POHDIN projekti Hunajakenno Mehiläispesän rakentuminen alkaa kennoista. Kenno on mehiläisvahasta valmistettu kuusikulmainen lieriö, joka jokaiselta sivultaan rajoittuu toisiin kennoihin. Hunajakennot muodostavat seinämän, jossa kennopohjien toisella puolella on vastakkaiseen suuntaan aukeavia samanlaisia kennoja. Kaikkien toisissaan kiinni olevien kennojen muodostamaa suunnilleen 2,5 senttimetrin paksuista rakennelmaa sanotaan kakuksi. Sikiökakkujen kennoista suurimpaan osaan emo munii, osaan kerätään siitepölyä ja vain pesän yläosan kennoihin varastoidaan hunajaa 1. Hunajakakuissa puolestaan on enimmäkseen hunajaa, ja juuri hunajakakut mehiläishoitaja satokauden päätyttyä pesistä kerää. Hunajakakku menossa lingottavaksi Mehiläiskenno on yksi luonnon suurista ihmeistä. Se on matemaattisesti hyvin kaunis ja ällistyttävän tehokas rakennelma. Jokainen mehiläinen tietää tarkalleen minkä muotoisia kennoja on rakennettava. Mehiläisten pyrkimyksenä on luoda tehokas kennosto kahdesta 1 http://www.hunaja.net/@bin/243752/hunaja+ja+terveys.pdf
näkökulmasta. Ensinnäkin pyrkimyksenä on rakentaa sopivan kokoinen kennosto uusien mehiläissukupolvien kasvattamiseen. Tosin uudet koiraspuoliset mehiläiset eli kuhnurit sekä uusi kuningatar kasvatetaan hieman suuremmissa ja varta vasten näitä tarkoituksia varten rakennetuissa kennoissa. Pesän kuningatar ja sikiökakku 2 Toisaalta pyrkimyksenä on varastoida mahdollisimman paljon hunajaa ja siitepölyä uusien sukupolvien ravintotarpeisiin. Hunajakakku, jossa myös siitepölykennoja 3 Koko kennoston rakentamisprosessi on suoritettava niin, että itse rakentamiseen käytetään mahdollisimman vähän vahaa suhteessa saavutettavaan hyötyyn. Tämä syystä, että vahan tuottaminen on mehiläisiltä erittäin paljon energiaa vaativa prosessi. Itse asiassa vaaditaan noin 4 kg:n hunajaenergia, jotta voidaan tuottaa 500 g vahaa. Mihin perustuu, että mehiläisten tapa rakentaa kennosto juuri säännöllisistä kuusikulmioista, on ratkaisuvaihtoehdoista paras? Voidaanko mehiläisten toiminnalle löytää matemaattiset perusteet? 2 http://www.hunaja.fi/ 3 http://www.hunaja.net/kuvapankki/
Kuusikulmio on mehiläisten tekemänä hämmästyttävä insinööritaidon näyte, mutta toisaalta valinnan varaa ei ole paljon. Esimerkiksi viisikulmioilla tai vaikkapa ympyröillä tason yhtenäinen täyttö ei edes onnistu. Molemmissa tapauksissa jää tyhjää tilaa ja hyödyntämätöntä pinta-alaa suhteessa rakennusmateriaaleihin. Varsinaisia tason täydellisesti täyttäviä vaihtoehtoja on ainoastaan kolme tasasivuinen kolmio, neliö tai mehiläisten valitsema säännöllinen kuusikulmio. Kaikkiaankin mehiläisten rakennustaidot edustavat ällistyttävää tarkkuutta. Esimerkiksi uuden vastarakennetun mehiläiskennon vahaseinämän paksuus on 88 10 m eli noin 0,09 mm ja kennot rakennetaan kaikki 13 :een kulmaan vaakatasoon nähden, jotta hunaja ei lähde valumaan. Kreikkalaisen matemaatikon Pappos Aleksandrialaisen (n. 290-350) katsotaan esittäneen ensimmäisenä matemaattisessa muodossa otaksuman, että mehiläiset rakentavat kennostonsa kuusikulmioista, koska tällöin hunajaa saadaan varastoiduksi eniten suhteessa rakennusmateriaaleihin. Tosin Marcus Terentius Varro kirjoitti samankaltaisia ajatuksia jo 36 e.a.a. Koko laajuudessaan ongelma on nimeltään Hunajakenno-otaksuma (engl.
honeycomb conjecture 4 ) ja sillä on yhteys mm. Tykinkuula-ongelmaan (engl. cannonball problem). Unkarilainen matemaatikko László Fejes Tóth otti ratkaisevat askeleet ongelman osittaiseen ratkaisuun (ns. konveksisuusrajoite) 1943 ja myöhemmin myös ns. kolmiulotteiseen tapaukseen huomioiden mm. kennojen pohjan kolmiulotteisuuden. Lopullisen todistuksen näihin ongelmiin loi pääasiassa puhtaan algebran keinoin Thomas Hales vuonna 1999. Myöhemmin asialle on esitetty todistus myös fraktaalimatematiikan keinoin. "The hard part is going from intuition to rigorous mathematics to prove it." Thomas Hales, 2007 Tämä hidas prosessi jo sinänsä kertoo, että asian täydellinen ratkaisu ei ehkä ole sittenkään ilmeinen. Tällaisten ongelmien syvällisyys paljastuu yleensä vasta, kun niitä ryhtyy tutkimaan ja pohtimaan ihan tosissaan. Seuraavassa Hunajakenno-otaksumaa lähestytään mahdollisimman alkeellisella tasolla. Tehtävä 1. Oletetaan, että yhden hunajakennon vahaseinämän pituus on yksi yksikkö ts. monikulmion piiri on yksi eli p 1. Laske sekä tarkka arvo että likiarvo kuvion pinta-alalle kolmessa eri tapauksessa: tasasivuinen kolmio, neliö ja säännöllinen kuusikulmio. Aseta pinta-alat suuruusjärjestykseen. 4 Konjektuuri (engl. conjecture) on matemaattinen väite, jonka arvellaan olevan tosi, mutta jota kukaan ei ole vielä todistanut todeksi tai epätodeksi. Kun konjektuuri on osoitettu todeksi, siitä tulee teoreema eli lause.
Tehtävä 2. Mainitse ainakin kaksi erilaista syytä, miksi ongelmaa ei voi kokonaisuudessaan ratkaista tehtävän 1. sisältämällä yksinkertaisella laskennalla. Tehtävä 3. Tutki mehiläisten rakentamien hunajakennojen matematiikkaa Internetissä käyttäen mm. hakusanoja honeycomb conjecture, sphere packing problem, sphere packing hexagonal, cannonball problem, László Fejes Tóth, Thomas Hales.