58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta saa maksimissaan 1 pisteen (a) Lomitusjärjestäminen on hyvä esimerkki dynaamisesta ohjelmoinnista Epätosi - Lomitusjärjestämisessä ongelma jaetaan pienempiin ongelmiin Lomistusjärjestäminen on esimerkki hajoita ja hallitse ratkaisutavasta Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan muistiin, minkä ansiosta samaa osaongelmaa ei tarvitse ratkaista moneen kertaan (b) Pikajärjestäminen on vakaa järjestämisalgoritmi Epätosi - Pikajärjestäminen ei ole vakaa järjestämisalgoritmi, sillä kahden samanarvoisen alkion järjestys voi järjestettäessä vaihtua (c) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Ω(n log n), missä n on järjestettävien alkioiden lukumäärä Epätosi - Jäejestyksen voi sorittaa nopeammin kuin Ω(n log n) mikäli järjestäminen perustuu johonkin muuhun kuin alkioiden keskinäiseen vertailuun Laskemisjärjestäminen (Counting sort) on hyvä esimerkki tästä (d) Syvyyssuuntaisella läpikäynnillä voi selvittää, onko suuntaamattomassa verkossa sykli Tosi - Hieman muunnellulla syvyyssuuntaisella haulla voidaan tarkistaa verkon syklittömyys (e) Dijkstran algoritmi on ahne algoritmi Tosi - Algoritmi pyrkii joka hetkellä juuri silloin "parhaalta"vaikuttavaan ratkaisuun (f) Kruskalin algoritmi union-find-tietorakenteella toimii ajassa O(n 2 ), kun kaarien lukumäärä on neliöllinen solmujen lukumäärän n suhteen Epätosi - Union-find-tietorakenteella algoritmi saadaan toiminaan ajassa O( E log V ) = O(n 2 log n) 2 [4 pistettä] Simuloi kekojärjestäminen alla olevalle taulukolle, jossa siis on alkiot 6, 1, 8, 5, 3 tässä järjestyksessä Esitä kukin välivaihe (piirrä esimerkiksi miten keko muuttuu kussakin heapify-operaatiossa) 1 2 3 4 5 6 1 8 5 3
Simuloidaan ensin build-heap Tämä aloitetaan alkiosta 2, sillä 5 2 = 2 6 1 8 [6, 1, 8, 5, 3] 5 3 heapify(2) 6 5 8 [6, 5, 8, 1, 3] 1 3 heapify(1) 8 5 6 [8, 5, 6, 1, 3] 1 3 Nyt muodostuneelle keolle simuloidaan loput järjestämisestä ensin vaihtaen viimeisen ja ensimmäisen alkion paikkaa sekä vähentäen keon kokoa yhdellä, sekä sitten korjaamalla kekoehdon kutsumalla heapify:ta ensimmäiselle alkiolle 8 5 6 [8, 5, 6, 1, 3] 1 3 vaihda ensimmäinen ja viimeinen alkio, heap-size-- 3 5 6 [3, 5, 6, 1 8] 1 (8)
heapify(1) 6 5 3 [6, 5, 3, 1 8] 1 (8) vaihda ensimmäinen ja viimeinen alkio, heap-size-- 1 5 3 [1, 5, 3 6, 8] heapify(1) 5 1 3 [5, 1, 3 6, 8] vaihda ensimmäinen ja viimeinen alkio, heap-size-- 3 1 (5) [3, 1 5, 6, 8] heapify(1) 3 1 (5) [3, 1 5, 6, 8]
vaihda ensimmäinen ja viimeinen alkio, heap-size-- 1 (3) (5) [1 3, 5, 6, 8] heapify(1) 1 (3) (5) [1 3, 5, 6, 8] Järjestys on valmis Lopputilanne: (1) (3) (5) [1, 3, 5, 6, 8] =============== Tehtävässä build-heap oli kahden pisteen arvoinen, ja loput järjestyksestä oli kahden pisteen arvoinen Virheistä tai puuttuvista välivaiheista jommassa kummassa vaiheessa sakotettiin Jos simuloitu järjestäminen ei ollut varsinaisesti kekojärjestäminen, mutta siinä käytettiin samaa logiikkaa kuin kekojärjestämisessä keon operaatioilla, sai ratkaisusta osan pisteistä 3 [6 pistettä] Olkoon G = (V, E) suuntaamaton (painottamaton) verkko, jonka solmut ovat kolmea eri muotoa: kolmioita, neliöitä ja ympyröitä Anna yksityiskohtainen algoritmi, joka tulostaa lyhimmän polun solmusta u solmuun v, niin että polun solmut ovat korkeintaan kahta muotoa (esimerkiksi vain kolmioita ja neliöitä) Analysoi algoritmisi aika- ja tilavaativuus Malliratkaisu Tehtävään oli kahdenlaisia oleellisesti erilaisia ratkaisutapoja Tapa 1 Erilaisia 2-joukkoja voidaan valita 3 alkion joukosta 3 erilaista: kolmiot ja neliöt, kolmiot ja ympyrät, ympyrät ja neliöt
