Pääkirjoitus edimensio on MAOLin verkkolehti - Mitä se tarkoittaa? Dimensio on paperinen jäsenlehtemme, joka julkaistaan myös näköisversiona kotisivuillamme paperisen version jo ilmestyttyä. Mutta mitä on edimensio? Sieltä löytyy joidenkin Dimension artikkelien lyhentämättömät muodot. Samoin siellä on sellaisia artikkeleita, jotka eivät pituutensa vuoksi mahdu paperiseen lehteen. Lisäksi sieltä voi löytää paljon esimerkiksi mielenkiintoisia pikku-uutisia, matemaattisia vitsejä tai siellä voi olla englanninkielisiä artikkeleita, kirjaesittelyjä ja paljon muuta. edimension kehittäminen kotisivujen ja Dimension rinnalla on mielenkiintoinen prosessi. Jo nyt edimensioista löytyy hyvä artikkelikokoelma monista mielenkiintoisista asioista. edimension, kuten kotisivujenkin, on kehityttävä ja monipuolistuttava suuntaan, mistä jäsenet kokevat eniten saavan iloa ja hyötyä sekä opetukseen tukea. Seittisivulla voi juttuja tarjota eri tavoin lajiteltuna eikä tarvitse juuttua paperisen lehden rajoituksiin. edimensiossa on sisällysluettelo. Mietin millaisia kehitysideoita edimensio voisi kehittää. Myös kirjoittajakohtainen juttuluettelo on usein hyvä idea. Tällöin jokaisen jutun lopussa oleva tekijän nimi voi olla linkki listaan hänen kirjoituksiaan. Myös mahdollisten kirjoittajan yhteystietojen ylläpito on näin helppoa, koska ne ovat sivustolla vain yhdessä paikassa. Kaikkien lehtien sisällysluettelot voi myös esittää yhdessä dokumentissa. Tällöin on helppo etsiä juttua, jonka nimen muistaa, mutta ei muista missä numerossa kirjoitus oli. Myöskään hakusanalista ei ole huono ajatus. Sisällöllinen kehittäminen on myös olennaista. Mielestäni jo nyt edimensio on oikealla tiellä ja sisällöllisesti tukee niin kotisivujen kuin paperisen Dimension aiheita. Mutta aina on mahdollisuus vielä parantaa ja ideoida uutta. Uskon, että tämän vuoden 2012 edimensio on vähintään yhtä hyvä tieto- ja ideapankki kuin edeltäjänsä.
Tietotekniikan tiedeolympialaiset (IOI) 1. Olympialaistoiminnan tavoitteet Koululaisten kansainväliset tietotekniikan olympialaiset (International Olympiad in Informatics, IOI) on kansainvälisten tiedeolympialaisten sarjaan kuuluva kilpailu. IOI:n tavoitteena on lisätä kiinnostusta tietotekniikkaan sekä koota yhteen lahjakkaita oppilaita eri maista jakamaan tieteellisiä ja kulttuurisia kokemuksia. Kilpailutehtävät liittyvät ohjelmointiin ja algoritmiikkaan. Ensimmäiset olympialaiset järjestettiin Bulgariassa UNESCO:n myötävaikutuksella 16. 19.5. 1989. Tapahtumaan osallistui 13 maata ja tapahtuman nimeksi vakiintui silloin International Olympiad in Informatics (IOI). Osallistujamaiden määrä on kasvanut vuosikymmenten aikana ja on nykyisellään yli 80. Vuoden 2012 kisoissa oli n. 330 kilpailijaa. Maiden joukkueet koostuvat neljästä alle 20-vuotiaasta peruskoulussa tai lukiossa opiskelevasta kilpailijasta, joukkueenjohtajasta ja joukkueen tieteellisestä johtajasta. Kilpailijoilla on sujuvan ohjelmointitaidon lisäksi oltava erinomaiset valmiudet vaativaan ongelmanratkaisuun ja algoritmiseen ajatteluun. Kilpailun osallistujat ovatkin alansa terävintä kärkeä omissa maissaan. 2. Kansallinen kilpailu (Datatähti) Datatähtikilpailu on valtakunnallinen MAOL ry:n (Matemaattisten aineiden opettajien liitto) järjestämä tietotekniikkakilpailu, johon voivat osallistua peruskoulun ja lukion oppilaat. Kilpailussa on kaksi osaa: alkukilpailu, jonka tehtävät tehdään itsenäisesti yksilötyönä ja ratkaisut palautetaan www:ssä tuomaristolle tarkastettaviksi sekä loppukilpailu, joka pidetään Helsingin yliopiston tietojenkäsittelytieteen laitoksella. Molemmissa kilpailuissa on sekä teoriakysymyksiä että ohjelmointitehtävä. Pääpainotus on ohjelmointitehtävillä, sillä IOI-kisoissa on vain ohjelmointitehtäviä. Loppukilpailuun osallistuneista valitaan tietty määrä oppilaita olympialaisiin tähtäävään valmennukseen ja kansainvälisiin kilpailuihin. 3. Olympiavalmennus Valmennuksen vastuuhenkilö on vanhempi tutkija, dosentti Timo Knuutila. Postitusosoite: BID Technology, 20014 Turun yliopisto Käyntiosoite: Joukahaisenkatu 1 C, Eurocity, 2. kerros, 20520 Turku Puhelin: (02) 3338635, Fax: (02) 3336885, GSM: (0400) 193092 Sähköposti: knuutila@utu.fi Valmennus integroituu alan kansallisiin ja alueellisiin kilpailuihin ja se tapahtuu pääpiirteissään seuraavasti:
16.10. 30.10.2012 kansallisen Datatähti 2013 -kilpailun alkukilpailu (www); Datatähti 2013 -kilpailun loppukilpailu 31. 01. 2013 Helsingin yliopiston tietojenkäsittelytieteen laitoksella; valmennukseen valitaan noin 10 alku- ja loppukilpailuissa parhaiten menestynyttä, Helsingin yliopistolla pyritään järjestämään erillinen valmennusleiri ennen Saksan BOI-kisoja ; valmennuksessa käytetään oppikirjana teosta Cormen, Leiserson, Rivest, Stein: Introduction to Algorithms (3. painos, MIT Press, 2009) sekä muuta materiaalia, joka annetaan palkinnoksi loppukilpailun 10 parhaalle sekä mahdollisesti muille valmennukseen valituille; ennen kevään 2013 BOI-kisoja (Baltic Olympiad in Informatics) valmennettaville lähetetään harjoitustehtäviä, joiden ratkaisujen ja erillisen harjoituskilpailun perusteella valitaan BOI-kisojen joukkue (6 kilpailijaa); ja BOI-kisojen jälkeen valitaan IOI-kisojen (International Olympiad in Informatics) joukkue (4 kilpailijaa), jolle niinikään pyritään järjestämään erillinen harjoitusleiri. 4. Olympialaisiin osallistuminen Olympialaisiin osallistutaan 6:n hengen joukkueella, joka koostuu joukkueen johtajasta, varajohtajasta sekä 4:stä kilpailijasta. IOI-kisatehtävissä suunnitellaan ja toteutetaan tehokkaita ja oikein toimivia algoritmeja annettuhin ongelmiin. Ongelmien määrittelyssä pyritään siihen, että toteutetun ohjeman syöte (input) ja tulos (output) ovat mahdollisimman yksinkertaisia ja selkeitä. Esimerkkejä ongelmista löytyy aiempien kisojen kotisivuilta, ks. esim. www.ioi2012.org/. Tehtävissä koetetaan pyrkiä siihen, että ongelmat olisivat myös suuren yleisön ymmärrettävissä vaikkakin niiden tehokkaat ratkaisut saattavat olla hyvinkin monimutkaisia ja vaatia syvällistä osaamista. Joihinkin ongelmiin ei välttämättä ole edes tiedossa parhaan mahdollisen ratkaisun antavaa algoritmia (ns. open-ended tasks ). Aiemmin tehtävät olivat usein ns. eräajoluonteisia, eli toteutus luki tehtävänannon syötetiedostosta ja tulosti vastauksena tulostiedoston. Nyttemmin tehtävissä pyritään yhä enemmän interaktiivisiin, reaktiivisiin, animoituihin tai hajautettuihin ongelmiin, ja ratkaisujen hyvyyttä arvioitaessa pyritään ottamaan huomioon muitakin seikkoja kuin pelkkä suoritusaika. Kisoissa menestyminen edellyttää syvällistä (yliopistotasoista ja jopa sen yli) perehtymistä paitsi olemassaoleviin algoritmeihin ja tietorakenteisiin myös niiden taustalla oleviin suunnitteluperiaatteisiin, joiden avulla voi räätälöidä omia algoritmeja ja yhdistellä olemassaolevia kulloisenkin ongelman ratkaisemiseksi. Kirjallisen perehtymisen ja valmennukseen osallistumisen lisäksi omaehtoinen ohjel-
mointiharjoittelu (esim. ratkomalla aiempia kisatehtäviä) on välttämätöntä hyvään kisamenestykseen; kansainvälinen kärki on erittäin kovatasoinen. 5. Vuoden 2012 olympialaiset Vuoden 2012 Datatähti-loppukilpailu järjestettiin 2.2.2012 Helsingin yliopiston tietojenkäsittelytieteen laitoksella. Kilpailuun kutsuttiin 15 Datatähti-alkukilpailussa menestynyttä kilpailijaa. Loppukilpailun kolmen kärki oli Jasse Lahdenperä (Oulun lyseon lukio), Andrei Cramariuc (Hervannan lukio) ja Jesper Hjorth (Valkeakosken Tietotien lukio). Datatähti-kilpailun, aiemman kisamenestyksen ja kilpailijoiden jatkokehitysmahdollisuuksien perusteella valittiin Latvian Ventspilsissä 3. 7.5. 2012 järjestettyihin Baltian alueen tietotekniikkaolympialaisiin Andrei Cramariuc, Sami Kalliomäki, Jasse Lahdenperä, Henri Nurmi, Joonatan Saarhelo ja Joona Rossi; joukkueen johtajana toimi Timo Knuutila (TY) ja varajohtajana Antti Laaksonen (HY). Suomen joukkueesta Andrei Cramariuc sai kisoissa hopeamitalin ja Jasse Lahdenperä ja Sami Kalliomäki pronssimitalin. Menestystä voidaan pitää hyvänä (edellisissä kisoissa tuli 1 pronssi). BOI-kisojen menestyksen perusteella Suomen IOI 2012 -joukkueen kilpailijoiksi valittiin Andrei Cramariuc, Sami Kalliomäki, Jasse Lahdenperä, ja Joonatan Saarhelo. Johtuen MAOL:in haasteellisesta rahoitustilanteesta erillistä IOI-valmennusleiriä ei 2012 kyetty järjestämään, vaan se tapahtui lähinnä Antti Laaksosen laatimien harjoitustehtävien ratkonnan muodossa. IOI 2012 -kisoissa (Sirmione, Italia, 23. 30.9. 2012) joukkueen johtajana toimi BOI-kisojen tapaan Timo Knuutila (TY) ja varajohtajana Antti Laaksonen (HY). Joukkue saalisti kisoista 2 vahvaa pronssimitalia (Lahdenperä ja Cramariuc), ja Kalliomäki jäi pronssista vain muutaman pisteen. Vaikka mitalisaalis oli sama kuin vuonna 2011, pisteiden valossa menestys oli viimevuotista parempi. Kisojen kotisivuilta www.ioi2012.org/ löytyy runsaasti lisätietoja tapahtumasta, erityisesti kuvamateriaalia on tarjolla osoitteessa http://www.ioi2012.org/gallery/ 6. Vuoden 2013 olympialaiset Vuoden 2013 IOI -kisat järjestetään Australiassa Brisbanessa 6. 13.7. 2013. Kisoihin valmistava Itämeren alueen BOI-kisa järjestetään 2013 Saksassa, mutta täsmälliset päivämäärät eivät vielä ole selvillä. Kisavalmennus ja joukkueen valinta tulee tapahtumaan kohdan 3 mukaisesti.
