kevät 219 / orms.13 Talousmatematiikan perusteet 9. harjoitus, viikko 12 (18.3. 22.3.219) L Ma 1 12 A22 R5 Ti 14 16 F453 R1 Ma 12 14 F453 L To 8 1 A22 R2 Ma 16 18 F453 R6 Pe 12 14 F14 R3 Ti 8 1 F425 R7 Pe 8 1 F453 R4 Ti 12 14 F453 R8 Pe 1 12 F453 Olkoon 1 2 2 5 2 A = 2 3 1 B = 3 1 C = 1 1 1 1 1 2 1 1. Laske, jos lauseke on järkevä. (Huom kaikki lausekkeet eivät nyt ole hyvin määriteltyjä!) a) A B, b) A C, c) B C 1 2 2 3 2 a) A B = 2 3 1 3 1 = 2 6 1 1 1 1 1 1 b) A C ei voi laskea, koska matriisit ovat eri kokoisia. c) B C ei voi laskea, koska matriisit ovat eri kokoisia. 2. Laske, jos lauseke on järkevä. (Huom kaikki lausekkeet eivät nyt ole hyvin määriteltyjä!) a) AB, b) BA, c) AC, d) CA, e) C T A 1 2 2 2 6 2 a) AB = 2 3 1 3 1 = 3 1 3 1 1 1 1 1 2 1 2 2 4 b) BA = 3 12 3 1 = 6 9 2 1 1 1 1 5 1 1 2 5 2 7 4 c) AC = 2 3 1 1 1 = 5 1 2 1 2 1 d) CA C on 3x2 ja A on 3x3, ei voi laskea, koska C:n rivi ja A:n sarake ovat eri mittaiset ( ) 2 ( ) e) C T 5 1 2 A = 1 2 3 1 3 13 3 = 2 1 1 7 2 1
3. Tuotteiden A, B ja C sisäänostohinnat ovat tuote A B C hinta 2.5.5 1. Sijoitetaan vastaavat luvut matriisiin (hintavektori) p = ( 2.5.5 1. ). Yritykse kolme osastoa: myyntiosasto (M-os), valmistusosasto (V-os), suunnitteluosasto (Sos) ja Helsingin toimisto (H-to) ostavat tammikuussa tuotteita A, B ja C seuraavan taulukon mukaiset määrät tuote A B C M-os 2 3 V-os 1 5 2 S-os 1 4 H-to 3 1 1 Sijoitetaan nämäkin luvut matriisiin (ostomatriisi) D = 2 3 1 5 2 1 4 3 1 1 a) Laske matriisilauseke pd T. (Mitä edellä saadun vektorin koordinaatit merkitsevät?) b) Onko lauseke pd järkevä (mikä sen arvo on)? c) Onko lauseke Dp T järkevä (mikä sen arvo on)? d) Onko lauseke Dp järkevä (mikä sen arvo on)? a) pd T = ( 2.5.5 1. ) 2 1 3 3 5 1 1 = ( 65 7 45 9 ) 2 4 1 65 = A:n hinta kertaa M-osaston ostamien A- B:n hinta kertaa M-osaston ostamien B- C:n hinta kertaa M-osaston ostamien C- = M-osaston ostojen arvo 7 = A:n hinta kertaa V-osaston ostamien A- B:n hinta kertaa Vosaston ostamien B- C:n hinta kertaa V-osaston ostamien C- = V-osaston ostojen arvo 45 = A:n hinta kertaa S-osaston ostamien A- B:n hinta kertaa S-osaston ostamien B- C:n hinta kertaa S-osaston ostamien C- = S-osaston ostojen arvo.
