MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA

MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA Matematiikan koulutusohjelma antaa yleiskuvan matematiikasta ja sen soveltamisesta sekä tarkemman kuvan eräistä matematiikan osa-alueista. Se antaa valmiuden matematiikan opettamiseen ja tieteelliseen työskentelyyn tällä alalla. Luonteenomaista matematiikalle on sen pitkälle viety käsitteellisyys ja päättelyn looginen täsmällisyys. Matematiikkaa pidetään yleisesti vaikeana aineena. Opinnot on kuitenkin suunniteltu siten, että ahkera, matematiikasta kiinnostunut opiskelija selviää niistä. Toisaalta opinnot tarjoavat aina kiintoisan ja vaativan haasteen sellaisille lahjakkaille opiskelijoille, jotka haluavat perehtyä tähän alaan syvällisesti ja suoriutua opinnoista erinomaisin arvosanoin. Matematiikassa tärkeintä ei ole asioiden ulkoa opettelu vaan niiden ymmärtäminen ja matemaattisen ajattelutavan, ongelmanratkaisumenetelmien ja todistustekniikan omaksuminen. Matematiikan koulutusohjelmassa on viisi linjaa: analyysin (A), lukuteorian ja algebran (LA), tietoteknisen matematiikan (TM) ja matemaattisen mallintamisen (MM) linjat sekä matematiikan opettajan linja. Vakuutusmatemaatikon linja ei enää kuulu linjavaihtoehtoihin. Neljän ensin mainitun linjan yhteisnimi on matemaatikon linjat. Nämä linjat, viimeistä lukuun ottamatta, poikkeavat toisistaan pääasiassa vasta syventävien opintojen kohdalla. Niinpä aineopinnot voidaankin haluttaessa valita siten, että ne kattavat lähes kaikki tärkeimmät aineopintojaksot samanaikaisesti kolmella ensiksi mainitulla linjalla. Seuraavassa esitellään linjat. Analyysin linjan päämääränä on antaa vankat perustiedot etenkin sellaisilta matemaattisen analyysin aloilta, joilla on keskeinen merkitys luonnontieteissä. Tällaisia ovat esim. dynaamiset systeemit, differentiaali- ja integraaliyhtälöt ja todennäköisyyslaskenta. Samalla opiskelijan saama modernin analyysin perusteiden tuntemus on välttämätön suuntauduttaessa sellaisille laitoksessa edustettuina oleville erityisaloille kuin biomatematiikka, optimointi, mallintaminen ja funktionaalianalyysi. Analyysin perustietojen hallinta on tärkeää myös opettajaksi opiskeleville. Suositeltavia sivuaineita tällä linjalla ovat mm. fysiikka, kemia ja biologia. Lukuteorian ja algebran linjasta. Lukuteoria ja algebra ovat aloja, joilla on pitkät perinteet Turun yliopistossa. Vaikka nämä alat ovat klassista matematiikkaa, niiden kehitys on jatkuvasti ollut hyvin voimakasta ja yllätyksellistäkin. Myös nykyaikainen tietotekniikka on 210

vaikuttanut näihin aloihin tuomalla uusia tutkimusmenetelmiä ja nostamalla esiin uudenlaisia kysymyksiä. Lukuteorian tutkimus matematiikan laitoksella suuntautuu toisaalta algebralliseen ja toisaalta analyyttiseen lukuteoriaan. Näiden lisäksi tällä linjalla voi saada tutkielman aiheen ns. alkeellisesta lukuteoriasta tai esimerkiksi sellaisilta algebran aloilta kuin ryhmäteoria, Lien algebrat ja matriisilaskenta. Tietoteknisen matematiikan linjalla tutustutaan matemaattisiin teorioihin, joista useat ovat syntyneet tietotekniikan tarpeista. Tietoteknisessä matematiikassa korostuu konstruktiivisen matematiikan osuus ja tähän liittyvä algoritminen ajattelu. Tälle linjalle tärkeitä ovat myös matematiikan perusteita esittelevät logiikan kurssit. Tietoteknisen matematiikan keskeisimmät alueet ovat automaattien teoria ja koodausteoria sekä kryptografia. Nämä ovat yhteydessä mm. algebraan, kombinatoriikkaan ja lukuteoriaan. Niinpä tietoteknisellä matematiikalla ja lukuteorialla ja algebralla on paljon yhteistä. Sivuaineeksi tällä linjalla suositellaan tietojenkäsittelyoppia sekä elektroniikkaa ja tietotekniikkaa erityisesti niille, jotka aikovat tietoteknisen teollisuuden palvelukseen Matemaattisen mallintamisen linjalla opiskelija saa tiedot ja valmiudet käsitellä erilaisia vastaantulevia ongelmia matematiikan kielellä. Matemaattista mallintamista on käytetty aikoinaan ensimmäisenä erilaisiin fysiikan kysymyksiin. Nykyisin matematiikkaa sovelletaan monella tavalla tekniikassa, mutta myös muilla tieteenaloilla kuten biologiassa, taloustieteessä, tietojenkäsittelyssä ja vaikkapa fonetiikassa. Yritysmaailmassa matemaattiset mallit toimivat yleisesti myös päätöksenteon apuvälineenä. Usein jostain osittain tunnetusta ilmiöstä on käytettävissä sen tuottama mittava data-aineisto. Tutkimuksen päämäärä on tällöin ilmiön taustalla olevien mekanismien selvittäminen ja ymmärtäminen ja sen jälkeen mahdollisten päätelmien teko. Tähän päämäärään pääsemiseksi matemaattisen mallin muodostaminen on yleensä välttämätöntä. Tietokone on tärkeä apuväline, joten tietojenkäsittelyn opinnot ovat tarpeen tällä linjalla. Tilastotieteen tiedoilla on käyttöä itse mallin rakentamisessa ja tulosten analysoinnissa. Matemaattisen mallintamisen linjalla sivuaineeksi voi valita myös jonkin kiinnostavan sovellusalueen. Matematiikan opettajan linja on linjoista opiskelijamäärältään suurin. Tällä linjalla opiskellaan matematiikasta samoja asioita kuin matemaatikon linjoilla, mutta vähemmän. Toisaalta tällä linjalla opiskellaan runsaasti pedagogiikkaa. Linja antaa pätevyyden yläasteen ja lukion opettajan ja lehtorin tehtäviin. Nykyisin useimmissa opettajan ja lehtorin viroissa on kolme opetettavaa ainetta, yleensä matematiikka, fysiikka ja kemia. Tämä on otettu opettajan linjan suunnittelussa huomioon, mutta tilannetta vaikeutti vuonna 1999 voimaan tullut kelpoisuusasetus, jonka mukaan kolmannen opetettavan aineen kohdalla ei enää riitä 15 ov opintokokonaisuus. (Opettajien kelpoisuusvaatimuksista tarkemmin s. 16) Toisaalta kelpoisuusasetus antaa mahdollisuuden olla sitomatta virkoja opetettaviin aineisiin. Joka tapauksessa opetusministeriö on (30.3.2000 antamansa tiedotteen mukaan) kehottanut kuntia vähentämään virkoihin kuuluvien opetettavien aineiden määrän enintään kahteen. Matemaattisten aineiden opettajaksi valmistuvan on lisäksi hyvä huomata, että näiden aineiden opettajan tehtävänä usein on myös tietotekniikan opettaminen. Vakuutusmatematiikan linja on lakkautettu, koska linjan opetuksen asianmukaiseen hoitamiseen ei ole riittäviä resursseja (linjaa perustettaessa piti linjaa varten saada myös oma professuuri, mutta tämä suunnitelma ei toteutunut ja siitä lähtien on linja kärsinyt 211

