Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista tulla keskimäärin todellista arvoa suurempia tai pienempiä arvoja, vai onko virhe satunnainen. Lopuksi arvioidaan tuloksia ja lasketaan kaikista keskiarvo. Työselostukseen täydennetään ennakko-oletukset, tulokset ja johtopäätökset. 2.1. Putoamiskiihtyvyys 1 2. Teoria Putoamiskiihtyvyys johtuu Maan gravitaatiovoimasta ja se riippuu paikasta ja ajasta. Riippuvuus ajasta johtuu Auringon ja Kuun vuoksivoimista (vaihteluväli Suomessa 3 µm/s 2 ) ja mm. pohjaveden ja ilmakehän massan vaihteluista (vähintään kertaluvun verran pienempiä). Kun tärkeimmät aikavaihtelut poistetaan putoamiskiihtyvyydestä sovituin menetelmin, saadaan ajasta riippumaton putoamiskiihtyvyys. Maapallo on navoiltaan litistynyt. Navoilta on lyhyempi matka keskipisteeseen, jolloin voiman vaikutus (kiihtyvyys) on niiden alueella suurempi: putoamiskiihtyvyys navoilla on 9, 832m/s 2 ja päiväntasaajalla 9, 7804m/s 2. Kaikilla kappaleilla pitäisi siis olla täsmälleen sama kiihtyvyys pudotessaan, mutta tilanne muuttuu vastustavien voimien, erityisesti ilmanvastuksen takia. Ilmanvastus ei ole verrannollinen kappaleen massaan, joten sen aiheuttama kiihtyvyys ei ole kaikille kappaleille sama. Mittatekniikan laitos mittaa koko ajan Suomessa putoamiskiihtyvyyden arvoja laitteistolla, jossa kappaleita pudotetaan tyhjiössä, jolloin ilmanvastu ei häiritse mittauksia. 2.2. Kinematiikan perusteita 2 Kappaleen ollessa tasaisessa liikkeessä sen paikka kasvaa tasaisesti. Voidaan kirjoittaa v = x t. (1) Kun kappale ei ole tasaisessa liikkeessä, näin saadaan laskettua kappaleen keskinopeus. Kappaleen ollessa tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä sen nopeus kasvaa tasaisesti. Voidaan kirjoittaa a = v t. (2) 1
Kappaleen liikkuessa vakiokiihtyvyydellä a sen paikka x hetkellä t voidaan laskea yhtälöstä x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2, (3) missä x 0 on kappaleen lähtöpiste ja v 0 on kappaleen alkunopeus. Jos nämä molemmat ovat nolla, saadaan erikoistapauksena x = 1 2 at2. (4) Kun tätä sovelletaan tilanteeseen, jossa kappale pudotetaan levosta, saadaan yhtälö h = 1 2 gt2 2h = gt 2, (5) missä h on pudotuskorkeus, t on putoamisaika ja g on putoamiskiihtyvyys. 2.3. Matemaattinen heiluri 3 Matemaattinen heiluri määritellään painottoman langan päässä heilahtelevaksi massapisteeksi. Tätä heilurin mallia noudattaa ominaisuuksiltaan melko hyvin ohueen lankaan ripustettu pieni pallo. Heilurin pituus l on kappaleen keskipisteen etäisyys ripustamispisteestä ja T on heilahdusaika. Matemaattinen heiluri noudattaa kaavaa T = 2π l g g = 4π2 l T 2 (6) sitä paremmin, mitä pienempiä heilahduskulmat ovat. Kaava on ensimmäisen kertaluvun approksimaatio heilahdusajasta sin α:n suhteen. Putoamisen kestävä kappale Sekuntikello Mittanauha, viivotin Jaksotin nauhoineen Statiivi tankoineen Punnus Lankaa, sakset 4.1. Työvaiheet, työ 1 3. Tarvikkeet 4. Työn kuvaus Pudotetaan kappaletta eri korkeuksilta ja mitataan pudotuskorkeus h sekä putoamiseen kuluva aika t. Tulokset kirjataan (t 2, 2h)-koordinaatistoon. Yhtälön (5) mukaan mittauspisteisiin sovitetun suoran kulmakerroin on putoamiskiihtyvyys. 2
