MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Schurin hajotelma Kaikki matriisit eivät diagonalisoidu. Kuitenkin, jokainen neliömatriisi on similaarinen yläkolmiomatriisin kanssa, vieläpä niin, että tämän similaarimuunnoksen suorittava matriisi on unitaarinen. Tämä nk. Schurin hajotelma on lähtökohta moniin muihin käyttökelpoisiin hajotelmiin. Lause 1 (Schurin hajotelma) Jokaiselle A C n n on olemassa unitaarinen matriisi Q siten, että S = Q AQ on yläkolmiomatriisi. S :n diagonaalialkiot ovat A :n ominaisarvot. Esitystä A = QSQ ( = QSQ 1 ) kutsutaan A :n Schurin hajotelmaksi. Käytännössä se lasketaan QR-hajotelman avulla iteratiivisesti, lisää aiheesta kurssilla Numeerinen matriisilaskenta. 2 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Schurin hajotelma Schurin hajotelman avulla saadaan kätevästi todistettua monia hyödyllisiä tuloksia, esimerkiksi: Lause 2 Matriisin determinantti on sen ominaisarvojen tulo. Todistus. Schurin hajotelmasta A = QSQ saadaan: det(a) = det(qsq ) = det(q) det(s) det(q ) = det(q) det(q ) det(s) = det(qq ) det(s) = det(s) ja koska S on yläkolmiomatriisi, niin tämä on S :n diagonaalialkioiden eli A :n ominaisarvojen tulo. 3 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Kaikki matriisit eivät diagonalisoidu, mutta kaikki matriisit ovat siis similaarisia yläkolmiomatriisin kanssa. Kysymys kuuluukin, kuinka yksinkertaiseen muotoon tämä yläkolmiomatriisi voidaan saattaa? Yksinkertaisin mahdollinen on ns., jota nyt lähdetään etsimään. 4 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Tutkitaan aluksi Jordan-matriisia µ 1 0 0 0... 0 0 µ 1 0 0... 0 0 0 µ 1 0... 0 J(µ, r) :=...... C r r 0... 0 0 0 µ 1 0 0... 0 0 0 0 µ 1 0... 0 0 0 0 0 µ Tämä karakteristinen polynomi on P J(µ,r) (λ) = (µ λ) r, eli ainoa ominaisarvo on λ = µ ja se algebrallinen kertaluku on m a (µ) = r. 5 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Ominaisarvoa µ vastaa kuitenkin vain yksi ominaissuunta: E µ (J(µ, r)) = {(α, 0, 0,..., 0) T α C}, eli geometrinen kertaluku on m g (µ) = 1. Jordan-matriisi ei siis todellakaan diagonalisoidu, vaan se on eräänlainen ääritapaus diagonalisoitumattomuudesta! Milloin matriisi on similaarinen Jordan-matriisin kanssa? Eli milloin A = V J(µ, r) V 1 jollakin V? 6 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Kirjoitetaan matriisi V muodossa V = [ v 1 v 2... v r ] ja katsotaan, millaisia ehtoja saadaan pystyvektoreille v i. A = V J(µ, r) V 1 A [ v 1... v r ] = [ v1... v r ] J(µ, r) Koska [ v1... v r ] J(µ, r) = [ µv1 v 1 + µv 2 v 2 + µv 3... v r 1 + µv r ] ja toisaalta A [ v 1... v r ] = [ Av1 Av 2 Av 3... Av r ], niin yhtälön A = V J(µ, r) V 1 pätemiseksi täytyy päteä 7 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Av 1 = µv 1 (A µi)v 1 = 0 Av 2 = v 1 + µv 2 (A µi)v 2 = v 1 Av 3 = v 2 + µv 3 eli (A µi)v 3 = v 2.. Av r = v r 1 + µv r (A µi)v r = v r 1 Kertomalla näitä edelleen (A µi):n potensseilla, saadaan. 8 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

