Ke3130900 Kemiantekniikan tietotekniikka Luento 2



Samankaltaiset tiedostot
BJ30A1000 Kemiantekniikan tietotekniikka Luennot 1 ja 2

Ke Kemiantekniikan tietotekniikka Luento 3

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI

CFD Lappeenrannan teknillisessä yliopistossa. Jouni Ritvanen.

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAn JA FYSIIKAN LAITOS LUKUVUOSI

Panosprosessien integroitu hallinta

Kemiantekniikan osaston opintojaksot Lukuvuosi

CFD:n KEHITTÄMISTARPEET JA KEHITTÄMISMAHDOLLISUUDET VTT:n NÄKEMYKSIÄ. Lars Kjäldman CFD kehitysseminaari

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Virtauslaskentaan liittyvä tutkimus TKK:n koneosastolla. Timo Siikonen

Aalto-yliopisto Kemian tekniikan korkeakoulu Kemian tekniikan lukujärjestys SYKSY 2012

LUKUJÄRJESTYS KEVÄTLUKUKAUDELLE 2009

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/KEMIANTEKNIIKAN KOULUTUSOHJELMA/LUKUVUOSI

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

KURSSIEN POISTOT JA MUUTOKSET LUKUVUODEKSI

Tieteen ja tutkimusalan opintoihin hyväksyttävät opintojaksot ovat (taulukossa A= aineopinnot, S=syventävät opinnot, J = jatko-opinnot):

Moderni biolääketieteellinen optiikka X - Optinen mittaaminen sekä valmistusmenetelmät X X X

Tilanne KEMIANTEKNIIKKA OPINTOJAKSOMUUTOKSET/LUKUVUOSI

Kokemuksia ja näkemyksiä teollisuusmatematiikan koulutuksen kehittämisestä

AS TENTTIJÄRJESTYS LUKUVUOSI päiv as

2. Prosessikaavioiden yksityiskohtainen tarkastelu

Poistuvat kurssit ja korvaavuudet (RRT ja YYT)

RAKENNUSTEN ENERGIANKÄYTÖN OPTIMOINTI. Kai Sirén Aalto yliopisto

4.5. MATEMAATTISTEN AINEIDEN OPETTAJANKOULUTUS Tutkinnon rakenne. Matemaattisten aineiden koulutusohjelma

Computing Curricula raportin vertailu kolmeen suomalaiseen koulutusohjelmaan

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

Logistiikkajärjestelmien mallintaminen - käytännön sovelluksia

Kemiallinen reaktiotekniikka syksy 2011

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad

Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla

Konetekniikan koulutusohjelman opintojaksomuutokset

Tilanne sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien

Lakkautetut vastavat opintojaksot: Mat Matematiikan peruskurssi P2-IV (5 op) Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B (5 op)

Remember to register for an exam no later than one week before it is held. Tentti /Vk. Day Date Time Course code and name Room

Johdanto laskennalliseen termodynamiikkaan ja mikroluokkaharjoituksiin

Moderni biolääketieteellinen optiikka X - Optinen mittaaminen sekä valmistusmenetelmät X X X

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Miten ymmärtää puubiomassan kaasutusta paremmin? - Hiilen kaasutusmallin kehittäminen

Kukin kurssi voi sisältyä vain yhteen alemman tai ylemmän perustutkinnon moduuliin.

Case: Ydinvoimalan käyttöautomaation allianssi

Kukin kurssi voi sisältyä vain yhteen alemman tai ylemmän perustutkinnon moduuliin.

Skedulerisimulaattorin implementointi fysiikkatöille ja sen matemaattinen validointi

Matkalla digitaaliseen tulevaisuuteen

Indoor Environment

ÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI 1 JOHDANTO. Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2

OPTIMOINNIN JA PÄÄTÖKSENTEON MAISTERI- KOULUTUS (OPTI)

Tarvitseeko informaatioteknologia matematiikkaa?

Symbolinen laskenta (MAT180,1ov)

Pro-IT. Ohjelmistokatsaus. Jiri Hietanen /Jiri Hietanen

Master's Programme in Life Science Technologies (LifeTech) Prof. Juho Rousu Director of the Life Science Technologies programme 3.1.

Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko

Tomi Huttunen Kuava Oy Kuopio

Master s Programme in Building Technology Rakennustekniikka Byggteknik

Vesivoimaketjun optimointi mehiläisalgoritmilla (Valmiin työn esittely)

Kon Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala

12. luento: Simplexin implementointi Mallinnusjärjestelmät. Simplexin implementointiin liittyviä asioita

Mistä kilpailukykyä kotimaiseen tuotantoon? Tuotannon ulkomaille siirtämisen haasteet

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Making use of BIM in energy management

JOITAKIN KOMMENTTEJA JA LISÄEHDOTUKSIA TIETEEN METODIIKKA MODUULIN YHTEISEEN KURSSILISTAAN Esitys KK

YYttrium. WTungsten. Hydrogen

Datapalveluja, infrastuktuureja, ekosysteemejä tutkimuksen hyväksi

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

Identifiointiprosessi

Ongelma(t): Voiko älykkyyden määritellä ja voiko sitä mitata, myös objektiivisesti? Onko älykkyyttä ilman (näkyvää) toimintaa? Voiko kone olla älykäs

Suunnittelutyökalu kustannusten ja päästöjen laskentaan

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Bioinformatics in Laboratory of Computer and Information Science

Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko

ISEB/ISTQB FOUNDATION CERTIFICATE IN SOFTWARE TESTING III

Page 1 of 9. Ryhmä/group: L = luento, lecture H = harjoitus, exercises A, ATK = atk-harjoitukset, computer exercises

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Kimmo Berg. Mat Optimointioppi. 9. harjoitus - ratkaisut

Laskennallisen tekniikan tekniikan kandidaatti (muok )

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Johdanto laskennalliseen termodynamiikkaan ja mikroluokkaharjoituksiin

AS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät. Tehtävä 1. Käynnistä fuzzy-toolboxi matlabin komentoikkunasta käskyllä fuzzy.

Lentotiedustelutietoon perustuva tykistön tulenkäytön optimointi (valmiin työn esittely)

Energiatehokkuutta parantavien materiaalien tutkimus. Antti Karttunen Nuorten Akatemiaklubi

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Oulun yliopiston tutkinto-ohjelmaportfolio 2017 alkaen

Kurssin koodi ja nimi Ryhmä Päivä Aika Sali Viikot Henkilöt Course code and name Group Day Time Lecture Weeks Course staff

Tilayhtälötekniikasta

VBE2 Työpaketit Jiri Hietanen / TTY

Tfy Teoreettinen mekaniikka (5 op) Tfy Fysiikka IV alkuosa A ja Tfy Teoreettinen mekaniikka

KE Biokatalyysi (4 op)

Matematiikka ja tilastotiede. Orientoivat opinnot /

AKKREDITOITU TESTAUSLABORATORIO ACCREDITED TESTING LABORATORY

Erkki Antila Teknillinen tiedekunta

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely)

BJ30A1000 Kemiantekniikan tietotekniikka Polymath

Kemiantekniikan tekniikan kandidaatin tutkinto

Liikennejärjestelmämallit ja niiden käyttö poliittisessa päätöksenteossa ja suunnittelussa. Ville Koskinen,

782630S Pintakemia I, 3 op

Tietotekniikan opetus lukuvuonna Computer science course schedule in academic year Updated

Kemiantekniikan tekniikan kandidaatin tutkinto

The spectroscopic imaging of skin disorders

Systeemiteoriasta. Andrea Holmberg Software Point Oy Hans Blomberg seminaari

T DATASTA TIETOON

Kitkaton Suomi kasvu, kilpailukyky ja osaaminen uuden edessä

Transkriptio:

Ke3130900 Kemiantekniikan tietotekniikka Luento 2 Kimmo Klemola 25.01.2007 January 25, 2007 Kimmo Klemola 1 Prosessiteknologian peruskäsitteitä TASE ILMIÖ PROSESSI MALLI PROSESSIMALLI PROSESSIMALLITUS January 25, 2007 Kimmo Klemola 2 Luento 2 1

