin tasot ovat yhdensuuntaiset, mutteivät samat tasojen leikkaussuora kokonainen taso, jolloin yhtälöt esittävät samaa tasoa.

. Lineaariset yhtälöryhmät Kolmen yhtälön tapaus a x + a x + a 3 x 3 = b a x + a x + a 3 x 3 = b a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 = b 3 eroaa olennaisesti edellisistä vain siinä, että ratkaisuna voi olla myös tasan yksi avaruuden piste (x, x, x 3 ). Kuvassa 3 esiintyvät erilaiset perustapaukset, joissa ratkaisuja on, ja Kuvassa 4 ne, joissa ratkaisuja ei ole. Kuva 3: Kolme tuntematonta, kolme yhtälöä, ratkaisuja on Kuva 4: Kolme tuntematonta, kolme yhtälöä, ei ratkaisuja Maple-työarkki tasoista (linkki) http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/lineaarialgebra/ Kurssimateriaali/LAText/Tasot.mws

LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Yhtälöryhmän alkeismuunnokset Lineaarinen yhtälöryhmä kannattaa opetella ratkaisemaan järjestelmällisesti muokkaamalla se sopivien alkeismuunnosten välityksellä sellaiseen ekvivalenttiin muotoon, josta ratkaisut mikäli niitä on ovat helposti laskettavissa. Seuraavien alkeisoperaatioiden käyttäminen muuntaa yhtälöryhmän toiseen yhtäpitävään muotoon: I. Vaihdetaan yhtälöiden järjestystä. II. Yhtälö kerrotaan nollasta eriävällä luvulla. III. Yhtälöön lisätään toisen yhtälön monikerta. Periaatteessa kussakin vaiheessa suoritetaan vain yksi alkeisoperaatio kerrallaan. Kirjoitusvaivan vähentämiseksi operaatioita voi tehdä samanaikaisesti useita, mutta tällöin on muistettava: Varoitus! Jos operaatiota III käytetään tiettyyn välimuotoon useita kertoja, kutakin yhtälöparia saa käyttää vain kerran (miksi?). Kun prosessi suoritetaan jäljempänä esiteltävällä Gaussin eliminointimenetelmällä tai Gauss-Jordanin reduktiolla, ei vaaraa ole. Tehtävä..4 (Varoittava esimerkki). Mitä tehdään väärin seuraavassa: { { x y = 3 R y = 4 R R R x + y = 7 R { y = 4 R R R x R y = Mikä on oikea ratkaisu? Ratkaisu sivulla 36. Tehtävä..5 Ratkaise alkeisoperaatioita käyttäen yhtälöryhmät a) c) { 4x + y = 3 5x 3y = 4 Ratkaisu sivulla 36. s + t = s t = 3s + t = b) d) { 3x y + 5z = x + 3y 8z = 34 3x x + x 3 = 7x + x 8x 3 = 5 x + x x 3 = 0 Tehtävä..6 Mitä Tehtävän..5 yhtälöt, yhtälöryhmät ja niiden ratkaisut tarkoittavat geometrisesti tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa?

. Lineaariset yhtälöryhmät 3 Määritelmä..7 Yhtälöryhmä c x + c x + + c n x n = d c x + c x + + c n x n = d. c m x + c m x + + c mn x n = d m on porrasmuodossa (row echelon (or staircase) form), jos sen kertoimille c ij pätee: () jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eriävä kerroin on, () jos rivillä k kaikki kertoimet eivät ole nollia, niin rivin k + alkupäässä on kertoimina aidosti enemmän nollia kuin rivin k alkupäässä, (3) pelkkiä nollia kertoiminaan sisältävät rivit ovat viimeisinä. Yhtälöryhmä on redusoidussa porrasmuodossa, jos se on porrasmuodossa ja (4) kunkin rivin ensimmäinen nollasta eriävä kerroin on sarakkeensa ainoa nollasta eriävä kerroin. Esimerkki..8 Yhtälöryhmä x + x 3 + 6x 5 = 3 x + 7x 3 + x 5 x 6 = x 4 + 5x 6 = 3 0 = a missä a on reaalivakio, on redusoidussa porrasmuodossa. Tällä yhtälöryhmällä on ratkaisuja jos ja vain jos a = 0. Porrasmuodon kunkin rivin ensimmäistä nollasta poikkeavaa kerrointa sanotaan johtavaksi kertoimeksi (leading coefficient) tai johtavaksi alkioksi. Vastaava tuntematon on johtava tuntematon (tai johtava muuttuja). Muut tuntemattomat ovat vapaita tuntemattomia (tai vapaita muuttujia). Tehtävä..9 Selvitä Esimerkin..8 yhtälöryhmän johtavat ja vapaat tuntemattomat. Ratkaisu sivulla 36. Yhtälöryhmä on kolmiomuodossa, jos se on kvadraattinen (n = m) ja kullakin rivillä k ovat k ensimmäistä kerrointa nollia, mutta c kk 0.