Hiukan vielä Alan Turingista Hannu Korhonen esitteli Dimensiossa 5/2012 ansiokkaasti Alan Turingia, laskettavuuden, kryptografian ja tietokoneidenkin pioneeria. Pikku lisänä voisi kertoa Turingin pienestä ja vähän tunnetusta kytköksestä Suomen matematiikkaan. Useiden muiden syvällisten ajattelijoiden tavoin Turing pyrki ratkaisemaan ongelmat itse, eikä kovin paljon välittänyt syventyä lähteisiin. Niinpä kun tähtitieteilijä Arthur Eddingtonin luentosarja oli herättänyt Turingissa kiinnostuksen normaalijakaumaan, hän kirjoitti siitä Cambridgessä opinnäytetyön, joka sisälsi todistuksen todennäköisyyslaskennan keskeiselle raja-arvolauseelle, siis sille, että satunnaismuuttujien jonon summan asymptoottinen jakauma on normaalijakauma. Kun Turing toi valmista työtään professori A. S. Besicovitchille, hän joutui ensin keskusteluun samassa collegessa tuolloin olleiden jatko-opiskelijoiden kanssa; näiden joukossa oli sittemmin Israeliin muuttanut ja Israelin matematiikkaolympiajoukkueen johtajana vielä 1990-alussa vaikuttanut Joseph Gillis (jolta tämän aikanaan kuulin). Turingin ystävät tiesivät kertoa, että Turingin todistama tulos ei ollut uusi, vaan että se löytyi jostain saksalaisesta lehdestä. Tästä huolimatta Turingin ilmeisen omaperäinen työ kelpasi Besicovitchille. Gillis ja kumppanit olivat oikeassa: 1800-luvun alusta asti matemaatikkoja askarruttaneen keskeisen rajaarvolauseen todistus oli todella julkaistu Mathematische Zeitschrift -lehdessä vuonna 1922. Todistuksen kirjoittaja oli kuitenkin suomalainen, Helsingin yliopiston matematiikan apulainen Jarl Valdemar Lindeberg (1876 1932). Lindebergin todistuksen historia on hiukan epätavallinen sekin. Lindeberg, jonka alaa todennäköisyyslaskenta ei alkuaan varsinaisesti ollut, oli virassaan määrätty opettamaan todennäköisyyslaskennan kursseja ja tällöin tietysti törmännyt keskeiseen raja-arvolauseeseen. Kun se todistaakin piti, niin Lindeberg kehitti todistuksen. Vasta myöhemmin hänellekin selvisi, että tulos oli uusi, ainakin mitä tulee niihin oletuksiin, joihin hän nojautui. Alan Turingista on muuten ilmestynyt suomenkielistäkin kirjallisuutta. Terra Cognita julkaisi vuonna 2000 Andrew Hodgesin perusteellisen Turing-elämäkerran Alan Turing, arvoitus ja Otava vuonna 1997 Suuret filosofit -sarjassa samaisen Hodgesin pikku teoksen Turing, luonnonfilosofi. Matti Lehtinen Oulu
Simo K. Kivelä Symbolinen laskenta ja koulumatematiikan tulevaisuus Graafisia laskimia on tiukoin ehdoin jo pitkään saanut käyttää ylioppilaskokeessa. Käyttöä on kuitenkin leimannut jonkinlainen vastahakoisuus: monia toimintoja on pidetty liian pitkälle menevinä eikä niiden käyttöä ole suosittu. Vuoden 2012 alusta voimaan tullut uusi laskinohje muutti tilanteen: kaikki laskimet ovat sallittuja. Tilanne ei kuitenkaan ole niin selkeä, kuin voisi luulla. Laskimen ja tietokoneen ero on katoamassa, eikä laskinohjekaan viisaasti kyllä määrittele, mitä laskimella tarkoitetaan. Symboliset toiminnot tulivat sallituiksi, mutta aina ei ole selvää, mitä kaikkea voi käyttää enempää selittämättä. Seurauksena onkin ollut ajoittain kiivaankin keskustelun herääminen. On katsottu, että uudistus on viimeinen naula matematiikan opetuksen arkkuun. Mitään ei enää tarvitse osata, kun kaiken saa laskimesta mitään ymmärtämättä. Toisaalta kaikkien laskimien sallimista on pidetty ensimmäisenä askelena matematiikan opetuksen modernisoinnissa. Yritän seuraavassa hahmotella, mitä uudistus oikeastaan merkitsee ja millaisella tiellä olemme. Valmiita ratkaisuja en esitä, se ei ole vielä tällä hetkellä mahdollistakaan. Pikemminkin tarvitsemme keskustelua muokkaamaan omia mielikuviamme ja tuomaan uusia ideoita. Mistä olemme tulossa, mihin menossa? Alunperin tietokoneet olivat matemaatikolle numeerisen laskennan välineitä. 60-luvun loppuun mennessä ensimmäisten tietokoneiden numeeriset ominaisuudet mahdutettiin taskuun sopivaan laitteeseen. Syntyi funktiolaskin. Seuraavalla vuosikymmenellä kehittyivät tietokoneiden näyttöjen graafiset ominaisuudet ja nämäkin siirtyivät taskulaskimeen: syntyi graafinen laskin. Tietokoneohjelmilla on pyritty jo 60-luvulla käsittelemään lausekkeita, ts. tekemään symbolista laskentaa: ratkaisemaan yhtälöitä, derivoimaan, integroimaan, sieventämään. Ohjelmistoista on alettu käyttää myös nimitystä CAS, Computer Algebra System. Tätä voidaan pitää symbolisen laskennan synonyyminä, vaikka jonkinlainen näkökulmaero ehkä onkin. Myös symbolinen laskenta on löytänyt tiensä taskukokoisiin laitteisiin. Tämän päivän aika kohtuuhintaisesta laskimesta löytyy työkalut numeeriseen, graafiseen ja symboliseen laskentaan. Laskentaohjelmistojen kehitykseen kytkeytyy kuitenkin myös valtava tieto- ja viestintätekniikan kehitys. Omassa taskussa oleva laskin ei ole enää ainoa vaihtoehto 1