Tase Kemisti-insinöörin tärkeätä omaksua taseajattelu Massatase Energiatase Liikemäärätase jne January 25, 2007 Kimmo Klemola 3 Ilmiö Ilmiö on tapahtuma, asiantila tai tosiasia Laite on esine, ilmiöiden reunaehto Prosessi-ilmiöitä ovat taseilmiöt säilymisilmiöt nopeusilmiöt tasapainoilmiöt January 25, 2007 Kimmo Klemola 4 Luento 2 2

Prosessi Prosessi on ilmiö Prosessi on taseilmiö Prosessi on tasealueen määräämä ilmiöjoukko Teollinen prosessi on ohjattu taseilmiö January 25, 2007 Kimmo Klemola 5 Malli Fyysinen malli (esim. laboratorio- tai pilottilaite) Käsitteellinen malli Käsitteellisen mallin osajoukko on matemaattinen malli Käsitteellinen malli voidaan ilmaista monella tavalla: Reaktionopeus on verrannollinen aineen A pitoisuuteen (suomeksi) The reaction rate is proportional to the concentration of A (englanniksi) ra = k1 CA R(1,1) = K(1,1)*C(1) January 25, 2007 Kimmo Klemola 6 Luento 2 3

Prosessimalli malliavaruus muuttujat ja yhtälöt ei-prosessiparametrit prosessiparametrit prosessimalli fyysinen avaruus prosessiilmiöt prosessilaite fysikaaliset ominaisuudet muut suureet prosessi January 25, 2007 Kimmo Klemola 7 Prosessimallitus Mallitus1 (Käsitteellinen mallitus) Tunnista oleelliset ilmiöt ja suureet. Kirjoita yhtälöt. Tulos: Malliyhtälöt. Mallitus2 (Sovellettu mallitus) Johda tai hanki ratkaisualgoritmi mallille. Yksinkertaista tai modifioi mallia tarvittaessa. Implementoi malli ja algoritmi ratkaisua varten (esim. tietokoneohjelmaksi). Tulos: Ratkaisualgoritmi. Mallitus3 (Koetoiminta) Määritä ei-prosessiparametrit joko omin kokein tai kirjallisuudesta (muiden kokeista). Tulos: Ei-prosessiparametrit. Mallitus4 (Ratkaisu) Määritä spesifikaatiot ratkaisua varten. (Syöttö ja prosessiparametrit, jos kyseessä simulointi. Syöttö ja tuotto, jos kyseessä suunnittelu.) Ratkaise. Tulos: Ratkaisu. Mallitus5 (Validointi) Validoi malli vertaamalla ratkaisua mallitettaviin ilmiöihin. Tulos: Validi malli. January 25, 2007 Kimmo Klemola 8 Luento 2 4

Tutkija tieteen kolmiossa January 25, 2007 Kimmo Klemola 9 Mallituksen osa-alueita (in English) Steady State Flowsheet Simulation Dynamic Simulation Molecular Modeling and Computational Chemistry Computational Fluid Dynamics (CFD) Chemometrics Optimization, Genetic Algorithms Artificial Intelligence: Neural Networks, Fuzzy Logic Artificial Intelligence: Knowledge-Based Systems, Expert Systems, Rule-Based Reasoning, Case- Based Reasoning Mathematical Programs (Matlab, Mathcad ) Environmental, Health, Safety, and Quality (EHSQ) Models Production Planning, Logistics, and Scheduling Models Detailed Design Models and Programs Process Control Operator Training and Support Systems Parameter Estimation Experimental Planning Process Integration Process Synthesis Data Reconciliation Algorithms Parallel Computing Visualization January 25, 2007 Kimmo Klemola 10 Luento 2 5

