Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha z mo liwoœci¹ zastosowania w systemach rozproszonych

AUTOMATYKA 2008 Tom 12 Zeszyt 2 Andrzej Tutaj* Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha z mo liwoœci¹ zastosowania w systemach rozproszonych 1. Wstêp Sterowanie w uk³adach z opóÿnieniem przedstawia zazwyczaj wiêksz¹ trudnoœæ ni w systemach, w których ono nie wystêpuje. W klasycznym uk³adzie regulacji, zaprojektowanym bez uwzglêdniania opóÿnienia, jego wprowadzenie mo e dzia³aæ destabilizuj¹co lub pogarszaæ jakoœæ sterowania. Dlatego w przypadku istotnie du ych opóÿnieñ wykorzystywane s¹ uk³ady specjalne. Popularnym przyk³adem jest predyktor Smitha ([6], s. 224; [7], s. 202). Prawid³owo zaprojektowany predyktor gwarantuje zachowanie stabilnoœci i jakoœci regulacji, jeœli opóÿnienie obiektu jest sta³e. Gdy jednak opóÿnienie zmienia siê w czasie, mo e dojœæ do pogorszenia jakoœci pracy uk³adu oraz utraty stabilnoœci. Z takim problemem mo na siê spotkaæ w rozproszonych systemach sterowania [4], w których opóÿnienia wnoszone przez sieæ telekomunikacyjn¹ ulegaj¹ wahaniom, stosownie do zmieniaj¹cych siê warunków obci¹ enia sieci [1]. Niekorzystnym zjawiskom towarzysz¹cym zmianom opóÿnienia mo na przeciwdzia- ³aæ stosuj¹c adaptacyjny uk³ad regulacji, dopasowuj¹cy siê w sposób ci¹g³y do zmieniaj¹cych siê opóÿnieñ. Przyk³ad takiego uk³adu podany jest w artykule [5]. Bazuje on na regulatorze PID i ma zastosowanie do przypadku wolnozmiennego opóÿnienia, które podlega ustawicznej identyfikacji. Do pomiarów opóÿnienia autorzy zaproponowali odrêbny podsystem. Mo e on dzia³aæ na przyk³ad na zasadzie pomiaru czasu przesy³u przez sieæ tam i z powrotem pakietu testowego, wysy³anego specjalnie w tym celu. Niniejsza praca opisuje uk³ad, w którym wykorzystano predyktor Smitha, a opóÿnienie identyfikowane jest na podstawie sygna³u wyjœciowego obiektu. Nie zachodzi wiêc koniecznoœæ stosowania dodatkowych systemów monitoruj¹cych stan sieci. Organizacja dalszej czêœci artyku³u jest nastêpuj¹ca. W rozdziale Struktura uk³adu regulacji przedstawiono schemat blokowy adaptacyjnego predyktora Smitha oraz opisano funkcje jego elementów. Rozdzia³ Dobór nastaw regulatora opisuje sposób projektowania * Katedra Automatyki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 211

212 Andrzej Tutaj regulatora z u yciem metody lokowania zer i biegunów. O metodach analizy stabilnoœci predyktora w wersji nieadaptacyjnej traktuje rozdzia³ Stabilnoœæ. Metodê wyznaczania estymaty opóÿnienia uk³adu przedstawiono w rozdziale Uk³ad identyfikacji opóÿnienia. W rozdziale Przyk³ad symulacyjny opisano symulacyjne testy pewnego uk³adu regulacji i zamieszczono ich wyniki. W rozdziale Analiza stabilnoœci wyznaczono na dwa sposoby estymaty obszarów stabilnoœci predyktora nieadaptacyjnego, korzystaj¹c z metod opisanych wczeœniej w rozdziale Stabilnoœæ. Rozdzia³ Wyniki symulacji prezentuje rezultaty badañ symulacyjnych z wykorzystaniem pakietu MATLAB-Simulink. Rozdzia³ Zastosowanie w systemach rozproszonych sygnalizuje mo liwoœæ u ycia prezentowanego uk³adu w przypadku, gdy opóÿnienia wnoszone s¹ przez sieæ telekomunikacyjn¹. Podsumowanie zawarte jest rozdziale Uwagi koñcowe, a ca³oœæ zamyka spis literatury. 2. Struktura uk³adu regulacji Konstrukcja opisanego w artykule adaptacyjnego uk³adu regulacji bazuje na strukturze klasycznego predyktora Smitha ([6], s. 224; [7], s. 202), pokazanego na rysunku 1. Znaczenie u ytych na nim symboli jest nastêpuj¹ce: C(s) to transmitancja regulatora, P(s) i h to odpowiednio wymierny (iloraz wielomianów) czynnik transmitancji obiektu oraz opóÿnienie transportowe, zaœ P ˆ s i h ˆ to ich estymaty u yte w predyktorze. Rys. 1. Klasyczny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha. Punkt B wskazuje miejsce przerwania pêtli sprzê enia zwrotnego przy badaniu stabilnoœci metod¹ Nyquista, opisan¹ w dalszej czêœci artyku³u Jeœli w uk³adzie regulacji ma miejsce zgodnoœæ modelu z obiektem, czyli zachodz¹ równoœci P ˆ s = P s, h ˆ = h, to transmitancja zamkniêtego uk³adu regulacji wyra a siê wzorem C s P s sh Gzh s = e. 1 + C s P s Od transmitancji G z (s) klasycznego uk³adu regulacji dla obiektu bez opóÿnienia, przedstawionego na rysunku 3, ró ni siê ona jedynie obecnoœci¹ czynnika e sh w liczniku. Wyst¹pienie w uk³adzie niezgodnoœci Pˆ s P s lub hˆ h powoduje zmianê transmitan-

