1 / 25
: Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin, että se on helpompi ratkaista. Rivioperaatiot eivät muuta yhtälöryhmän ratkaisuja, vaan alkuperäisellä ja muokatulla yhtälöryhmällä on samat ratkaisut. 2 / 25
Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista käyttämällä seuraavia operaatioita: P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään. M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 0. A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c R ja lisätään se yhtälöön j, missä i j. 3 / 25
Miten operaatiot vaikuttavat yhtälöryhmän ratkaisuihin? Määritelmä 1 Kaksi yhtälöryhmää (merkitään A ja B) ovat ekvivalentit, jos yhtälöryhmä A saadaan yhtälöryhmästä B tekemällä äärellisen määrän rivioperaatioita. 4 / 25
Lause 1 Ekvivalenteilla yhtälöryhmillä on samat ratkaisut. Todistus. Jos kahden yhtälön paikkaa vaihdetaan keskenään eli suoritetaan rivioperaatio P ij, on selvä, että se ei vaikuta yhtälöryhmän ratkaisuihin. Jos yhtälöä kerrotaan puolittain luvulla c R\{0}, se ei muuta yhtälön ratkaisuja. Täten rivioperaatio M i (c) ei vaikuta yhtälöryhmän ratkaisuihin. Rivioperaation A ij (c) perustelu sivuutetaan. 5 / 25
Koska rivioperaatiot vaikuttavat vain kertoimiin a ij ja b i, on kätevää kirjoittaa yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = b k laajennettuna kerroinmatriisina a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2..... a k1 a k2 a kn b k Eli jätetään muuttujat (x:t) ja välimerkit (+:t) kirjoittamatta (muistetaan kuitenkin niiden paikat), korvataan =-merkit pystysuoralla viivalla ja lisätään sulut. 6 / 25
Esimerkki 1 Muodosta yhtälöryhmän a) x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 b) 2x 1 x 2 = 5 x 1 + x 3 = 5 3x 1 x 2 x 3 = 0 laajennettu kerroinmatriisi. Miten voit ratkaista yhtälöryhmät käyttämällä laajennettua kerroinmatriisia? Etsi yhtälöryhmien ratkaisujoukot. 7 / 25
Ratkaisu a) Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi on x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 1 2 1 0 0 2 8 8 4 5 9 9. 8 / 25
Ratkaisu a) Nyt 1 2 1 0 0 2 8 8 A 13(4) 4 5 9 9 1 2 1 0 0 1 4 4 A 23(3) A 0 3 13 9 21 (2) A 32 (4) A 31 (7) 1 0 0 29 0 1 0 16 0 0 1 3, 1 2 1 0 0 2 8 8 0 3 13 9 1 0 7 8 0 1 4 4 0 0 1 3 joten ratkaisu on (x 1, x 2, x 3 ) = (29, 16, 3) R 3 (ei muita ratkaisuja). M 2( 1 2 ) 9 / 25
Ratkaisu b) Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi on 2x 1 x 2 = 5 x 1 + x 3 = 5 3x 1 x 2 x 3 = 0 2 1 0 5 1 0 1 5 3 1 1 0. 10 / 25
Ratkaisu b) Nyt 2 1 0 5 1 0 1 5 P 12 3 1 1 0 1 0 1 5 A 13 ( 3) 0 1 2 5 A 12 ( 2) 0 1 4 15 A 23 (1) M 3 ( 1 2 ) 1 0 1 5 0 1 2 5 0 0 2 10 1 0 1 5 0 1 0 5 0 0 1 5 1 0 1 5 2 1 0 5 3 1 1 0 M 2( 1) A 32(1) A 31( 1) 1 0 1 5 0 1 2 5 0 1 4 15 1 0 1 5 0 1 0 5 0 0 2 10 1 0 0 0 0 1 0 5, 0 0 1 5 joten ratkaisu on (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 5, 5) R 3 (ei muita ratkaisuja). 11 / 25
Määritelmä 2 Matriisia kutsutaan redusoiduksi porrasmatriisiksi, jos siinä on pelkät nollarivit ovat alimmaisina, jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava luku on 1 ja sen ylä- ja alapuolella on pelkkiä nollia, ylemmän rivin ensimmäinen 1 on alemman rivin ensimmäisen 1:sen vasemmalla puolella. 12 / 25
Esimerkki 2 Ovatko seuraavat laajennetut kerroinmatriisit redusoituja porrasmatriiseja? 1 0 0 5 1 0 0 0 (a) 0 1 0 2 (b) 0 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 1 (c) 1 6 0 0 4 2 0 0 1 0 3 1 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0 Mitkä ovat laajennettujen kerroinmatriisien esittämien yhtälöryhmien ratkaisut? 13 / 25
Ratkaisu Kaikki kerroinmatriisit ovat redusoituja porrasmatriiseja, sillä jos niissä on nollarivejä, ne ovat alimmaisina, niissä jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava luku on 1 ja sen ylä- ja alapuolella on pelkkiä nollia, niissä ylemmän rivin ensimmäinen 1 on alemman rivin ensimmäisen 1:sen vasemmalla puolella. 14 / 25
