Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit A on ortogonaalinen, jos se on reaalinen ja A T = A 1. Jos A ja B ovat ortogonaalisia n n matriiseja, niin AB on myös ortogonaalinen, sillä silloin (AB)(AB) T = ABB T A T = AIA T = AA T = I. Ortogonaalisuus voidaan yleistää myös ei-neliömatriiseille: m n-matriisi U on ortogonaalinen jos U T U = I (sarakeortogonaalinen).
Ositukset Esimerkki 2 1 3 4 5 A = 1 2 3 2 3 3 1 4 5 6 = 7 8 1 4 3 = ( u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) A koostuu viidestä pystyvektorista. 3 Esimerkiksi u 3 = 3 4. 1 2 1 3 4 5 1 2 3 2 3 3 1 4 5 6 7 8 1 4 3 Esimerkki jatkoa A = 2 1 3 4 5 1 2 3 2 3 3 1 4 5 6 = 7 8 1 4 3 2 1 3 4 5 1 2 3 2 3 3 1 4 5 6 7 8 1 4 3 = v 1 v 2 v 3 v 4 A koostuu neljästä vaakavektorista v 1 A = v 2 v 3 v 4 Esimerkiksi v 2 = (1, 2, 3, 2, 3).
Esimerkki jatkoa 2 Yleisemmin 2 1 3 4 5 A = 1 2 3 2 3 3 1 4 5 6 = 7 8 1 4 3 ( ) A11 A = 12 A 21 A 22 2 1 3 4 5 1 2 3 2 3 3 1 4 5 6 7 8 1 4 3 Matriisin A ositus. A ij matriisin A osamatriisi. Ositetut matriisit Matriiseilla suoritettavia laskuja voidaan usein yksinkertaistaa, jos matriisit voidaan jollakin luonnollisella tavalla osittaa osamatriiseiksi. x x x x x x x x x x x x A = x x x x x x x x x x x x = x x x x x x x x x x x x ( ) A11 A = 12 A 13. A 21 A 22 A 23 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Transpononti Matriisin transponointi: Transponoidaan osamatriisien paikat. Transponoidaan osamatriisit. Esimerkki 1.6. Transponoi sopivasti osittamalla matriisi 2 1 3 7 1 2 1 8 A = 3 3 4 1 4 2 5 4. 5 3 6 3 Ratk. Transponointi jatkoa Ositetaan A. 2 1 3 7 1 2 1 8 A = 3 3 4 1 4 2 5 4 5 3 6 3 = A 11 A 12 A 21 A 22. A 31 A 32 ( A A T T = 11 A T 21 A T ) 31 A T 12 A T 22 A T = 32 2 1 3 4 5 1 2 3 2 3 3 1 4 5 6 7 8 1 4 3.
Luvulla kertominen ja yhteenlasku 2) Matriisin kertominen luvulla: Kerrotaan osamatriisit luvulla. 3) Matriisien A ja B summa A + B: Ositetaan matriisit samalla tavalla. Lasketaan toisiaan vastaavat osamatriisit yhteen. Matriisien kertolasku 4) Matriisien A ja B tulo AB: Ositetaan matriisit "sopivasti". Suoritetaan osamatriiseilla matriisin kertolasku Lasketaan näin saatavat matriisitulot ja matriisisummat. Ositus on sopiva, kun a) A:ssa on osamatriisien sarakkeita yhtä monta kuin B:ssä on osamatriisien rivejä. b) Jokainen esiintyvä matriisien kertolasku ja yhteenlasku on määritelty.
Esimerkki Esimerkki 1.7. Määrää sopivasti osittaen matriisitulo 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 2 1 1 Ratk. A = B = 1 0 0 0 1 1 1 0 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 = ( A11 A 12 A 21 A 22 ), ( ) B11 B = 12 B 21 B 22 Esimerkki jatkoa A B = ( ) ( ) A11 A 12 B11 B 12 A 21 A 22 B 21 B 22 = ( ) A11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 = = 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 0 1 1
Ositus laskutoimituksissa Lause 1.5. Olkoot matriisit A ja B ositetut seuraavasti: A 11 A 1n B 11 B 1m A =.., B =.., A p1 A pn B r1 B rm missä osamatriisi A ij on s i t j -matriisi ja B ij on u i v j -matriisi. Tällöin A T 11 A T p1 A T =.. A T 1n A T pn λa 11 λa 1n λa =.. λa p1 λa pn Jatkoa Jos p = r, n = m ja s i = u i, t j = v j kaikilla i, j, niin C 11 C 1n A + B =.. C p1 C pn missä C ij = A ij + B ij Jos n = r ja t j = u j kaikilla j niin missä C ij = n A ik B kj. k=1 Tod. Mekaaninen lasku. C 11 C 1m AB =.. C p1 C pm
Lineaarinen yhtälö Lineaarinen yhtälö: y + 2x = 3 Kuvaaja: Jokainen suoran piste on yhtälön ratkaisu: Esimerkki Lineaarinen yhtälöryhmä: { y + 2x = 3 y 3x = 2 Vain piste (x, y) = (1, 1) toteuttaa molemmat yhtälöt. Vain yksi ratkaisu.