(A µi)v 1 = 0 (A µi) 2 v 2 = (A µi)v 1 = 0 (A µi) 3 v 3 = (A µi) 2 v 2 = 0. (A µi) r v r = (A µi) r 1 v r 1 = 0 eli (A µi)v 1 = 0 (A µi) 2 v 2 = 0 (A µi) 3 v 3 = 0. (A µi) r v r = 0 Vektorit v 1, v 2,... v r saadaan siis ratkaisemalla ensin (A µi)v 1 = 0, sen jälkeen (A µi) 2 v 2 = 0 jne. Tästä syystä vektoreita v 1, v 2,... v r kutsutaankin usein yleistetyiksi ominaisarvoiksi. 9 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Huom: Myös v 1 ratkaisee yhtälön (A µi) 2 v 2 = 0, joten v 2 on löydettävä siten, että se on lineaarisesti riippumaton vektorista v 1. Vastaavasti myös seuraaville vektoreille: niiden on aina oltava lineaarisesti riippumattomia edellisistä. Käsin laskettaessa onkin yleensä helpompaa laskea vektorit v 1, v 2,... v r suoraan aiemmasta yhtälöryhmästä (A µi)v 1 = 0 (A µi)v 2 = v 1 (A µi)v 3 = v 2. (A µi)v r = v r 1. 10 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Edetään tällä periaatteella, eli askeleella j etsitään yhtälölle (A µi)v j = v j 1 ratkaisu v j, joka on lineaarisesti riippumaton vektoreista v 1, v 2,..., v j 1. Mikäli algoritmi ei katkea ennen loppua, saadaan V = [ v 1 v 2... v r ] C r r siten, että A = VJ(µ, r)v 1. Tietenkään yleinen A C r r ei ole similaarinen Jordan-matriisin kanssa (A:lla esim. useita ominaisarvoja). Seuraava kuitenkin pätee: 11 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Lause 3 Jokainen A C n n on similaarinen jonkin Jordanin kanonisen muodon kanssa, eli A = VJV 1, missä J(λ 1, r 1 ) J(λ 2, r 2 ) J =... Cn n, J(λl, rl) r 1 +... + r l = n. Tässä λ 1,..., λ l ovat matriisin A ominaisarvot (voi olla λ j = λ i, vaikka j i), ja J(λ j, r j ) ovat Jordan-lohkoja. 12 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Huom: Matriisin A Jordanin kanoninen muoto on lohkojen järjestystä vaille yksikäsitteinen, mutta muunnosmatriisi V ei ole. Esimerkki 4 Laske Jordanin hajotelma matriisille 6 3 1 A = 31 14 4. 37 15 3 13 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Ratkaisu: Lasketaan ensin matriisin A ominaisarvot: p λ (A) = det(a λi) =... = (λ 1)(λ 2) 2 = 0, josta saadaan λ 1 = 1, λ 2 = 2. Lasketaan ominaisvektori ominaisarvolle λ 1 = 1, ja saadaan esim. u 1 = (1, 3, 2) T. Laskettaessa ominaisvektoreita ominaisarvolle λ 2 = 2 huomataan, että kaikki ominaisvektorit ovat muotoa v = (0, α, 3α) T, eli kahta lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria ei löydy. Matriisi A ei siis diagonalisoidu. Jordanin hajotelma voidaan toki silti tehdä. Valitaan sitä varten ominaisvektoreista yksi, esim. v 1 = (0, 1, 3) T. 14 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Hajotelmasta puuttuva kolmas vektori (eli toinen vektori ominaisarvon 2 lohkoon) voidaan ratkaistava yhtälöstä (A λ 2 I)v 2 = v 1. Tämän ratkaisut ovat muotoa ( 1, α, 8 3α) T, α R. Valitaan v 2 = ( 1, 0, 8) T. Näin ollen V = [ ] 1 0 1 v 1 v 2 v 3 = 3 1 0. 2 3 8 15 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Hajotelmaan varten täytyy vielä laskea V 1. Tämän jälkeen saadaan lopulta tulos: 1 0 1 1 0 0 8 3 1 A = VJV 1 = 3 1 0 0 2 1 24 10 3. 2 3 8 0 0 2 7 3 1 16 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Jos matriisissa A on moninkertaisia ominaisarvoja, tai se on lähellä matriisia, jolla on moninkertaisia ominaisarvoja, niin sen Jordanin kanoninen muoto on hyvin herkkä pienille muutoksille. Esimerkki 5 [ ] 1 1 Olkoon A =. ɛ 1 Jos ɛ = [ 0, niin ] A:n Jordanin kanoninen muoto on se itse, eli 1 1 J A =. 0 1 [ ] 1 + ɛ 0 Jos kuitenkin ɛ 0, niin J A = 0 1. ɛ 17 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan

Jordanin muodon häiriöalttius tekee hyvin vaikeaksi rakentaa tarkkoja ja toimivia algorimeja sen laskemiseen. Tästä syystä a ei juurikaan käytetä numeerisessa analyysissä. Numeerisesti stabiili Schurin hajotelma on paljon parempi vaihtoehto. 18 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan