Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb = = =. 1 1 3 1 + 3 2 d) Vektori [ ] [ ] x1 5 = 2 on eräs ratkaisu. e) Onko muita ratkaisuja? Milloin voi näin toimia? x 2 1 / 43

Käänteismatriisi 2 / 43

Käänteismatriisi Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella matriisilla ei kuitenkaan ole käänteismatriisia. Ensinnäkin, matriisissa täytyy olla yhtä monta riviä ja saraketta, jotta käänteismatriisi voi olla olemassa. Se ei ole vielä riittävä ehto, vaan tarvitaan menetelmiä käänteismatriisin ja sen olemassaolon määräämiseksi. Määritellään ensin ykkösalkio matriiseille. 3 / 43

Käänteismatriisi Määritelmä 1 Matriisi A on neliömatriisi, jos A M(n, n) jollakin n N. Neliömatriisi A = [a ij ] on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 kaikilla i j. Diagonaalimatriisi 1 0 0 0 0 1 0 0 I = [δ ij ] = M(n, n).. 0 0 0 1 on yksikkömatriisi eli identtinen matriisi. Tässä { 1, i = j δ ij = 0, i j. 4 / 43

Käänteismatriisi Lause 1 Olkoon A M(n, n). Tällöin IA = AI = A. Todistus. Olkoon A = [a ij ] M(n, n). Nyt (AI ) ij = n A ip I pj = p=1 n a ip δ pj = a ij δ jj = a ij 1 = a ij = A ij, p=1 kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., n. Näin ollen AI = A. Lisäksi (IA) ij = n I ip A pj = p=1 n δ ip a pj = δ ii a ij = 1 a ij = a ji = A ij, p=1 kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., n, joten IA = A. 5 / 43

Käänteismatriisi Määritelmä 2 Neliömatriisi A M(n, n) on kääntyvä, jos on olemassa B M(n, n), jolle AB = BA = I. Tällöin B on A:n käänteismatriisi ja sitä merkitään B = A 1. Esimerkki 1 Matriisi A = [ ] [ ] 2 1 1 1 on kääntyvä ja A 3 1 1 =, sillä 3 2 [ ] [ ] 2 1 1 1 = 3 1 3 2 [ ] [ 1 0 1 1 = 0 1 3 2 ] [ ] 2 1. 3 1 6 / 43

Käänteismatriisi Esimerkki 2 Matriisi A = [ a b B = c d [ ] 1 2 ei ole kääntyvä. Jos nimittäin olisi 2 4 ], jolle [ ] [ ] [ ] 1 2 a b a + 2c b + 2d = = 2 4 c d 2a + 4c 2b + 4d [ ] 1 0, 0 1 niin a + 2c = 1 b + 2d = 0 2a + 4c = 0 2b + 4d = 1. { a + 2c = 1 2a + 4c = 0 mikä on ristiriita. Täten B:tä ei ole. { 0 = 1 a = 2c, 7 / 43

Käänteismatriisi Käänteismatriisi Kun matriisia kerrotaan käänteismatriisilla, saadaan ykkösalkio (yksikkömatriisi) Jokaisella matriisilla ei ole käänteismatriisia Ensimmäinen ehto on, että matriisissa täytyy olla yhtä monta riviä ja saraketta Edes jokaisella n n-matriisilla ei ole käänteismatriisia Tarvitaan menetelmiä käänteismatriisin ja sen olemassaolon määräämiseksi 8 / 43

Käänteismatriisi Lause 2 (a) Jos neliömatriisilla A on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen. Erityisesti (A 1 ) 1 = A. (b) Jos A, B M(n, n) ovat kääntyviä, niin AB on kääntyvä ja (AB) 1 = B 1 A 1. 9 / 43

Käänteismatriisi Todistus. (a) Olkoot B ja C matriisin A käänteismatriiseja (AB = I = BA ja AC = CA = I ). Tällöin B= BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. Siis B = C eli käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Koska A 1 A = I = AA 1, on A = (A 1 ) 1. (b) Nyt B 1 A 1 M(n, n) ja (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I sekä (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Täten (AB) 1 = B 1 A 1. 10 / 43

Käänteismatriisi Esimerkki 3 Jos A on kääntyvä, niin A 2 = AA on kääntyvä ja (A 2 ) 1 = (AA) 1 = A 1 A 1 = (A 1 ) 2. Lause 3 (Työnpuolituslause) Olkoot A, B M(n, n). Jos AB = I tai BA = I, niin A ja B ovat kääntyviä sekä A = B 1 ja B = A 1. Todistus. Sivuutetaan. 11 / 43