Esimerkki Muut tapaukset: { 2y + x = 1 2y x = 3 Ei ratkaisuja. Esimerkki 2 { 2y + x = 1 2y x = 1 Ääretön määrä ratkaisuja.
3 yhtälöä 2x + 5y z = 2 3x + 7y z = 2 2x 3y z = 1 Ratkaisujen lukumäärä Lineaarisella yhtälöryhmällä: 1 ratkaisu Ei yhtään ratkaisua Ääretön määrä ratkaisuja.
Esimerkki. Tasajännitekytkentä Kytkentä yhtälöryhmänä Kirchoff: 4I 1 + 3(I 1 I 2 ) + 4I 1 = 30 I 2 + 1(I 2 I 3 ) + I 2 + 3(I 2 I 1 ) = 5 I 3 + I 3 + 1(I 3 I 2 ) = 5 20 eli 11I 1 3I 2 = 30 3I 1 + 6I 2 I 3 = 5 I 2 + 3I 3 = 25
Kytkentä matriisien avulla Myös: 11I 1 3I 2 + 0 I 3 3I 1 + 6I 2 I 3 = 0 I 1 I 2 + 3I 3 30 5 25 Yhtälöryhmä matriisimuodossa: 11 3 0 I 1 3 6 1 I 2 = 0 1 3 I 3 30 5. 25 Yhtälöryhmä yleisesti Yhtälöryhmä, n:n tuntematonta ja m yhtälöä: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m eli a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 21 x 1 + a 22 x 2 + a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a 1n x n + a 2n x n. = + a mn x n b 1 b 2. b m
Yhtälöryhmä matriisimuodossa Sama matriisitulon avulla: a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x 2... = a m1 a m2 a mn x n b 1 b 2. b m Siis missä A = A x = b, a 11 a 1n x 1.., x =., ja b = a m1 a mn x n b 1. b m. Matriisi A on yhtälöryhmän kerroinmatriisi. Kerroinmatriisin käänteismatriisi Jos kerroinmatriisin käänteismatriisi A 1 on olemassa, niin yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu: A x = b A 1 A x = A 1 b x = A 1 b Siis x = A 1 b.
Esimerkki jatkoa Esimerkki. Tasajännitekytkentä jatkoa: I 1 30 A I 2 = 5. I 3 25 missä A = 11 3 0 3 6 1. 0 1 3 Käänteismatriisi A 1 on olemassa (laskeminen myöhemmin), ja A 1 = 1 160 17 19 3 9 33 11. 3 11 57 Esimerkki jatkoa 2 Silloin I 1 I 2 = A 1 I 3 30 5 25 = 1 160 17 19 3 9 33 11 3 11 57 30 5 25 I 1 I 2 = 1 17 30 + 19 5 + 3 ( 25) 9 30 + 33 5 + 11 ( 25) = 1 160 160 I 3 3 30 + 11 5 + 57 ( 25) 480 160 1280 Siis I 1 I 2 = I 3 3 1. 8
Sijoitusmenettely Kerroinmatriisilla A ei aina ole käänteismatriisia. A 1 :n etsiminen usein työläämpää kuin yhtälöryhmän ratkaiseminen. Tarvitaan muita ratkaisumenetelmiä Sijoitusmenettely: Ratkaistaan yksi tuntematon x i yhdestä yhtälöstä ja sijoitetaan muihin Ratkaistaan toinen tuntematon jne. Jos jäljellä on yksi tuntematon, se voidaan ratkaista saadusta lineaarisesta yhtälöstä Muut tuntemattomat saadaan peräkkäisillä sijoituksilla. Esimerkki 1.8. Ratkaise yhtälöryhmä 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 Ratk. Jaetaan 1. yhtälö puolittain 2:lla. x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 (1) 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 (2) 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 (3) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 (1) 3x 2 6x 3 = 12 (2) 4 (1) 5x 2 11x 3 = 23 (3) 3 (1)
Jaetaan keskimmäinen yhtälö puolittain luvulla 3. x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 x 2 + 2x 3 = 4 (4) 5x 2 11x 3 = 23 (5) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 x 2 + 2x 3 = 4 x 3 = 3 (5) + 5 (4) Siis x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 (6) x 2 + 2x 3 = 4 (7) x 3 = 3 (8) Taaksepäin sijoitus: Yhtälöstä (8): x 3 = 3 Sijoitetaan yhtälöön (7): x 2 + 2 3 = 4 eli x 2 = 2. Sijoitetaan yhtälöön (6): x 1 + 2 ( 2) + 3 3 = 9 eli x 1 = 4. Vastaus: x 1 = 4, x 2 = 2 ja x 3 = 3.
