1 / 21
Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja a ij sanotaan matriisin A alkioiksi (a ij on alkio rivillä i ja sarakkeessa j). Kun yleisesti puhutaan matriin A paikan ij alkiosta, merkitään A ij (ei olla täsmällisesti määrätty tai sanottu, mikä tämä alkio on). 2 / 21
Esimerkki 1 Matriisi 2 1 A 0 3 1 2 on 3 2 matriisi. 3 / 21
A ja B ovat samat, jos kaikilla i ja j. A ij B ij Esimerkki 2 Olkoot [ ] a b A c d [ ] 2 + d 2b ja B. c d Tällöin A B a b c d 2 + d 2b c d a 2 b 0 c R d 0. 4 / 21
Kaikkien k n-matriisien joukkoa merkitään symbolilla M(k, n). Määritelmä 2 (Matriisien yhteenlasku) Olkoot A, B M(k, n) Tällöin A + B M(k, n) (A + B) ij A ij + B ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Huomautus 1 voidaan laskea yhteen vain, jos ne ovat samankokoisia. Määritelmä 3 (Matriisien kertominen reaaliluvulla) Olkoon A M(k, n) ja λ R. Tällöin λa M(k, n), missä (λa) ij λa ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. 5 / 21
Esimerkki 3 Olkoot A [ 5 4 ] 3 2 1 0 ja B [ ] 0 1 2. 3 4 5 Tällöin A[ ja B ovat 2 3- matriiseja, ] [ joille pätee ] 5 + 0 4 + 1 3 + 2 5 5 5 A + B 2 + 3 1 + 4 0 + 5 5 5 5 ja 2A 2 [ ] 5 4 3 2 1 0 [ ] 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 [ ] 10 8 6. 4 2 0 6 / 21
Lause 1 Olkoot A, B, C M(k, n) ja λ, µ R. Tällöin (a) A + B B + A (b) A + (B + C) (A + B) + C (c) on olemassa nollamatriisi 0 M(k, n), jolle A + 0 A (d) on olemassa vastamatriisi A M(k, n), jolle A + ( A) 0 (e) λ(µa) (λµ)a (f) 1A A (g) (λ + µ)a λa + µa (h) λ(a + B) λa + λb. 7 / 21
Todistus Olkoot A, B, C M(k, n) ja λ, µ R. Todistetaan (a). Nyt (A + B) ij A ij + B ij B ij + A ij (B + A) ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Näin A + B B + A. Todistetaan (c). Olkoon A [a ij ]. Määritellään k n-matriisi 0 asettamalla 0 ij 0 kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Tällöin 0 M(k, n) ja (A + 0) ij A ij + 0 ij a ij + 0 a ij A ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Täten A + 0 A. 8 / 21
Todistus Todistetaan (d). Olkoon A [a ij ]. Määritellään k n-matriisi A 1 A. Nyt ( A) ij ( 1 A) ij 1 A ij 1 a ij a ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Tällöin (A + ( A)) ij A ij + ( A) ij a ij + ( a ij ) a ij a ij 0 0 ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Täten A + ( A) 0. Todistetaan (e). Nyt (λ(µa)) ij λ(µa) ij λ(µa ij ) (λµ)a ij ((λµ)a) ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Näin λ(µa) (λµ)a. 9 / 21
Todistus. Todistetaan (f). Nyt (1 A) ij 1 A ij A ij, kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Näin 1A A. Todistetaan (h). Nyt (λ(a + B)) ij λ(a + B) ij λ(a ij + B ij ) λa ij + λb ij (λa) ij + (λb) ij (λa + λb) ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Näin λ(a + B) λa + λb. Kohdat (b) ja (g) harjoitustehtävinä. 10 / 21
Merkintä 1 Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä summalle: k a i a 1 + a 2 + + a k. Esimerkiksi ja i1 5 i 2 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 i1 5 b ij b i2 + b i3 + b i4 + b i5. j2 11 / 21
Määritelmä 4 (Matriisien kertolasku) Olkoot A M(k, n) ja B M(n, l). Matriisien A ja B tulo on matriisi AB M(k, l), missä (AB) ij n A ip B pj A i1 B 1j + A i2 B 2j + + A in B nj p1 kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., l. 12 / 21