4.2. Työvaiheet, työ 2 Jaksotin on laite, joka lyö merkin paperiin 0, 02 s välein. Jaksotin kiinnitetään statiiviin ja katsotaan, että kappaleella on riittävästi tilaa pudota jaksottimen alle. Kiinnitetään punnus jaksottimen paperinauhaan ja asetetaan nauha jaksottimeen. Käynnistetään jaksotin ja päästetään kappale putoamaan. Mittaamalla alkupäästä pisteiden p i 1 ja p i+1 välinen etäisyys saadaan laskettua keskinopeus tällä välillä käyttämällä kaavaa (1). Tämä on nauhan nopeus pisteen p i kohdalla, koska nopeus kasvaa tasaisesti ja piste p i on ajallisesti pisteiden p i 1 ja p i+1 puolivälissä. Vastaavasti mittaamalla loppupäästä pisteiden p j 1 ja p j+1 välinen etäisyys saadaan kaavalla (1) nauhan nopeus pisteessä p j. Näistä saadaan laskettua putoamiskiihtyvyys kaavalla (2). 4.3. Työvaiheet, työ 3 Kiinnitetään punnus langalla roikkumaan statiivista ja mallinnetaan tällä matemaattista heiluria. Mitataan 10 heilahdukseen kuluva aika, tästä saadaan laskettua heilahdusaika jakamalla kymmenellä. Mitataan lisäksi heilurin pituus ja lasketaan kaavalla (6) putoamiskiihtyvyys. Tehdään mittaus yhteensä kolmella eripituisella heilurilla ja lasketaan saaduista putoamiskiihtyvyyksistä keskiarvo. Käytetään mahdollisimman pieniä heilahduskulmia, jotta heiluri noudattaisi kaavaa (6) mahdollisimman hyvin. 4.4. Vaaratekijät Työssä pudotetaan painoja. On varottava, etteivät ne putoa varpaille tai riko mitään. 5. Ennakko-oletus Onko syytä olettaa, että jossain työssä saataisiin järjestelmällisesti liian suuria tai liian pieniä arvoja putoamiskiihtyvyydelle, vai onko virhe satunnainen? Miksi? 3
6. Tulokset 6.1. Työ 1 Saatu (t 2, 2h)-kuvaaja on liitteenä. Putoamiskiihtyvyyden arvoksi saatiin 6.2. Työ 2 Alkupään pisteiden p i 1 ja p i+1 välimatka: Nopeus pisteen p i kohdalla: Loppupään pisteiden p j 1 ja p j+1 välimatka: Nopeus pisteen p j kohdalla: Pisteiden p i ja p j välillä kulunut aika: Putoamiskiihtyvyydeksi saatiin: 6.3. Työ 3 Saadut tulokset ovat allaolevassa taulukossa: heilurin pituus 10 heilahdukseen kulunut aika heilahdusaika laskettu putoamiskiihtyvyys l (m) t (s) T (s) g (m/s 2 ) 6.4. Putoamiskiihtyvyydeksi saatu arvo Kolmen eri työn tuloksena saatujen putoamiskiihtyvyyksien keskiarvo: 7. Johtopäätökset Pitivätkö ennakko-oletukset paikkaansa? Kuinka lähelle virallista putoamiskiihtyvyyden arvoa päästiin? Onko jälkikäteen löydettävissä muita virhelähteitä, kuin mitä ennakko-oletuksessa huomioitiin? 4
Viitteet 1 G. D. Garland The Earth s Shape and Gravity. 1. painos, Pergamon Press Inc., Toronto, 1965. ISBN 978-0-08-010822-3. 2 H. Lehto, R. Havukainen, J. Maalampi, J. Leskinen Fysiikka 4: Liikkeen lait. 1.-5. painos, Sanoma Pro Oy, Helsinki, 2012. ISBN 978-952-63-0119-8 3 Esko Valtanen Matematiikan ja fysiikan käsikirja 2. painos. 1. painos, Genesis-Kirjat Oy, Jyväskylä, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8 5