työvälineeksi. Selvää on, että tietokoneeseen on saatavissa ohjelmistot, joissa on vastaavat toiminnot ja enemmänkin. Oleellisesti samat toiminnot saadaan käyttöön myös verkon kautta, ilman että itse tarvitsee asentaa juuri mitään. Välineenä voi olla myös matkapuhelin tai tablettitietokone. Internetin ns. pilvipalvelut ovat lisääntymässä: omaan laitteeseen ei asenneta mitään eikä siihen välttämättä tallenneta edes omia tiedostoja, vaan kaikki sijaitsee joillakin palvelimilla jossakin Internetin syövereissä. Käyttö sujuu, kunhan käyttäjällä on verkkoyhteys. Asiaa ennestään tuntematon lukija voi aloittaa perehtymisen antamalla Googlelle hakusanoiksi symbolic computation (ranskaksi calcul formel ) tai computer algebra system. Symbolisen laskennan pilvipalveluista kelpaa esimerkiksi Wolfram Alpha[4]. Parin dollarin hinnalla lukija saa myös älypuhelimeensa tai tablettitietokoneeseensa pikkuohjelman, joka sovittaa näytön älypuhelimeen sopivaksi. Lisää pari dollaria ja näyttöön saadaan vaikkapa differentiaali- ja integraalilaskentaan keskittyvä laskin.[5] Edellä sanotun valossa symbolisten laskimien käyttöönotto lukiossa ei ole muuta kuin yksi askel jo kauan sitten aloitetulla tiellä. Eikä tie pääty tähän. Ellei maailmassa yllättäviä muutoksia tapahdu, Internetiä käytetään jonakin päivänä myös kokeissa normaalina työvälineenä kaikenlaisia pilvipalveluja hyödyntäen. Matematiikan opetuksen ja kokeiden tulee seurata maailman muuttumista. Jokaisella aikakaudella on laskentavälineensä ja niitä on jo koulussa opittava käyttämään. Emmehän käytä enää logaritmitaulujakaan emmekä yritä harjoittaa aritmetiikkaa roomalaisiin numeroihin perustuen. Jos koulumatematiikka eroaa liian paljon siitä, mitä matematiikan käyttö muualla elämässä on, se ei enää ole relevanttia eikä kiinnosta. Asia ei kuitenkaan ole niin suoraviivainen, kuin edellä esitetty tekniikkafriikin näkökulma näyttäisi osoittavan. Pelko, että mitään ei enää osata, kun kaiken saa laskimesta, ei kumpua tyhjästä. Totta on, että monet nykyisistä matematiikan tehtävistä voidaan ratkaista laskinta näpyttelemällä juuri mitään ymmärtämättä. Kuitenkin: Jo oikeiden toimintojen löytäminen laskimesta edellyttää kykyä jäsentää tilanne jollakin tavalla. Laskin saattaa myös antaa vastauksen, joka ei ole lainkaan sitä, mitä laskija odottaa, vaan jonka ymmärtäminen edellyttää paljon laajempia matematiikan taitoja. Puhumattakaan niistä tilanteista, joissa vastaus on eri syistä johtuen yksinkertaisesti väärä. Tietotekniikan laajeneva käyttö avaa myös mahdollisuuksia oppia enemmän ja monipuolisemmin, ehkä uudesta näkökulmasta. Edellytyksenä on, että mahdollisuus halutaan hyödyntää eikä vain tyydytä tavoittelemaan samaa kuin ennenkin. Tällaisen muutoksen aikaansaaminen varsinkaan kun ei edes tarkoin tiedetä, mitä se olisi ei ole yksinkertaista. Tielle kuitenkin pitää lähteä. Millaisia tehtäviä? Edellä sanotun konkretisoimiseksi tarkastelen joitakin viime vuosien ylioppilastehtäviä. Tarkoitus ei ole sanoa, että matematiikan opetuksessa pitäisi tähdätä vain 2
ylioppilaskokeeseen. Koe vain on varsin hyvä näyte siitä, millaisiin taitoihin nykyään tähdätään. Symbolilaskimet tuovat muutoksen näkökulmiin ja jossain määrin tavoitteena oleviin taitoihin, mutta kovin järkyttävästä asiasta ei ole kyse. En toista tehtävänantoja. Ne löytyvät esimerkiksi viitteestä [6]. Viime vuosina ylioppilaskokeen alussa on ollut pari tehtävää, joissa on pyydetty ratkaisemaan yksinkertaisia yhtälöitä, sieventämään lausekkeita, derivoimaan tai integroimaan. Kaikki voidaan ratkaista sangen suoraviivaisesti symbolisella laskimella. Taito ratkaista tällaiset kynällä ja paperilla on kuitenkin edelleenkin tarpeen. Ei niinkään siitä syystä, että käsinlasku sinänsä olisi tärkeätä, vaan käsitteiden ymmärtämisen ja niiden ominaisuuksien sisäistämisen takia. Tämä on tarpeen myös laskimia ja ohjelmistoja käytettäessä. Mitään DoWhatIHope-komentoa ei tunnetusti ole. Jotta perustehtäviä opitaan ratkaisemaan myös käsin, tarvittaneen kokeita, joissa apuvälineitä ei sallita. Yksinkertaisten perusoperaatioiden ohella on testattu tärkeiksi katsottuja algoritmeja: funktion suurimman ja pienimmän arvon etsimistä esimerkiksi tarkastelemalla polynomia x 3 4x + 1 välillä [ 1, 2], polynomin jakamista tekijöihin esimerkkinä 2x 4 x 3 + x 2 x 1, lukuteorian osaamista tutkimalla, onko 46 78 + 89 67 jaollinen viidellä. Kaikki ovat tehtäviä, joista voi suoriutua löytämällä laskimesta sopivan funktion, joka antaa suoraan vastauksen. Tehtävissä on oikeastaan kyse ääriarvojen ja polynomin ominaisuuksien sekä lukuteorian alkeiden osaamisen testaamisesta. Jos tehtävistä suoriudutaan, uskotaan, että kyseiset asiat ovat hallinnassa. Tehtävä toimii siten osaamisen indikaattorina. Tämä logiikka ei kuitenkaan enää päde, jos käytössä on symbolinen laskin. Luontevaa olisikin indikaattorin käyttämisen sijasta siirtyä kysymään sitä, mitä halutaan testata. Kysymykseen voisi tulla vaikkapa lyhyen esseen kirjoittaminen aiheesta ja sopivan esimerkin muodostaminen. Tällöin tehtävä on vaativampi, mutta pakottaa toisaalta hahmottamaan