4 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Esimerkki..0 Yhtälöryhmä 5x + x + x 3 = x x 3 = 7x 3 = on kolmiomuodossa, mutta ei porrasmuodossa. On ilmeistä, että kolmiomuodossa olevalla yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu, koska kaikki tuntemattomat ovat johtavia. Ratkaisu voidaan laskea yksinkertaisesti sijoittamalla alkaen viimeisestä tuntemattomasta. Tehtävä.. Saata Esimerkin..0 yhtälöryhmä porrasmuotoon ja ratkaise se. Ratkaisu sivulla 37. Esimerkki.. Eräs 4 5-yhtälöryhmä on muunnettu muotoon Selvitä perustellen, onko se a) kolmiomuodossa, b) porrasmuodossa, c) redusoidussa porrasmuodossa? x x + x 4 + 5x 5 = 7 x x 3 + 7x 4 = 3 x 4 + 6x 5 = 8 x 5 = Ratkaisu. a) Ei ole kolmiomuodossa, sillä se ei ole kvadraattinen (tai: c 33 = 0). b) On porrasmuodossa (tarkasta ehdot ()-(3)). c) Ei ole redusoidussa porrasmuodossa, esimerkiksi johtava x toisella rivillä ei ole sarakkeensa ainoa (vaatimus (4)). Esimerkki..3 Muunna porrasmuotoon yhtälöryhmä x + x x 3 = x x + 3x 3 = x x + 4x 3 = Ratkaisu. Olkoot yhtälöryhmän rivit R, R ja R 3. Korvataan R yhtälöllä R, joka saadaan vähentämällä toisesta ensimmäinen kerrottuna kahdella eli R R R ja R 3 yhtälöllä R 3 R 3 R. Nyt R ja R 3 ovat samat, ja operaatio

. Lineaariset yhtälöryhmät 5 R 3 R 3 R tuottaa yhtälön 0 = 0. Lopuksi skaalataan R kertoimella /3, jolloin saadaan porrasmuoto x + x x 3 = x 5 3 x 3 = 0 0 = 0 Esimerkki..4 Muunnetaan Esimerkin.. yhtälöryhmä redusoituun porrasmuotoon. Ratkaisu. Yhtälöryhmä oli jo porrasmuodossa: x x + x 4 + 5x 5 = 7 R x x 3 + 7x 4 = 3 R x 4 + 6x 5 = 8 R 3 x 5 = R 4 On nollattava johtavien tuntemattomien yläpuolet. Aloitetaan lopusta: x x + x 4 + = R R 5R 4 x x 3 + 7x 4 = 3 R R 0R 4 x 4 + = 4 R 3 R 3 6R 4 x 5 = R 4 R 4 x x = R R R 3 x x 3 = 95 R R 7R 3 x 4 = 4 R 3 R 3 x 5 = R 4 R 4 x x 3 = 9 R R + R x x 3 = 95 x 4 = 4 x 5 = Tämä on redusoitu porrasmuoto.

6 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Ratkaisujen esittäminen vektorimuodossa Jatkossa ratkaisut pyritään esittämään vektorimuodossa, ja tarvittaessa sopivan apumuuttujan, skalaariparametrin avulla niin, että kaikki tuntemattomat vapautuvat vektorin koordinaateiksi. Lisäksi vektorit ovat pystyvektoreita, vaikka ne tilan säästämiseksi usein kirjoitetaan transpoosin avulla vaakamuodossa (x x... x n ) T, ks. Luku 3.. Esimerkki valaissee tässä vaiheessa asiaa helpoimmin. Esimerkki..5 Ratkaise Esimerkissä..4 redusoitu yhtälöryhmä ja esitä ratkaisu vektorimuodossa. Ratkaisu. Yhtälöryhmässä x x 3 = 9 x x 3 = 95 x 4 = 4 x 5 = tuntematon x 3 on vapaasti valittavissa, joten ratkaisuja on äärettömästi. Valitaan parametriksi vapaa x 3 = s R ja ratkaistaan muut siitä riippuvat: x = 9 + s x = 95 + s x 3 = s R x 4 = 4 x 5 = Esitys vektorimuodossa x = a + sb parametrina s: x 9 x x 3 x 4 = 95 0 4 + s 0, s R, tai transpoosin avulla x 5 0 (x x x 3 x 4 x 5 ) T = ( 9 95 0 4 )T + s ( 0 0 )T, s R. Tehtävä..6 Muunna redusoituun porrasmuotoon Esimerkin..3 yhtälöryhmä x + x x 3 = x 5 x 3 3 = 0 0 = 0 ja esitä ratkaisu vektorimuodossa. Ratkaisu sivulla 37.