Mallituksen osa-alueita Jatkuvatoimiset flowsheet-simulaattorit Dynaaminen simulointi Molekyylimallitus ja laskennallinen kemia Virtauslaskenta (CFD) Kemometria Optimointi, geneettiset algoritmit Tekoäly: hermoverkot, sumea logiikka Tekoäly: Asiantuntijajärjestelmät, sääntöpohjainen päättely, tapauspohjainen päättely Matematiikkaohjelmistot (Matlab, Mathcad ) Ympäristö-, terveys-, turvallisuus- ja laatumallit Tuotannonsuunnittelu-, logistiikka- ja aikataulutusohjelmistot Laitteisto-ohjelmat Prosessien ohjaus ja säätö Operaattorien koulutus Parametriestimointi Kokeiden suunnittelu Prosessi-integraatio Prosessisynteesi Taseiden täsmäys Algoritmit Rinnakkaislaskenta Visualisointi January 25, 2007 Kimmo Klemola 11 Steady State Flowsheet Simulation Jatkuvatoimiset flowsheet-simulaattorit Jatkuvatoimisten prosessien suunnittelu tehdään lähinnä jatkuvatoimisten (steady state-) flowsheet-simulaattorien avulla. Jatkuvatoimisilla flowsheet-simulaattoreilla pystytään laskemaan yksittäisiä yksikköoperaatioita tai yksikköprosesseja tai niiden ja ainevirtojen muodostamia laajojakin prosessikokonaisuuksia. Jatkuvatoimiset flowsheet-simulaattorit sisältävät yksikköoperaatio- ja reaktorimalleja, fysikaalisten aineominaisuuksien ja termodynaamisten ominaisuuksien laskentamalleja sekä aineiden ja aineominaisuuksien datapankkeja. Aspen Plus, HYSIM ja PRO/II ovat tunnetuimpia jatkuvatoimisia flowsheet-simulaattoreita. January 25, 2007 Kimmo Klemola 12 Luento 2 6

Steady State Flowsheet Simulation Jatkuvatoimiset flowsheetsimulaattorit January 25, 2007 Kimmo Klemola 13 Steady State Flowsheet Simulation Jatkuvatoimiset flowsheet-simulaattorit Perinteinen bensiinieetteriprosessi January 25, 2007 Kimmo Klemola 14 Luento 2 7

Steady State Flowsheet Simulation Jatkuvatoimiset flowsheet-simulaattorit Nesteen bensiinieetteriprosessi January 25, 2007 Kimmo Klemola 15 Steady State Flowsheet Simulation Jatkuvatoimiset flowsheet-simulaattorit Aspen Plus January 25, 2007 Kimmo Klemola 16 Luento 2 8

Dynaaminen simulointi Dynamic simulation accounts for process transients, from an initial state to a final state. Dynamic models for complex chemical processes typically consist of large systems of ordinary differential equations (ODEs) and algebraic equations (DAEs). Therefore, dynamic process simulation is computationally intensive. Dynaamiset simulaattorit koostuvat tyypillisesti: termodynaamisten ja fysikaalisten aineominaisuuksien laskentamalleista ja ainepankeista yksikköoperaatio- ja reaktorimalleista numeerisista ratkaisijoista January 25, 2007 Kimmo Klemola 17 Dynamic simulation - Dynaaminen simulointi Dynaamista simulointia käytetään [Asprey, 1998]: panosprosessien suunnitteluun ja kehittämiseen säätöstrategioiden suunnitteluun prosessien säätösysteemien tarkastamiseen työntekijöiden koulutuksessa Tehtaan tuotannon optimointiin Prosessien luotettavan toiminnan ja prosessiturvallisuuden kehittämiseen ja testaamiseen prosessien toiminnan tehostamiseen ja parantamiseen prosessien käynnistyksen ja pysäytyksen suunnitteluun ja harjoitteluun January 25, 2007 Kimmo Klemola 18 Luento 2 9

Dynamic simulation - Dynaaminen simulointi Ulkomaisia: Batch Plus Hysys Aspen Chromatography, ADSIM, Dynamics Prosim BatchColumn, BatchReactor Chemcad gproms gbss Matlab Suomalaisia: APROS (VTT Automation, energia, pulp&paper) Prosimulator (Neste Engineering, öljynjalostus, petrokemia) ModEst (Haario, LTY, kemianteollisuus, farmasia) January 25, 2007 Kimmo Klemola 19 Molecular Modeling and Computational Chemistry - Molekyylimallitus ja laskennallinen kemia Molekyylimallituksessa käytetään mallia tutkittaessa molekyylin rakennetta. Molekyylimallitus pitää sisällään laskennallisen kemian, mutta myös esimerkiksi paperille piirretyn molekyylirakenteen. Laskennallisessa kemiassa (usein käytetään nimitystä molekyylimallitus) käytetään numeerista laskentaa molekyylin rakennetta ja ominaisuuksia tutkittaessa. Hyvä esimerkki tärkeästä molekyylimallituksen ja laskennallisen kemian käyttökohteesta on uusien vaikuttavien lääkeaineiden kehittäminen. January 25, 2007 Kimmo Klemola 20 Luento 2 10

