MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Harjoitustehtäviä, kevät 2012 1. Tarkastellaan summaa S = 1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01. a) Laske summa laskukoneella vasemmalta oikealle käyttäen liukulukuaritmetiikkaa, jossa käytetään kahta merkitsevää desimaalilukua. b) Mikä on summa, kun lasketaan summa oikealta vasemmalle? 2. Määrää matriisin 2 2 3 4 7 7 2 4 5 LU-hajotelma. 3. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä 11x+12y +16z = 39 10x+11y +12z = 33 1.2x+0.1y +0.1z = 1.4 ensin ilman pivotisointia ja sitten käyttäen osittaista pivotisointia 2-desimaalin liukulukuaritmetiikassa. Vertaa tuloksia tarkkaan ratkaisuun x = y = z = 1. 4. Määrää alakolmiomatriisien L 1 1 = 1 0 0 a 1 1 0, L 1 a 2 0 1 käänteismatriisit ja laske matriisitulo L 1 L 2. 2 = 1 0 0 0 1 0 0 a 3 1 5. Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu, missä ( ) ( ) 1.2969 0.8648 0.8642 A =, b =. 0.2161 0.1441 0.1440 Laske ratkaisu osittaisella pivot-strategialla käyttäen 7-desimaalin liukulukuaritmetiikkaa. 6. (Kotitehtävä) Ratkaise 4-merkitsevän numeron liukulukuaritmetiikassa yhtälöryhmä [ ][ ] [ ] 0.003 1.556 x1 1.559 = 0.3454 2.346 1.108 käyttäen yksinkertaista ja osittaista Pivot-strategiaa. Kummalla Pivot-strategialla saat tarkemman tuloksen? (Palautus Ti 24.1 2012 klo 16.00 mennessä). x 2

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Harjoitustehtäviä, kevät 2012 7. Arvioi yhtälöryhmän [ 2.01 1.08 5.11 4.17 ][ x1 x 2 ] = [ ] 0.19 2.66 ratkaisun suhteellista virhettä, kun oikean puolen vektori korvataan vektorilla [ ] 0.21 b+δb =. 2.64 8. Laske matriisin [ ] λ 3 1, λ R, 3 λ ehtoluku normin suhteen. Milläλ:n arvolla ehtolukuk (A) on mahdollisimman pieni. 9. Totea, että tridiagonaalisen n n-matriisin 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 A n = diag( 1,2 1) =............ 0 0......... 1 0 0 0 1 2 ominaisarvot ovat λ k = 2 2cos( πk ). Osoita, että matriisin ehtoluku kasvaa verrannollisesti n 2 n+1 :een. 10. Ratkaise konjugaattigradienttimenetelmällä yhtälöryhmä ( )( ) ( ) 6 2 x1 4 =. 2 6 4 11. Ratkaise konjugaattigradienttimenetelmällä matriisiyhtälö 3 1 1 x 1 5 1 4 1 x 2 = 6. 1 1 3 x 3 5 x 2

12. (Kotitehtävä) Olkoon 10 8 1 1 A = 1 2 1. 1 1 1 a) Määrää matriisin ehtoluku käyttämällä matriisinormia A. b) Yhtälö Ax = b korvataan helpommalla yhtälöllä Ã x = b, missä Ã saadaan matriisista A korvaamalla 10 8 luvulla nolla. Arvioi virhettä x x ja vertaa saatua virhettä todelliseen virheeseen, kun b = [221]. (Palautus Ti 31.1 2012 klo 16.00 mennessä Optimaan sähköisessä muodossa).

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Harjoitustehtäviä, kevät 2012 13. Ratkaise yhtälöryhmä 6x 1 5x 2 +x 3 = 1 2x 1 +8x 2 3x 3 = 2 x 1 +3x 2 +7x 3 = 3 Jacobin menetelmällä. Suorita kolme iteraatiota lähtien arvoista x (0) 1 = x (0) 2 = x (0) 3 = 1 ja tutki menetelmän suppenevuutta. 14. Ratkaise Jacobin ja Gauss-Seidelin menetelmällä lineaarinen yhtälöryhmä 10 1 0 x 1 9 1 10 2 x 2 = 7. 0 2 10 x 3 6 Arvioi kummassakin tapauksessa neljännen iteraatin virhettä x x (4). Arvioi a priori-arvion nojalla, kuinka montaiteraatiota tarvitaan ko. menetelmillä miljoonasosan tarkkuuteen. 15. Yhtälöryhmä 1 2 1 1 1 4 1 x = 3 1 1 1 7 8 ratkaistaan Jacobin ja Gauss-Seidelin menetelmällä. Kumpi menetelmistä suppenee nopeammin? 16. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 8x 2 2x 3 = 1 x 1 +x 2 +5x 3 = 4 3x 1 x 2 +x 3 = 2 Gauss-Seidelinmenetelmällä. Millä tavalla saat yhtälönsiihen muotoon, että Gauss- Seidelin iteraatiot suppenevat? Määrää ratkaisun likiarvo kymmenestuhannesosan tarkkuudella lähtien arvoista x (0) 1 = x (0) 2 = x (0) 3 = 0 ja suorita virhe-arvio.