.3 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 7 Tehtävä..7 Muunna porrasmuotoon ja redusoituun porrasmuotoon seuraavat yhtälöryhmät ja määritä niiden kaikki ratkaisut: a) b) c) { x 4x 3 = 3x + 4x 3 = 3 x 3x = 3x + x = 3 x x = 7 x + x + x 3 + x 4 = x 3 x 4 = x + x 4 = Ratkaisu sivulla 37..3 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyskysymys osataan myöhemmin selvittää helposti yhtälöä ratkaisemattakin. Toisaalta asia selviää, kun yhtälöryhmää yritetään ratkaista. Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan aina muuntaa yhtäpitävään porrasmuotoon nk. Gaussin eliminointimenetelmällä, so. käyttäen edellä esiteltyjä alkeisoperaatioita I. Vaihdetaan yhtälöiden järjestystä. II. Yhtälö kerrotaan nollasta eriävällä luvulla. III. Yhtälöön lisätään toisen yhtälön monikerta. Ratkaisut saadaan porrasmuodosta nk. takaisinsijoituksella, kun mahdollisille vapaille muuttujille on ensin annettu parametriarvot (Johann Carl Friedrich Gauss, Saksa, 777-855). Yhtälöryhmän saattamista redusoituun porrasmuotoon em. muunnoksin sanotaan Gauss-Jordanin reduktioksi. Tämä pidemmälle viety prosessi on työläämpi, mutta joissakin yhteyksissä välttämätön suorittaa. Toisaalta redusoidun porrasmuodon käyttö on takaisinsijoittamisessa vaivattomampi (Wilhelm Jordan, Saksa, 84-899).

8 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Gaussin eliminointimenetelmä Jo Luvussa. harjoitellut menettelyt esitetään nyt formaalimmassa algoritmimuodossa, jonka mukaisesti ratkaiseminen voidaan ohjelmoida vaikkapa tietokoneohjelmaksi, ks. Kuva 5. Lineaarisen m n-yhtälöryhmän porrasmuotoon muuntamisprosessi koostuu m periaatteessa samanlaisesta vaiheesta. Vaiheessa k eliminoidaan (eli kerroin nollataan) tuntematon x k riveillä k+, k+,... m olevista yhtälöistä. Ennen eliminointiprosessin aloittamista täytyy tuntemattomat järjestää niin, että kunkin tuntemattoman x k kertoimet on kirjoitettu yhtälöihin kohdakkain. Käsin laskettaessa yhtälöt kannattaa järjestää niin, että ryhmä on mahdollisimman lähellä porrasmuotoa ja ensimmäisessä yhtälössä tuntemattoman x kerroin on yksinkertainen, ei kuitenkaan 0. Eliminointivaiheessa k ennalleen jätetty k. rivi on tukiyhtälö eli tukirivi (pivotal row) ja sen tuntemattoman x k kerroin tukialkio (pivot element). Numeerisissa algoritmeissä täytyy aina huolehtia siitä, että tukialkiolla jakaminen ei aiheuta ylivuotoja; tarvittaessa skaalataan, vaihdetaan tukiyhtälöä tai tuntemattomien järjestystä. Tällaista menettelyä sanotaan tuennaksi (pivoting).

.3 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 9 VAIHE I. Oletetaan, että a 0 yhtälöryhmässä a x + a x + + a n x n = b R a x + a x + + a n x n = b R. a m x + a m x + + a mn x n = b m R m Muuttuja x eliminoidaan yhtälöistä R, R 3,..., R m : ) R R (ennallaan) ) R R a a R 3) R 3 R 3 a 3 a R. m) R m R m a m a R. VAIHE II. Olkoon a 0 saadussa ryhmässä a x + a x + + a nx n = b R a x + + a nx n = b R a 3x + + a 3nx n = b 3 R 3. a mx + + a mnx n = b m R m Muuttuja x eliminoidaan yhtälöistä R 3, R 4,..., R m: R R ja R R R k R k a k a R arvoilla k = 3, 4,..., m Vaiheita jatketaan III, IV,... niin kauan kuin voidaan. Lopuksi johtavat alkiot skaalataan ykkösiksi. Yhtälöryhmä ratkeaa nyt takaisinsijoituksella. Kuva 5: Gaussin eliminointialgoritmi