Käänteismatriisi Lause 4 Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin kaikilla b R n yhtälöllä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x = A 1 b. 12 / 43

Todistus Todistus. Olkoon b R n mielivaltainen. Ensin osoitetaan, että ratkaisu on olemassa. Vektori A 1 b on yhtälön Ax = b ratkaisu, sillä sijoittamalla se muuttujan x paikalle saadaan Ax = A(A 1 b)= (AA 1 )b= Ib = b. Vielä täytyy osoittaa, että ratkaisu on yksikäsitteinen. Oletetaan, että y R n on mikä tahansa yhtälön Ay = b ratkaisu ja osoitetaan, että y = A 1 b. Kertomalla yhtälöä Ay = b puolittain käänteismatriisilla A 1 saadaan A 1 (Ay) = A 1 b (A 1 A)y = A 1 b Iy = A 1 b, joten y = A 1 b. 13 / 43

Käänteismatriisi Esimerkki 4 Ratkaise yhtälöryhmä { 2x1 + x 2 = 3 3x 1 + x 2 = 5. [ ] 2 1 Tästä saadaan matriisi yhtälö Ax = b, missä A =, 3 1 [ ] [ ] [ ] x1 3 1 1 x = ja b =. Koska A on kääntyvä ja A x 2 5 1 = 3 2 ( ) esim. 1(a), niin [ ] [ ] [ ] { 1 1 3 2 x = A 1 x1 = 2 b = = eli 3 2 5 1 x 2 = 1 on yhtälöryhmän ainoa ratkaisu. 14 / 43

Huomautus 1 Matriisi A M(k, n) voidaan ajatella kuvauksena f A : R n R k, jolle f A (x) = Ax kaikilla x R n. Mitä tarkoittaa yhtälöryhmän Ax = b yksikäsitteisen ratkaisun olemassaolo? Entä mitä tarkoittaa matriisin A M(n, n) kääntyvyys? 15 / 43

Alkeismatriisit 16 / 43

Alkeismatriisit Määritelmä 3 Alkeismatriisi on sellainen matriisi, joka on saatu yksikkömatriisista I yhdellä rivioperaatiolla. Rivioperaatioita olivat P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään. M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 0. A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c R ja lisätään se yhtälöön j, missä i j. 17 / 43

Alkeismatriisit Esimerkki 5 Olkoot 1 0 0 0 1 0 1 0 0 E 1 = 0 1 0, E 2 = 1 0 0, E 3 = 0 1 0, 4 0 1 0 0 1 0 0 5 a b c A = d e f. g h i Matriisit E 1, E 2 ja E 3 ovat alkeismatriiseja. Nyt a b c d e f E 1 A = d e f, E 2 A = a b c, g 4a h 4b i 4c g h i a b c E 3 A = d e f. 5g 5h 5i 18 / 43

Alkeismatriisit Esimerkki 5 Matriisilla E 1 kertominen on siis sama kuin rivioperaatio, jossa ensimmäistä riviä kerrotaan luvulla 4 ja lisätään se kolmanteen riviin. Matriisilla E 2 kertominen vaihtaa ensimmäisen ja toisen rivin paikkaa. Matriisilla E 3 kertominen kertoo kolmannen rivin alkiot viidellä. Edellinen esimerkki pätee myös yleisesti. 19 / 43

Alkeismatriisit Lause 5 Olkoon A M(m, n) ja olkoon E M(m, m) tietyllä rivioperaatiolla saatu alkeismatriisi. Tällöin tulo EA tuottaa saman matriisin kuin saman rivioperaation tekeminen matriisiin A. Todistus. Olkoon A 1 A n. A i A =., A j. missä A i on matriisin A i:s rivi ja A j on j:s rivi. 20 / 43

Alkeismatriisit Todistus. Olkoon E 1 matriisi, joka on saatu vaihtamalla rivit i ja j keskenään yksikkömatriisissa eli e 1. e j E 1 =., e i. missä e i = [0 0 1 0 0] ja 1 on i:nnessä sarakkeessa. e n 21 / 43

Alkeismatriisit Todistus. Tällöin E 1 A = e 1 A. e j A. e i A. e n A = A 1. A j. A i. A n. Sama matriisi saadaan soveltamalla rivioperaatio P ij matriisiin A, joten väite pätee operaatiolle P ij. Muut kohdat vastaavasti. 22 / 43