asian yleisemmin. Perinteisissä tehtävissäkin on myös monia, jotka eivät oikeastaan tarvitse mitään muutoksia. Esimerkkejä ovat Penrosen laatoituksia koskeva tehtävä (kevään 2011 pitkä) ja trombin sijainti Helsingin edustalla (kevään 2011 lyhyt). Edellisessä tosin olisi yhtä helppoa laskea myös tarkat arvot. Tällaiset ja monimutkaisemmatkin tehtävät testaavat kykyä pitää tehtävän rakenne hallinnassa, mikä on hyvinkin tarpeellinen taito. Kun päähuomio keskittyy tähän eikä yksinkertaisten laskuvirheiden välttämiseen, on siirrytty askel kohden matematiikan soveltamisessa tarvittavia taitoja. Uutena tehtävätyyppinä voisivat olla avoimet tutkimustehtävät: onko jokin asia totta tai esitettävä hypoteesi jossakin tilanteessa. Symbolinen laskenta voi toisinaan aiheuttaa yllätyksiä, joihin tulisi osata suhtautua. Esimerkiksi funktion cos 3 x sin 2 x maksimikohtien etsiminen ja yhtälön x a = x b ratkaiseminen TI-Nspire-laskimella johtaa vaikeasti hahmotettavaan vastaukseen. Tämä on sinänsä oikea, mutta sen esitys and- ja or-operaattoreineen on sen verran mutkikas, että tulkinta ei ole aivan helppoa.[7, 8] Symbolisessa laskennassa myös usein oletetaan toimittavan kompleksialueella, jolloin em. yhtälön ratkai- 3
susta tulee todella monimutkainen.[9] Käyttäjällä tulisi olla jonkinlainen näkemys kompleksitasosta. Samantapainen tilanne saattaa syntyä derivoitaessa tan-funktiota, jolloin vastauksena voi olla sec 2 x. Käyttäjä ei saisi säikähtää, vaan hänen tulisi lähteä hakemaan sekantin määritelmää, vaikkapa Internetistä. Pilvipalvelu Wolfram Alpha puolestaan antaa syötteeseen (a + b) 2 varsin pitkän vastauksen. Joukossa on toki sekin, mitä laskija ehkä odottaa, mutta myös paljon muuta, josta on osattava valita. Mitä sitten pitäisi opettaa? Jos laskimia tai tietokoneohjelmia ja yleisemmin tietotekniikkaa halutaan matematiikan opetuksessa todella hyödyntää, tulisi kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin näkökulmiin: Tietyt perustaidot ovat edelleen tarpeellisia myös käsin laskemisen tasolla. Tavoitteena on tällöin käsitteiden ymmärtäminen ja niiden ominaisuuksien sisäistäminen, kyky analysoida laskimelle tai ohjelmalle annettavia syötteitä ja saatavia tuloksia. Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn pohjautuva tiede eikä tämä muutu miksikään laskentavälineiden muuttuessa. Laskentavälineet edellyttävät usein aiempaa laajempaa tietämystä matematiikasta. Kaikkea ei tarvitse todistaa, mutta kyky hakea eri lähteistä tietoja on tarpeen. Jonkinlaiseen universaaliin nappulatekniikkaan tulisi oppia. Yksittäisen laskimen tai ohjelmiston ominaisuuksia ei ole syytä erityisesti opettaa. Detaljitieto on kaikkein nopeimmin vanhenevaa. Sen sijaan kyky selvittää asioita manuaalista ja yleinen näkemys tarjolla olevien toimintojen luonteesta on tarpeen. Soveltavat tehtävät voivat olla aiempaa monimutkaisempiakin, koska mekaaninen laskeminen ja yksinkertaisten laskuvirheiden välttäminen ei ole ongelma. Oleellista on oppia pitämään laskenta hallinnassa: mitä tehdään, miksi, missä järjestyksessä. Symboliset laskimet ja ohjelmat sisältävät yleensä mahdollisuuden ohjelmointiin. Kyse ei tällöin ole varsinaisista ohjelmointikielistä, vaan peräkkäin suoritettavien toimintojen pakkaamisesta yhdeksi mahdollisesti parametreista riippuvaksi kokonaisuudeksi. Ohjelmoinnin idean oppiminen avaisi uusia mahdollisuuksia sekä matematiikan opiskeluun että teknistyvän maailman ymmärtämiseen yleisemminkin. On selvää, että tietotekniikan ja laskentavälineiden ottaminen käyttöön matematiikan opetuksessa on pitkä prosessi eikä se edes välttämättä etene siten, kuin tällä hetkellä ajatellaan. Uusien ajatusten täytyy löytää tiensä opetussuunnitelmiin ja 4
oppikirjoihin, opettajakunnan täytyy pohtia niitä ja kouluttautua niihin. Prosessin askelmerkit voisivat olla seuraavat: 1. askel: Laskimia ja ohjelmia käytetään irrallisissa tehtävissä. Tyypillisiä esimerkkejä ovat yhtälön x 2 4x+1 = 0 ratkaiseminen ja funktion cos 3 x sin 2 x derivointi. Yhtä hyvin kuitenkin voidaan ratkaista yhtälö x 3 + x 2 5x + 1 = 0 tai laskea integraali 2 1 e x2 dx, vaikka nämä ovatkin jo laajennuksia vanhaan nähden: yhtälöä ei käsinlaskulla osattaisi ratkaista eikä integrointi alkeisfunktioiden avulla onnistu. Symboliset järjestelmät kuitenkin suoriutuvat niistä, mutta laskijan täytyy ymmärtää saatava tulos. 2. askel: Laskimesta tai mieluummin tietokoneohjelmasta tulee työskentely-ympäristö. Välitulokset talletetaan muistiin sopivalla (kuvaavalla!) nimellä ja niitä käytetään syötteinä laskun myöhemmissä vaiheissa. Tehtävän ratkaiseminen tapahtuu kokonaan laskimessa tai tietokoneohjelmassa. Tällöin korostuu tehtävän kokonaisuuden hahmottamisen tärkeys. Esimerkkinä on funktion f(x) = x 3 3x 2 + 2x + 1 ääriarvojen etsiminen laskemalla derivaatan nollakohdat (työvälineenä lakentaohjelma Mathematica).[10] Alkeellinen ohjelmointi on työskentelytavalle luonteva jatko. 