resurssipulassa). Linjaa tukevia kursseja pyritään kuitenkin jatkossakin luennoimaan niin, että ennen vuotta 2002 aloittaneilla on edelleen mahdollisuus valmistua tältä linjalta. TUCS Graduate School. Tutkijoiksi aikovat voivat valmistua matematiikka pääaineena myös jatkokoulutuskeskus TUCSista (Turku Centre for Computer Science). Ensisijaisesti TUCS tarjoaa kanavan jatko-opinnoille. Keskuksen päätavoite on kansainvälinen jatkokoulutus, mikä heijastuu opiskelijoiden valintaan. Yksityiskohdista, kuten sopivista opintojaksoista, saa tietoa keskuksen esitteestä sekä matematiikan laitokselta. TUCSista saa tietoa myös internetin kautta osoitteesta www.tucs.fi. Työllisyystilanne. Käytännöllisesti katsoen kaikki viimeisten vuosien aikana koulutusohjelmasta valmistuneet ovat saaneet koulutustaan vastaavaa työtä. OPINTOJEN RAKENNE Opintojen rakenne on sama kuin viime lukuvuonna. Aikaisemmin aloittaneet opiskelijat voivat seurata nykyisiä tutkintovaatimuksia soveltuvin osin. Heidän kannattaa kuitenkin käyttää tämän opinto-oppaan rinnalla aloitusvuotensa opinto-opasta. Seuraavan taulukon luvut tarkoittavat vähimmäisvaatimuksia opintoviikoissa laskettuna. Ensimmäinen sarake koskee FM-tutkintoa matemaatikon linjoilla, toinen opettajan linjalla. Kolmas sarake koskee LuK-tutkintoa. LuK-tutkinnosta kerrotaan lisää kohdassa Opintojen yleisrakenne s. 7. M O LuK Pääaine 92,5 67,5 55 Sivuaineet 30 70 30 Pää- ja sivuaineet yht. 147,5 157,5 107,5 Kieliopinnot 2,5 2,5 2,5 Kaikki yhteensä 160 160 120 MATEMAATIKON LINJAT, FM-tutkinto 1. Pääaineen opinnot matemaatikon linjoilla 1.1. PERUSOPINNOT (15 ov) MATE5019 Analyysi I MATE5020 Analyysi II MATE5216 Lineaarialgebra 5 ov 5 ov 5 ov 1.2. AINEOPINNOT (vähintään 3) MATE5062 Ensimmäinen aine MATE5073 Matematiikan historia 212

Lisäksi on suoritettava vähintään 11 seuraavista 20 kurssista. Rastilla on merkitty ne linjat, joilla kurssi on erittäin suositeltava syventävien opintojen ja/tai ammatillisen pätevyyden kannalta. A TM LA MM MATE5060 Algebran peruskurssi I x x x x MATE5061 Algebran peruskurssi II x x x x MATE5074 Algoritminen matematiikka x SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt x x MATE5255 Fourier-analyysi x x x x MATE5033 Funktioteoria x x x MATE5059 Geometria MATE5039 Kombinatoriikka x MATE5114 Logiikka x MATE5123 Lukuteoria x x MATE5275 Matematiikan menetelmäkurssi I x x x x MATE5276 Matematiikan menetelmäkurssi II x x x x MATE5005 Metriset avaruudet x x x SMAT5108 Matemaattinen optimointi I x x SMAT5109 Matemaattinen optimointi II x x SMAT5001 Todennäköisyyslaskenta I x x SMAT5066 Todennäköisyyslaskenta II x x MATE5021 Usean muuttujan funktiot x x x 1.3. SYVENTÄVÄT OPINNOT (vähintään 45 ov) MATE5064 Toinen aine MATE5065 Kolmas aine MATE5108/SMAT5127 Pro gradu -tutkielma 10 ov Toinen aine voidaan korvata LuK-tutkielmalla (). Lisäksi on suoritettava vähintään 30 ov muita syventäviä opintoja. Näistä vähintään 20 ov pitää valita keskenään samalta linjalta. Seuraavassa luetellaan lukuvuoden 2004-2005 syventävät kurssit. Luettelo vaihtelee vuosittain. A TM LA MM MATE5244 Algebralliset luvut x 5 ov MATE5225 Automata and Formal Languages x 5 ov MATE5274 Coding Theory I x x MATE5038 Combinatorial enumeration x MATE5085 Convolutional Codes x MATE5004 Elliptiset käyrät x 5 ov MATE5269 Finite automata x SMAT5212 Introduction to Game theory x SMAT5016 Konveksi analyysi ja optimointi x x MATE5096 Logiikan jatkokurssi x SMAT5208 Lukuteorian jatkokurssi x x 213

MATE5069 Modernin analyysin perusteet x x x 5 ov SMAT5037 Optimointialgoritmit x SMAT5035 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt x x 5 ov MATE5078 Term Rewriting Systems x x MATE5251 Topologia x x x x 5 ov SMAT5213 Variaatiolaskenta x x 2. Sivuaineiden opinnot matemaatikon linjoilla Tavallisimmat sivuaineet ovat fysiikka, teoreettinen fysiikka, tietojenkäsittelytiede, taloustiede ja tilastotiede. Tietojenkäsittelytiede on ainoa pakollinen sivuaine. Katso kuitenkin myös Sivuaineet s. 8 ja Opintojen yleisrakenne s. 7. Kustakin sivuaineesta kerrotaan tarkemmin sen koulutusohjelman kohdalla, johon se kuuluu pääaineena. Tilasto- ja taloustieteen sekä filosofian sivuaineopinnot on esitelty yhteiskuntatieteellisen tiedekunnan opinto-oppaassa. Tilastotieteen opinnoista on kerrottu myös tämän oppaan kohdassa Tilastotiede sivuaineena. Taloustieteen opintoihin voi sisällyttää myös Turun kauppakorkeakoulun järjestämät Liiketaloustieteiden peruskurssin ja jatkokurssin tai niiden osasuorituksia. Vastaavia opintoja järjestetään myös Åbo Akademissa. Kauppakorkeakoulun järjestämiin opintojaksoihin on erillinen haku syksyllä. Hakumenettelystä ilmoitetaan ilmoitustauluilla ja ylioppilaslehdessä syyskuun alkupuolella. Seuraavassa esitetään tietojenkäsittelytieteiden vaatimukset. 2.1. TIETOJENKÄSITTELYTIETEET (vähintään 15 ov) Opintoihin on sisällytettävä kurssit SMAT5046 Matemaattiset ohjelmistot 1 ov MATE5219 Matematiikan tietokonetyö I 1 ov TKO_5442 Ohjelmointi I 4 ov TKO_5565 Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen I 2 ov TKO_5566 Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen II 3 ov Loput opinnot valitaan seuraavana esiteltävästä 35 opintoviikon paketista. Opiskelijoille, joilla ei ole aikaisempaa kokemusta tietokoneiden käytöstä, suositellaan kurssia TKO_5359 Tietokoneiden käytön alkeet (3 ov). Laaja sivuaine 35 ov Edellä lueteltujen pakollisten kurssien lisäksi MATE5220 Matematiikan tietokonetyö II 1 ov TKO_5509 Tietorakenteet ja algoritmit 4 ov Vapaasti valittavia tietojenkäsittelyn opintoja 19 ov (Esim: Matemaattisten ohjelmistojen jatkokurssi (1), Ohjelmointi II (4), Käyttöjärjestelmät (3), Kääntäjät (3), Ohjelmointikielten periaatteet (4), Ohjelmoinnin metodiikka (4), Tietojenkäsittely ja yhteiskunta (2), Tietokannat (4), Tietokoneorganisaatio/Mikroprosessorit (3), Algoritmien suunnittelu ja analysointi (3), Artificial Intelligence (3), Logic Programming (3), String Algoritms (3).) 214