Ratkaisu (a) Laajennettu kerroinmatriisi yhtälömuodossa on x 1 = 5 x 2 = 2 x 3 = 4 eli tässä on yksikäsitteinen ratkaisu. (b) Laajennettu kerroinmatriisi yhtälömuodossa on x 1 = 0 x 2 + 2x 3 = 0, 0 = 1 joten viimeinen yhtälö on epätosi ja näin yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. 15 / 25
Ratkaisu (c) Laajennettu kerroinmatriisi yhtälömuodossa on x 1 + 6x 2 + 4x 5 = 2 x 1 = 2 6x 2 4x 5 x 3 + 3x 5 = 1 x 3 = 1 3x 5 x 4 + 5x 5 = 2 x 4 = 2 5x 5 x 1 = 2 6s 4t x 2 = s R x 3 = 1 3t. x 4 = 2 5t x 5 = t R Tämä ratkaisu vektorimuodossa esitettynä on (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( 2 6s 4t, s, 1 3t, 2 5t, t) = ( 2, 0, 1, 2, 0) + s( 6, 1, 0, 0, 0) + t( 4, 0, 3, 5, 1), missä s, t R. Ratkaisujoukko on avaruuden R 5 taso. 16 / 25
Redusoidun porrasmatriisin ratkaisujen lukumäärä: (1) 1 0 0 d 1 0 1 0 0 d 2... 0 1 d n 0 0 0... 0 0 0 x 1 = d 1 x 2 = d 2. x n = d n. eli yksikäsitteinen ratkaisu. (2) Jokin riveistä on 0 0 c, missä c 0. Tällöin saadaan yhtälö 0 = c, mikä on ristiriita, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. (3) Kun tapaukset (1) ja (2) eivät esiinny, niin epätriviaaleja yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia ja yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. 17 / 25
: 1. Kirjoita yhtälöryhmä laajennettuna kerroinmatriisina. 2. Muuta kerroinmatriisi rivioperaatioilla redusoiduksi porrasmatriisiksi. 3. Lue ratkaisu redusoidusta porrasmatriisista kirjoittamalla se takaisin yhtälöryhmäksi. 18 / 25
Esimerkki 3 Ratkaise llä yhtälö x 1 + x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 1 2x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 2 3x 1 + 2x 2 4x 3 3x 4 9x 5 = 3. 19 / 25
Ratkaisu Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi on x 1 + x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 1 2x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 2 3x 1 + 2x 2 4x 3 3x 4 9x 5 = 3 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 6 2 3 2 4 3 9 3. 20 / 25
Ratkaisu Nyt 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 6 2 3 2 4 3 9 3 A 13 ( 3) A 12 ( 2) M 2 ( 1 3 ) A 21 ( 1) A 23 (1) M 3 ( 1 6 ) 1 1 2 1 3 1 0 3 6 0 0 0 0 1 2 6 18 0 1 1 2 1 3 1 0 1 2 0 0 0 0 1 2 6 18 0 1 0 0 1 3 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 6 18 0 1 0 0 1 3 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 3 0 21 / 25
Ratkaisu A 31 ( 1) 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 3 0 Tämä laajennettu kerroinmatriisi vastaa yhtälöryhmää x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 x 2 = 2s x 2 2x 3 = 0 x 2 = 2x 3 x 3 = s R. x 4 + 3x 5 = 0 x 4 = 3x 5 x 4 = 3t x 5 = t R Tämä ratkaisu vektorimuodossa esitettynä on (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (1, 2s, s, 3t, t) = (1, 0, 0, 0, 0) + s(0, 2, 1, 0, 0) + t(0, 0, 0 3, 1), missä s, t R.. 22 / 25
Esimerkki 4 Miten yhtälöryhmän x 1 + ax 3 = b + 1 2x 1 + x 2 + 4ax 3 = 4b + 2 3x 2 5ax 3 = 5b 1 ratkaisujen lukumäärä riippuu vakioista a ja b? 23 / 25
Ratkaisu Laajennettu kerroinmatriisi on 1 0 a b + 1 1 0 a b + 1 2 1 4a 4b + 2 A 12( 2) 0 1 2a 2b 0 3 5a 5b 1 0 3 5a 5b 1 1 0 a b + 1 1 0 0 2 A 23 (3) 0 1 2a 2b A 31( 1) 0 1 0 2 A 0 0 a b 1 32 ( 2) 0 0 a b 1 Jos a 0, niin yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu: 1 0 0 2 M 3 ( 1 a ) x 1 = 2 0 1 0 2 x 2 = 2 b 1 0 0 1 a x 3 = b 1 a. 24 / 25
Ratkaisu Jos a = 0 ja b 1, niin yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua: 1 0 0 2 x 1 = 2 0 1 0 2 x 2 = 2 0 0 0 b 1 0 = b 1 0. Jos a = 0 ja b = 1, niin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua: 1 0 0 2 x 1 = 2 0 1 0 2 x 2 = 2 0 0 0 0 x 3 R. 25 / 25