3. askel: Edellä kuvatusta tehtävän ratkaisusta muodostetaan dokumentti kirjoittamalla laskennan lomaan perusideat, selitykset ja tarkemmat perustelut. Edellytyksenä on, että laskin tai ohjelma riittävän hyvin tukee tekstien kirjoittamista laskusyötteiden lomaan. Paperille tulostettu dokumentti voidaan jättää vaikkapa kokeen tarkastajalle. Esimerkkinä on kevään 2011 pitkän matematiikan kokeen kaarevuusympyröitä käsittelevä tehtävä 15 (ratkaistuna Mathematicalla).[11] Millaisia laskimia tai ohjelmistoja on tarjolla? Tällä hetkellä olemme astumassa ensimmäistä askelta ja tarjolla olevat symboliset laskimet vastaavat tarpeisiin kohtalaisen hyvin. Ongelmat ovat kuitenkin nähtävissä: laskimen käyttö muistuttaa avaimenreiän kautta työskentelyä eikä anna kovin hyviä mahdollisuuksia toisen askelen ottamiseen. Pelkästään siirtyminen laskimen toimintoja vastaavan tietokoneohjelman käyttämiseen helpottaa tilannetta paljon. Onneksi tällainen ohjelma on yleensä saatavissa. Useiden laskimien ja vastaavien tietokoneohjelmien käyttöä vaikeuttaa kunnollisen dokumentaation puute. Toimintoja ja niiden ominaisuuksia ei ole helppoa löytää ja dokumentaatio voi olla niin huonosti käännetty, että suomenkielisen voi ymmärtää vain ajattelemalla, mitä se on mahtanut olla englanniksi. Tilannetta vaikeuttaa lisäksi, että suomenkielinen terminologia ei kaikilta osin ole vakiintunutta eikä kääntäjä ole jäänyt asiaa pohtimaan. Toisen askelen ottaminen edellyttänee tietokoneohjelmiin siirtymistä. Vaihtoehtoja on useita, mutta ideaalista ratkaisua on vaikeata löytää. Laskimien mukana tulevat ohjelmistot ovat hyvä alku, mutta niiden toivoisi kehittyvän rakenteeltaan ja käyttöliittymältään selkeämmiksi ja yksinkertaisemmiksi. Opiskelun kohteen tulee olla matematiikka, ei ohjelmiston erikoisuudet. Toisena vaihtoehtona voisivat olla 5
varsinaiset symboliset laskentaohjelmat. Ongelmana on, että ne ovat joko ilmaisia ja hieman vanhahtavia (kuten Maxima) tai moderneja ja aivan liian kalliita (kuten Mathematica). (En luettele eri vaihtoehtoja. Tarkemmin esimerkiksi viitteessä [1].) GeoGebra on suurta suosiota saavuttanut dynaamisen geometrian ohjelma, johon on luvassa myös symbolisen laskennan osio. Tämän kehitysversioita on saatavissa, mutta ne antavat vaikutelman, että paljon työtä on vielä tehtävänä.[2] Oman kehityssuuntansa muodostavat verkko- ja pilvipalvelut, ehkä merkittävimpinä esimerkkeinä Wolfram Alpha ja Sage [4, 3]. Pyrkimyksenä on saada nämä toimimaan myös tablettitietokoneissa ja matkapuhelimissa. Aika näyttää, mihin kehitys vie. Kolmatta askelta, dokumentin laatimista tehtävän ratkaisusta, pitäisin tavoittelemisen arvoisena päämääränä. Sehän mahdollistaisi matematiikan ylioppilaskokeen kirjoittamisen tietokoneella, mutta tärkeämpää olisi vähitellen oppia kirjoittamaan raportiksi kelpaavaa tekstiä myös matematiikasta. Koulumaailmaan sopivia työskentely-ympäristöjä ei kuitenkaan toistaiseksi ole. Mathematica (jolla on laadittu edellä mainitut esimerkit) on sinänsä hyvä ympäristö, Maple on toinen, mutta kumpikin on varsin kallis eikä alkuunpääsykään ole aivan helppoa. Käyttökelpoisia ratkaisuja siis joudumme odottamaan, mutta ajan voi toki käyttää hyödyksi tutkimalla tarjolla olevia vaihtoehtoja ja kehittämällä omaa näkemystä. Uhat ja mahdollisuudet Kaikkiaan olemme jonkinlaisessa tienhaarassa. Jos symboliset laskimet tai tietokoneohjelmat otetaan käyttöön ja niillä ratkaistaan vain yksinkertaisia perustehtäviä, unohdetaan varsinainen matematiikan opiskelu. Matematiikasta jää jäljelle tällöin nappulatekniikan opettelu, ja skeptikoiden pelot ovat toteutuneet. Vaihtoehtona on ottaa vastaan tekniikan kehityksen tuomat mahdollisuudet ja pyrkiä näiden avulla opettamaan matematiikkaa hieman laajemmin ja syvemmin, vanhoista tottumuksista irroten. Tällöin matematiikasta ja sen merkityksestä voidaan myös antaa monipuolisempi kuva. Uuteen lähteminen ei koskaan ole helppoa, tässä se voi vielä olla tavallistakin hankalampaa, jos kehitys tai muutos, miten vain on yhtä nopeaa kuin se viime vuosikymmeninä on ollut. Aikaa tarvitaan, mutta haaste on otettava vastaan. Viitteet [1] http://en.wikipedia.org/wiki/computer_algebra_system [2] http://www.geogebra.org/cms/ [3] http://www.sagemath.org/ [4] http://www.wolframalpha.com/ 6
[5] http://products.wolframalpha.com/mobile/ [6] http://intmath.org/other/yoteht/ [7] Maksimin TImax.png etsintä / TI-Nspire [8] TIabs.png [5] http://products.wolframalpha.com/mobile/ [9] Mabs.png [6] http://intmath.org/other/yoteht/ [10] Mmaxmin.pdf [7] TImax.png [11] Mkaarevuus.pdf [8] Itseisarvoyhtälö TIabs.png / TI-Nspire [5] http://products.wolframalpha.com/mobile/ [9] Mabs.png [6] http://intmath.org/other/yoteht/ [10] Mmaxmin.pdf [7] TImax.png [11] Mkaarevuus.pdf [8] TIabs.png [9] Itseisarvoyhtälö Mabs.png / Mathematica [10] Mmaxmin.pdf [11] Mkaarevuus.pdf 7
[7] TImax.png [8] TIabs.png [9] Mabs.png [10] Ääriarvotehtävä Mmaxmin.pdf kokonaisuudessaan Mathematicalla laskettuna [11] Mkaarevuus.pdf taso2esim.nb 1 In[1]:= f = x^3 3 x^2 + 2 x + 1 Out[1]= 1 + 2 x 3 x 2 + x 3 In[2]:= Plot f, x, 1, 3 2.5 2 1.5 1 0.5-1 1 2 3-0.5 Out[2]= In[3]:= Graphics f1 = D f, x Out[3]= 2 6 x + 3 x 2 In[4]:= dernollat = Solve f1 0, x Out[4]= x 1 3 3 3, x 1 3 3 + 3 In[5]:= funarvot = f. dernollat Out[5]= 1 + 2 3 3 3 1 3 3 3 2 + 1 3 3 3, 1 + 2 3 + 3 1 3 + 3 2 + 1 27 3 3 27 3 + 3 3 In[6]:= funarvot Simplify 2 Out[6]= 1 + 3 3, 1 2 3 3 In[7]:= funarvot N Out[7]= 1.3849, 0.6151 7
[8] TIabs.png [9] Mabs.png [10] Mmaxmin.pdf [11] Kaarevuustehtävä Mkaarevuus.pdf Mathematicalla laskettuna ja selityksillä varustettuna taso3esim.nb 1 In[1]:= f x_ = x^2 Out[1]= x 2 Kohta a) Yleinen ympyrän yhtälö: In[2]:= ympyra = x a ^2 + y b ^2 r^2 Out[2]= a + x 2 + b + y 2 r 2 Vaatimukset, että ympyrä kulkee pisteiden O, A ja B kautta: In[3]:= ehto1 = ympyra. x 0, y f 0 Out[3]= a 2 + b 2 r 2 In[4]:= ehto2 = ympyra. x t, y f t Out[4]= a t 2 + b + t 2 2 r 2 In[5]:= ehto3 = ympyra. x t, y f t Out[5]= a + t 2 + b + t 2 2 r 2 Ratkaistaan ehdoista kertoimet r, a ja b (t:n funktioina): In[6]:= kertoimet = Solve ehto1, ehto2, ehto3, a, b, r Out[6]= r 1 2 1 t2, a 0, b 1 2 1 + t2, r 1 2 1 + t2, a 0, b 1 2 1 + t2 Valitaan positiivinen r: In[7]:= Out[7]= r t_ = r. kertoimet 2 1 2 1 + t2 7 Kohta b) Raja-ympyrän säde raja-arvona: In[8]:= Out[8]= r0 = Limit r t, t 0 1 2
taso3esim.nb 2 Kohta c) Raja-ympyrän yhtälö: In[9]:= ymp0 = ympyra. kertoimet 2. t 0 Out[9]= x 2 + 1 2 + y 2 1 4 Ratkaistaan tästä y ja valitaan se lauseke, joka antaa alapuolisen kaaren: In[10]:= rtk = Solve ymp0, y Out[10]= y 1 1 2 1 4 x2, y 1 2 1 + 1 4 x 2 In[11]:= Out[11]= g x_ = y. rtk 1 1 1 1 4 x 2 2 Kohta d) Toiset derivaatat: In[12]:= f'' 0 Out[12]= 2 In[13]:= g'' 0 Out[13]= 2 In[14]:= 1 r0 Out[14]= 2 Kuvio: (seuraava sivu) 10
taso3esim.nb 3 In[15]:= fkuva = Plot f x, x, 1, 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2-1 -0.5 0.5 1 Out[15]= In[16]:= Graphics gkuva = Plot g x, x, 1 2, 1 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1-0.4-0.2 0.2 0.4 Out[16]= In[17]:= Graphics Show fkuva, gkuva 1 0.8 0.6 0.4 0.2-1 -0.5 0.5 1 Out[17]= Graphics 11
Työpaikkaselvitys edimensio 2012 1(14) Selvitys Helsingin yliopiston matemaattisluonnontieteellisen tiedekunnan fysikaalisissa tieteissä vuosina 1990 2009 väitöskirjan tai pro gradu-tutkielman tehneiden sijoittumisesta työelämään SEPPO MANNINEN, fysiikan dosentti (eläkkeellä), Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos Johdanto Fysikaalisiin tieteisiin Helsingin yliopiston matemaattis-luonnontieteellisessä tiedekunnassa kuuluvat fysiikka, teoreettinen fysiikka, geofysiikka, meteorologia ja tähtitiede. Lisäksi tutkinnon voi suorittaa aineenopettajakoulutuksessa. Opiskelijat valitaan fysikaalisiin tieteisiin, pääaineen valinta tapahtuu myöhemmin opiskelijan toimesta kuitenkin niin, että opettajakoulutukseen päästäkseen opiskelijan on selviydyttävä soveltuvuuskokeesta. Vuotuisen keväällä tapahtuvan päävalinnan lisäksi opinto-oikeuden voi saavuttaa kaksi kertaa vuodessa tapahtuvissa erillisvalinnoissa. Ne koskevat lähinnä muissa korkeakouluissa opintonsa aloittaneita. Lisäksi vuosittain toteutetaan ulkomaalaisten hakijoiden valinta. Fysiikan laitos on myös mukana useissa tiedekunnan poikkitieteellisissä maisteriohjelmissa. Viime vuosina on opiskelijoita tavoiteltu opettajakoulutukseen syyskaudella suoritetulla erillisvalinnalla. Menettelyllä on pyritty tavoittelemaan syksyllä ylioppilaiksi valmistuvia. Päävalinnassa yliopiston asettama kiintiö on laskenut fysikaalisissa tieteissä 1990-luvun 180:stä nykyiseen lukuun 150. Tämän lisäksi opettajavalinnassa on oma erillinen 25 opiskelijan kiintiönsä. Vuodesta 2010 lähtien kaikki fysikaaliset tieteet kuuluvat Kumpulan kampuksella sijaitsevaan fysiikan laitokseen. Perinteisesti matematiikka, fysiikka ja kemia ovat olleet oppiaineita, joihin Helsingin yliopistossa pyritään valmentauduttaessa muiden tiedekuntien ja korkeakoulujen valintoihin. Tähän on vaikea puuttua, pyrkijät ovat riittävän hyvätasoisia läpäistäkseen matemaattis-luonnontieteellisen tiedekunnan valinnat. Aiemmin kun pyrkijä pystyi ottamaan vastaan useamman kuin yhden opiskelupaikan, oli verraten yleistä aloittaa opiskelu Teknillisessä korkeakoulussa ja olla samalla Helsingin yliopiston fysiikan opiskelija ilman että opintoja yliopistossa suoritettiin lainkaan. Muutos tähän tuli vasta 2000-luvulla annetussa yhden aloituspaikan sääntöä koskevassa asetuksessa. Muun muassa näiden tekijöiden vaikutuksesta perustutkinnon suorittaneiden määrä on ollut huomattavasti opiskelupaikan vastaanottaneiden määrää alhaisempi. Tavoitteena on ollut lähentää aloittavien ja tutkinnon suorittaneiden määrää supistamalla aloituspaikkoja ja tehostamalla ensimmäisen vuoden opetusta. Tässä onkin onnistuttu, 1990-luvun alun jopa alle 30 vuosittaista FMtutkintoa on kasvanut kaksinkertaiseksi 2000-luvulla, vaikka aloituspaikkoja on vähennetty. Väitöskirjan tehneiden lukumäärä on ollut tiedekunnan suurin, keskimäärin n. 20 väitöskirjaa vuodessa tarkasteltavana ajanjaksona. Määrä on viime vuosina ollut nousussa, viiden viimeisen vuoden (2007 2011) keskiarvo on 28 väitöskirjaa. Selvityksen suorittaminen Sen sijaan, että työllistymistä olisi tarkasteltu ottamalla lähtökohdaksi FT- ja FM-tutkinnon suorittaneet, tarkasteluperustaksi valittiin väitöskirjan tai pro gradu-tutkielman vuosina 1990 2009 tehneet. Perusteluina tähän olivat: (i) Lopullinen tutkinto otetaan erityisesti perustutkinnon osalta usein merkittävästi pro gradututkielman hyväksymisen jälkeen. Tähän vaikuttavat monet sosiaaliset syyt, kuten esimerkiksi opiskelija-