30 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Esimerkki.3. Ratkaistaan Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä x + x + x 3 = 3 R 3x x 3x 3 = R x + 3x + x 3 = 4 R 3 x + x + x 3 = 3 R R 7x 6x 3 = 0 R R 3R x x 3 = R 3 R 3 R x + x + x 3 = 3 R R 7x 6x 3 = 0 R R x 7 3 = 4 R 7 3 R 3 7 R x + x + x 3 = 3 R R x + 6x 7 3 = 0 R 7 7 R x 3 = 4 R 3 7R 3 Yhtälöryhmä on porras- ja kolmiomuodossa, josta takaisinsijoitus antaa yksikäsitteisen ratkaisun x 3 = 4, x = ja x = 3 eli (x x x 3 ) T = (3 4) T. Esimerkki.3. Millä a R ei seuraavalla yhtälöryhmällä ole ratkaisuja? x + x + x 3 = 3 3x x 3x 3 = x + 3x + ax 3 = 4 Samoilla operaatioilla kuin Esimerkissä.3. (paitsi jättämällä kolmas yhtälö normittamatta) saadaan edeltävän kanssa yhtäpitävä muoto: x + x + x 3 = 3 R R 6 x + x 7 3 = 0 R 7 7 R (a 8)x 7 3 = 4 R 7 3 R 3 Yhtälöryhmä on nyt kolmiomuodossa, josta näkyy, että sillä on ratkaisuja jos ja vain jos a 8/7. Näillä arvoilla ratkaisuja on tasan yksi. Jos taas a = 8/7, on viimeisenä mahdoton yhtälö.

.3 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 3 Gauss-Jordanin reduktio Gauss-Jordan-prosessi alkaa muuntamalla yhtälöryhmä Gaussin eliminointimenetelmällä porrasmuotoon. Tämän jälkeen jatketaan peilikuva-prosessilla ; nollataan kunkin johtavan muuttujan sarakkeesta sen yläpuolella olevat kertoimet alkaen viimeisestä johtavasta muuttujasta ja käyttäen tukiyhtälönä vastaavaa riviä. Näin yhtälöryhmä saadaan redusoituun porrasmuotoon. Esimerkki.3.3 Käytetään Gauss-Jordanin reduktiota Esimerkissä.3. saatuun porrasmuotoon: x + x + x 3 = 3 R x + 6 7 x 3 = 0 7 R x 3 = 4 R 3 x + x = R R R 3 x = R R 6R 7 3 x 3 = 4 R 3 R 3 x = 3 R R R x = R R x 3 = 4 R 3 R 3 Kussakin eliminointivaiheessa pitää tehty operaatio kirjata näkyviin esimerkiksi kuten yllä, sillä se on paitsi lukemista helpottava muistiinpano, myös perustelu. Tehtävä.3.4 Ratkaise Gauss-Jordanin reduktiolla x + 3x 3 = 5 x 3x + x 3 = 3x + x 3 = 5 Ratkaisu sivulla 38. Maple-animaatio Gaussin prosessista (linkki) http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/lineaarialgebra/ Kurssimateriaali/Gauss/GAUSS.html

3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Lineaaristen yhtälöryhmien luokittelusta Lineaariset yhtälöryhmät jaetaan ulkomuotonsa perusteella kolmeen ryhmään: m n-yhtälöryhmä on kvadraattinen, jos m = n, eli jos yhtälöitä on yhtä monta kuin tuntemattomia alimäärätty (underdetermined), jos m < n, eli jos yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia ylimäärätty (overdetermined), jos m > n, eli jos yhtälöitä on enemmän kuin tuntemattomia. Ratkaisujen määrät selvitetään yksityiskohtaisesti Lauseessa 6.6.. Tässä vaiheessa riittää sanoa karkeasti: alimäärätyllä yhtälöryhmällä on aina 0 tai äärettömästi ratkaisuja (ks. Lause.3.) ylimäärätyllä yhtälöryhmällä ei useinkaan ole ratkaisuja jos eliminointiprosessissa tulee vastaan mahdoton yhtälö, ei ratkaisuja ole jos menetelmä ei anna muuttujille x k, x k,..., x kp yksikäsitteisiä arvoja, niille annetaan mielivaltaiset arvot, esimerkiksi x k = t R,..., x kp = t p R, ja ratkaistaan muut näiden avulla. Tällöin ratkaisuja on äärettömästi ja sanotaan, että ratkaisu on p-parametrinen joukko parametreina luvut t k, k =,, 3,..., p. Esimerkki.3.5 Kun tehtävän..5 kohdassa b) valitaan mielivaltaiseksi parametriksi z = s R, saadaan vektorimuotoinen esitys x y = 3 6 + s 34, s R. 3 3 z 0 3 Jos olisi valittu x = t R, jolloin y = 34t 74 ja z = 3t 3, saataisiin toisenlainen esitys x 0 y = 74 + t 34, t R. z 3 3

