Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 3x 2 12x + 9 f (x) = 3x 2 12x + 9 = 0 2) Välin päätepisteet: x = ( 12) ± ( 12) 2 4 3 9 2 3 x = 3 ja x = 3. = 12 ± 6 6 3 = 1 Laatutarkastelu Derivaatan merkkikaavio 3 1 3 f (x) + + f(x) p.min p.max p.min Funktio f(x) on aidosti kasvava välillä ] 3, 1[ ja aidosti vähenevä välillä ]1, 3[. 1
Päättely Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa pisteessä x = 1 ja pienimmän arvonsa joko pisteessä x = 3 tai x = 3. f( 3) = ( 3) 3 6 ( 3) 2 + 9 ( 3) + 1 = 107 f(1) = 1 3 6 1 2 + 9 1 + 1 = 5 pienin arvo suurin arvo f(3) = 3 3 6 3 2 + 9 3 + 1 = 1 Vast. Funktion f(x) suurin arvo on f(1) = 5 ja sen pienin arvo on f( 3) = 107. 2
b) f(x) = 3x 3 3, x 1 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 9x 2 f (x) = 9x 2 = 0 x = 0 2) Välin päätepisteet: x = 1 ja x. Laatutarkastelu Derivaatan merkkikaavio 1 0 f (x) + + f(x) p.min Funktio f(x) on aidosti kasvava välillä ] 1, [. Näin ollen kohdassa x = 1 on paikallinen minimi. 3
Päättely Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa kun x ja pienimmän arvonsa pisteessä x = 1. f( 1) = 3( 1) 3 3 = 6 pienin arvo lim f(x) = lim x x (3x3 3) = Vast. Funktiolla f(x) ei ole suurinta arvoa vaan sen arvot kasvaa rajatta, mutta sen pienin arvo on f( 1) = 6. 4
c) f(x) = 4x 4 + 4 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 16x 3 f (x) = 16x 3 = 0 x = 0 2) Välin päätepisteet: x ja x. Laatutarkastelu Derivaatan merkkikaavio 0 f (x) + f(x) p.max Funktio f(x) on aidosti kasvava välillä ], 0[ ja aidosti vähenevä välillä ]0, [. 5
Päättely Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa pisteessä x = 0 ja pienimmän arvonsa kun x ja x f(0) = 4 0 4 + 4 = 4 suurin arvo lim f(x) = lim x x ( 4x4 + 4) = lim f(x) = lim x x ( 4x4 + 4) = Vast. Funktiolla f(x) ei ole pienintä arvoa vaan sen arvot pienenee rajatta, mutta sen suurin arvo on f(0) = 4. 6
2. f(x) = x 2 e x, x [ 3, 3] Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 2xe x + x 2 e x ( 1) = 2xe x x 2 e x = (2x x 2 )e x f (x) = (2x x 2 )e x = 0 Koska kaikilla muuttujan x arvoilla e x > 0, niin saadaan 2x x 2 = 0 x(2 x) = 0 x = 0 x = 2 2) Välin päätepisteet: x = 3 x = 3. 7
Laatutarkastelu Derivaatan merkkikaavio 3 0 2 3 e x + + + 2x x 2 + f (x) = (2x x 2 )e x + f(x) p.max p.min p.max p.min Funktio f(x) on aidosti vähenevä välillä ] 3, 0[ ja ]2, 3[ ja aidosti kasvava välillä ]0, 2[. Päättely Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa joko pisteessä x = 3 tai x = 2 ja pienimmän arvonsa joko pisteessä x = 0 tai x = 3. f( 3) = ( 3) 2 e ( 3) = 9e 3 f(0) = 0 2 e 0 = 0 suurin arvo pienin arvo f(2) = 2 2 e 2 = 4e 2 f(3) = 3 2 e 3 = 9e 3 Vast. Suurin arvo on f( 3) = 9e 3 ja pienin arvo on f(0) = 0. 8
3. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 3x 2 12x + 9 f (x) = 3x 2 12x + 9 = 0 x = ( 12) ± ( 12) 2 4 3 9 2 3 = 12 ± 6 6 3 = 1 2) Välin päätepisteet: x = 3 ja x = 3. Laatutarkastelu Toisella derivaatalla testataan vain derivaatan nollakohtia: f (x) = 6x 12 f (1) = 6 1 12 = 6 < 0 x = 1 paikallinen maksimikohta f (3) = 6 3 12 = 6 > 0 x = 3 paikallinen minimikohta Koska kohdassa x = 1 on paikallinen maksimikohta, niin tarkastelualueen alkupisteessä x = 3 on oltava paikallinen minimikohta. 9
Päättely Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa pisteessä x = 1 ja pienimmän arvonsa joko pisteessä x = 3 tai x = 3. f( 3) = ( 3) 3 6 ( 3) 2 + 9 ( 3) + 1 = 107 f(1) = 1 3 6 1 2 + 9 1 + 1 = 5 pienin arvo suurin arvo f(3) = 3 3 6 3 2 + 9 3 + 1 = 1 Vast. Funktion f(x) suurin arvo on f(1) = 5 ja sen pienin arvo on f( 3) = 107. 10
b) f(x) = 3x 3 3, x 1 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 9x 2 f (x) = 9x 2 = 0 x = 0 2) Välin päätepisteet: x = 1 ja x. Laatutarkastelu Toisella derivaatalla testataan vain derivaatan nollakohtia: f (x) = 18x f (0) = 18 0 = 0 Testi ei kerro mitään pisteestä x = 0. Tutkitaan korkeampia derivaattoja: f (3) (x) = 18 f (3) (0) = 18 > 0 Nyt f (n) (0) 0, kun n = 3 eli pariton, joten kohta x = 0 ei ole ääriarvokohta. Palataan tutkimaan derivaatan merkkikaaviota. 11
Derivaatan merkkikaavio 1 0 f (x) + + f(x) p.min Funktio f(x) on aidosti kasvava välillä ] 1, [. Näin ollen kohdassa x = 1 on paikallinen minimi. Päättely Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa kun x ja pienimmän arvonsa pisteessä x = 1. f( 1) = 3( 1) 3 3 = 6 pienin arvo lim f(x) = lim x x (3x3 3) = Vast. Funktiolla f(x) ei ole suurinta arvoa vaan sen arvot kasvaa rajatta, mutta sen pienin arvo on f( 1) = 6. 12
c) f(x) = 4x 4 + 4 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 16x 3 f (x) = 16x 3 = 0 x = 0 2) Välin päätepisteet: x ja x. Laatutarkastelu Toisella derivaatalla testataan vain derivaatan nollakohtia: f (x) = 48x 2 f (0) = 0 Testi ei kerro mitään pisteestä x = 0. Tutkitaan korkeampia derivaattoja: f (3) (x) = 96x f (3) (0) = 0 f (4) (x) = 96 f (4) (0) = 96 0 13
Nyt f (n) (0) 0, kun n = 4 eli parillinen, joten piste x = 0 on ääriarvokohta. Koska f (4) (0) = 96 < 0, niin kohdassa x = 0 on paikallinen maksimikohta. Päättely Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa pisteessä x = 0 ja pienimmän arvonsa kun x tai x. f(0) = 4 0 4 + 4 = 4 suurin arvo lim f(x) = lim x x ( 4x4 + 4) = lim f(x) = lim x x ( 4x4 + 4) = Vast. Funktiolla f(x) ei ole pienintä arvoa vaan sen arvot pienenee rajatta, mutta sen suuri arvo on f(0) = 4. 14