Työpaikkaselvitys edimensio 2012 2(14) asunto. Opinnäytetyön suorittamisajankohta on siten tuoreempi tieto opiskelijasta. (ii) Kun lähtökohtana on opinnäytetyö, siitä selviää työn aihepiiri, suorituspaikka ja ohjaajat, mikä tarjoaa hyvän lähtökohdan tutkinnon jälkeistä työpaikkaa selvitettäessä. Vaikka selvityksessä tarkastellaan opinnäytetyön tehneitä, todettakoon että kaikki väitöskirjan tehneet ovat suorittaneet FT-tutkinnon. Pro gradu-tutkielman tehneistä, yhteensä 959 opiskelijasta viidellä ei ollut FMtutkintoa 31.12.2010. Selvityksen teossa käytettiin tavanomaisesta poikkeavaa menettelytapaa. Sen sijaan, että työpaikkatietoja olisi tiedusteltu suoraan asianomaiselta henkilöltä, tiedot on kerätty julkisista lähteistä, suoraa kysymystä ei ole esitetty kenellekään opinnäytetyön tekijälle. Pääasiallisina tietolähteinä ovat olleet laitosten henkilökuntaluettelot, Google- ja Linkedin-sivustot sekä opinnäytetöiden ohjaajat. Työtä on helpottanut olennaisesti se, että olen ollut päättämässä lähes kaikkien tässä selvityksessä olevien valinnoista tiedekunnan valintalautakunnassa, opettanut suurinta osaa heistä, kirjoittanut heille suoritusmerkintöjä ja toiminut 1990- ja 2000-luvuilla fysiikan opinto-ohjaajana. Selvityksen toteutustavasta johtuen on henkilöitä, jotka ovat suorittaneet FT- tai FM-tutkinnon tarkasteltavana ajanjaksona, mutta eivät ole selvityksessä mukana. Heidän opinnäytetyönsä on valmistunut ennen vuotta 1990. Käytetty menetelmä ei kerro suoraan mahdollisten työttömien määrää. Selvityksen kohta muut sisältää henkilöt, joista ei ole saatu nykytietoa, ovat jo eläkkeellä, kuolleet tai eivät ole suorittaneet tutkintoa. Vuosien 1990 1999 osalta tämä luokka sisältää 4,4 % väitelleistä ja 10,3 % pro gradu-tutkielman tehneistä. Vastaavat luvut vuosien 2000 2009 osalta ovat 0,9 % ja 4,4 %. Mahdolliset työttömät sisältyvät tähän ei nykytietoa -ryhmään, johon kuuluvat myös avioliiton tai muun syyn kautta sukunimensä vaihtaneet, joita ei ole pystytty jäljittämään. Työllisyysselvitystä on tehty Helsingin yliopistossa Urapalvelujen toimesta kaikille tiedekunnille koskien maistereiden ja tohtoreiden joitakin valmistumisvuosia, kyselyjen vastausprosentti on vaihdellut välillä 45 65 % matemaattis-luonnontieteellisissä aineissa. Laaja kyselyaineisto paljastaa yksityiskohtia mm. työsuhteesta ja -urasta, annetun koulutuksen hyödyllisyydestä ja työttömyydestä. Vastanneiden joukossa työttömyyttä matemaattis-luonnontieteellisissä aineissa on hyvin vähän. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta kokoaa myös vuosittain työllisyystietoja tutkinnon valmistumisvaiheessa. Valmistuneiden fyysikoiden työpaikkaselvitystä on säännöllisesti toteuttanut ainakin Jyväskylän yliopiston fysiikan laitos. Erona on kuitenkin se, että siellä työpaikkakysely on tehty suoraan vuosittain valmistuneille. Miten työpaikat muuttuvat tämän jälkeen, jää tällöin selvittämättä. Etuna taas voidaan pitää sitä, että valmistuneilta voidaan kysyä kommentteja saamastaan koulutuksesta. Jyväskylässä on toteutettu myös tämän työn kaltainen vuosina 1995 2007 valmistuneiden tohtoreiden työpaikkaselvitys, joka perustuu valmistuneille lähetettyyn kyselyyn ja muihin taustatietoihin. Vastaavalla tavalla on tarkasteltu myös vuosina 1995 1999 ja 2000 2004 valmistuneiden maisterien työllisyyttä. Tarkastelu on jaettu kahteen 10-vuotis-jaksoon, mikä tarjoaa mahdollisuuden tutkia muutoksia työpaikkajakautumissa. Työpaikat on jaettu oppiaineittain seitsemään ryhmään: (i) Oma laitos tai Fysiikan tutkimuslaitos, (ii) muu Helsingin yliopiston laitos tai muu kotimainen yliopisto, (iii) valtion laitokset, (iv) opettaja, (v) ulkomainen yliopisto tai tutkimuslaitos, (vi) yksityinen sektori kotimaassa tai ulkomailla, (vii) muut, joita tarkasteltiin jo edellä. Selvityksessä tarkastellaan myös yleisimpiä työpaikkoja ja ulkomaisia post.doc.-paikkoja. Työpaikkatilanne on esitetty sellaisena kuin se oli 31.12.2010. Väitöskirjojen ja pro gradu-tutkielmien lukumäärät vuosina 1990 1999 ja 2000 2009 Ohessa on esitetty väitöskirjojen ja pro gradu-tutkielmien määrän kehittyminen 1990-luvulla (Kuva 1). Olennaisena piirteenä voidaan todeta pro gradu-tutkielmien määrän kaksin-kertaistuminen vuosikymmenen loppua kohti.