Tietojenkäsittelytieteen sivuainekokonaisuuden voi suorittaa myös noudattamalla tietojenkäsittelyn omia sivuainekokonaisuusvaatimuksia ks. tietojenkäsittelytieteiden koulutusohjelma. 3. Muut opinnot matemaatikon linjoilla 3.1. KIELI- JA VIESTINTÄOPINNOT () Toinen kotimainen kieli 1 ov Vieras kieli 1,5 ov - suullista vähintään 0,5 ov Suositellaan suomen kielen kirjallisen viestinnän kurssille osallistumista. 3.2. VAPAASTI VALITTAVIA OPINTOJA Työharjoittelusta voidaan hyvittää 1 ov. Katso myös Tutkinnon joustavuudesta s. 9. MATEMATIIKAN OPETTAJAN LINJA, FM-tutkinto 1. Pääaineen opinnot matematiikan opettajan linjalla 1.1. PERUSOPINNOT (15 ov) Kuten perusopinnot matemaatikon linjoilla. 1.2. AINEOPINNOT (vähintään 27,5 ov) MATE5062 Ensimmäinen aine MATE5172 Matematiikan historia Lisäksi on suoritettava vähintään 2 muita aineopintokursseja, joita on lueteltu matemaatikon linjojen kohdassa 1.2. Erityisesti suositellaan seuraavia kursseja. MATE5060 Algebran peruskurssi I SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt MATE5059 Geometria SMAT5001 Todennäköisyyslaskenta I 1.3. SYVENTÄVÄT OPINNOT (vähintään 25 ov) MATE5064 Toinen aine MATE5207/SMAT5128 Pro gradu -tutkielma 7,5 ov Toinen aine voidaan korvata LuK-tutkielmalla () tai opintojaksolla Sovelluksia koulumatematiikkaan (). Lisäksi on suoritettava vähintään 15 ov muita syventäviä opintojaksoja. Sellaisia luetellaan matemaatikon linjojen kohdassa 1.3. Luettelo vaihtelee vuosittain. Pääaineen opinnot matematiikan opettajan linjalla voidaan suorittaa myös matemaatikon linjojen vaatimusten mukaisesti. 215

2. Sivuaineiden opinnot matematiikan opettajan linjalla Yhdestä sivuaineesta on suoritettava vähintään 35 ov. Sivuaineiksi suositellaan jotakin fysiikan, kemian ja tietojenkäsittelytieteen yhdistelmää siten, että yhdestä suoritetaan vähintään 35 ov ja yhdestä vähintään 15 ov. Sivuaineiden opintoihin pitää joka tapauksessa sisältyä vähintään 5 ov tietojenkäsittelytieteitä (esim. Tietokoneiden käytön alkeet (3 ov), Matemaattiset ohjelmistot (1 ov)). Lisäksi on suoritettava opettajankoulutuksen pedagogiset opinnot (35 ov). Vaikka 15 ov opinnot toisesta sivuaineesta riittävät maisterin tutkintoon, kelpoisuus opettaa tätä ainetta peruskoulussa tai lukiossa edellyttää vähintään 35 ov opintoja. Kustakin sivuaineesta kerrotaan sen koulutusohjelman kohdalla, johon se kuuluu pääaineena. Katso myös Sivuaineet s. 8 ja Opintojen yleisrakenne s. 7. Seuraavassa esitetään tietojenkäsittelytieteiden vaatimukset. 2.1. TIETOJENKÄSITTELYTIETEET (vähintään 5 ov) Mikäli tietojenkäsittelytieteistä suoritetaan vähintään 15 ov:n mutta alle 35 ov:n kokonaisuus on siihen sisällytettävä kurssit Ohjelmointi I 4 ov Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen I 2 ov Ohjelmointi kouluopetuksessa 3 ov Loput opinnot voi vapaasti valita joko matemaatikon (ks. matemaatikon linjojen kohta 2.1.) tai tietojenkäsittelytieteiden (ks. tietojenkäsittelytieteiden koulutusohjelma) vaatimusten mukaisesti, myös kurssi Johdatus algoritmien teoriaan sekä tietojenkäsittelytieteiden tarjoamat DIDA-linjan opinnot käyvät tähän kokonaisuuteen. Matematiikan tietokonetyö I:n tekemistä suositellaan. Laaja sivuaine 35 ov Kuten matemaatikon linjojen kohdassa 2.1. Lisäksi on suoritettava kurssi Ohjelmointi kouluopetuksessa 3 ov Myös edellä mainittuja DIDA-linjan opintoja suositellaan. Mikäli opiskelija on suorittanut kurssin Johdatus algoritmien teoriaan, hän voi sillä korvata kurssin Tietorakenteet ja algoritmit. 3. Muut opinnot matematiikan opettajan linjalla Kuten matemaatikon linjoilla lukuun ottamatta työharjoittelua. OPINTOJEN AJOITUS JA LINJAN VALINTA FM-tutkinto voidaan suorittaa viidessä vuodessa. Tämä merkitsee keskimäärin 16 ov lukukautta kohti. Opintojaksot on syytä suorittaa mahdollisimman pian niille osallistumisen jälkeen. Myös tietokoneharjoitustyöt on syytä tehdä heti opintojakson kuluessa. Pääaineen perusopinnot suoritetaan yleensä ensimmäisenä lukuvuotena. Kurssille matematiikan historia kannattaa osallistua suhteellisen myöhään. Opettajankoulutuksen pedagogiset opinnot suositellaan suoritettaviksi viimeisenä opiskeluvuotena. 216