Koska verkko on painottamaton, niin voimme suorittaa tavallisen leveyssuuntaisen läpikäynnin (BFS) Tarvitsemme muuntaa algoritmia vain niin, että kutsumme sitä kolme kertaa ja jokaisella kerralla emme käytä yhtä muodoista Esimerkkikoodi korkealla tasolla, algoritmit löytyvät suoraan luentomateriaalista: lyhyinreitti(g,u,v) reitti = BFS(G,u,v,kolmio) reitti = BFS(G,u,v,neliö) reitti = BFS(G,u,v,ympyrä) valitaan lyhin reiteistä ja tulostetaan se BFS(verkko,aloitussolmu,maalisolmu,kiellettyMuoto) muuten aivan sama kuin luentomateriaalin BFS kun tulemme solmuun ensimmäisen kerran, niin ehto on nyt muotoa: if distance[v] = ääretön and vmuoto!= kiellettymuoto Riittää siis käydä läpi kaikki mahdolliset muotojen kombinaatiot ja valita niistä lyhin Tämän voi toki tehdä myös Dijkstralla, mutta se on turhan raskas, sillä verkko ei ole painotettu Muiden kuin BFS käytöstä ei rankaistu, kunhan ne toimivat oikein Tapa 2 Suoritetaan BFS-haku niin, että jokainen solmu pitää kirjaa siitä, mistä muodosta siihen on tultu ja minkä muotoisia polkuja kyseisellä polulla on Huom Jokaisella solmulla tulee olla oma kirjanpito Globaali muuttuja, joka kertoo mitä muotoja polulla on tavattu ei riitä Silloin polulla käyvät muodot kiinnitetään jo heti kun on törmätty kahteen eri muotoiseen solmuun Haku ei etene solmuihin, jotka ovat eri muotoa kuin mistä polku jo koostuu Tämä solmu voi kuitenkin päätyä johonkin toiseen polkuun Ensimmäisenä maalin löytänyt polku on lyhin, sillä BFS etenee aina tason kerrallaan Tällä tavalla ratkaistuna algoritmi oli hieman erilainen jokaisessa vastauspaperissa, mutta idea oli sama; solmuilla on kenttä, joka pitää kirjaa siitä mitä muotoja reitillä on kohdattu BFS-algoritmin if-lause näyttää nyt tältä:
BFS2(G,alku,maali) sama kuin luentomateriaalin BFS u = dequeue(q) for jokaiselle u:n naapurille v if color(v) == white if!umuotolistasisältää(vmuoto) && umuotolistapituus == 1 umuotolistalisää(vmuoto) if umuotolistapituus < 3 && umuotolistasisältää(vmuoto) distance[v] = distance[u]+1 Yleisiä virheitä: Käytettiin DFS-hakua, joka ei löydä lyhyintä reittiä Myöskään Floyd-Warshallin käyttö ei toiminut ongelmaan Vaativuusanalyysit oli unohdettu Algoritmi palautti vain reitin pituuden, ei itse reittiä 2 tavassa käytettiin globaalia muuttujaa, joka kertoi mitä muotoja polussa on käytetty 4 [6 pistettä] Olkoon T suuntaamattoman painotetun verkon G = (V, E) jokin pienin virittävä puu Seuraavassa on kolme väitettä koskien tätä tilannetta Ilmoita kustakin, pitääkö se paikkansa Jos pitää, niin todista se Jos ei pidä, niin anna vastaesimerkki (a) Olkoon verkolla G yksikäsitteinen kevein kaari, joka on painoltaan p Jos muutetaan tämän keveimmän kaaren painoksi p k, jollekin k > 0, ja kaikki muut kaaret jäävät entiselleen, niin T on