.3 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 33 Seuraavista esimerkeistä nähdään, että alimäärätyllä ryhmällä voi olla 0 tai äärettömästi ratkaisuja: Esimerkki.3.6 Helposti nähdään, että seuraavat yhtälöt ovat ristiriitaiset { x x + 6x 3 = 0 x + x 3x 3 = 4 Esimerkki.3.7 Seuraavalla yhtälöryhmällä on äärettömästi ratkaisuja: x + x + x 3 + x 4 + x 5 = R x + x + x 3 + x 4 + x 5 = 3 R x + x + x 3 + x 4 + 3x 5 = R 3 x + x + x 3 + x 4 + x 5 = R R x 4 + x 5 = R R R x 4 + x 5 = 0 R 3 R 3 R x + x + x 3 + x 4 + x 5 = R R x 4 + x 5 = R R x 5 = R 3 R 3 R Siis ainakin x 5 = ja x 4 =. Arvot x 3 ja x voidaan valita miten vain, asetetaan vaikkapa x = s R ja x 3 = t R. Silloin x = s t ja (x x x 3 x 4 x 5 ) T = ( s t s t ) T, s, t R = ( 0 0 ) T + s( 0 0 0) T + t( 0 0 0) T, s, t R. Ylimäärätyllä yhtälöryhmällä saattaa olla jopa äärettömästi ratkaisuja: Tehtävä.3.8 Ratkaise yhtälöryhmät x + x + x 3 = x a) x + x 3 = 4x + 3x + 3x 3 = 4 x x + 3x 3 = 5 Ratkaisu sivulla 38. x + x + x 3 = x b) x + x 3 = 4x + 3x + 3x 3 = 4 3x + x + x 3 = 3 Tehtävä.3.9 Ratkaise x + x x 3 + x 4 = 3x a) + 4x + x 3 x 4 = x x 3x 3 + x 4 = 4 x + 3x + x 3 x 4 = 0 Ratkaisu sivulla 38.

34 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT Tehtävä.3.0 Millä vakioiden a ja b arvoilla yhtälöryhmällä x + x + 3x 3 = x + x + 4x 3 = 3 x + 3x + ax 3 = b a) ei ole ratkaisuja? b) on äärettömästi ratkaisuja? c) on vain yksi ratkaisu? Vihje: Kriittiset arvot ovat a = 5 ja b = 4. Ratkaisu sivulla 38. Homogeeniset yhtälöryhmät Lineaarisella homogeenisella yhtälöryhmällä a x + a x + + a n x n = 0 a x + a x + + a n x n = 0. a m x + a m x + + a mn x n = 0 on aina vähintäin yksi ratkaisu, nimittäin triviaaliratkaisu x = x = = x n = 0. Lause.3. Olkoon lineaarisessa yhtälöryhmässä aidosti enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä, ts. olkoon yhtälöryhmä alimäärätty. a) Jos yhtälöryhmä on homogeeninen, sillä on ei-triviaaleja ratkaisuja, jopa äärettömästi. b) Jos yhtälöryhmä on epähomogeeninen, sillä on 0 tai ratkaisua. Todistus. Olkoon yhtälöryhmä kokoa m n, m < n, ja viety yhtäpitävään porrasmuotoon. Homogeenisella yhtälöryhmällä on ainakin triviaaliratkaisu, joten porrasmuodossa ei ole ristiriitaisia yhtälöitä. Sama pätee epähomogeeniselle ryhmälle, jolla on ratkaisuja. Porrasmuodossa olkoon r m nollasta eriävää riviä ja siten r johtavaa muuttujaa. Koska tuntemattomia on n > m r, voidaan vapaat n r muuttujaa valita mielivaltaisesti.

.3 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen 35 Tehtävä.3. Ratkaise x + x x 3 + 3x 4 = 0 x + 3x + x 3 + x 4 = 0 4x x 3x 3 + x 4 = 0 a) valiten vapaaksi tuntemattomaksi x 4 (siis asettamalla vaikkapa parametriksi t R). b) valiten vapaaksi tuntemattomaksi x 3. Ratkaisut sivulla 38. Jos yhtälöitä on enemmän kuin tuntemattomia, yhtälöryhmällä ei siis tavallisesti ole ratkaisua. Kuitenkin sille voidaan yleensä laskea käyttökelpoinen kompromissiratkaisu, nk. PNS-ratkaisu, jota käsitellään Luvussa. Parametrimuunnokset Kun lineaarisella yhtälöryhmällä on äärettömästi ratkaisuja, on yleensä useita tapoja esittää ratkaisu parametrien avulla. Näin voi olla hyvinkin hankalaa verrata ratkaisuja toisiinsa; siis ovatko ratkaisujoukot todella samat. Kun kahdessa eri ratkaisumuodoissa käytetään eri parametrinimiä (s, s,...) ja (t, t,...), on ainakin periaatteessa helpohko selvittää esittävätkö ne samaa ratkaisujoukkoa: Ensinnäkin, molemmissa ratkaisuissa on oltava sama arvo niillä tuntematomilla, joissa ei esiinny parametria (eli kerroin on nolla). Tämän tarkastuksen jälkeen nämä voidaan jättää syrjään. Yhtälöryhmän porrasmuodosta nähdään mikä on vapaasti valittavien tuntemattomien määrä eli parametrien (minimi)määrä. Kun ratkaisut on muodostettu porrasmuodon avulla, tulee parametreja kuhunkin esitykseen sama määrä. Merkitään ratkaisut koordinaateittain samoiksi ja ratkaistaan toisen ratkaisumuodon parametrit toisen avulla. Jos tämä onnistuu, ovat ratkaisujoukot samat. Esitysmuotojen tulee siis olla saatavissa toisistaan parametrimuunnoksella. Tehtävä.3.3 Osoita, että yhtälöryhmän (joka on valmiiksi porrasmuodossa) { x + x + x 3 + x 4 = x = 3 ratkaisut ovat todella samat: Ratkaisu sivulla 39. (x x x 3 x 4 ) T = ( t t 3 t t ) T, t, t R (x x x 3 x 4 ) T = (s 3 s s s ) T, s, s R