Molecular Modeling and Computational Chemistry - Molekyylimallitus ja laskennallinen kemia January 25, 2007 Kimmo Klemola 21 Computational Fluid Dynamics (CFD) Virtauslaskenta Computational fluid dynamics (CFD) is the science of determining a numerical solution to governing equations of fluid flow whilst advancing the solution through space or time to obtain a numerical description of the complete flow field of interest. Computational fluid dynamics obtains solutions for the governing Navier Stokes fluid flow equations and, depending upon the particular application, solves additional equations involving multiphase, turbulence, heat transfer and other relevant processes. January 25, 2007 Kimmo Klemola 22 Luento 2 11

Computational Fluid Dynamics (CFD) Virtauslaskenta Tank - mixer January 25, 2007 Kimmo Klemola 23 Computational Fluid Dynamics (CFD) Virtauslaskenta Tutuin sovellus sääennusteiden tekeminen January 25, 2007 Kimmo Klemola 24 Luento 2 12

Computational Fluid Dynamics (CFD) Virtauslaskenta Soveltuu hyvin mm. autojen ja lentokoneiden suunnitteluun January 25, 2007 Kimmo Klemola 25 Computational Fluid Dynamics (CFD) Virtauslaskenta Esimerkki: Polttoainesäiliön täyttäminen January 25, 2007 Kimmo Klemola 26 Luento 2 13

Computational Fluid Dynamics (CFD) Virtauslaskenta Virtauslaskenta vaatii paljon laskentatehoa. Laskenta onnistuu jo nykyään PC:llä. Kemian- ja prosessiteollisuudessa CFD:n merkitys kasvaa suunnittelussa. Laskenta kuitenkin vaativampaa moneen muuhun alaan verrattuna, mm. koska: monimutkaisia laitteiden rakenneratkaisuja pyöriviä propelleja ja liikkuvia osia paljon aineita, joiden ominaisuudet tunnetaan huonosti (ilma ja vesi monissa muissa sovelluksissa ainoat aineet) aineet monessa faasissa, kaasu-neste, kaasu-kiinteä, nestekiinteä, kaasu-neste-kiinteä, slurryt ynm laskenta-ajat saattavat olla jopa supertietokoneella liian pitkiä January 25, 2007 Kimmo Klemola 27 Computational Fluid Dynamics (CFD) Virtauslaskenta - Virtauslaskentaohjelmia Ulkomaisia: Fluent Fidap CFX Phoenics Star-CD Femlab Suomalaisia: Elmer Finflo Nova January 25, 2007 Kimmo Klemola 28 Luento 2 14

Chemometrics - Kemometria Kemometriassa kemialliseen dataan sovelletaan tilastollisia ja matemaattisia menetelmiä. Tyypillisesti kemometriassa pyritään saamaan suuresta datamäärästä esiin oleelliset tiedot. Biometriassa biologiseen tai biokemialliseen dataan sovelletaan tilastollisia ja matemaattisia menetelmiä. LUTissa professori Pentti Minkkinen kansainvälisesti merkittävä kemometrian tutkija. Hän on käyttänyt kemometriaa mm. ympäristöanalyyseissä. January 25, 2007 Kimmo Klemola 29 Optimization Optimointi Optimointi tarkoittaa parhaan ratkaisun löytämistä. Optimointiongelmia on käytännössä joka teollisuuden alalla, esim. tuotteen ja tuotannon suunnittelussa, logistiikassa ja strategisessa suunnittelussa. Optimointia mallittaessa ongelma esitetään matemaattisten mallien avulla. Ongelmaan etsitään ratkaisu sopivalla matemaattisella ratkaisijalla. January 25, 2007 Kimmo Klemola 30 Luento 2 15