Sivuaineiden opintojen sopivasta ajoituksesta saa tietoa ko. laitosten omista ohjeista. Kohdassa "Opintojaksojen sisältö" kerrotaan esimerkiksi kullakin opintojaksolla tarvittavat esitiedot. Tämä auttaa suunnittelemaan sitä, missä järjestyksessä opintojaksoille kannattaa osallistua. Linjan valinta tapahtuu yleensä toisen lukukauden jälkeen. Ehtona on, että opiskelija on suorittanut vähintään 20 ov matematiikan opintoja, joihin sisältyvät kurssit Analyysi I ja Lineaarialgebra. Linja voidaan valita myös myöhemmin ja sitä voidaan vaihtaa; kuitenkin on huomattava, että tutkinnon suorittaminen viidessä vuodessa opettajan linjalla edellyttää hyväksymistä tälle linjalle riittävän ajoissa. Matematiikan opiskeluun liittyviä ohjeita löytyy lisää verkosta osoitteesta www.math.utu.fi/opetus.html. MATEMATIIKKA MUISSA KOULUTUSOHJELMISSA Koulutusohjelman pakolliset matematiikan opinnot luetellaan kunkin koulutusohjelman kohdalla. Jos matematiikkaa suoritetaan sivuaineena siten, että opintoihin sisältyy huomattava määrä syventäviä opintoja, voi yhtenä opintojaksona olla sivuainetutkielma, jonka laajuus on 7,5 tai 10 ov. Jos matematiikan opintoja suoritetaan enemmän kuin 15 ov, niiden tulee sisältää Matematiikan perusopinnot (15 ov). Tämä ei kuitenkaan koske tietojenkäsittelytieteitä pääaineenaan opiskelevia, paitsi jos he suorittavat matematiikan opintoja 35 ov, jolloin opintoihin on sisällytettävä Matematiikan perusopinnot (15 ov) tai niitä vastaavat opinnot. Niiden opettajaksi opiskelevien, jotka suorittavat matematiikan opintoja 35 ov, tulee suorittaa myös Matematiikan aineopinnot opettajille (20 ov). Edellä esitetyt kaksi vaatimusta eivät koske luokanopettajaksi eivätkä teknisen työn opettajaksi opiskelevia. MATEMATIIKAN PERUSOPINNOT (15 ov) MATE5015 Analyysi I MATE5018 Analyysi II MATE5043 Lineaarialgebra 5 ov 5 ov 5 ov Kurssit Analyysi I ja Analyysi II voidaan yleensä korvata seuraavilla kolmella kurssilla: MATE5130 Matematiikan peruskurssi I 4 ov MATE5133 Matematiikan peruskurssi II 4 ov MATE5205 Analyysin täydennyskurssi 2 ov MATEMATIIKAN AINEOPINNOT OPETTAJILLE (20 ov) MATE5060 Algebran peruskurssi I SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt MATE5059 Geometria SMAT5003 Todennäköisyyslaskennan perusteet Vapaasti valittavia matematiikan aineopintokursseja 10 ov 217

LUOKANOPETTAJAN KOULUTUKSEN OPISKELIJOILLE MATE5141 Matematiikan sivuaineopinnot 15 ov/35 ov Sivuaineopinnot 35 ov:n laajuisena muodostuvat samoista kursseista kuin seuraavassa mainitut. TEKNISEN TYÖN OPETTAJAN KOULUTUKSEN OPISKELIJOILLE (35 ov) MATE5141 Matematiikan sivuaineopinnot MATE5043 Lineaarialgebra MATE5060 Algebran peruskurssi I MATE5150 Analyysi C (tai MATE5033 Funktioteoria) SMAT5003 Todennäköisyyslaskennan perusteet MATE5059 Geometria 15 ov 5 ov Seuraavista opintojaksoista kaksi: MATE5061 Algebran peruskurssi II SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt MATE5039 Kombinatoriikka MATE5123 Lukuteoria MATE5172 Matematiikan historia MATE5021 Usean muuttujan funktiot Muita matematiikan tai sovelletun matematiikan aineopintotasoisia opintojaksoja sopimuksen mukaan. Lisätietoja antaa lehtori Kauko Lindström. MATEMATIIKAN LAAJA SIVUAINEKOKONAISUUS OPETTAJILLE (55 ov) Matematiikan 35 ov sivuainekokonaisuuden lisäksi matematiikan aineopintoja 7,5 ov. Lisäksi matematiikan syventäviä kursseja 1 opiskelijan valinnan mukaan. Syventäviä kursseja on lueteltu matemaatikon linjojen kohdassa 1.3. Aineet ja tutkielmat eivät käy tähän kokonaisuuteen, kurssi Sovelluksia koulumatematiikkaan sen sijaan aineopintona kelpaa. 218

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ MATE5244 Algebralliset luvut (5 ov) Sisältö: Algebrallisiksi luvuiksi sanotaan kokonaiskertoimisten polynomien nollakohtia. Näistä luvuista muodostetut algebralliset systeemit (kunnat, renkaat) tulevat matematiikassa käyttöön lähes kaikkialla, missä pelkät rationaaliluvut eivät riitä. Algebrallisia lukuja on tutkittu Eulerin ja Gaussin ajoista lähtien ja niiden teoria on kehittynyt ja kehittyy edelleen kiinteässä vuorovaikutuksessa algebran kanssa. Esitiedot: Algebra Suoritustapa: Luennot (56 h, Metsänkylä), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Stewart-Tall: Algebraic number theory. Linja ja taso: LA; syventävät opinnot. MATE5060 Algebran peruskurssi I () Sisältö: Kurssin aluksi täydennetään lineaarialgebran tuntemusta käsittelemällä lineaaristen kuvausten teoriaa. Tämän jälkeen esitetään ryhmäteorian perusmääritelmät ja niitä koskevat tulokset. Esitiedot: Lineaarialgebra Suoritustapa: Luennot (28 h, J. Honkala), demonstraatiot (14 h). Tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Modern Algebra, Herstein, I.: Abstract Algebra, Lipschutz, S.; Theory and Problems of Linear Algebra, Murdoch, D.C.: Linear algebra. Linja ja taso: A, TM, LA, MM, aineopinnot. MATE5061 Algebran peruskurssi II () Sisältö: Ryhmät, renkaat, kunnat. Esitiedot: Algebran peruskurssi I. Suoritustapa: Luennot (28 h, Renvall), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Modern Algebra, Herstein, I.: Abstract Algebra, Cohn, P.M.: Algebra, vol. 1 Linja ja taso: A, TM, LA, MM. Aineopinnot. MATE5074 Algoritminen matematiikka () Sisältö: Kurssin keskeinen tavoite on kehittää algoritmista ajattelua. Tämä on tärkeää useiden syventävien opintojen luentokurssien seuraamiseksi - ovathan monet modernin matematiikan probleemat luonteeltaan algoritmisia. Kurssilla sovelletaan algoritmista ajattelua etupäässä lukuteoreettisiin tehtäviin. Esitiedot:. Matematiikan perusopinnot, lukuteorian tuntemus on eduksi. Suoritustapa: Luennot (28 h, Renvall), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: H.S. Wilf: Algorithms and Complexity, Prentice-Hall, 1986. Cormer, Leiserson; Rivest, Stein: Introduction to Algorithms. Brassard, Bratley: Fundamentals of Algorithms. Linja ja taso: TM; aineopinnot. 219

MATE5019/MATE5015 Analyysi I (5 ov) Sisältö: Joukot, relaatiot ja funktiot, reaali- ja kompleksiluvut, alkeisfunktiot, lukujonon ja funktion raja-arvo, jatkuva funktiot ja niiden perusominaisuudet, derivaatta ja derivoituvan funktion perusominaisuudet, osittaisderivaatta, määräämätön integraali, yksinkertaiset integroimismenetelmät. Suoritustapa: Luennot (56 h, Laakso (mat), Lahtonen (muut)), demonstraatiot (28 h + 10 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Clark, C.W.: Elementary Mathematical Analysis; Edwards, Jr., C.H., Penney, D.E.: Calculus and Analytic Geometry; Spiegel, M.: Advanced Calculus. Taso: Perusopinnot. MATE5020/MATE5018 Analyysi II (5 ov) Sisältö: Riemannin integraali ja sen sovelluksia, epäoleellinen integraali, sarjoista, tasainen suppeneminen, potenssisarjoista, alkeisfunktioiden Taylorin sarjakehitelmä ja sen sovelluksia, usean muuttujan funktion differentiaali- ja integraalilaskennan alkeita. Esitiedot: Analyysi I. Suoritustapa: Luennot (56 h, Laakso (mat), Vuorinen (muut)), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Clark, C.W.: Elementary Mathematical Analysis; Edwards, Jr., C.H., Penney, D.E.: Calculus and Analytic Geometry; Spiegel, M.: Advanced Calculus. Taso: Perusopinnot. MATE5225 Automata and Formal Languages (5 ov) Contents: Automata theory constitutes a cornerstone of mathematical computer science, and in particular finite automata have turned out to be very useful tools in many areas of discrete mathematics. Different models of automata in classical Chomsky hierarchy as well as corresponding grammars are considered and their generating power is compared. Basic undecidability results are proved. Preliminary knowledge: Mathematical maturity. Performance: Lectures (56 h, Kari) exercises(28 h), midterms or an exam. Offered in the spring term. Recommended literature: Lecture notes. Hopcroft, Ullman: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Field and level: A, MM, syventävät opinnot. MATE5274 Coding Theory I () Contents: Assume that information is transmitted from a source to a receiver over a noisy channel. The fundamental problem of coding theory is to determine what message was sent on the basis of the approximation received. The purpose of this course is to provide an introduction to the mathematical theory of error-correcting codes. Preliminary knowledge: Basics of Algebra I-II Performance: Lectures (28 h, I.Honkala, Laihonen), exercises (14 h), examination. Offered in the spring term. Field and level: TM, LA, syventävät opinnot. MATE5038 Combinatorial Enumeration () Contents: This course intends to offer basic methods, and examples of their usage, for computing the number of various combinatorial objects with given constrains. These methods include Burnside s lemma from group theory, and its combinatorial 220