.4 Ratkaisuja tehtäviin Tehtävä..: Yhtälöryhmän määräävät seuraavassa näkyvät funktiot F, F, F 3 : R 3 R: F (x, y, z) = x + x + y z = 0 F (x, y, z) = x + y + z = 0 F 3 (x, y, z) = z y = 0 Tehtävä..: a) on lineaarinen (homogeeninenkin, kun muuttujina ovat x ja y) b) on lineaarinen (epähomogeeninen) c) on lineaarinen (jopa homogeeninen, jos myös z on muuttuja) d) ei ole lineaarinen, siinähän esiintyy tulo xy; jos kuitenkin esimerkiksi y olisi vakio, kyseessä olisi lineaarinen yhtälö! Tehtävä..3: lienee parasta ottaa muuttujiksi (tuntemattomiksi) kaikki esiintyvät symbolit x, y ja z. Silloin F (x, y, z) = x 3y = 0 F (x, y, z) = x 3y 3 = 0 F 3 (x, y, z) = x 3y z = 0 Tehtävä..4: Vähennetään ristiin samassa vaiheessa. Oikea vastaus x = 5, y =. Tehtävä..5: ratkaisut parametrimuodossa: { 4x + y = 3 a) 5x 3y = 4 b) c) d) { 3x y + 5z = x + 3y 8z = 34 s + t = s t = 3s + t = 3x x + x 3 = 7x + x 8x 3 = 5 x + x x 3 = 0 { x = 7 y = (suorien leikkauspiste) x = 3 + s 3 3 y = 6 + 34 s 3 3 z = s R, (tasojen leikkaussuora) Ei ratkaisua (suorat eivät leikkaa samassa pisteessä) x = x = x 3 = 3 (tasojen leikkauspiste) Tehtävä..9: Johtavia tuntemattomia ovat x, x ja x 4, vapaita x 3, x 5 ja x 6.

.4 Ratkaisuja tehtäviin 37 Tehtävä..: Porrasmuoto on x + x 5 + x 5 3 = 5 x x 3 = x 3 = 7 ja ratkaisu (x, x, x 3 ) = ( 4, 8, 35 7 7). Tehtävä..6: Esimerkissä..3 saatuun porrasmuotoon tehdään yksi operaatio R R R, jolloin saadaan redusoitu porrasmuoto x + x 3 3 = x 5 3 x 3 = 0 0 = 0 ja ratkaisu vektorimuodossa (huomaa sijoitus s = 3t): x 3 x = 0 + s 5 = 0 + t 5, s, t R x 3 0 0 3 Tehtävä..7: a) Ratkaisu parametrimuodossa: x = + s x = 4 3 s x 3 = s R b) Ei ratkaisua: 3 x 3x = R 3x + x = 3 R x x = 7 R 3 x x = 7 R R 3 x 3x = R R 3x + x = 3 R 3 R x x = 7 R R x = 3 R R R 5x = 4 R 3 R 3 + 3R x x = 7 R R x = 3 R R 0 = 4 R 3 R 3 + 5R

38 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT c) Ratkaisu vektorimuodossa, kun vapaaksi tuntemattomaksi on valittu x 4 = t R: x x x 3 = + t, t R, x 4 0 mutta hiukan toinen muoto ilmestyy valinnalla x 3 = s R: x x x 3 = 4 0 + s, s R. x 4 Osoita nämä ratkaisujoukot samoiksi! Vihje: Merkitään yo. ratkaisujen mukaisesti x 3 = s = + t, josta t = s. Nyt sijoitetaan tämä t ensimmäiseen ratkaisuun, ja sievennellään. Tehtävä.3.4: (x x x 3 ) T = ( 4 ) T Tehtävä.3.8: a) (x x x 3 ) T = ( 3 5)T 0 b) Valitaan esimerkiksi x 3 = s R, jolloin (x x x 3 ) T = ( 3s s 5 5 s)t tai vaikkapa valitsemalla nyt t = s/5: (x x x 3 ) T = ( 3t t 5t) T, t R. Tehtävä.3.9: (x x x 3 x 4 ) T = (3 )T. Tehtävä.3.0: Viedään Gaussilla (lähes) porrasmuotoon. Muodosta x + x + 3x 3 = x + x 3 = (a 5)x 3 = b 4 nähdään a) ei ratkaisuja a 5 = 0 ja b 4 (0x 3 0) b) ääreettömästi ratkaisuja a 5 = 0 ja b = 4 (x 3 = t R) c) tasan yksi ratkaisu a 5 0 Tehtävä.3.: a) Kun valitaan parametriksi R t = x 4, saadaan ratkaisuksi neliulotteisen avaruuden suora 3 x 0 3 x x 3 = t 7 = t 0 0 4, t R. x 4 0 5