Yhtälöryhmä matriisiksi Gaussin menetelmä: Yhtälöryhmä: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Laajennettu kerroinmatriisi eli Lisätty kerroinmatriisi a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 2n b 2... a m1 a mn b m Molemmissa sama tieto. Ekvivalentti yhtälöryhmä Kun yhtälöryhmässä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + 1) vaihdetaan kahden yhtälön paikkaa, 2) kerrotaan jokin yhtälö vakiolla c 0 ja/tai. + a mn x n = b m 3) lisätään vakiolla c 0 kerrottu yhtälö toiseen yhtälöön niin saadaan alkuperäisen kanssa samat ratkaisut omaava (=ekvivalentti) yhtälöryhmä.
Ekvivalentti matriisi Matriisille a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 2n b 2... a m1 a mn b m vastaavat muunnokset ovat 1) rivien paikan vaihtaminen, 2) rivin jokaisen alkion kertominen vakiolla c 0 ja 3) vakiolla c kerrotun rivin lisääminen toiseen riviin. Muunnokset 1)-3) ovat vaakarivialkeismuunnokset. Gaussin menetelmä 1) Muunnetaan yhtälöryhmä laajennetuksi kerroinmatriisiksi a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 2n b 2... a m1 a mn b m 2) Muutetaan matriisi vaakarivialkeismuunnoksilla yläkolmiomuotoon. 3) Muunnetaan saatu matriisi takaisin yhtälöryhmäksi. 4)Ratkaistaan tuntemattomat yhtälöryhmästä peräkkäisillä sijoituksilla.
Esimerkki 1.8.(jatkoa). Ratkaise yhtälöryhmä Gaussin menetelmällä. 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 Ratk. Oleellinen tieto yhtälöryhmästä on matriisissa: 2 4 6 18 4 5 6 24 3 1 2 4 Muunnetaan laajennettu kerroinmatriisi yläkolmiomuotoon vaakarivialkeismuunnoksilla: 2 4 6 18 1 2 4 5 6 24 1 2 3 9 4 4 5 6 24 + 3 3 1 2 4 3 1 2 4 + 1 2 3 9 4 + ( 4) 1 5 + ( 4) 2 6 + ( 4) 3 24 + ( 4) 9 3 + ( 3) 1 1 + ( 3) 2 2 + ( 3) 3 4 + ( 3) 9 1 2 3 9 0 3 6 12 1 3 0 5 11 23
1 2 3 9 0 1 2 4 0 5 11 23 5 + 1 2 3 9 0 1 2 4 0 5 + ( 5) ( 1) 11 + ( 5) ( 2) 23 + ( 5)( 4) 1 2 3 9 0 1 2 4. 0 0 1 3 1 2 4 6 18 4 5 6 24 3 1 2 4 1 2 3 9 0 1 2 4 0 0 1 3. 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 x 2 + 2x 3 = 4 x 3 = 3.