generalization, Polya s theorem. Also, we consider Moebius inversion formula, and generating functions. Preliminary knowledge: Basic knowledge on algebra and combinatorics is helpful, but not required. Performance: Lectures (28 h, Harju). Offered in the autumn term. Field and level: TM; syventävät opinnot. MATE5085 Convolutional Codes () Contents: Convolutional codes offer an alternative to block codes in transmitting over a noisy channel. In this course we consider the algebraic properties of polynomial generator matrices and study both encoding and decoding of convolutional codes. We also study some basic bounds for the free distance and some special classes of codes. Preliminary knowledge: Highly recommended background: Coding Theory, Basic Algebra (Algebran peruskurssi) other related courses: Algebra, Graph Theory Performance: Lectures (28 h, Lahtonen), exercises (14 h), exam. Offered in the spring term. Field and level: TM, syventävät opinnot. SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt () Sisältö: Differentiaaliyhtälöt ovat hyvin tärkeä työväline monia eri alan probleemoja mallinnettaessa. Niitä käytetään kuvaamaan muun muassa biologian, fysiikan, lääketieteen ja taloustieteen ilmiöitä. Lisäksi differentiaaliyhtälöt muodostavat puhtaasti matemaattisesti mielenkiintoisen ja haastavan alueen. Kurssilla tutustutaan jonkin verran differentiaaliyhtälöiden teoriaan, mutta pääasiallisesti keskitytään ratkaisumenetelmiin ja kvalitatiiviseen analyysin. Viimeksi mainitun avulla systeemistä, jota kuvataan differentiaaliyhtälöillä, voidaan saada paljonkin hyödyllistä tietoa itse yhtälöitä ratkaisematta. Numeerisiin menetelmiin ei kurssilla perehdytä, joskin hyvin lyhyt johdatus esittelee, mistä niissä on kyse. Esitiedot: Analyysi II (alku). Suoritustapa: Luennot (28 h, Leipälä), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. MATE5206 Diskreetti matematiikka () Sisältö: Induktio ja rekursio, Boolen algebrat, graafiteoriaa, automaatit. Suoritustapa: Luennot (28 h, Jurvanen), demonstraatiot (14 h), tentti. Kurssi luennoidaan syksyllä. MATE5260 Diskreetti matematiikka I () Sisältö: Käsitellään tietotekniikassa tarvittavia diskreetin matematiikan perusteita. Tässä kurssissa tarkastellaan joukkoja ja relaatioita sekä automaatteja ja formaalisia kieliä. Suoritustapa: Luennot (28 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (14 h), tentti. Kurssi luennoidaan keväisin. MATE5261 Diskreetti matematiikka II () Sisältö: Kurssilla tarkastellaan rakenteellista induktiota ja rekursiota, Boolen algebroja ja matriiseja, kombinatoriikkaa ja graafeja. Esitiedot: Diskreetti matematiikka I. 221

Suoritustapa: Luennot (28 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (14 h), tentti. Kurssi luennoidaan keväisin. MATE5004 Elliptiset käyrät (5 ov) Sisältö: Elliptiset käyrät ovat kolmannen asteen käyriä. Niiden käsittelyssä yhdistyvät kiintoisalla tavalla algebra, geometria, lukuteoria ja analyysi. Kyseessä on klassinen ala, joka on viime aikoina osoittanut uudella tavalla voimansa mm. lukuteoriassa ja kryptografiassa. Tämä kurssi on lähinnä johdantoa aiheeseen. Tulokset johdetaan etupäässä laskennallista tietä, jolloin pohjatietoja ei tarvita kovinkaan paljon. Niille, jotka haluavat jatkaa aiheeseen perehtymistä, suositellaan osallistumista elliptisiä funktioita ja modulimuotoja käsittelevälle kurssille. Esitiedot: Algebran peruskurssi, lukuteoria. Suoritustapa: Luennot (56 h, Jutila), demonstraatiot (28 h), loppukuulustelu. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Silverman-Tate: Rational points on elliptic curves. Linja ja taso: LA, syventävät opinnot MATE5062 Ensimmäinen aine () Sisältö: Harjoitellaan ja kehitetään itsenäistä matemaattista työskentelyä ja omakohtaista kirjallista matemaattista ilmaisua. Työskentely tapahtuu kirjallisuuden pohjalta ja pyrkii siten totuttamaan alan kirjallisuuden käyttöön. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot suoritettuna ja 15 ov matematiikan aineopintoja kuunneltuna. Ennen aineen kirjoitusta on mahdollista osallistua Matemaattisen tekstintuottamisen seminaariin. Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen matemaattinen kirjoitustyö ja mahdolliset tietokonetyöt. Opiskelijan hakiessa aineen aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa aineen kirjoittamista ja tarkastaa sen. Ohjeet aineen aiheen hakemista varten ovat ilmoitustauluilla. Taso: Aineopinnot. MATE5269 Finite Automata () Contents: Information, its processing, transmission and storing have become crucial in many areas of modern science during the last sixty years. Automata have appeared as a suitable mathematical abstraction of these concepts. Roughly speaking, automata are systems which accept signals from their environment, and as a result change their internal states and transmit signals to the environment. As such systems, they have various applications in designing architecture of digital computer systems and digital circuits, construction of user-interface translations, pattern matching, parallel processing, image generation and compressing, coding theory, cryptography, bioinformatics, ets Preliminary knowledge: Automata theory. Performance: Lectures (28 h, Petkovic), exercises (14 h). Lectured in the autumn term. Field and level: TM, syventävät opinnot. MATE5255 Fourier-analyysi () Sisältö: Fourier-analyysin perinteisiä ilmenemismuotoja ovat Fourier-sarjat ja -muunnokset. Niissä perusideana on funktion jakaminen sinimuotoisiin komponentteihin. Myöhemmin ovat mukaan tulleet diskreetit Fourier-muunnokset. Fourier-analyysin käyttö ulottuu hyvin laajalle alueelle puhtaimmasta matematiikasta digitaaliseen signaalinkäsittelyyn. Esitiedot: Analyysi II (mat. ko. monisteiden laajuudessa), differentiaaliyhtälöiden ja funktioteorian tuntemus on hyödyksi. 222

