BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb 6 4 k t + s 8 Tästä voidaan muodostaa yhtälöryhmä 6 t 4s k t + 8s t s Ylimmästä yhtälöstä saadaan t 6 + 4s. Sijoitetaan se alimpaan yhtälöön: (6 + 4s) s + s s s t 6 4 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: ( k ) ( + 8 ) 4 88 ii. c a c a 0 0 (b) x A. 4 8 A 3 6 0 0 6 + k ( ) + 0 k 8 k 4. Muodostetaan matriisi A ja tehdään sille Gaussin eliminaatio: 3 0 0 4 0 +R 3 0 0 0 0 0 5R 3 0 0 0 0 0
(a) Koska rank(a) ei ole täysi, vektorit ovat keskenään lineaarisesti riippuvia. (b) Ajatellaan yllä olevaa matriisia yhtälöryhmän 3 [ ] 0 s t 4 0 0 lisättynä matriisina Gaussin eliminaation jälkeen. Matriisista voidaan silloin lukea toiselta riviltä t ja ensimmäiseltä riviltä s 3t 0 s 3. (c) Vektorien virittämässä pistejoukossa mihin tahansa pisteeseen päästään jollakin virittäjävektoreiden yhdistelmällä, eli joukon yleinen piste r voidaan esittää muodossa r t u +t v +t 3 w missä t, t, t 3 R. Toisaalta (b)-kohdan perusteella voidaan ilmaista w u:n ja v:n avulla: r t u +t v +t 3 (3u + v) (t + 3t 3 )u + (t +t 3 )v Koska pistejoukko voidaan esittää vain kahden vektorin avulla, kyseessä on taso, jonka yhtälö on parametrimuodossa r k u + k v missä k, k R. Taso kulkee origon kautta, sillä r 0 arvoilla k k 0. Tason normaalimuotoisen yhtälön muodostamiseksi on löydettävä jokin tason normaalivektori. Normaalivektorin voi etsiä joko piste- tai ristitulon avulla. Ristitulon avulla: u v i j k 0 3 4 0 4 i + ( 3) j + k i 4 j 0 ( 3) k 4i 0j + k Normaalivektoriksi kelpaa mikä tahansa vektorin u v suuntainen nollasta poikkeava vektori. Tason yhtälö normaalimuodossa on siis 4x 0y + z 0 3. (a) Tutkitaan väittämää ensin yksinkertaisessa tapauksessa. Olkoon [ ] A ja B 3 4 Tällöin (A + B) [ ][ 5 5 9 9 [ ] 5 A + B 9 ] [ 5 + 63 35 + 45 + 99 63 + ] [ ] 4 5 6 [ 88 ] 44 84 Toisaalta [ ][ ] [ ] [ ] A + 6 + 8 0 3 4 3 4 3 + 6 + 6 5 [ ][ ] [ ] [ ] 4 5 4 + 5 + 4 3 38 AB 3 4 6 + 4 5 + 8 86 [ ][ ] [ ] [ ] B 4 5 4 5 6 + 30 0 + 35 46 55 6 6 4 + 4 30 + 49 66 9
jolloin saadaan A + AB + B [ ] + 3 + 46 0 + 38 + 55 5 + + 66 + 86 + 9 [ 85 ] 03 53 8 Selkeästi voidaan siis sanoa, että matriiseille ei päde (A + B) A + AB + B. (b) Vektorit [ ] ja [ 3 5 ] virittävät siis tason. Nyt on löydettävä sellaiset t ja s, että [ ] t 4 [ ] + s Saadaan yhtälöryhmä { t + 3s 4 t + 5s Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä t ja sijoitetaan alempaan, jolloin saadaan ratkaisuiksi s 8 ja t. Vektori [ 4 ] on siis kannassa [ ] [ ] [ ] 4 8 3 5 [ ] 3 5 4. (a) i. Muodostetaan jokaisesta solmupisteestä A... D oma yhtälönsä niin, että toisella puolella on solmuun tulevat nestevirrat ja toisella solmusta lähtevät virrat. Saadaan yhtälöryhmä A : x 4 + 0 x + 50 x 4 x 30 B : x + 0 x + 0 x x 50 C : x + 630 x 3 + 390 x x 3 40 D : x 3 + 5 x 4 + 5 x 3 x 4 60 Tästä voidaan muodostaa lisätty matriisi A 0 0 30 0 0 50 0 0 40 0 0 60 ii. Tekemällä Gaussin eliminaatio matriisille A saadaan 0 0 30 0 0 80 0 0 60 0 0 0 0 0 Määritellään t x 4, niin saadaan ratkaisu nättiin muotoon. Nyt siis x 30 x x 3 80 60 +t x 4 0 iii. Minimoitava funktio f (t) ( 30 +t) + ( 80 +t) + (60 +t) + (0 +t). Tämä funktio on pienimmillään välillä 0 t 80.