17. (Kotitehtävä) Tarkastellaan yhtälöryhmää Ax = b, missä kerroinmatriisi A on tridiagonaalinen n n-matriisi: 3 1 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 3 1 0 A = diag( 1,3, 1) =.............. 0 0........ 1 0 0 0 1 3 a) Laske Jacobin iteraatiomenetelmälle spektraalisäde ρ(b), missä B on menetelmän iteraatiomatriisi. Jos n = 100000, niin arvioi a priori arvion perusteella, kuinka monta iteraatiota tarvitaan miljoonasosan tarkkuuteen -normin suhteen. b) Määrää yhtälöryhmän ratkaisun approksimaatio x (10) Jacobin menetelmällä ja arvioi ratkaisun virhettä. kun yhtälöryhmän oikean puolen vektori onb = [2112] T. (Tehtävän palautus Optimaan ti 7.2.2012 klo 16.00 mennessä)

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Harjoitustehtäviä, kevät 2012 18. Ratkaise funktion f(x) = e x +10x 2 nollakohta välillä I = [0, 1] kiintopisteiteraatiolla x n+1 = 2 exn, x 0 = 0 10 tuhannesosan tarkkudella. 19. Polynomin f(x) = x 2 x 2 nollakohtia approksimoidaan kiintopisteiteraatiolla x k+1 = φ(x k ). Tutki kiintopisteiteraation suppenemista seuraaville iteraatiofunktioille a) φ(x) = x 2 2, b) φ(x) = ± 2+x, c) φ(x) = 1+ 2 x 20. Ratkaise Newtonin menetelmällä funktion f(x) = x 3 2x 2 5 nollakohdat välillä [1, 4]. 21. Ideaalikaasun (yhdelle moolille) tilayhtälö PV = RT, missä P on kaasun paine ([Pa]), V tilavuus ([m 3 J ]) ja T lämpötila ([K]). Luku R = 8.31447215 on universaali kaasuvakio. Reaalisille kaasuille on otettava huomioon kaasumolekyylien välinen K mol vuorovaikutus ja molekyylien tilavuus [Sla63]. Esimerkiksi van der Waals n kaasumallissa reaaliselle kaasulle tarvitaan kaksi kaasuvakiota α ja β kuvaamaan kaasun ominaisuuksia. Esimerkiksi hiilidioksidille (CO 2 ) ko. kaasuvakiot ovat α = 0.35648[ J m3 mol 2], β = 4.273105 10 5 [m 3 /mol]. Tällöin van der Waalsin mallissa hiilidioksidin tilayhtälö on (P + α v2)(v β) = RT. LaskeNewtonin menetelmällä 10 ilmakehänpaineessa (=1013250[Pa]) ja 300 K lämpötilassa olevan hiilidioksidin moolitilavuus v. Huom! Iteraatioiden lukumäärä voi olla aika suuri, jos alkuarvo on valittu huonosti. Kokeile alkuarvaukseksi ideaalikaasun tilayhtälöstä saatua arvoa. Viitteet [Sla63] Slater J. (1963), Introduction to Chemical Physics, McGraw-Hill Book Co.

22. (Kotitehtävä) Kuvion 1 biasointipiiri koostuu vastuksesta R, jännitelähteestä E ja tunnelidiodista D. Tunnelidiodin läpi kulkee virta j ja jännite-ero komponentin yli on v. Tunnelidiodin jännite-virta-ominaiskäyrä on g(v) = a(e bv 1) µv(v γ). Sovelluksissatavallisesti parametrit R ja E valitaan siten, että jännite v on ominaiskäyrän vähenevällä osalla so. g (v) < 0. Tehtävänä on määrittää biasointipiirin toimintapiste v, kun E ja R on annettu. Kirchhoffin jännitelain nojalla päädytään yhtälöön g(v) E v R = 0. Määrää toimintapiste v, kun a = 10 12 [A], b = 40[V 1 ], µ = 10 3 [AV 2 ], γ = 0.4[V], E = 0.4[V], R = 1/3 10 4 [Ω]. 5 x 10 4 4 3 2 1 0 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Tehtävän palautus ti 14.2.2012 klo 16.00 mennessä

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Harjoitustehtäviä, kevät 2012 23. Määrää funktion 1 12 (x2 2 +2e x 3 ) Φ(x 1,x 2,x 3 ) = 1 (1 x 6 1 +sin(x 3 )) 1 6 (x2 1 +x 2 2 +x 2 3) kiintopiste joukossa R = {x 0 x 1, x 2, x 3 1}. Totea, että kiintopistelauseen ehdot ovat myös voimassa. 24. Ratkaise yhtälöryhmän approksimaatio e x 1x 2 +x 2 1 +x 2 1.2 = 0 x 2 1 +x 2 2 +x 1 0.55 = 0. a) Newtonin menetelmällä käyttäen alkuarvausta (0.6, 0.5). b) yksinkertaistetulla Newtonin menetelmällä, kun alkuarvaus on x 1,0 = 0.4 ja x 2,0 = 0. 25. Määrää yhtälöryhmän ratkaisu kahden desimaalin tarkkuudella. x 1 1 2 cos(x 2) = 0 1 2 sin(x 1)+x 2 = 0 26. Tavallisesti epälineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen päädytään optimointiongelmien yhteydessä. Optimointiongelmat voidaan yleisesti esittää muodossa min x R nj( x) missä J : R n R on riittävän sileä reaaliarvoinen funktio. Funktion lokaalissa minimikohdassa sen gradientti häviää, ts. J( x) x 1 0 J( x) J( x) = x 2. = 0.. 0 J( x) x n Joten funktion lokaali minimikohta on epälineaarisen yhtälöryhmän nollakohta. Funktiolla J(x 1,x 2 ) = 2x 3 1 +4x 1 x 3 2 10x 1 x 2 +x 2 2 on lokaali minimikohta pisteen x 0 = [2 1] ympäristössä. Ratkaise Newtonin menetelmällä minimikohdan approksimaatio.

