Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 ) f (x). Tässä määritelmässä x kuuluu välille, johon sisältyy piste x 0 eli x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ), jossa ɛ > 0. Lokaali minimi määritellään vastaavalla tavalla, ainoastaan epäyhtälön suunta muuttuu. Jos funktiolla f on pisteessä x 0 joko lokaali maksimi tai lokaali minimi, niin tällöin sanotaan että funktiolla f on pisteessä x 0 lokaali ääriarvo. Jos funktio f on derivoituva, niin välttämätön ehto tämän funktion lokaalille ääriarvolle on, että sen derivaatta tässä pisteessä on nolla eli f (x 0 ). Puolestaan funktion f toinen derivaatta kertoo, onko tällä funktiolla ääriarvopisteessä x 0 lokaali maksimi, lokaali minimi vaiko kumpaakaan. Jos pätee f (x 0 ) ja f (x 0 ) < 0, niin funktio f on tässä pisteessä x 0 aidosti konkaavi ja sillä on kyseisessä pisteessä lokaali maksimi. Jos puolestaan f (x 0 ) ja f (x 0 ) > 0, niin kyseisessä pisteessä funktio on aidosti konveksi ja sillä on lokaali minimi. Jos puolestaan pätee f (x 0 ) ja f (x 0 ), emme tiedä onko funktiolla tässä pisteessä lokaalia minimiä, lokaalia maksimia vaiko kumpaakaan. Nyt etsimme kuitenkin useamman muuttujan funktioiden ääriarvoa. Yllä yhden muuttujan funktiolle esitellyillä ideoilla on kuitenkin selkeät vastineet usean muuttujan funktion ääriarvoja etsittäessä. Tarkastellaan aluksi yksinkertaisuuden vuoksi kahden muuttujan funktiota f (x, y). Tällaisella 1
funktiolla on lokaali maksimi pisteessä (x 0, y 0 ), mikäli funktio f saa tässä pisteessä suuremman (tai yhtä suuren) arvon, kuin tämän ympäristön pisteissä eli mikäli f (x 0, y 0 ) f (x, y), kun (x, y) kuuluu pisteen (x 0, y 0 ) ympäristöön. Tässä määritelmässä pisteen (x 0, y 0 ) ympäristö on ympyrä, jolla on säde r ja jonka keskipiste on (x 0, y 0 ) eli voimme yhtäpitävästi sanoa, että yllä olevassa määritelmässä piste (x, y) kuuluu joukkoon 1. { } (x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r. Täten kahden muuttujan funktiolla on pisteessä (x 0, y 0 ) lokaali ääriarvo, mikäli luku f (x 0, y 0 ) on suurempi kuin mikään luku f (x, y), kun (x, y) kuuluu pisteen (x 0, y 0 ) ympäristöön. Lokaali minimi määritellään vastaavalla tavalla. Lokaali ääriarvo tarkoittaa edelleen joko lokaalia maksimia tai lokaalia minimiä. Jos funktio f (x, y) on differentioituva, niin välttämätön ehto lokaalille ääriarvolle on, että sen osittaisderivaatat ovat pisteessä (x 0, y 0 ) nollia eli. Nämä ehdot eivät kuitenkaan takaa, että funktiolla f olisi tässä pisteessä (x 0, y 0 ) lokaalia ääriarvoa. Tämän ratkaisemiseksi tarvitaan toisen asteen ehtoja. Yhden muuttujan funktiolle toisen asteen ehto maksimille pisteessä x 0 oli se, että tämä funktio f on kyseisessä pisteessä aidosti konkaavi eli että f (x 0 ) < 0. Myös kahden muuttujan funktiolle pätee itse asiassa täsmälleen sama konveksisuusehto: funktio f (x, y) saavuttaa pisteessä 1 Tarkka määritelmä lokaalille maksimille on, että funktiolla f (x, y) on pisteessä (x 0, y 0 ) lokaali ääriarvo, mikäli on olemassa piste r siten että f (x 0, y 0 ) f (x, y), kun { } (x, y) (x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r. 2