Tulomatriisin AB alkio (AB) ij saadaan siis kertomalla A:n i:nen rivin alkiot A i1, A i2,..., A in vastaavilla B:n j:nnen sarakkeen alkioilla B 1j, B 2j,..., B nj ja laskemalla näin saadut tulot yhteen. Näin ollen A 11 A 12 A 1n B 11 B 1j B... 1l AB A i1 A i2 A in B 21 B 2j B 2l...... B n1 B nj B nl A k1 A k2 A kn (AB) 11 (AB) 1j (AB) 1l... (AB) i1 (AB) ij (AB) il,... (AB) k1 (AB) kj (AB) kl missä (AB) ij A i1 B 1j + A i2 B 2j + + A in B nj kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., l. 13 / 21
Esimerkki 4 Olkoot A [ ] 1 0 1 1 2 3 M(2, 3) ja B 5 0 1 M(3, 3). 0 1 1 1 1 1 Tällöin AB on määritelty, sillä matriisin A sarakkeiden lukumäärä matriisin B rivien lukumäärä, ja se on 2 3-matriisi [ ] 0 1 1 2 3 AB 1 5 0 1 0 1 1 1 1 1 [ ] 1 1 + 2 5 + 3 1 1 0 + 2 0 + 3 1 1 1 + 2 1 + 3 1 0 1 + 1 5 + 1 1 0 0 + 1 0 + 1 1 0 1 + 1 1 + 1 1 [ ] 14 3 6. 6 1 2 Tuloa BA ei ole määritelty, sillä matriisin B sarakkeiden määrä (kolme) on eri kuin matriisin A rivien määrä (kaksi). 14 / 21
1 Edellisen esimerkin nojalla matriisien tulo BA ei ole aina määritelty kun tulo AB on määritelty. 2 Onko AB BA aina kun matriisitulot ovat määritelty? Jos ei, niin anna esimerkki. 3 Onko mahdollista, että AB 0, vaikka A 0 ja B 0? Jos on, niin anna esimerkki. 15 / 21
Esimerkki 5 Olkoot A [ 1 2 1 ] 0 M(1, 3) ja B 3 M(3, 1). 1 Tällöin AB [ 1 2 1 ] 0 3 1 0 + 2 3 + 1 1 ] [ 7 ] M(1, 1) 1 ja 0 BA 3 1 2 1 ] 0 1 0 2 0 1 0 0 0 3 1 3 2 3 1 3 6 3 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 M(3, 3). Erityisesti AB BA. 16 / 21
Esimerkki 6 Olkoot A [ ] [ ] 1 1 1 1 M(2, 2) ja B M(2, 2). 2 2 1 1 Tällöin[ ] [ ] 1 1 1 1 AB 2 2 1 1 [ ] 0 0 M(2, 2) 0 0 ja [ ] [ ] 1 1 1 1 BA 1 1 2 2 [ ] 1 1 M(2, 2). 1 1 Erityisesti AB BA. [ 1 ( 1) + 1 1 ] 1 1 + 1 ( 1) 2 ( 1) + 2 1 2 1 + 2 ( 1) [ 1 1 + 1 2 ] 1 1 + 1 2 1 1 + ( 1) 2 1 1 + ( 1) 2 17 / 21
Lause 2 Olkoot A, B ja C matriiseja ja λ R. Tällöin (a) A(B + C) AB + AC, (b) (A + B)C AC + BC, (c) A(BC) (AB)C, (d) (λa)b A(λB) λ(ab), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on hyvin määritelty. 18 / 21
Todistus Todistetaan (a). Olkoot A M(k, n) ja B, C M(n, l). Tällöin, ja vain tällöin, B + C M(n, l), A(B + C) M(k, l), AB M(k, l), AC M(k, l) ja AB + AC M(k, l) ovat määriteltyjä. ( Nyt A(B + C) )ij n p1 A ip(b + C) pj n p1 A ip(b pj + C pj ) n p1 (A ipb pj + A ip C pj ) A i1 B 1j + A i1 C 1j + A i2 B 2j + A i2 C 2j + + A in B nj + A in C nj n p1 A ipb pj + n p1 A ipc pj (AB) ij + (AC) ij (AB + AC) ij kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., l. Täten A(B + C) AB + AC. (b) harjoitustehtävänä. 19 / 21
Todistus Todistetaan (c). Olkoot A M(k, l), B M(l, m) ja C M(m, n). Tällöin ja vain tällöin tulot BC M(l, n), AB M(k, m), A(BC) M(k, n) ja (AB)C M(k, n) ovat määriteltyjä. Nyt (A(BC)) ij l A ip (BC) pj p1 m q1 p1 l l A ip B pq C qj m A ip p1 q1 q1 m (AB) iq C qj ((AB)C) ij q1 B pq C qj l p1 q1 m l A ip B pq C qj p1 kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., n. Siispä A(BC) (AB)C. m A ip B pq C qj 20 / 21
Todistus. Todistetaan (d). Olkoot A M(k, n), B M(n, l) ja λ R. Tällöin, ja vain tällöin, AB, (λa)b ja A(λB) ovat määriteltyjä ja ja ( n (λa)b )ij (λa) ip B pj λ p1 n (λa ip )B pj p1 n λa ip B pj p1 n A ip B pj λ(ab) ij ( λ(ab) ) ij p1 ( n A(λB) )ij A ip (λb) pj p1 n A ip (λb pj ) p1 n A ip λb pj ( λ(ab) ) ij p1 kaikilla i 1,..., k ja j 1,..., l. Täten (λa)b A(λB) λ(ab). 21 / 21