x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 (1) x 2 + 2x 3 = 4 (2) x 3 = 3 (3) Yhtälöstä (3): x 3 = 3 Sijoitetaan yhtälöön (2): x 2 + 2 3 = 4. Siis x 2 = 2. Sijoitetaan yhtälöön (1): x 1 + 2 ( 2) + 3 3 = 4 Siis x 1 = 4. Ratkaisu: x 1 = 4, x 2 = 2 ja x 3 = 3. Porrasmuoto Matriisi on perusmuodossa (porrasmuodossa), jos 1) jokainen vain nollia sisältävä rivi on minkä tahansa muitakin kuin nollia sisältävän rivin alapuolella, 2) jos ensimmäinen nollasta poikkeava alkio rivillä r 1 on sarakkeessa c 1 ja rivillä r 2 sarakkeessa c 2 ja r 1 < r 2, niin c 1 < c 2. 3) jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeavan alkion alapuolella olevat vastaavan sarakkeen alkiot ovat nollia. Perusmuodossa olevia matriiseja: 5 2 3 9 1 2 3 9 0 1 2 4, 0 8 2 0 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 0, 1 2 0 9 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Redusoitu porrasmuoto Matriisi on redusoidussa porrasmuodossa, (redusoidussa perusmuodossa)jos se on porrasmuotoinen ja jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eriävä alkio on 1 ja kaikki muut tämän sarakkeen alkiot ovat 0:ia. 1 2 0 0 Redusoidussa porrasmuodossa oleva matriisi: 0 0 1 0 0 0 0 1 Huom. Jokainen matriisi voidaan saattaa porrasmuotoon ja redusoituun porrasmuotoon vaakarivialkeismuunnoksilla. Huom. Jokaista matriisia vastaa täsmälleen yksi redusoidussa porrasmuodossa oleva matriisi (osoitetaan myöhemmin). Gauss ja porrasmuoto Gaussin menetelmässä: Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi muutetaan porrasmuotoon vaakarivialkeismuunnoksilla. Saadaan alkuperäisen yhtälöryhmän kanssa ekvivalentti yhtälöryhmä. Tästä yhtälöryhmästä ratkaistaan tuntemattomat peräkkäisillä sijoituksilla.
Esimerkki 1.10. Ratkaise yhtälöryhmä Gaussin menetelmällä. Ratk. x 1 x 2 + x 3 = 1 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 7 2x 1 x 2 + 5x 3 = 4 x 2 + 3x 3 = 2 x 1 + 4x 2 + 8x 3 = 7 Laajennettu kerroinmatriisi: 1 1 1 1 3 5 3 7 2 1 5 4 0 1 3 2 1 4 8 7 1 1 1 1 3 2 3 5 3 7 + 2 1 5 4 + 0 1 3 2 1 4 8 7 + 1 1 1 1 0 2 6 4 1 1 2 2 0 1 3 6 0 1 3 2 + + 0 3 9 6 x 1 x 2 + x 3 = 1 2x 2 + 6x 3 = 4 0 = 4 0 = 0 0 = 0 3 2 + 1 1 1 1 0 2 6 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 Ei ratkaisuja
Esimerkki 1.11. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 x 2 2x 3 + x 4 = 1 3x 1 + 5x 2 + 8x 3 + 3x 4 = 7 2x 1 x 2 5x 3 + 5x 4 = 4 x 2 + x 3 + 3x 4 = 2 x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 8x 4 = 7 Gaussin menetelmällä. Ratk. 1 1 2 1 1 3 5 8 3 7 2 1 5 5 4 0 1 1 3 2 1 4 5 8 7 3 + 2 + + Esimerkki 1.11. jatkoa 1 1 2 1 1 0 2 2 6 4 1 2 0 1 1 3 6 0 1 1 3 2 0 3 3 9 6 1 3 1 1 2 1 1 0 1 1 3 2 1 1 0 1 1 3 6 0 1 1 3 2 + + 0 1 1 3 2 1 1 2 1 1 0 1 1 3 2 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 +
Esimerkki 1.11. jatkoa 2 Vastaava yhtälöryhmä: x 1 x 2 2x 3 +x 4 = 1 (1) x 2 + x 3 +3x 4 = 2 (2) 2x 3 = 4 (3). Yhtälöstä (3): x 3 = 2 Sijoitetaan yhtälöön (2): x 2 + ( 2) + 3x 4 = 2, eli x 2 = 4 3x 4. Sijoitetaan yhtälöön (1): x 1 = 1 4x 4. x 1 (4 3x 4 ) 2( 2) + x 4 = 1, eli Ei rajoituksia x 4 :lle. Ääretön määrä ratkaisuja. Esimerkki 1.11. jatkoa 3 Ratkaisut: x 1 = 1 4x 4 x 2 = 4 3x 4 x 3 = 2 x 4 R Usein merkitään: x 1 = 1 4t x 2 = 4 3t x 3 = 2 x 4 = t, t R
Erikoistapauksia Gaussin menetelmästä Huom. Jos se matriisin alkio, jolla saraketta on tarkoitus siivota (=tukialkio) on 0, niin vaihdetaan rivien (yhtälöiden) järjestystä. Voidaan vaihtaa myös tuntemattomien (eli sarakkeiden) järjestystä, mutta silloin näistä vaihdoista tulee pitää kirjaa jotta lopuksi saadaan oikea ratkaisu. Myös yläkolmioryhmä voidaan ratkaista rivimuunnoksilla.