Suoritustapa: Luennot (28 h), demonstraatiot (14 h), tentti. Ei luennoida lukuvuonna 2004-2005. Kirjallisuus: Luentotiivistelmä. Linja ja taso: A, LA, TM, MM; aineopinnot. MATE5033 Funktioteoria () Sisältö: Kompleksimuuttujan funktioiden teoriaa, erityisesti residymenetelmä integraalien laskemiseksi. Esitiedot: usean muuttujan funktiot. Suoritustapa: Luennot (28 h, Soittola), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, LA, MM; aineopinnot. MATE5059 Geometria () Sisältö: Tarkoituksena on antaa yleiskuva alkeisgeometrian rakenteesta ja päätuloksista. Esitiedot: Lineaarialgebra ja Algebran peruskurssi I. Suoritustapa: Luennot (28 h, Koppinen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Taso: Aineopinnot. MATE5247 Insinöörimatematiikka I (5 ov) Sisältö: IA(): Joukot, relaatiot ja funktiot. Lineaarialgebran alkeita. Kompleksiluvut. Reaalifunktion raja-arvo ja jatkuvuus. IB(): Derivaatta sovelluksineen. Taylorin polynomit sovelluksina raja-arvot. Integraalit sovelluksineen. Kummassakin osiossa tutustutaan läpäisyperiaatteella Maple-matematiikkaohjelman käyttöön. Suoritustapa: Luennot (28+28 h, Latikka), demonstraatiot (14+14 h), ohjatut laskuharjoitukset (28 h), tentit. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luennot seuraavat pääosin kirjaa Adams R. A.: Calculus, A Complete Course. Lisäksi luennoilla jaetaan erillisiä lyhyehköjä monisteita. MATE5249 Insinöörimatematiikka II (5 ov) Sisältö: II A (): Riemann-integraalin yleistykset. Laplace-muunnokset. Differentiaaliyhtälöt. Vektorilaskentaa ja lineaarista avaruusgeometriaa. II B(): Lukujonot ja numeeriset sarjat. Funktiosarjat. Monen muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaa. Vektorianalyysin alkeita. Suoritustapa: Luennot (28+28 h, Latikka), demonstraatiot (14+14 h), ohjatut laskuharjoitukset (28 h) tentit. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luennot seuraavat pääosin kirjaa Adams R. A.: Calculus, A Complete Course. Lisäksi luennoilla jaetaan lyhyehköjä monisteita. SMAT5212 Introduction to Game Theory () Contents: Game theory is the mathematical study of situations involving parties with conflicting interests and in which the optimal strategy not only depends on a player s own choices but also on those of the opponents. The present course is an introduction to game theory with a strong emphasis on applications in evolutionary and behavioural biology. Preliminary knowledge: Some basic knowledge of differential equations and probability 223

theory is recommended. Performance: Lectures (28 h, Geritz), exercises (14 h), exam. Offered in the autumn term. Field and level: TM, LA, syventävät opinnot. MATE5065 Kolmas aine () Sisältö: Kuten Toisen aineen sisältö. Esitiedot: Aineen aihetta haettaessa Toisen aineen on oltava hyväksytty. Suoritustapa: Suoritetaan kuten Ensimmäinen aine. Taso: Syventävät opinnot. MATE5039 Kombinatoriikka () Sisältö: Kombinatoriikka on hyvin monivivahteinen alue, jossa useat keskeiset probleemat ovat mielenkiintoisia ja helposti esitettäviä mutta vaikeasti ratkaistavia. Opintojaksossa käsitellään mm. 1. perusmenetelmiä (kuten lokeroperiaate;) 2. permutaatioita, kombinaatioita ja binomikertoimia; 3. kombinatorisia algoritmeja; 4. rekursioita ja rekursiivista optimointia; 5. generoivia funktioita. Näiden alojen perusteorian lisäksi esitetään useita erityisesti tiedon siirtoon ja käsittelyyn liittyviä sovellutuksia. Esitiedot: Ensimmäisen lukuvuoden opintojaksot. Suoritustapa: Luennot (28 h, Renvall), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: TM; aineopinnot. SMAT5016 Konveksi analyysi ja optimointi () Sisältö: Optimointi on matemaattinen menettely, jonka avulla monimutkaisessa todellisen elämän ympäristössä voidaan valita paras mahdollinen toimintatapa. Tällaisia probleemoja ovat esimerkiksi yrityksen tuotannon suunnittelu, rautatieradan sijoittaminen maastoon tai valtion energiatalouden suunnittelu. Päätöksenteon systemaattinen lähestymistapa koostuu karkeasti ottaen kolmesta vaiheesta: ongelman muuttaminen matemaattiseksi malliksi, mallin muokkaaminen ja analysointi ja lopuksi ratkaiseminen, joka tavallisesti tapahtuu tietokoneen avulla. Tässä kurssissa keskitytään lähinnä keskimmäiseen osaan, mutta mallintamista harjoitellaan myös sen ohella. Aivan alussa tutustutaan konveksiin analyysiin, jota tarvitaan johdettaessa varsinaisia optimaalisuusehtoja. Pääasiallisesti kohteena on epälineaarinen optimointi, mutta jossain määrin kerrataan ja syvennetään lineaarisen optimoinnin tietoja. Esitiedot: Usean muuttujan funktiot ja joko Operaatioanalyysi tai Optimointi. Suoritustapa: Luennot (28 h, Leipälä), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Bazaraa, Sheraly, Shetty: Nonlinear Programming, Theory and Algorithms. Ala ja taso: A, MM; syventävät opinnot. MATE5216/MATE5043 Lineaarialgebra (5 ov) Sisältö: Analyyttistä avaruusgeometriaa, determinantit ja matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, vektoriavaruus, sisätulo, matriisin ominaisarvot. Suoritustapa: Luennot (56 h, Kari (mat), J. Honkala (muut)), demonstraatiot (28 h ), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Murdoch, D.C.: Linear Algebra; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Linear Algebra. Taso: Perusopinnot. 224

MATE5114 Logiikka () Sisältö: Opintojakso on johdatus klassilliseen matemaattiseen logiikkaan. Tarkastelemme propositiologiikan syntaksia ja semantiikkaa, Boolen algebroja, propositioiden normaalimuotoja ja sieventämistä, totuusfunktioita ja loogisia piirejä, sekä tautologisuuden toteamista. Predikaattilogiikassa keskitytään sen syntaksiin ja malliteorian peruskäsitteisiin sekä harjoitellaan matemaattisten käsitteiden formalisoimista ensimmäisen kertaluvun kielillä. Esitiedot: Algebran peruskurssi I tai Algebra (TKO). Suoritustapa: Ei luennoida lukukaudella 2004-2005. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: TM; aineopinnot. MATE5096 Logiikan jatkokurssi () Sisältö: Opintojakso täydentää ja syventää kurssia Logiikka erityisesti predikaattilogiikan osalta. Gödelin tärkeä ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan täydellisyyslause todistetaan ns. luonnollisen deduktion järjestelmälle. Tarkastelemme myös eräitä täydellisyyslauseen malliteoreettisia seurauksia. Esitiedot: Logiikka. Suoritustapa: Luennot (26 h, Steinby), demonstraatiot (12 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: TM; syventävät opinnot. MATE5228/SMAT5070 LuK-tutkielma () Sisältö: Kuten Toisessa aineessa. Esitiedot: Kuten Toisessa aineessa. Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen matemaattinen kirjoitustyö ja mahdolliset tietokonetyöt. Opiskelijan hakiessa LuK-tutkielman aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa tutkielman kirjoittamista ja tarkastaa sen. LuK-tutkielmaan liittyy erillinen kirjallinen kypsyysnäyte. MATE5123 Lukuteoria () Sisältö: Lukuteorian alkeita, mm. kokonaislukujen jaollisuus ja tekijöihinjako, kongruenssit, lineaariset Diofantoksen yhtälöt, primitiiviset juuret, indeksit, neliöjäännökset, lukuteoreettisista funktioista. Huomiota kiinnitetään myös lukuteorian sovelluksiin, jotka ovat viime aikoina merkittävästi lisääntyneet. Esitiedot: Algebran peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (28 h, Jutila), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: LA, TM; aineopinnot. MATE5208 Lukuteorian jatkokurssi () Sisältö: Valittuja kohtia hieman korkeammasta lukuteoriasta, esimerkiksi Dirichlet n karakterit, Gaussin summat, Diofantoksen approksimaatiot, ketjumurtoluvut, Diofantoksen yhtälöt. Esitiedot: Lukuteoria Suoritustapa: Luennot (28 h, Jutila), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. 225