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 213 cji G zh (s) (w jej mianowniku pojawiaj¹ siê funkcje wyk³adnicze) i mo e doprowadziæ do utraty stabilnoœci. Niezgodnoœci ĥ h mo na przeciwdzia³aæ, stosuj¹c adaptacyjny uk³ad regulacji, przedstawiony na rysunku 2. Zastosowano w nim adaptacjê poœredni¹ ([9], s. 26). Ró ni siê on od wersji podstawowej z rysunku 1 u yciem podsystemu I identyfikuj¹cego w sposób ci¹g³y opóÿnienie transportowe h obiektu. Estymata ĥ tego opóÿnienia jest wykorzystywana w linii opóÿniaj¹cej, stanowi¹cej element predyktora. Dziêki ustawicznemu dostrajaniu predyktora do zmieniaj¹cego siê opóÿnienia obiektu, mo na uzyskaæ polepszenie jakoœci regulacji oraz rozszerzenie obszaru stabilnoœci kompensatora. Rys. 2. Zmodyfikowany uk³ad regulacji z adaptacyjnym predyktorem Smitha Dalej opisano sposób projektowania regulatora C(s) oraz budowê i dzia³anie bloku identyfikacji I. 3. Dobór nastaw regulatora Do wyznaczenia nastaw i struktury regulatora o jednym stopniu swobody (1DoF) mo na zastosowaæ uproszczon¹ wersjê metody lokowania zer i biegunów (ZPP) ([9], s. 118). Schemat uk³adu regulacji z obiektem bez opóÿnienia, który wykorzystano pomocniczo przy projektowaniu regulatora, przedstawiony jest na rysunku 3. Wszystkie wystêpuj¹ce na nim transmitancje maj¹ postaæ funkcji wymiernych i mo na je przedstawiæ jako stosunki wzajemnie pierwszych wielomianów P s = B s, Gz s = L s, C s = N s (1) As M s Ds Regulator C(s) dobiera siê tak, by transmitancja zamkniêtego uk³adu regulacji z obiektem P(s) by³a równa zadanej, œciœle w³aœciwej transmitancji G z (s). Jedna z postaci C(s), spe³niaj¹ca to wymaganie, dana jest wzorem C s = L s A s ( M s L s ) B s (2)

214 Andrzej Tutaj Rys. 3. Pomocniczy uk³ad regulacji wykorzystywany w metodzie lokowania zer i biegunów Poni ej podane s¹ transmitancje: G o (s) i G z (s) odpowiednio: otwartego i zamkniêtego uk³adu regulacji z tak wyliczonym regulatorem. Wartoœæ transmitancji G z (s) jest zgodna z za³o eniami projektowymi (1). Transmitancja G o (s), podobnie jak G z (s), jest œciœle w³aœciwa. L s Go s L s Go s =, Gz s = = M s L s 1+ G s M s Jeœli dodatkowo za ¹daæ, by transmitancja regulatora C(s) wyra a³a siê u³amkiem w³aœciwym (o stopniu licznika niewiêkszym od stopnia mianownika), musi byæ spe³niona nierównoœæ (4), narzucaj¹ca ograniczenia na zadan¹ transmitancjê G z (s). Nale y je uwzglêdniæ w procesie projektowania. ( ) deg L s + deg A s deg M s L s + deg B s (4) o (3) 4. Stabilnoœæ Analiza stabilnoœci uk³adu regulacji z opóÿnieniem nie jest zagadnieniem ³atwym, bowiem równanie charakterystyczne zamkniêtego uk³adu regulacji jest transcendentne ([3], s. 148; [7], s. 20), a quasi-wielomian charakterystyczny posiada nieskoñczenie wiele pierwiastków. Uk³ad regulacji z prawid³owo zaprojektowanym predyktorem Smitha pozostaje stabilny, jeœli tylko u yty w predyktorze model jest zgodny z obiektem: P ˆ s = P s, h ˆ = h (porównaj dyskusjê w pracy ([6], s. 227), gdzie podano definicjê i warunek praktycznej stabilnoœci). Niezgodnoœæ modelu i obiektu mo e doprowadziæ do utraty stabilnoœci. W praktyce rozpatruje siê trzy typy niezgodnoœci: 1) Niezgodnoœæ czasu opóÿnienia przy jednakowych czynnikach wymiernych transmitancji: P ˆ s = P s, h ˆ h. 2) Niezgodnoœæ czynników wymiernych przy jednakowym czasie opóÿnienia: P ˆ s P s, h ˆ = h. 3) Jednoczesn¹ niezgodnoœæ czynnika wymiernego i czasu opóÿnienia: P ˆ s P s, h h. ˆ