(x 0, y 0 ) lokaalin maksimin, mikäli pätee ja f (x, y) on pisteessä (x 0, y 0 ) aidosti konkaavi. Täten voimme sanoa, että funktio f (x, y) saavuttaa pisteessä (x 0, y 0 ) lokaalin maksimin mikäli yllä olevat kolme ehtoa toteutuvat. Derivaattojen nollakohdat on yleensä helppo ratkaista. Funktion f aito konkaavius puolestaan ratkeaa tämän funktion Hessen matriisin definiittisyydestä. Jos [ ] 12 on negatiivisesti definiitti pisteessä (x 0, y 0 ), niin funktio f on aidosti konkaavi tässä pisteessä. Täten yllä esitetty ehto lokaalille maksimille saadaan muotoon ja H(x, y) < 0 pisteessä (x 0, y 0 ). Lisäksi viime viikolta muistetaan, että Hessen matriisi on negatiivisesti definiitti silloin, kun pätee f 11 < 0 ja = f 11 f 22 f12 2 > 0. Täten saadaan muodostettua laskemisen kannalta kaikkein hyödyllisimmät ehdot kahden muuttujan funktion maksimille pisteessä (x 0, y 0 ): ja f 11 < 0 ja > 0. 3
Vastaavasti funktio f (x, y) saavuttaa pisteessä (x 0, y 0 ) lokaalin minimin, mikäli pätee f (x 0,y 0 ), f (x 0,y 0 ) ja f on pisteessä (x 0, y 0 ) aidosti konveksi. Lisäksi muistetaan, että f on aidosti konveksi, mikäli sen Hessen matriisi on positiivisesti definiitti eli [ ] 12 > 0 pisteessä (x 0, y 0 ). Tämä Hessen matriisi on pisteessä (x 0, y 0 ) positiivisesti definiitti mikäli pätee f 11 > 0 ja = f 11 f 22 f12 2 > 0 pisteessä (x 0, y 0 ). Täten riittävä ehto differentioituvan funktion f (x, y) lokaalille minimille pisteessä (x 0, y 0 ) on ja f 11 > 0 ja > 0. Täten verrattuna lokaaliin maksimiin lokaalin minimin toisen asteen ehdon erottaa ainoastaan toisen derivaatan f 11 etumerkki 2. Esimerkki 1.1. Etsitään funktion x 2 + y 2 xy lokaalit ääriarvopisteet. Ensimmäisen asteen ehdot ovat = 2x y 2x = y = 2y x 2y = x. Näistä seuraa, että ainoa mahdollinen lokaali ääriarvokohta on piste jossa yllä olevat ehdot toteutuvat eli piste (x 0, y 0 ) = (0, 0). Tämän ääriarvopisteen laatu nähdään toisen asteen ehdoista. Tämän funktion Hessen matriisi on [ ] [ 12 = 2 1 1 2 2 Itse asiassa koska f 11 > 0 ja f 11 f 22 f12 2 > 0 f 11 f 22 > f12 2 > 0, niin tästä seuraa myös, että f 22 > 0. Vastaavasti maksimin saavuttavalla funktiolla pätee f 11 < 0 ja f 22 < 0. 4 ].
Tälle pätee f 11 = 2 > 0 ja f 11 f 22 f12 2 = 4 1 = 3 > 0, joten piste (0, 0) on tämän funktion lokaali minimi. Esimerkki 1.2. Etsitään funktion (x 1) 2 + (y 2) 2 lokaalit ääriarvot. Suoraan määritelmästä nähdään, että tämän funktion globaali ja lokaali minimi on pisteessä (1, 2). Osoitetaan tämä nyt myös yllä opitulla tekniikalla. Ensinnä (x 1) 2 + (y 2) 2 = x 2 2x + 1 + y 2 4y + 4 = x 2 2x + y 2 4y + 5. Tämän ensimmäiset osittaisderivaatat ovat = 2x 2 x = 1 = 2y 4 y = 2. Täten piste (1, 2) toteuttaa nämä ensimmäisen asteen ehdot. Hessen matriisi on puolestaan [ ] [ ] 12 2 0 =. 0 2 Tälle pätee selvästi f 11 = 2 > 0 ja f 11 f 22 f12 2 = 4 > 0, joten piste (1, 2) on tämän funktio lokaali (ja globaali) minimi. On syytä huomata, että näiden kahden esimerkin funktioilla ei ole ollenkaan globaalia maksimia. Tämä johtuu siitä, että f (x, y), kun x tai y eli nämä funktiot saavat mielivaltaisen suuria arvoja. Esitetään vielä ehdot kolmen muuttujan funktion f (x, y, z) maksimille. Ensimmäisen asteen ehto on edelleen, että funktion ensimmäiset osittaisderivaatat ovat nollia. Lisäksi vaadimme, että funktio f (x, y, z) on ääriarvopisteessä (x 0, y 0, y 0 ) aidosti konkaavi. Täten ehdot lokaalille maksimille ovat: ja z f 11 < 0 ja > 0 ja f 11 f 12 f 13 f 23 f 13 f 23 f 33 < 0. 5
Vastaavasti ehto lokaalille minimille on, että funktio f (x, y, z) on ääriarvopisteessä (x 0, y 0, y 0 ) aidosti konveksi. Täten ehdot lokaalille minimille ovat: z f 11 > 0 ja ja > 0 ja f 11 f 12 f 13 f 23 f 13 f 23 f 33 > 0. 6