Linja ja taso: LA, TM; syventävät opinnot. SMAT5108 Matemaattinen optimointi I () Sisältö: Mallinnus, lineaarinen optimointi, duaalisuus, herkkyysanalyysi, monitavoiteoptimointi. Esitiedot: Ensimmäisen vuoden matematiikan opinnot. Suoritustapa: Luennot (30 h, Leipälä), demonstraatiot (8 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste, Rardin, R. L.: Optimization in operations research. Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. SMAT5109 Matemaattinen optimointi II () Sisältö: Verkostomallin, kokonaislukumallit ja -optimointi, heuristiset menetelmät. Esitiedot: Optimointi I. Suoritustapa: Luennot (30 h, Leipälä), demonstraatiot (8 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste, Rardin, R. L.: Optimization in operations research. Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. SMAT5111 Matemaattisen tekstintuottamisen seminaari (0,5 ov) Sisältö: Seminaarissa käydään läpi Aineenkirjoituksen opas, perehdytään suomen kieleen ja tutustutaan tekstinkäsittelyohjelmiin (LaTeX, Word). Pidetään erittäin suotavana, että jokainen sovelletun matematiikan opiskelija osallistuisi ennen ensimmäisen aineen kirjoittamista seminaariin. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot suoritettuna, 15 ov matematiikan aineopintoja kuunneltuna. Suoritustapa: Luennot ja ohjatut demonstraatiot mikroluokassa (4 h, ilm. myöh.), luentokuulustelu. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Ruskeepää, H.: Aineenkirjoituksen opas. Taso: Aineopinnot. SMAT5046 Matemaattiset ohjelmistot (1 ov) Sisältö: Tutustutaan Mathematica- ja Derive-ohjelmistoihin. Näillä ohjelmistoilla voidaan laskea symbolisesti ja numeerisesti, tuottaa matemaattista grafiikkaa ja ohjelmoida. Esitiedot: Ensimmäisen vuoden matematiikan opinnot. Suoritustapa: Ohjatut demonstraatiot mikroluokassa (14 h, Ruskeepää), harjoitustyöt. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Ruskeepää: Mathematica-opas: Versio 4. MATE5172 Matematiikan historia () Sisältö: Kurssi antaa yleiskatsauksen matematiikan kehitykseen esihistoriallisista ajoista nykypäiviin. Keskeisiä teemoja ovat mm. luvun käsitteen kehittyminen, matemaattisten teorioiden yleinen luonne ja sitä koskevien käsitysten muuttuminen sekä matematiikan suhde eksakteihin luonnontieteisiin. Suoritustapa: Kirjatentti, jossa tentitään H. Tarnasen moniste Matematiikan historia. Monistetta myy laitoksen kanslia. Tentti koostuu suullisesta ja kirjallisesta kuulustelusta, joihin osallistumisesta tulee erikseen sopia opintojakson vastuuhenkilön Timo Neuvosen kanssa. Taso: Aineopinnot. 226

MATE5275/5276 Matematiikan menetelmäkurssi I-II ( + ) Sisältö: MATLAB on numeerisen matematiikan, tekniikan ja luonnontieteen eri alojen tutkimukseen sopiva integroitu ohjelmointiympäristö. Kurssilla perehdytään MATLABin käyttöön mm. seuraavissa sovelluksissa: lineaariyhtälöryhmät, numeerinen lineaarialgebra, differentiaaliyhtälöt, optimointi, interpolointi, numeerinen integrointi, parametrien sovitus, data-analyysi. Kurssi soveltuu kaikille kokeellisen matematiikan käyttäjille, sivuaineopiskelijoita ajatellen painopiste on MATLAB ohjelmissa, teorian osuus on vähäinen. Demonstraatiotehtävät ovat ohjelmointitehtäviä. Matematiikan koulutusohjelman opiskelijat voivat halutessaan sisällyttää kurssin tietojenkäsittelytieteiden opintoihin. Esitiedot: Jonkin ohjelmointikielen taito. Harjoitustehtävät edellyttävät (lineaarialgebran, usean muuttujan funktioiden differentiaalilaskennan, differentiaaliyhtälöiden alkeiden tuntemusta). MATLAB-kielen taitoa ei edellytetä. Suoritustapa: Luennot (56 h, Vuorinen), demonstraatiot (28 h), Välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Lindfield-Penny: Numerical methods using MATLAB 2 nd ed. Linja ja taso: A, TM, LA, MM; aineopinnot. MATE5130 Matematiikan peruskurssi I (4 ov) Sisältö: Tavoitteena on perehtyä matematiikan perusmetodeihin ja tuloksiin. Kurssi kattaa seuraavat matematiikan osa-alueet: joukot ja funktiot; trigonometria; raja-arvo ja jatkuvuus; derivaatta ja sen sovelluksia; integraali ja sen sovelluksia. Suoritustapa: Luennot (56 h, Neuvonen), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Differential and Integral Calculus; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Finite Mathematics. MATE5133 Matematiikan peruskurssi II (4 ov) Sisältö: Determinanteista ja matriiseista, vektorialgebraa, analyyttistä avaruusgeometriaa, tilastotiedettä ja todennäköisyyslaskentaa, sarjoista, usean muuttujan funktioista, differentiaaliyhtälöistä. Esitiedot: Matematiikan peruskurssi I. Suoritustapa: Luennot (56 h, Neuvonen), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Differential and Integral Calculus; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Finite Mathematics. MATE5141 Matematiikan sivuaineopinnot (15 ov) Sisältö: Tavoitteena on matematiikan perusteiden tuntemus, edellytykset matematiikan kehityksen seuraamiseen, valmiudet jatkuvaan opiskeluun ja valmiudet itsenäiseen toimintaan opettajana. Opintojaksolla käsitellään seuraavia asioita: logiikkaa ja joukko-oppia, alkeisfunktiot, todennäköisyyslaskentaa, raja-arvo ja jatkuvuus, differentiaali- ja integraalilaskentaa, differentiaaliyhtälöitä, sarjoja, determinantteja ja matriiseja, vektorilaskentaa, analyyttistä avaruusgeometriaa, usean muuttujan funktioita, algebraa, mikrotietokoneita ja niiden valmisohjelmia (esim. tekstinkäsittely ja symbolinen laskenta). Suoritustapa: Luennot (152 h, Lindström), demonstraatiot (100 h, Lindström), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syys - kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomonisteet. 227