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 215 Analiza ostatniego przypadku jest najbardziej z³o ona. Najczêœciej prowadzi siê analizê przypadku pierwszego, w myœl pogl¹du, i niezgodnoœæ czasu opóÿnienia rodzi wiêksze ryzyko utraty stabilnoœci ni niezgodnoœæ czynnika wymiernego. Dalej przedstawione zostan¹ dwa sposoby badania stabilnoœci w sytuacji niezgodnoœci tylko czasów opóÿnienia. 4.1. Metoda pierwsza (Nyquista) Do zbadania stabilnoœci uk³adu regulacji z predyktorem Smitha mo na wykorzystaæ twierdzenie Nyquista ([8], s. 99) w wersji dla obiektów z opóÿnieniem ([3], s. 188). Badaniu podlega transmitancja otwartego uk³adu regulacji z rysunku 1, opisana wzorem (5a). Odpowiada ona przypadkowi, gdy pêtla sprzê enia zwrotnego przerwana zostanie w punkcie B (rys. 1). Transmitancja zamkniêtego uk³adu regulacji wyra a siê wzorem (5b). sh shˆ ( 1 ) Goh s = C s P s + e e (5a) G zh s s s = Goh 1 + G (5b) oh Badany zamkniêty uk³ad regulacji o transmitancji Gzh s jest asymptotycznie stabilny, jeœli ca³kowita zmiana argumentu wyra enia ( 1+ Goh s ) jest równa 2πp, gdy s obiega jednokrotnie kontur Nyquista Γ w dodatnim kierunku (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Liczba p to liczba biegunów transmitancji G oh (s), le ¹cych w prawej otwartej pó³p³aszczyÿnie zespolonej. Zmiana argumentu wyra enia ( 1+ Goh s ) jest proporcjonalna do liczby okr¹ eñ krzywej Nyquista, odpowiadaj¹cej transmitancji Goh s i wykreœlonej dla s obiegaj¹cego kontur Nyquista, wokó³ punktu ( 1 + j 0). Tak wiêc dla zbadania stabilnoœci mo na wykorzystaæ wykres krzywej Nyquista dla transmitancji otwartego uk³adu regulacji. Kszta³t konturu Nyquista dla przypadku, gdy otwarty uk³ad regulacji posiada biegun w zerze, przedstawiony jest na rysunku 4a, a przyk³adowa, odpowiadaj¹ca mu krzywa Nyquista na rysunku 4b. Uzyskano j¹ dla konkretnego obiektu, opisywanego w dalszej czêœci artyku³u. Kontur Nyquista musi omijaæ ³ukami o nieskoñczenie ma³ym promieniu r wszystkie bieguny transmitancji otwartego uk³adu regulacji, które le ¹ na osi urojonej. Promieñ R du ego ³uku musi byæ dostatecznie du y, by wszystkie zera wielomianów charakterystycznych uk³adów: otwartego i zamkniêtego, le ¹ce w prawej otwartej pó³p³aszczyÿnie, znalaz³y siê wewn¹trz konturu Γ. Warunek ten ³atwo spe³niæ, zak³adaj¹c, e promieñ R d¹ y do nieskoñczonoœci. Dla wyznaczenia zmiany argumentu mo na pos³u yæ siê zasad¹ argumentu ([3], s. 185), z której wynika wzór (6). Jeden z warunków stosowalnoœci tego wzoru to analitycznoœæ funkcji f (s) na konturze Γ. ' s s f Δ arg f s = d s, f s = 1+ Goh s (6) s Γ f s Γ

216 Andrzej Tutaj Do identyfikacji opóÿnienia wykorzystano metodê strojonego modelu ([3], s. 85). WskaŸnik jakoœci minimalizowany by³ uproszczon¹ metod¹ najszybszego spadku. Przy wya) b) Rys. 4. Kontur Nyquista (a) i przyk³adowa krzywa Nyquista (b) dla h = 0, 7, hˆ = 0, 4 Badaj¹c stabilnoœæ systemu nieskoñczenie wymiarowego, nale y zachowaæ ostro - noœæ, poniewa w odró nieniu od uk³adów skoñczenie wymiarowych widmo mo e zawieraæ nie tylko punkty dyskretne. Co wiêcej, w przypadku systemu nieskoñczenie wymiarowego (a takim jest uk³ad z opóÿnieniem), nie zawsze widmo punktowe determinuje wyk³adnicze zachowania trajektorii czasowych. 4.2. Metoda druga Do badania stabilnoœci uk³adu regulacji z predyktorem mo na wykorzystaæ dwa podane ni ej twierdzenia, zamieszczone w pozycji ([6], s. 227). Obowi¹zuj¹ one dla przypadku jednakowych wymiernych czynników transmitancji obiektu i modelu P ˆ s = P s, gdy ró ne s¹ jedynie czasy opóÿnienia h ˆ h. ( ) Twierdzenie 1 Zamkniêty system regulacji z predyktorem Smitha jest asymptotycznie stabilny dla dowolnego Δ h= h h ˆ, jeœli ω 0 Q( jω ) < 1 2. Przy czym Q s jest wymiern¹ czêœci¹ transmitancji zamkniêtego uk³adu regulacji, uzyskiwanej w przypadku pe³nej zgodno- Q s = C s Pˆ s 1 + C s Pˆ s. œci modelu z obiektem: Twierdzenie 2 lim ω < 1 2 przy ω, to istnieje skoñczona, ω dodatnia liczba δ taka, e zamkniêty uk³ad regulacji jest asymptotycznie stabilny dla ka dego Δ h= h h ˆ, spe³niaj¹cego warunek Δ h <δ. Zgrubna i najczêœciej zachowawcza estymata δ dana jest wzorem δ=π ( 3 ω 0), gdzie ω 0 jest czêstotliwoœci¹, powy ej której modu³ Q( jω ) jest mniejszy od jednej drugiej: ω > ω0 Q( jω ) < 12. Jeœli ω 0 Q( jω) 1 oraz Q( j ) 5. Uk³ad identyfikacji opóÿnienia