.4 Ratkaisuja tehtäviin 39 b) Kun valitaan parametriksi R s = x 3, saadaan ratkaisusuora muodossa x x x 3 = s x 4 3 4 5 7 5 7 3 = s 0 4 4, s R. 0 Tehtävä.3.3: Merkitsemällä ratkaisumuodot koordinaateittain samoiksi saadaan yhtälöryhmä s = t t s = t s + s = t Tällä (ylimäärätyllä) yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu s = t t, s = t. Sijoittamalla nämä arvot toiseen muotoon saadaan juuri ensimmäinen muoto (x x x 3 x 4 ) T = (s 3 s s s ) T (x x x 3 x 4 ) T = ( t t 3 t t ) T.

3 MATRIISILASKENTAA Tässä luvussa käsitellään matriisialgebraa, opitaan muuntamaan lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuotoon sekä ratkaisemaan se. 3. Karteesinen tulo ja matriisi Joukkojen X ja Y karteesinen tulo eli tulojoukko (product) on järjestettyjen parien joukko X Y := {(a, b) a X, b Y}. Äärellinen n-ulotteinen (n-dimensional) tulojoukko on n X i = X X X n := {(a, a,..., a n ) a i X i } i= ja sen alkioita (a, a,..., a n ) sanotaan vektoreiksi. Erityisesti merkitään X n := X } {{ X }. n kpl Jos tulojoukon tekijöitä X i on mn kappaletta, n, m N, ne voidaan indeksoida uudelleen ja kirjoittaa (m n)-suorakulmioksi muotoon m,n X = X ij := i,j X X X n X X X n....... X m X m X mn Joukon X alkiot A ovat m n-matriiseja ja merkitään a a a n a a a n A = (a ij ) m n =......, a ij X ij. a m a m a mn Kaksi matriisia A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) m n ovat samat (merkitään A = B), jos a ij = b ij kaikilla i [m], j [n], toisin sanoen, kaikki vastinalkiot ovat samoja. Katso kuva 6.

3. Matriisioperaatioita ja nimityksiä 4 rivi i a a...... a a i a... a i... a m a m...... a j......... a j............... a a ij... mj sarake j...... a n a n a a in... mn Kuva 6: alkio a ij Yksirivistä matriisia sanotaan myös vaaka- eli rivivektoriksi (row) ja yksisarakkeista pysty- eli sarakevektoriksi (column). Matriisilaskennan yhteydessä sekä vaaka- että pystyvektorien alkioiden väliset pilkut korvataan tavallisesti tyhjeillä. Kuten jo Luvussa. sovittiin, tässä oppimateriaalissa euklidisen avaruuden R n vektoreita käsitellään pääsääntöisesti pystyvektoreina. 3. Matriisioperaatioita ja nimityksiä Transponointi ja laskutoimitukset Matriisin A = (a ij ) R m n transpoosi on matriisi A T = (b kl ) R n m, missä b kl := a lk, ts. rivit on vaihdettu järjestyksessä sarakkeiksi. Avaruuden R m n matriiseja voidaan laskea yhteen, kertoa vakiolla ja kertoa keskenään alkioittain kuten vektoreitakin. Matriisia O, jonka kaikki alkiot ovat nollia, kutsutaan nollamatriisiksi. Nollamatriisi on matriisien yhteenlaskun neutraalialkio, so. A + O = A ja O + A = A. Matriisin A = (a ij ) vastamatriisi on vastaluvuista koostuva samankokoinen matriisi A = ( a ij ); silloin A + ( A) = O ja A + A = O.

4 3 MATRIISILASKENTAA Esimerkki 3.. Olkoot ( ) A := 3 0 ja B := ( ) 3 Transpoosit ovat silloin 3 A T = 0 ja B T = 3 Yhteenlaskun tulos on summa A + B = ( 3 0 ) + Skalaarilla kertominen: ( 4 4 ( )A = A = 6 0 ( ) = 3 ) = ( 3 ) 4 4 3 ( 4 ) 4 6 0 Alkioittainen tulo (jolla ei lineaarialgebrassa juuri ole käyttöä): ( ) ( ) ( ) 4 A. B =. = 3 0 3 3 0 Varsinainen matriisien kertolasku määritellään seuraavasti: Matriisien A = (a ij ) R m n ja B = (b jk ) R n r (matriisi)tulo on matriisi AB = C = (c ik ) R m r, missä c ik := n j= a ijb jk. Tulomatriisin alkio c ik on siis matriisin A rivin i ja matriisin B sarakkeen k pistetulo. Pystyvektorien x = (x x x n ) T ja y = (y y y n ) T R n pistetulo voidaan kirjoittaa matriisitulona x y = x T y = x y + x y + + x n y n. Pystyvektorin x = (x x x n ) T normille x pätee x = x + x + + x n = n x i = x T x i= x = (x + x + + x n) = xt x.