MATE5219 Matematiikan tietokonetyö I (1 ov) Sisältö: Syvennetään ohjelmoinnin peruskursseilla opittuja asioita toteuttamalla ohjelmasysteemi matematiikan joltakin alalta. Aihe voi liittyä esimerkiksi alkuvuosien matematiikan opintojaksoihin, matematiikan opetukseen tai teollisuudesta tai liike-elämästä saatuun ongelmaan. Kurssi sopii matematiikan koulutusohjelmassa tietojenkäsittelyopin opintoihin. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot, ohjelmointitaito tai Ohjelmoinnin peruskurssi. Suoritustapa: Tietokonetyö ja siihen liittyvä työselostus. Työ suoritetaan ryhmässä tai yksin. Työn aihetta haettaessa nimetään opettaja, joka ohjaa työtä ja tarkastaa sen. MATE5220 Matematiikan tietokonetyö II (1 ov) Sisältö: Kuten Matematiikan tietokonetyö I. Esitiedot: 15 ov matematiikan aine- ja syventäviä opintoja, Matematiikan tietokonetyö I, Tietorakenteet ja algoritmit. Suoritustapa: Kuten Matematiikan tietokonetyö I. MATE5026 Metriset avaruudet () Sisältö: Opintojakso sisältää johdatuksen metristen avaruuksien topologiaan siten esitettynä, että soveltuvin osin käsitteet ja tulokset on helppo yleistää topologisiin avaruuksiin. Metristen avaruuksien erityispiirteet tulevat esiin mm. tasaisen jatkuvuuden, täydellisyyden ja kompaktiuden yhteydessä. Sovelluksissa esiintyy sisätuloavaruuksia ja muita normiavaruuksia. Esitiedot: Usean muuttujan funktiot. Suoritustapa: Luennot (28 h, Ylinen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, LA, MM; aineopinnot. MATE5069 Modernin analyysin perusteet (5 ov) Sisältö: Kurssin pääosa käsittelee yleistä mitta- ja integrointiteoriaa. Lebesguen mitta ja Lebesguen Stieltjesin mitat konstruoidaan, Lebesguen integraali ja sen yleistys Bochnerin integraali määritellään ja todistetaan mm. keskeisimmät konvergenssilauseet ja Fubinin Tonellin lause. Fourier n sarjojen yhteydessä tulee esiin Stonen Weierstrassin lause ja vähän Hilbertin avaruuksien teoriaa. Lopussa esitetään moniulotteisten avaruuksien differentiaalilaskentaa ja todistetaan mm. käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause. Esitiedot: Metriset avaruudet. Suoritustapa: Luennot (56 h, Ylinen), demonstraatiot (28 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Ala ja taso: A, LA, MM; syventävät opinnot. SMAT5037 Optimointialgoritmit () Sisältö: Tutustutaan erilaisiin optimointialgoritmeihin, joiden avulla optimointitehtävät voidaan ratkaista tietokoneen avulla. Itse algoritmien lisäksi käydään läpi niiden konvergenssi-, tehokkuus- ym. ominaisuuksia. Demonstraatioissa harjoitellaan ymmärtämään algoritmeja yksinkertaisten tehtävien avulla. Lisäksi jokainen joutuu ohjelmoimaan tietokoneelle yhden algoritmin. Esitiedot: Konveksi analyysi ja optimointi. Suoritustapa: Luennot (28 h, Leipälä), demonstraatiot (6 h), tietokonetyö, tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. 228

Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Haataja: Optimointitehtävien ratkaiseminen. Ala ja taso: MM; syventävät opinnot. SMAT5035 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt (5 ov) Sisältö: Monet ongelmat fysiikassa ja tekniikassa, mutta myös esimerkiksi biologiassa ja muillakin aloilla mallinnetaan käyttäen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Aaltoliikkeen eteneminen ja puuston lisääntyminen eri-ikäisiä puita kasvavassa metsässä ovat eräitä esimerkkejä näistä sovelluksista. Kurssilla perehdytään ensimmäisen ja toisen kertaluvun yhtälöihin. Hyvin paljon keskitytään nimenomaan ratkaisumenetelmiin, mutta ohessa tarkastellaan myös osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriaa. Lopussa on lyhyt katsaus numeerisiin ratkaisumenetelmiin. Esitiedot: Usean muuttujan funktiot ja Differentiaaliyhtälöt Suoritustapa: Luennot (56 h, Parvinen), demonstraatiot (28 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste Ala ja taso: A, MM; syventävät opinnot. MATE5108/SMAT5127/MATE5207/SMAT5128 Pro gradu -tutkielma (10 tai 7,5 ov) Sisältö: Matematiikasta tehtävä pro gradu -tutkielma perustuu pääasiassa kirjallisuuteen. Sovelletusta matematiikasta tehtävä pro gradu -tutkielma voi liittyä esim. teollisuudesta tai liike-elämästä saatuun ongelmaan. Pro gradu -tutkielmassa opiskelija harjaannutetaan tekemään teoreettisia ja käytännöllisiä selvityksiä tieteellisen kirjallisuuden avulla sekä esittämään tulokset kirjallisessa muodossa. Lisäksi syvennetään opiskelijan tietoa tutkielmassa käsiteltävästä aiheesta ja luodaan pohja jatko-opintojen suorittamiseen. Matematiikan opettajan linjalla pro gradu -tutkielma on hieman suppeampi (7,5 ov) kuin muiden linjojen pro gradu -tutkielmat (10 ov). Esitiedot: Aihetta haettaessa on Kolmannen (matematiikan opettajan linjalla Toisen) aineen oltava hyväksytty. Aihe haetaan tietyltä linjalta, jota tukevia syventäviä opintoja on oltava suoritettuna matemaatikon linjoilla vähintään 10 ov ja matematiikan opettajan linjalla vähintään 5 ov. Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen työ, mahdolliset tietokonetyöt ja laaja matemaattinen kirjoitustyö. Opiskelijan hakiessa pro gradu -tutkielman aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa tutkielman kirjoittamista. Pro gradu -tutkielman tarkastaa ohjaajan lisäksi toinen opettaja ja sen hyväksymisestä päättää laitosneuvosto. Pro gradu -tutkielma voidaan laatia myös kahden tai useamman opiskelijan ryhmätyönä tai osana laajempaa tutkimusta edellyttäen, että kunkin opiskelijan itsenäinen osuus voidaan osoittaa ja arvioida. Pro gradu -tutkielmaan liittyy erillinen kirjallinen kypsyysnäyte. Tätä varten järjestetään yleensä noin kahden tunnin pituinen tilaisuus, jossa opiskelija laatii selostuksen annetusta tutkielman piiriin kuuluvasta aiheesta osoittaakseen hallitsevansa omaan ammattialaansa liittyvää suomen kieltä. MATE5078 Term Rewriting systems () (Termikirjoitusjärjestelmät) Contents: This course is an introduction to term rewriting. Term rewriting systems are effective tools for dealing with word problems and other questions of equational logic arising in algebra, symbolic computation, algebraic data type specifications, functional programming etc. Confluence, termination and normal forms are first studied in the general setting of abstract reduction systems. In connection with term rewriting systems we discuss unification, critical pairs, confluence, termination criteria, and completion methods. 229