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 217 prowadzaniu wzorów estymatora u yto metod optymalizacji dynamicznej ([2], s. 406). Podobna metoda identyfikacji opóÿnienia opisana jest w pracy [10]. Zasadê pracy uk³adu identyfikacji przedstawia rysunek 5. Dolny fragment uk³adu, objêty przerywan¹ lini¹, odpowiada blokowi I z rysunku 2. Sygna³ wyjœciowy y(t) obiektu porównywany jest z sygna³em w(t). Na podstawie znajomoœci chwilowej wartoœci ró nicy y(t) w(t) oraz historii zmian sygna³u v(t) na pewnym horyzoncie czasowym w przesz³oœci, algorytm identyfikacji modyfikuje transmitancjê G(s), a nastêpnie na jej podstawie wyznacza estymatê ĥ opóÿnienia. Transmitancja G(s) stanowi estymatê transmitancji e, wy- sh stêpuj¹cej w obiekcie. Rys. 5. Schemat blokowy przedstawiaj¹cy zasadê dzia³ania uk³adu identyfikacji opóÿnienia W rzeczywistoœci algorytm identyfikacji opóÿnienia zamiast na transmitancji G(s), operuje na odpowiadaj¹cej jej odpowiedzi impulsowej g(τ). Cz³on opóÿniaj¹cy jest elementem o skoñczonej odpowiedzi impulsowej, wiêc jej estymata mo e posiadaæ zwarty noœnik. W przyjêtym rozwi¹zaniu za³o ono, e odpowiedÿ impulsowa zeruje siê poza przedzia³em [0, H], gdzie H jest dodatni¹ sta³¹, nieco wiêksz¹ od najwiêkszego spodziewanego opóÿnienia obiektu. Dziêki ograniczonoœci noœnika, odpowiedÿ impulsowa g(τ) mo e byæ przechowywana w pamiêci komputera, po uprzednim zdyskretyzowaniu. W dalszych rozwa aniach za³o ono równoœæ P s i Pˆ s. Jakoœæ aproksymacji cz³onu opóÿniaj¹cego mierzono przy pomocy kwadratowego wskaÿnika jakoœci ( ) 2 0 t 1 2 1 H J( t, gt) = ( y t w t ) = y t g τ v( t τ) dτ 2 2 (7) Wystêpuje w nim ró nica miêdzy sygna³ami wyjœciowymi obiektu i modelu, dana wzorem H y t w t = y t g ( ) d 0 t τ v t τ τ [ ] τa τ g :0; H R, g : g t t t (8)

218 Andrzej Tutaj We wzorach (7) i (8) u yto indeksu t w oznaczeniu odpowiedzi impulsowej g t (τ), aby podkreœliæ, e w miarê up³ywu czasu t, kszta³t odpowiedzi impulsowej ulega zmianie. Dla ka dej chwili czasu t jest ona funkcj¹ zmiennej τ: τ = τ = % ( τ) g g t g t,. t τ 0,. WskaŸnik jakoœci ma wiêc postaæ funkcjona³u, a do poszukiwania jego minimum mo na wykorzystaæ metody optymalizacji dynamicznej ([2], s. 406). Do modyfikowania odpowiedzi impulsowej g t (τ) mo na zastosowaæ uproszczony algorytm najszybszego spadku. Jego istota polega na ustawicznym korygowaniu estymaty g t, stosownie do aktualnej wartoœci gradientu wskaÿnika jakoœci J. Wielkoœæ korekty (wariacji odpowiedzi impulsowej) dla wersji algorytmu z czasem ci¹g³ym dana jest formu³¹ W ka dej chwili t wskaÿnik jakoœci jest zale ny od funkcji g t (τ) dla [ H ] ( ) δ gt = μ g J t, gt dt (9) t Parametr μ > 0 decyduje o szybkoœci algorytmu. Gradient wskaÿnika jakoœci wyra a siê wzorem gt (, ) ( ) ( ), [ 0, ] J t g τ = y t w t v t τ τ H (10) t Do wyliczenia gradientu w chwili czasu t konieczna jest znajomoœæ wartoœci chwilowych y(t) i w(t) oraz historii zmian sygna³u v(τ) dla τ [ t H,0 ]. Po wstawieniu wzorów (8) i (10) do (9) otrzymuje siê równanie (11a). Ca³kuj¹c je w granicach od 0 do t, dostajemy wzór (11b). H ( d ) ( ) 0 H ( ξ d ) ( ) d t( )( ) δgt τ =μ y t g σ v t σ σ v t τ dt t gt g0 y g v v 0 0 (11a) τ = τ +μ ξ ( σ)( ξ σ) σ ξ τ ξ (11b) Do praktycznej realizacji algorytmu identyfikacji w komputerze konieczna jest dyskretyzacja problemu. Podlega jej zarówno argument τ odpowiedzi impulsowej, jak i czas t, w którym prowadzone s¹ obliczenia. Dla uproszczenia za³o ono jednakowy okres dyskretyzacji obu zmiennych. Dyskretyzacjê przeprowadzono, zastêpuj¹c ca³kowanie schematem prostok¹tów. W efekcie wzór (11b) przyjmuje postaæ (12b). Do praktycznej realizacji u yteczny jest przyrostowy wzór (12a) otrzymany na podstawie (11a). H H M g = g +μ y g v v n + 1, k n, k n n, j n j n k M M j= 0 (12a) g = g n 1 M H H +μ y g v v (12b) n, k 0, k i i, j i j i k M i 0 M = j= 0