9 = A:n hinta kertaa H-toimiston ostamien A- B:n hinta kertaa H-toimiston ostamien B- C:n hinta kertaa H-toimiston ostamien C- = H-toimiston ostojen arvo 2 3 b) pd = ( 2.5.5 1. ) 1 5 2 1 4 3 1 1 2 3 65 c) Dp T = 1 5 2 2.5 1 4.5 = 7 45 1. 3 1 1 9 2 3 d) Dp = 1 5 2 ( ) 1 4 2.5.5 1. 3 1 1 ei voi laskea ei voi laskea Vastaus: a-kohdassa laskun tulos kertoo ostojen yhteisarvot osastoittain, c-kohdassa tulkinta on sama, mutta esitys on tiiviimpi ja helpompi lukea, b-kohdassa yritetään laske 1 3 matriisin ja 4 3 matriisien tuloa, mikä on mahdotonta, d-kohdassa yritetään laske 4 3 matriisin ja 1 3 matriisien tuloa, mikä on mahdotonta. 4. Määritä käänteismatriisi matriisille A = ( ) 2 1. 1 1 Tehdään ratkaisu rivioperaatioilla ( 2 1 1 1 ( 1 1 2 1 ( 1 1 1 ( 1 1 1 1 1 1 ) 1 1 2 1 1 1 2 siis A:n käänteismatriisi on A 1 = vaihdetaan rivit ) ( 2) lisää rivi 1 ( 2):lla kerrottuna riviin 2 ) lisää rivi 2 riviin 1 (1) ( 1) lopuksi vaihda rivin 1 merkit ) ( ) 1 1. 1 2
5. Määritä rivioperaatioiden avulla käänteismatriisi matriisille 1 1 2 N = 1 1. Siis [1] 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 [1] 1 1 1 5 7 2 1 1 1 1 [1] 1 1 1 2 3 5 1 1 1.5 1.5.5 1 2.5 3.5.5 1 1.5 2.5.5 ( 1) ( 2) (1) ( 5) (1/2) ( 1/2) (1/2) 1.5 1.5.5 N 1 = 2.5 3.5.5 1.5 2.5.5 6. Ratkaise yhtälöryhmä x y 2z = x z = 4 2x 3y 3z = 8 1 1 2 1 1 x y z = 4 8 (Vihje: Voit soveltaa periaatetta N x = b x = N 1 b. Huomaa, että kerroinmatriisin käänteismatriisi laskettiin edellisessä tehtävässä!) Yhtälöryhmän kerroinmatriisin käänteismatriisi laskettiin edellisessä tehtävässä: 1 1 2 N = 1 1 N 1 = 1.5 1.5.5 2.5 3.5.5 1.5 2.5.5 x N y = 4 z 8 x y = N 1 4 z 8 x 1.5 1.5.5 2 y = 2.5 3.5.54 = 1 z 1.5 2.5.5 8 6
Tarkistetaan tulos sijoittamalla saadut muuttujien arvot alkuperäiseen yhtälöön 2 1 2 ( 6) = Ok 2 ( 6) = 4 Ok 2 ( 2) 3 1 3 ( 6) = 8 Ok Vastaus: x = 2, y = 1, z = 6. 7. Miten edellisen tehtävän yhtälöryhmän ratkaisu muuttuu, jos kolmannen yhtälön oikea puoli kasvaa yhdellä (arvosta 8 arvoon 9)? Vertaamme nyt kahta (eri) yhtälöryhmän ratkaisua keskenään. x alkup on yhtälöryhmän N x = 4 8 ratkaisu ja x uusi on yhtälöryhmän N x = 4 9 ratkaisu. Muutos ratkaisussa on x = x uusi x alkup = N 1 4 N 1 4 = N 1 4 4 9 8 9 8 1.5 1.5.5.5 = 2.5 3.5.5 =.5 1.5 2.5.5 1.5 Nyt kun RHS-vektorin kolmas koordinaatti muuttu yhdellä, muutosvektori x on yhtälöryhmän kerroinmatriisin käänteismatriisin N 1 kolmas sarake. Käänteismatriisi koetaan usein työläänä ja epämiellyttävän raskaana laskea. Toisaalta tuotevalinta - ongelman LP-mallia ratkaistaessa RHS-vektorissa ovat tyypillisesti yrityksen resurssit. Yritystä silloin usein kiinnostaa tietää miten päätösmuuttujien arvot optimissa muuttuvat, jos jotakin resurssia saadaan hankittua yksi yksikkö lisää. Vastaus luuraa käänteismatriisin sarakkeessa. Tässä tapauksessa käänteismatriisi sisältää suoraa rahan arvoista tietoa! Uusi ratkaisu on siis 2 x uusi = 1 6.5.5.5 1.5 = 9.5 5.5