Artificial Intelligence: Neural Networks, Fuzzy Logic - Tekoäly: hermoverkot, sumea logiikka Monia ainakin mahdollisia sovelluksia teollisuudessa Hermoverkot pyrkivät jäljittelemään aivojen oppimis- ja päätöksentekokykyä. Sumeaa logiikkaa voidaan käyttää hyödyksi sumeille tapauksille. Esimerkiksi joistain ihmisistä voidaan sanoa, että he ovat pitkiä, mutta on olemassa suuri joukko ihmisiä, joista on vaikea sanoa ovatko he pitkiä vai lyhyitä. Sumeaa logiikkaa pystytään käyttämään hyväksi esimerkiksi teollisuuden prosessien säädössä. January 25, 2007 Kimmo Klemola 31 Artificial Intelligence: Knowledge-Based Systems, Expert Systems, Rule-Based Reasoning, Case-Based Reasoning Tekoäly: asiantuntijajärjestelmät, sääntö- ja tapauspohjainen päättely Asiantuntijajärjestelmissä pyritään jäljittelemään ihmisen päättelykykyä. Asiantuntemus ja tieto on joko datapankissa tai sääntöinä tietokoneella. Esim. laitevalinta kuten pumput, säiliöt jne. January 25, 2007 Kimmo Klemola 32 Luento 2 16

Artificial Intelligence: Knowledge-Based Systems, Expert Systems, Rule-Based Reasoning, Case- Based Reasoning January 25, 2007 Kimmo Klemola 33 Matematiikkaohjelmat (Matlab, Mathcad ) Monet matematiikkaohjelmat tarjoavat varsin helppokäyttöisiä työkaluja symboliseen tai numeeriseen laskentaan tarjoten samalla näyttäviä tapoja tulosten esittämiseen. Ohjelmia voidaan käyttää esimerkiksi datan analysointiin, visualisointiin, numeeriseen ja symboliseen laskentaan, (insinööri)suunnitteluun, mallitukseen ja simulointiin. Esimerkkejä ovat MATLAB Mathcad Mathematica Maple Polymath Excel January 25, 2007 Kimmo Klemola 34 Luento 2 17

Matematiikkaohjelmat Ulkomaisia: Matlab Mathematica Mathcad Maple Polymath Excel Suomalaisia: ModEst (Haario, LTY, kemianteollisuus, farmasia) January 25, 2007 Kimmo Klemola 35 Matematiikkaohjelmat Symbolinen laskenta: esim. Mathematica ja Maple http://www.integrals.com/ Numeerinen laskenta: esim. Simpsonin menetelmällä http://www.geocities.com/siliconvalley/2902/simpson.htm 2 Analyyttinen(!) ratkaisu: 4 0.5 x 4 4 2 3 3 3 2 2 Numeerinen ratkaisu Simpsonin menetelmällä: 9.333 2 ( ) 0.5 x = 1/ 3*0.5 x = 0.16667* 4 2 = 9.333 January 25, 2007 Kimmo Klemola 36 Luento 2 18

Matematiikkaohjelmat Matlab CSC:n Matlab-opas: Matlab (tulee sanoista matrix laboratory) on erityisesti numeerisen lineaarialgebran sovelluksiin kehitetty työskentelyympäristö. Matlabilla on mahdollista mm. ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä tai ominaisarvotehtäviä, laskea hajotelmia matriiseille sekä ratkoa vaikkapa differentiaaliyhtälöitä. Tämän lisäksi Matlabissa on monipuoliset grafiikkaominaisuudet, joten sitä voi käyttää myös visualisointiin. Matlabiin voi myös ohjelmoida uusia toimintoja, joten ohjelmistoa voi kehittää omia käyttötarpeita vastaavaksi. Matlabin hyviä puolia ovat käytön interaktiivisuus ja nopeus sekä mitä moninaisimpiin tarkoituksiin saatavat työkalupakit (toolbox). Ongelmana on tehottomuus suurissa tehtävissä sekä vaatimattomat mahdollisuudet symboliseen laskentaan - näihin tarkoituksiin kannattaa käyttää muita välineitä. January 25, 2007 Kimmo Klemola 37 Matematiikkaohjelmat Matlab.. x = linspace(0,1,20); t = [0 0.5 1 1.5 2]; sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t); u1 = sol(:,:,1); surf(x,t,u1); xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u'); hold on u1 = sol(:,:,1); surf(x,t,u1); xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u').. January 25, 2007 Kimmo Klemola 38 Luento 2 19