Alkeismatriisit Seuraavan lauseen todistuksessa tarvitaan tietoa, että jokaisella rivioperaatiolla on käänteinen rivioperaatio, jolla yhtälöryhmä (tai matriisi) saadaan alkuperäiseen muotoonsa. Lause 6 Jokaisella alkeismatriisilla on olemassa käänteismatriisi ja käänteismatriisi on myös alkeismatriisi. Todistus. Olkoon E alkeismatriisi ja olkoon F käänteisellä rivioperaatiolla saatu alkeismatriisi. Lauseen 5 nojalla matriiseilla E ja F kertominen kumoavat toisensa eli Täten E 1 = F. EF = I ja FE = I. 23 / 43

Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Määritelmä Olkoon A M(k, n). Matriisin A transpoosi on A T M(n, k), missä (A T ) ij = A ji kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., k. Huomautus 2 Transpoosin rivit ovat alkuperäisen matriisin sarakkeita ja transpoosin sarakkeet ovat alkuperäisen matriisin rivejä. Ennakkotehtävä Määrää matriisin 1 1 1 (a) A = 2 3 3 3 1 2 [ ] 1 2 5 5 (b) A = 2 1 0 9 transpoosi A T. 24 / 43

Alkeismatriisit Määritelmä 4 Matriisi A on riviekvivalentti matriisin B kanssa, jos B saadaan matriisista A rivioperaatioilla. Lause 7 Olkoon A M(n, n). Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Matriisi A on kääntyvä. (b) Yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla b R n. (c) Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. (d) Matriisi A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I M(n, n) kanssa (eli Gaussin ja Jordanin menetelmä muuttaa A:n identtiseksi matriisiksi). (e) Matriisi A on alkeismatriisien tulo. 25 / 43

Alkeismatriisit Todistus Osoitetaan, että (a) (b) (c) (d) (e) (a). (a) (b): Väite pätee Lauseen 9 nojalla. (b) (c): Koska yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla b R n, niin myös yhtälöllä Ax = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu. Koska homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on aina triviaaliratkaisu x = 0, sen täytyy olla ainoa ratkaisu. 26 / 43

Alkeismatriisit Todistus (c) (d): Oletetaan, että homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu. Kun merkitään a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A =... ja x = x 2., a n1 a n2 a nn x n niin yhtälöä Ax = 0 vastaava yhtälöryhmä on a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0. a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n = 0. 27 / 43

Alkeismatriisit Todistus Koska yhtälöllä Ax = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu x = 0, niin Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmän täytyy johtaa tilanteeseen x 1 = 0 x 2 = 0. x n = 0. Tämä tarkoittaa sitä, että matriisi A muuttuu rivioperaatioilla yksikkömatriisiksi I eli A on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa. 28 / 43

Alkeismatriisit Todistus (d) (e): Oletetaan, että matriisi A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I n kanssa. Tällöin Lauseen 5 nojalla on olemassa sellaiset alkeismatriisit E 1,..., E k, että E 1 E k A = I. Koska alkeismatriisit ovat kääntyviä, niin yhtälöä voidaan kertoa vasemmalta puolittain matriisilla E1 1 ja saadaan E 2 E k A = E 1 Seuraavaksi kerrotaan matriisilla E2 1, jolloin E 3 E k A = E2 1 E 1 1. Jatketaan, kunnes viimeisenä kerrotaan matriisilla E 1 k ja on saatu yhtälö A = E 1 k E2 1 E 1 1. Koska alkeismatriisien käänteismatriisit ovat alkeismatriiseja, kohta (e) pätee. 1. 29 / 43

Alkeismatriisit Todistus. (e) (a):oletetaan, että A = E 1 E 2 E k, missä E 1,..., E k ovat alkeismatriiseja.matriisi B = E 1 k E2 1 E 1 1. on matriisin A käänteismatriisi, sillä Täten A on kääntyvä. AB = (E 1 E 2 E k )(E 1 k E2 1 = E 1 E 2 (E k E 1 k ) E 1 1 ) 2 E 1 1 = E 1 E 2 E k 1 IE 1 k 1 E 2 1 E 1 1 = E 1 E 2 (E k 1 E 1 k 1 ) E 2 1 E 1 1 = E 1 E1 1 = I. 30 / 43

Huomautus 3 Jos matriisi ei ole kääntyvä, niin Lauseen 7 nojalla se ei ole riviekvivalentti yksikkömatriisin I kanssa. Tämä tarkoittaa sitä, että matriisin redusoidussa porrasmatriisissa on vähintään yksi nollarivi. 31 / 43

Mitä on saatu? Jokaista rivioperaatiota vastaa jokin alkeismatriisi E. Matriisi A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos se on riviekvivalentti identiteettimatriisin kanssa. Siis A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos E k E 2 E 1 A = I, joillakin alkeismatriiseilla E 1, E 2,..., E k M(n, n). Siis jos matriisi A on kääntyvä, niin Työnpuolituslauseen nojalla A 1 = E k E 2 E 1 = E k E 2 E 1 I Kysymys: Miten saadaan käänteismatriisi selville? 32 / 43