edelleen verkon pienin virittävä puu (b) Olkoon verkolla G yksikäsitteinen painavin kaari, joka on painoltaan p Jos muutetaan tämän painavimman kaaren painoksi p + k, jollekin k > 0, ja kaikki muut kaaret jäävät entiselleen, niin T on edelleen verkon pienin virittävä puu (c) Olkoon puulla T yksikäsitteinen painavin kaari, joka on painoltaan p Jos muutetaan tämän painavimman kaaren painoksi p + k, jollekin k > 0, ja kaikki muut kaaret jäävät entiselleen, niin T on edelleen verkon pienin virittävä puu Malliratkaisu (a) Pitää paikkaansa Olkoon kaari e = (u, v) verkon G yksikäsitteiesti kevein kaari Yksikäsitteisesti kevein kaari kuuluu aina verkon pienimpään virittävään puuhun Todistetaan tämä väite
Oletetaan, että T on verkon G pienin virittävä puu, ja e / T Nyt puussa T on polku solmusta u solmuun v Olkoon e jokin tämän polun kaari Nyt koska e on verkon yksikäsitteisesti kevein kaari, pätee w(e ) > w(e) Nyt T {e} \ {e } on virittävä puu, jonka paino on pienempi kuin pienimmän virittävän puun T Tämä on ristiriita Jos kaaren e paino pienennetään, se on vieläkin selvästi yksikäsitteisesti kevein kaari Edellisen väitteen mukaan muutoksesta huolimatta kaari e kuuluu puuhun T Nyt koska muut kaaret eivät muuttuneet, on T edelleen verkon G pienin virittävä puu (b) Pitää paikkaansa Olkoon e verkon G yksikäsitteisesti painavin kaari Meillä on kaksi tapausta: joko e T, tai e / T Todistetaan nämä kaksi tapausta yksitellen i e T : Pienimpään virittävään puuhun T kuuluu yksikäsitteisesti painavin kaari e jos ja vain jos se on ainoa reitti solmuun v G, kun e = (u, v) ja u G Todistetaan tämä väite Jos olisi toinen reitti u:sta v:hen, voisimme valita siltä reitiltä jokin toinen kaari e Koska e oli yksikäsitteisesti painavin, on w(e ) < w(e) Nyt T {e } \ {e} on verkon virittävä puu, jonka paino on pienempi kuin pienimmän virittävän puun T Tämä on ristiriita Jos kaaren e paino kasvatetaan, se on vieläkin selvästi yksikäsitteisesti painavin kaari Edellisen väitteen mukaan muutoksesta huolimatta kaari e kuuluu puuhun T Nyt koska muut kaaret eivät muuttuneet, on T edelleen verkon G pienin virittävä puu ii e / T : Jos nyt kasvatetaan kaaren e paino, se ei vaikuta puun T painoon, koska se ei ole siinä mukana Tämä yksikäsitteisesti painavin kaari e ei voisi tulla uudessa verkossa mukaan pienimpään virittävään puuhun, koska se tarkoittaisi että pitäisi ottaa pois jokin kevyempi kaari, jos e lisättäisiin Tämä johtaisi painavampaan virittävään puuhun kuin T Puu T on edelleen pienin virittävä puu
(c) Ei pidä paikkaansa Osoitamme tämän vastaesimerkin avulla Olkoon verkko G ensimmäisessä kuvassa esitetty verkko Tämän puun pienin virittävä puu on esitetty toisessa kuvassa Nyt tämän virittävän puun painavin kaari on e = (A, C) Nyt jos tämän kaaren painoksi muutetaan 2 + 2 = 4, niin verkon G pienin virittävä puu muuttuu kolmannen kuvan mukaiseksi Puutteellisista perusteluista sekä vääristä väittämistä vähennettiin pisteitä kohdissa (a) sekä (b), kuitenkin niin että esim Kruskalin algoritmia käyttävät perustelut hyväksyttiin On kuitenkin muistettava, että Kruskal tuottaa vain jonkin pienimmmän virittävän puun Kohdassa (c) pisteitä vähennettiin virheellisestä vastaesimerkistä