27. (Kotitehtävä) Tutki hyökkäys-puolustus-mallin mukaisesti seuraavien Englannin valioliigajoukkuiden keskinäistä luokitusta seuraavien ottelutulosten perusteella: Manchester City Arsenal 1-0 Manchester City Chelsea 1-2 Manchester C Liverpool 3-0 Manchester City Manchester U 2-3 Arsenal Chelsea 5-3 Arsenal Liverpool 2-0 Arsenal Manchester U 1-2 Chelsea Manchester U 3-3 Chelsea Liverpool 2-1 Liverpool Manchester U 2-1 Valitse ǫ riittävän pieneksi ja laske joukkuiden luokitukset. Mikä joukkueista näyttäisi olevan vahvin mestarikandidaatti? (Palautus ti 21.2 klo 16.00 mennessä)

Hyökkäys-puolustus-malli joukkueiden arvioimiseen Palloilupeleissä, miksei myös esim. pikajuoksussa, kohteen (=joukkueen) ranki l. sijoitus kertoo kvantitatiivisesti joukkueen suhteellisen aaseman muihin joukkueihin verrattuna. Rankeeraus-malli on menetelmä, milläjoukkueet asetetaan arvojärjestykseen. Tavallisesti malleissa jokaiselle kohteelle l. joukkueelle lasketaan rating l. luokitus. Kohteet järjestetään sijoituksensa mukaiseen järjestykseen luokituksen perusteella. Näitä voidaan sitten käyttää esimerkiksi ennustamaan otteluiden tuloksia. Hyökkäys-puolustus-malli on kehitetty erityisesti palloilulajeja silmällä pitäen. Siinä jokaiselle joukkueelle lasketaan kaksi luokitusarvoa: yksi hyökkäykselle ja toinen puolustukselle. Mitä suurempi hyökkäysluokitus joukkueella on sitä suurempi kyky joukkueella on tehdä maaleja. Kun taas korkea puolustusluokitus mittaa puolustuksen haavoittuvuutta. Tarkastellaan joukkueita {i,...,n}. Jokaiselle joukkueelle j lasketaan hyökkäysluokitus (offence ranking) o j ja puolustusluokitus (defence ranking) d j. Tarkoitusta varten muodostetaan maalimatriisi A = [a ij ], missä { Joukkueen j tekemä maalimäärä joukkuetta i vastaan a ij =. (1) 0, jos joukkueet eivät ole kohdanneet Voidaan ajatella, että maalimatriisi ilmoittaa samalla joukkueen j hyökkäysvoiman; mutta samalla joukkueen i puolustuksellisen tason. Tämä mielessä määritellään joukkueen j hyökkäysluokitus suhteessa muihin joukkueisiin summalla o j = a 1j ( 1 d 1 )+a 2j ( 1 d 2 )+ +a nj ( 1 d n ), missä d i joukkueen i puolustusluokitus, joka määritellään summalla d i = a i1 ( 1 o 1 )+a i2 ( 1 o 2 )+ +a in ( 1 o n ). Koska luokitukset o j ja d j riippuvat toisistaan, ne täytyy määrittää iteratiivisesti. Sitä varten määritellään vektorit d (k) = [d (k) 1 d (k) 2 d (k) n ] ] ja o (k) = [o (k) 1 o (k) 2 o (k) n ]. Käytämme jatkossa sopimusta, että vektori 1 = [ 1 1 d d 1 d 2 1 d n ], vastaavasti vektorille 1. o Olkoon sitten d (0) joku aloitusvektori, esim. d (0) = [11 1], niin hyökkäys- ja puolustusluokitukset lasketaan seuraavalla iteraatiolla (kiintopisteiteraatio): o (k) = A 1 ( d (k 1)) (2) d (k) = A 1 o (k). (3) Menetelmä ei välttämättä aina suppene. Jotta menetelmä suppenisi matriisilla A olisi oltava totaalinen tuki. Emme puutu tähän matriisalgebran yksityiskohtaan tässä. Mutta ongelma voidaan muuntaa suppenevaksi vaihtamalla maalimatriisi A kaavoissa (2) ja (3) matriisilla à = A+ǫee, missä e = [11 1] ja ǫ on pieni positiivinen vakio.