3. Matriisioperaatioita ja nimityksiä 43 Esimerkki 3.. Esimerkin 3.. matriiseille tuloja AB ja BA ei ole määritelty, koska molemmat ovat 3-matriiseja; sen sijaan ( ) AB T = 3 3 0 ( ) ( ) + ( ) + ( )( ) + 3 + ( ) 4 5 = = 3 + 0( ) + ( ) 3 + 0 3 + 4 4 3 ( ) 5 8 A T B = 0 = 4 4 3 3 5 5 Tehtävä 3..3 Laske ( ) 4 a) b) 3 c) a a ( x x ) x 3 a 3 e) seuraavassa tulossa ( ) 3 x x 4 5 6 x 3 d) ( ) x a a a 3 x x 3 3 4 3 3 4 3 5 0 rivillä 3 sarakkeessa oleva luku. Ratkaisut sivulla 56. Tehtävä 3..4 Olkoot ( ) 0 A :=, B := ( 3 ) T 3 ja C := ( 3 ) Laske normit a) B ja b) C T, c) pistetulo (AB) (C T ), sekä matriisitulot ) ) d) A T BC, e) A(BC) (AB)C, f) C ((( C)A T B. Ratkaisut sivulla 56. Tehtävä 3..5 Laske a) ( ) (( ) b a a + b ( c c )) b) ( ) ( ) b a a + ( ) ( ) c a b a c

44 3 MATRIISILASKENTAA Ratkaisu sivulla 57. Avaruuden R n n alkiot ovat neliömatriiseja (square matrix). Avaruus R n n on suljettu matriisien kertolaskun suhteen, sillä tulo on myös n nmatriisi. Matriisin (a ij ) diagonaali eli päälävistäjä on pystyvektori (a,..., a nn ) T. Matriisia sanotaan diagonaalimatriisiksi, jos sen diagonaalin ulkopuolella olevat alkiot ovat nollia. Edellä on jo määritelty nollamatriisi O ja vastamatriisit. Yksikkömatriisi (identity) on diagonaalimatriisi I, jonka diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Yksikkömatriisi on matriisitulon neutraalialkio: jos A R n n, niin AI = IA = A. Matriisi A = (a ij ) n n on symmetrinen, jos A = A T, eli a ij = a ji kaikilla i, j [n]. Symmetrisyys tarkoittaa diagonaalin suhteen symmetrisyyttä. Matriisi on yläkolmiomatriisi (upper triangular), jos sen diagonaalin alapuolella on vain nollia; vastaavasti määritellään alakolmiomatriisi. Matriisitulo ei ole vaihdannainen; yleensä AB BA. Kahden nollasta eriävän matriisin tulo voi olla nollamatriisi; voi jopa olla A (= AA) = O, vaikka A on nollasta eriävä matriisi. Tulon supistussääntö ei myöskään päde: siitä, että AC = BC ei seuraa A = B. Sen sijaan laskutoimitukset + ja ovat liitännäisiä ja niille pätevät mm. osittelulait. Esimerkki 3..6 Matriisitulo ei ole vaihdannainen edes neliömatriiseille: ( )( ) ( ) 3 4 = 4 6 ( )( ) 3 4 = ( 6 ) 4 6 4

3.3 Laskusääntöjä 45 3.3 Laskusääntöjä Matriisin osien poimiminen ja osiin viittaaminen Olkoon a a a n a a a n A = (a ij ) m n =...... a m a m a mn Osavektorin ja -matriisin poiminta: jos p q m ja r s n, niin A(p : q, j) := A(p : q, r : s) := pj a. A(i, r : s) := ( ) a ir a is a qj Kokonaisen rivin ja sarakkeen poiminta: a pr a ps..... a qr a qs A(i, :) := ( ) a i a in, A(:, j) := Edellisiä merkintöjä käytetään mm. Matlab-ohjelmassa. Matriisin sarakkeita merkitään myös a j = A(:, j). Tällöin A = ( a a n ). Olkoon myös B m n matriisi. Tällöin summassa A + B on alkio (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j) rivi (A + B)(i, :) = A(i, :) + B(i, :) sarake (A + B)(:, j) = A(:, j) + B(:, j). Tulossa AB on taas a j. a mj alkio (AB)(i, j) = A(i, :)B(:, j) = n k= A(i, k)b(k, j) rivi (AB)(i, :) = A(i, :)B sarake (AB)(:, j) = A(B(:, j)).