(b) i. Muodostetaan jokaisesta solmupisteestä A...F oma yhtälönsä, jossa toisella puolella on solmuun tuleva liikenne ja toisella lähtevä liikenne (oletetaan, että mikään ajoneuvo ei voi jäädä "solmuun"). Saadaan yhtälöryhmä x 6 + 0 x x 80 + x x + 0 x 3 x 3 00 + x 4 x 4 + 90 x 5 x 5 x 6 + 90 Siirtämällä kaikki muuttujat vasemmalle puolelle ja vakiot oikealle puolelle voidaan muodostaa yhtälöryhmästä lisätty matriisi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 90 0 0 0 0 90 ii. Tekemällä yo. lisätylle matriisille Gaussin eliminaatio päästään sen kanssa riviekvivalenttiin (row equivalent) muotoon 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90 0 0 0 0 0 0 0 Tästä muodosta voidaan ratkaista x 5 x 6 90 x 5 90 + x 6 x 4 x 6 0 x 4 x 6 x 3 x 6 00 x 3 00 + x 6 x x 6 0 x 3 x 6 0 x x 6 0 x 0 + x 6 Merkitään nyt x 6 t, ja saadaan ratkaisuksi x 0 x 0 x 3 x 4 t + 00 0, t R x 5 90 x 0
iii. Pitää olla t 0, jotta kaikki x...x 6 ovat ei-negatiivisia. iv. Etenemällä samalla tavalla kuin äskeisessä tapauksessa saadaan 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90 0 0 0 0 90 0 0 0 0 90 0 0 0 0 0 0 0 mistä saadaan ratkaisuksi x 0 x 0 x 3 x 4 t 00 0, t R x 5 90 x 6 0 Nyt, jotta kaikki muuttujat ovat ei-negatiivisia, on oltava x 6 00. 5. (a) i. Epätosi. Jos matriisin A rank ei ole täysi, ratkaisuun jää vapaita muuttujia ja ratkaisuja on ääretön määrä. ii. Epätosi. iii. Tosi. Jos n > k, yhtälöryhmän Ax 0 ratkaisuun jää aina vapaita muuttujia ja löytyy sellaisia nollavektorista poikkeavia vektoreita x jotka kuvautuvat nollavektoriksi. iv. Tosi. v. Epätosi. (b) (Jos ei ole selvillä mistä näitä voidaan päätellä, kannattaa katsoa netistä "Invertible Matrix Theorem".) i. Tosi. ii. Tosi. iii. Epätosi. iv. Epätosi. 6. Muokataan yhtälöryhmää hieman: 5I 6(I I ) 3I + 0 6(I I ) I 5(I I 3 ) + 4 0 5(I 3 I ) I 3 8I 3 8 0 4I + 6I 6I 3I + 5I 3 4 5I 5I 3 8 Tästä voidaan muuuttaa yhtälöryhmä matriisimuotoon: 4 6 0 I 6 3 5 I 4 0 5 5 I 3 8. (a) Muodostetaan aluksi yhtälöryhmä siitä, mitä halutaan tehdä. Bassotaajuudet halutaan kertaa voimaakkaammiksi, eli halutaan y x. Lisäksi halutaan alakeskiäänet.5-kertaa voimakkaammiksi, eli y.5x. Muut pidetään ennallaan, jolloin saadaan yhtälöryhmä x y.5x y x 3 y 3 x 4 y 4
Tästä saadaan matriisiksi M 0 0 0 M 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 (b) Etenemällä kuten kohdassa (a) saadaan matriisiksi.5 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 (c) Yhtälöryhmäksi saadaan ja matriisiksi (d) Nyt saadaan yhtälöryhmäksi ja matriisiksi x y x 3 y x y 3 x 4 y 4 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y x 3 + x 4 y 3 0 y 4 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8. (a) #4(a): rank 3 ja null #4(b): rank 5 ja null #6 : rank 3 ja null 0 #(): a rank 4 ja null 0 #(b): rank 4 ja null 0 #(c): rank 4 ja null 0 #(d): rank 3 ja null (b) Käänteismatriisit olemassa aina silloin kun matriisin nullity on 0. (c) Pystyttäisiin. Tarkastellaan vaikka solmua A: toki kun x ja x 4 tiedetään, voidaan ulos/sisään menevä nettovirtaus päätellä. Sama logiikka pätee muihinkin solmuihin. (d) Pystyttäisiin. Tarkastellaan vaikka solmua A: toki kun x ja x 6 tiedetään, voidaan sisään tuleva virtaus päätellä. Sama logiikka pätee muihinkin solmuihin. (e) Pystyttäisiin. Jos kerran RI E, ja sekä R että I ovat tunnettuja, niin toki voidaan päätellä E. (f) Muissa kohdissa pystyisi, viimeisessä kohdassa ei. Muissa kohdissa null 0, mutta viimeisessä kohdassa ei (tämä voidaan päätellä suoraankin siitä että M:ssä on alun alkaenkin nollarivi).