Gaussin ja Jordanin algoritmi käänteismatriisin määräämiseksi 33 / 43

G J -algoritmi käänteismatriisin määräämiseksi Matriisin A M(n, n) kääntyvyys voidaan testata ja A 1 voidaan etsiä Gaussin ja Jordanin menetelmällä seuraavasti: (1) Tarkastellaan laajennettua kerroinmatriisia [ A I ]. (2) Sovelletaan Gaussin ja Jordanin menetelmää. (3) Jos A muuttuu I :ksi, on viivan oikealla puolella A 1 eli [ I A 1 ]. Jos A ei voi muuttua I :ksi, A ei ole kääntyvä. 34 / 43

G J -algoritmi käänteismatriisin määräämiseksi Esimerkki 6 1 1 1 Määrätään matriisin A = 2 3 3 käänteismatriisi. 3 1 2 1 1 1 1 0 0 Laajennettu kerroinmatriisi on 2 3 3 0 1 0 3 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 0 A 12 ( 2) 0 1 1 2 1 0 A 13 ( 3) 0 2 1 3 0 1 A 21 ( 1) A 23 (2) A 32 ( 1) 1 0 0 3 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 7 2 1 1 0 0 3 1 0 0 1 0 5 1 1. 0 0 1 7 2 1 35 / 43

G J -algoritmi käänteismatriisin määräämiseksi Esimerkki 6 Täten 3 1 0 A 1 = 5 1 1. 7 2 1 Tarkistetaan ratkaisu: 1 1 1 3 1 0 1 0 0 AA 1 = 2 3 3 5 1 1 = 0 1 0. 3 1 2 7 2 1 0 0 1 36 / 43

G J -algoritmi käänteismatriisin määräämiseksi Esimerkki Onko A = Nyt [ ] 1 2 kääntyvä? 2 4 [ 1 2 1 0 2 4 0 1 ] [ A 12 ( 2) 1 2 1 0 0 0 2 1 joten tuloksena on vasemmalle puolelle nollarivi. Näin ollen matriisista A ei saa rivimuunnoksilla matriisia I eli A ei ole kääntyvä. ], 37 / 43

Matriisin transpoosi 38 / 43

Matriisin transpoosi Määritelmä 5 Olkoon A M(k, n). Matriisin A transpoosi on A T M(n, k), missä (A T ) ij = A ji kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., k. Huomautus 4 Transpoosin rivit ovat alkuperäisen matriisin sarakkeita ja transpoosin sarakkeet ovat alkuperäisen matriisin rivejä. Esimerkki 7 1 1 1 1 2 3 Matriisin A = 2 3 3 transpoosi A T = 1 3 1 3 1 2 1 3 2 [ ] 1 2 1 2 5 5 ja matriisin B = transpoosi B 2 1 0 9 T = 2 1 5 0. 5 9 39 / 43

Matriisin transpoosi Lause 8 Olkoot A, B M(k, n), C M(n, l) ja λ R. Tällöin (a) (A T ) T = A. (b) (A + B) T = A T + B T. (c) (λa) T = λa T. (d) (AC) T = C T A T. Todistus. (a) Nyt A M(k, n), joten A T M(n, k). Näin (A T ) T M(k, n). Nyt ( (A T ) T ) ij = (AT ) ji = A ij kaikilla i = 1,..., k ja j = 1,..., n. Täten (A T ) T = A. (b) Harjoitustehtävä 40 / 43

Matriisin transpoosi Todistus. (c) Nyt λa M(k, n), joten (λa) T M(n, k). Lisäksi A T M(n, k), joten λa T M(n, k) Nyt ( (λa) T ) ij = (λa) ji = λa ji = λ(a T ) ij = (λa T ) ij kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., k. Täten (λa) T = λa T. (d) Nyt AC M(k, l) on määritelty, joten (AC) T M(l, k). Lisäksi C T M(l, n) ja A T M(n, k), joten C T A T M(l, k). Nyt ( (AC) T ) ij = (AC) ji = n p=1 A jpc pi = n p=1 C pia jp = n p=1 (C T ) ip (A T ) pj = (C T A T ) ij kaikilla i = 1,..., l ja j = 1,..., k. Täten (AC) T = C T A T. 41 / 43

Matriisin transpoosi Lause 9 Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin A T on kääntyvä ja (A T ) 1 = (A 1 ) T. Todistus. Harjoitustehtävä 42 / 43

Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Milloin matriisi [ ] a b A = c d on kääntyvä? Määrää tällöin matriisin A käänteismatriisi. 43 / 43