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 219 We wzorach (12a) i (12b) próbki wszystkich sygna³ów o ujemnych indeksach nale y przyj¹æ za zerowe. M oznacza liczbê podprzedzia³ów o jednakowej d³ugoœci, na które dzielony jest w wyniku dyskretyzacji przedzia³ [ 0; H ]. Pozosta³e symbole u yte we wzorach (12a) i (12b) maj¹ nastêpuj¹ce znaczenie: H H H vn = v n, yn = y n, gn, k = gh k. M M n M M Dyskretyzacja zmiennych t oraz τ wp³ywa niew¹tpliwie na dok³adnoœæ oraz wyniki obliczeñ numerycznych, w których j¹ wykorzystano. Wp³ywu tego jednak nie badano i nie opisano w niniejszym artykule. OdpowiedŸ impulsowa cz³onu opóÿniaj¹cego ma postaæ dystrybucji delta Diraca, wystawionej w punkcie odpowiadaj¹cym opóÿnieniu h. Nale y oczekiwaæ, e odpowiedÿ g t (τ), uzyskiwana na drodze identyfikacji, bêdzie skupia³a siê wokó³ opóÿnienia h. W roli estymaty ĥ mo na wiêc u yæ œrodka ciê koœci wykresu funkcji g t (τ). Jest on liczony jako stosunek dwóch jej zwyk³ych momentów pierwszego i zerowego rzêdu. Dla przypadku ci¹g³ego w czasie estymatê opisuje wzór (13a), a dla przypadku zdyskretyzowanego (13b). hˆ c t H 1 H m 1 t g 0 t d g 0 t m0 t H 0 H g d 0 t g 0 t τ τ τ τ τdτ = = = τ τ τ τ dτ (13a) hˆ c n H = M M j= 0 M j= 0 j g g nj, nj, (13b) Inny sposób liczenia estymaty polega na znalezieniu po³o enia maksimum wykresu odpowiedzi impulsowej g t (τ). W wersjach: ci¹g³ej i dyskretnej w czasie metodê tê opisuj¹ nastêpuj¹ce wzory: ˆm h t = arg max gt τ (14a) τ [ 0, H ] ˆ m H hn = arg { max g M j 0,1, K, M} n, j (14b) W dalszej czêœci artyku³u, ilekroæ zajdzie potrzeb rozró nienia estymat ze wzorów (13) i (14), pierwsza z nich oznaczona bêdzie symbolem ˆ c h, a druga ˆ m h.

220 Andrzej Tutaj 6. Przyk³ad symulacyjny Dzia³anie opisanego wy ej uk³adu przetestowano symulacyjnie w œrodowisku obliczeñ numerycznych MATLAB/Simulink. Badania prowadzono dla obiektu P(s) o transmitancji danej wzorem (15a) i regulatora C(s) opisanego wzorem (15b). Regulator wyliczono opisan¹ wczeœniej metod¹ lokowania zer i biegunów, zak³adaj¹c e transmitancja G z (s) w formule (3) ma wartoœæ dan¹ równoœci¹ (15c). Jest to transmitancja obiektu inercyjnego drugiego rzêdu o dwóch identycznych sta³ych czasowych równych 1/6. = 2 P s s 4 s + 19,3 + 0,833s+ 0,167 2 s + 0, 833s+ 0,167 C s = 3 2 0,111s + 1, 87 s + 6, 44s Gz 1 0,0278s + 0,333s+ 1 s = 2 (15a) (15b) (15c) Stabilnoœæ uk³adu regulacji z obiektem (15a) i regulatorem (15b) zosta³a zbadana za pomoc¹ dwóch metod opisanych w rozdziale czwartym. Wyniki przedstawione s¹ poni ej. Dzia³anie uk³adu regulacji zosta³o te przetestowane symulacyjnie. Rezultaty zaprezentowane s¹ w jednym z kolejnych rozdzia³ów. 7. Analiza stabilnoœci Stabilnoœæ uk³adu z rysunku 1, opisanego równaniami (15), zbadano przy u yciu dwóch opisanych wczeœniej metod. Celem analizy by³o wyznaczenie, dla jakich ró nic miêdzy opóÿnieniem h a jego estymat¹ ĥ uk³ad pozostanie asymptotycznie stabilny. 7.1. Metoda pierwsza (Nyquista) Dalej opisana jest procedura numeryczna, pozwalaj¹ca orientacyjnie wyznaczyæ estymatê obszaru stabilnoœci w przestrzeni parametrów ( hh, ˆ) obiektu i jego modelu. Obliczenia prowadzono dla konkretnej postaci transmitancji Ps, danej wzorem (15a) i za³o ono równoœæ wymiernego czynnika transmitancji obiektu i modelu Ps = Ps ˆ. Wykorzystano twierdzenie Nyqusta ([3], s. 188; [8], s. 99) i wzór (6) pochodz¹cy z zasady argumentu ([3], s. 185). Badaniu podlega³a transmitancja otwartego uk³adu regulacji z rysunku 1, opisana wzorem (5a). 1 ( ˆ ) sh sh = + 2 Goh s 1 e e. 0,0278s + 0,333s

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 221 Transmitancja G oh (s) posiada dwa ró ne bieguny rzeczywiste. Jeden z nich jest zerowy, a wiêc le y na osi urojonej. Na p³aszczyÿnie 0hh ˆ wyznaczono kwadrat o boku 3, opisany iloczynem kartezjañskim [ 0, 3] [ 0, 3 ]. Nastêpnie podzielono go równomiern¹ siatk¹. Dla par wspó³rzêdnych ( hh, ˆ) ka dego z jej punktów kratowych wyliczono numerycznie krzyw¹ Nyquista, odpowiadaj¹c¹ konturowi Nyquista przedstawionemu na rysunku 4a. Jedn¹ z tych krzywych zamieszczono na rysunku 4b. Kontur omija ³ukiem o nieskoñczenie ma³ym promieniu pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych, gdy transmitancja G oh (s) posiada biegun w zerze. Dla ka dej krzywej Nyquista wyliczono numerycznie iloœæ okr¹ eñ wokó³ punku ( 1+ j 0 ). Wykorzystano w tym celu wzór (6) pochodz¹cy z twierdzenia zwanego zasad¹ maksimum. W numerycznej realizacji ca³kê zast¹piono schematem prostok¹tów, otrzymuj¹c wzór (16), w którym s i to kolejne punkty wybrane wzd³u konturu Nyquista Γ, a symbol Δ przy funkcji f oznacza ró nicê w przód. ( si ) ( s ) Δf Δ arg f s =, f s = 1 + Goh s, si à (16) s Γ i I f i i I Poniewa transmitancja otwartego uk³adu regulacji nie posiada biegunów w prawej otwartej pó³p³aszczyÿnie zespolonej, uk³ad regulacji opisany transmitancjami (15) jest asymptotycznie stabilny, jeœli przy obiegu przez s konturu Nyquista, ca³kowita zmiana argumentu wyra enia ( 1+ Goh s ) jest równa zeru. Transmitancja G oh (s) dana jest wzorem (5a). Wyniki dzia³ania opisanej procedury przedstawione s¹ na wykresie z rysunku 6a. Na p³aszczyÿnie 0hh ˆ zaznaczono tylko te spoœród badanych punktów, dla których zamkniêty uk³ad regulacji pozostaje asymptotycznie stabilny. Uzyskany zbiór stanowi estymatê obszaru odpornej stabilnoœci uk³adu. Jak widaæ z rysunku, dla niektórych ustaloa) b) Rys. 6. Przybli ona estymata obszaru stabilnoœci: a) uzyskana pierwsz¹ metod¹ (Nyquista); b) uzyskana drug¹ z przedstawionych metod

222 Andrzej Tutaj nych h, odpowiadaj¹ce im zbiory wartoœci h ˆ, gwarantuj¹cych asymptotyczn¹ stabilnoœæ, mog¹ byæ niespójne. Ka dy z tych zbiorów jest uni¹ kilku przedzia³ów. Podobnie, dla ustalonego h ˆ, zbiór wartoœci h gwarantuj¹cych asymptotyczn¹ stabilnoœæ mo e byæ niespójny. Przyk³adowo, dla h ˆ = 1, h musi nale eæ w przybli eniu do sumy przedzia³ów 0, 0, 225 0,6, 1,42 2,1, 2,37. ( ) ( ) ( ) 7.2. Metoda druga Dla zbadania stabilnoœci uk³adu regulacji mo na wykorzystaæ twierdzenia 1 i 2, zacytowane wczeœniej w artykule w rozdziale Stabilnoœæ. Wystêpuj¹ca w nich transmitancja Q(s) jest równa transmitancji G z (s) ze wzoru (15c) 1 Q s =. 2 0,0278s + 0,333s + 1 Rys. 7. Amplitudowa charakterystyka czêstotliwoœciowa transmitancji Q( jω) Z zamieszczonej na rysunku 7 amplitudowej charakterystyki czêstotliwoœciowej, odpowiadaj¹cej transmitancji Q(s), widaæ, e nie jest spe³niony warunek ω 0 Q( jω ) < 1 2, wystêpuj¹cy w twierdzeniu 1. Spe³nione s¹ natomiast warunki z twierdzenia 2: ω 0 Q( jω) 1 oraz lim Q( jω ) < 1 2 przy ω. Wynika st¹d, e istnieje pewna niezerowa strefa tolerancji δ dla b³êdu Δh estymaty opóÿnienia h ˆ, w której uk³ad pozostaje asymptotycznie stabilny. Jej oszacowanie dane jest wzorem δ=π ( 3 ω0 ), gdzie ω 0 jest czêstotliwoœci¹, powy ej której Q( jω) 1 2 Dla badanego uk³adu ω 0 6,02, a st¹d δ 0,174. Wyznaczona w ten sposób estymata obszaru stabilnoœci stanowi obszar miêdzy dwoma ukoœnymi odcinkami na rysunku 6b. Z porównania dwóch wykresów z rysunku 6 widaæ, e w rozwa anym kwadracie estymata otrzymana pierwsz¹ metod¹ jest wyraÿnie wiêksza w stosunku do drugiej. Znaczna ró nica powierzchni obu estymat potwierdza uwagê zawart¹ w podrozdziale 4.2. Opisane tam oszacowanie jest zazwyczaj bardzo zachowawcze, podczas gdy estymata wyznaczony za pomoc¹ twierdzenia Nyquista nie podlega podobnemu ograniczeniu.

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 223 8. Wyniki symulacji Symulacyjny model uk³adu regulacji, zbudowany w Simulinku, przedstawiony jest na rysunku 8. Algorytm identyfikacji opóÿnienia zaimplementowano w postaci S-funkcji zapisanej w M-pliku funkcyjnym. Rys. 8. Model uk³adu regulacji w Simulinku Wartoœci¹ zadan¹ r(t) dla uk³adu regulacji podczas symulacji by³ symetryczny przebieg prostok¹tny o podanej poni ej amplitudzie i czêstotliwoœci: Ar = 1, fr = 0,15. Dla porównania badano równie pracê uk³adu dla sinusoidalnego przebiegu wartoœci zadanej o takiej samej amplitudzie i czêstotliwoœci. Wartoœci parametrów algorytmu identyfikacji opóÿnienia wspó³czynnik μ, maksymalne opóÿnienie H i iloœæ podprzedzia- ³ów M s¹ nastêpuj¹ce: μ= 0, 75, H = 2, M = 200 (17) Symulacje przeprowadzono dla dwóch przypadków: opóÿnienia sta³ego oraz zmieniaj¹cego siê powoli ze sta³¹ szybkoœci¹. Wyniki przedstawione s¹ na rysunkach 9, 10 i 11. Na wykresach z rysunku 9 umieszczono przebieg opóÿnienia ht oraz jego dwóch estymat hˆm t (po³o enie maksimum odpowiedzi impulsowej g t ) i hˆc t (œrodek ciê koœci odpowiedzi impulsowej). Wykres 9a odpowiada prostok¹tnemu przebiegowi wartoœci zadanej, a wykres 8b sinusoidalnemu.

224 Andrzej Tutaj Jak widaæ z wykresu 9a, estymata hˆc t szybciej pod¹ a za zmianami parametru obiektu ni ˆ m h t, ale okupione jest to wiêkszymi jej wahaniami wysokoczêstotliwoœciowymi. Dla sinusoidalnego przebiegu wartoœci zadanej (rys. 9b) estymata hˆc t zadowalaj¹co odwzorowuje przebieg zmian opóÿnienia, natomiast estymata hˆm t jest praktycznie bezwartoœciowa. Podczas symulacji obu przypadków z rysunku 9, predyktor wykorzystywa³ estymatê ˆ c h t. Próba u ycia estymaty hˆm t dawa³a zdecydowanie gorsze wyniki. Przebieg sygna³u wyjœciowego yt obiektu, odpowiadaj¹cy prostok¹tnemu przebiegowi wartoœci zadanej, przedstawia rysunek 10a. Dwa pozosta³e wykresy z tego rysunku otrzymano dla uk³adu bez adaptacji, w którym przyjêto sta³e wartoœci estymaty opóÿnienia. Dla h ˆ 0,7 uk³ad zachowuje stabilnoœæ, ale jakoœæ regulacji ulega wyraÿnemu pogorszeniu amplituda sygna³u wyjœciowego miejscami znacznie odbiega od amplitudy wartoœci zadanej. Dla hˆ 0,4 uk³ad regulacji traci w pewnej chwili stabilnoœæ. Podczas pracy uk³adu adaptacji, ci¹g³ym zmianom w czasie ulega estymata g t (τ) odpowiedzi impulsowej cz³onu opóÿniaj¹cego. To na jej podstawie wyznaczane s¹ estymaty hˆc oraz h ˆm opóÿnienia obiektu. Na rysunku 11 przedstawiono wykresy g t (τ) uzyskanej w ró - nych chwilach czasu. Na wykresach kó³kiem na osi odciêtych zaznaczono po³o enie estymaty ˆ c h t, wyliczanej jako œrodek ciê koœci wykresu odpowiedzi impulsowej. Po³o enie estymaty hˆm t ³atwo odnaleÿæ, gdy jest ono wyznaczone przez maksimum funkcji. a) b) Rys. 9. Przebiegi czasowe opóÿnienia (linia kreskowa) i dwóch jego estymat: hˆm t linia kropkowa) i hˆc t (linia ci¹g³a): a) wartoœæ zadana r(t) w postaci przebiegu prostok¹tnego; b) wartoœæ zadana r(t) w postaci przebiegu sinusoidalnego Na rysunku 9 przedstawiono przebiegi estymat opóÿnienia w stanach przejœciowych, gdy opóÿnienie h zmienia³o siê w czasie.

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 225 a) b) c) Rys. 10. Przebiegi czasowe sygna³u wyjœciowego obiektu dla prostok¹tnego przebiegu wartoœci zadanej (linia przerywana wartoœæ zadana, linia ci¹g³a sygna³ wyjœciowy): a) w uk³adzie adaptacyjnym (ca³oœæ oraz trzy powiêkszone fragmenty); b) w uk³adzie nieadaptacyjnym z h ˆ 0,7; c) w uk³adzie nieadaptacyjnym z h ˆ 0, 4

226 Andrzej Tutaj Rys. 11. Przebiegi odpowiedzi impulsowej gt τ dla nastêpuj¹cych chwil czasu: 40, 90, 140, 190, 240, 290, 340, 390, 440 Na wykresie z rysunku 12 pokazana jest natomiast zale noœæ estymat h ˆc oraz h ˆm od opóÿnienia h w stanie ustalonym, gdy opóÿnienie h by³o sta³e, a wartoœæ zadana mia³a przebieg prostok¹tny. Przyjêto, e stan w przybli eniu ustalony wystêpuje po up³ywie 200 sekund od pocz¹tku eksperymentu. Poniewa estymaty lekko siê wahaj¹, na wykresie umieszczono uœrednione wartoœci z przedzia³u czasu [200, 250]. By zebraæ dane do wykresu, przeprowadzono szereg eksperymentów z ró nym opóÿnieniem h, zmienianym z krokiem 0,1 lub mniejszym. Dla czêstotliwoœci f r = 0,15 wyniki wskazuj¹ na bardzo dobr¹ zgodnoœæ estymaty h ˆc oraz dobr¹ zgodnoœæ estymaty h ˆm z wartoœci¹ rzeczywist¹ h w szerokim zakresie jej zmian, z wyj¹tkiem krañców przedzia³u.

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 227 a) b) We wstêpie do artyku³u wspomniano, e opisywany tu uk³ad mo na zastosowaæ do kompensacji opóÿnieñ wnoszonych przez medium komunikacyjne w rozproszonych systemach sterowania. W wiêkszoœci przypadków opóÿnienia wnoszone przez sieæ w takich systemach nie s¹ sta³e, lecz zmieniaj¹ siê losowo z kroku na krok ([4, 1]). Wolnozmienne bywa natomiast górne ograniczenie opóÿnienia. W takich przypadkach mo na wykorzystaæ opisywany w artykule uk³ad uzupe³niony o kolejkê FIFO. Jej zadaniem jest gromadzenie nap³ywaj¹cych z sieci pakietów i równomierne w czasie przekazywanie ich dalej. W rezultacie do uk³adu regulacji docieraj¹ pakiety, których opóÿnienie podlega powolnym zmia- Rys. 12. Zale noœæ estymat od opóÿnienia w stanie ustalonym dla czêstotliwoœci przebiegu wartoœci zadanej f r = 0,15: a) estymata ˆ c h ; b) estymata h ˆm Na rysunku 13 przedstawione s¹ podobne wykresy, odpowiadaj¹ce innej czêstotliwoœci wartoœci zadanej f r = 0,35. Tym razem du o mniejszy jest b³¹d estymaty ˆ m h. Ogólnie, w miarê wzrostu czêstotliwoœci, jakoœæ estymaty h ˆc spada, a h ˆm roœnie. a) b) Rys. 13. Zale noœæ estymat od opóÿnienia w stanie ustalonym dla czêstotliwoœci przebiegu wartoœci zadanej f r = 0,35: a) estymata ˆ c h ; b) estymata h ˆm 9. Zastosowanie w systemach rozproszonych

228 Andrzej Tutaj nom w czasie, odpowiadaj¹cym w przybli eniu górnemu ograniczeniu opóÿnienia wnoszonego przez sieæ. Szybkozmienna sk³adowa opóÿnienia jest natomiast niewielka. Schemat tak zmodyfikowanego uk³adu regulacji przedstawia rysunek 14, zaœ zasadê dzia³ania kolejki ujednolicaj¹cej opóÿnienie rysunek 15. W uk³adzie z rysunku 14 sieæ komunikacyjna w³¹czona jest na drodze pakietów z czujnika S do kolejki Q. Sygna³ wyjœciowy obiektu jest próbkowany z okresem T S. Przep³yw sygna³u z predyktora Smitha C do urz¹dzenia wykonawczego A jest natychmiastowy, bez poœrednictwa sieci. Kolejka Q dzia³a wed³ug nastêpuj¹cych zasad: 1) Jeœli kolejka nie jest pusta, pakiety uwalniane s¹ z niej z czêstotliwoœci¹ f Q nieco wiêksz¹ ni czêstotliwoœæ f S wysy³ania pakietów przez czujnik S. 2) Jeœli kolejka zostanie opró niona uwolnienie pakietu nastêpuje dopiero po otrzymaniu nowego z sieci. W czasie, gdy kolejka czeka na pakiet, zatrzymywany jest zegar T Q. Taki algorytm zmniejsza szybkozmienn¹ sk³adow¹ opóÿnieñ, pozostawiaj¹c sk³adow¹ wolnozmienn¹. Uk³ad ten znajduje zastosowanie w przypadku, gdy sieæ nie gubi pakietów oraz dostarcza je chronologicznie. Na pracê kolejki Q wp³ywaj¹ zarówno zdarzenia (dotarcie nowego pakietu, gdy kolejka jest pusta), jak i zegar T Q (gdy kolejka nie jest pusta). Zegar T Q nie odmierza czasu w sposób nieprzerwany jest zatrzymywany ka dorazowo, gdy skoñczy siê oczekiwanie pustej kolejki na opóÿniony pakiet i uruchamiany ponownie, gdy pakiet dotrze po czasie oczekiwania. Rozproszony uk³ad regulacji jest z natury swojej uk³adem z czasem dyskretnym, ze wzglêdu na przesy³anie sygna³ów w postaci pakietów za poœrednictwem sieci. Na schemacie z rysunku 14 predyktor C oraz czujnik S taktowane s¹ przez zegary, które pracuj¹ synchronicznie. Rys. 14. Zmodyfikowany uk³ad regulacji dla systemu rozproszonego: A urz¹dzenie wykonawcze, P obiekt regulacji, N sieæ telekomunikacyjna, S czujnik, Q kolejka, C adaptacyjny predyktor Smitha

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 229 Rys. 15. Zasada dzia³ania kolejki ujednolicaj¹cej opóÿnienia komunikacyjne Przedstawiony w artykule adaptacyjny predyktor Smitha opisany jest równaniami z czasem ci¹g³ym oraz transmitancjami ci¹g³ymi. Do zastosowania w rozproszonym uk³adzie regulacji konieczne jest stworzenie dyskretnej wersji samego predyktora oraz algorytmu adaptacji. Ten ostatni zdyskretyzowano ju wczeœniej opisuj¹ go wzory (12a) oraz (13b) i (14b). By z nich skorzystaæ, nale y tak dobraæ parametry H i M, by ich stosunek by³ równy okresowi T S próbkowania sygna³ów przez czujnik S: TS = H M. Dodatkowo, jeœli we zworach (13b) i (14b) pomin¹æ czynnik H/M, otrzymana estymata wyra ona bêdzie w jednostkach równych okresowi próbkowania T S. Uk³ad dyskretnego predyktora Smitha (podstawowego i adaptacyjnego) otrzymuje siê z uk³adów jak na rysunkach 1 i 2, zamieniaj¹c transmitancje ci¹g³e na dyskretne. To samo sh dotyczy linii opóÿniaj¹cej cz³on e m nale y zamieniæ na z, gdzie m oznacza opóÿnienie dyskretne (wyra one wielokrotnoœci¹ okresu próbkowania). Dyskretny regulator C D (z) mo na zaprojektowaæ metod¹ lokowania zer i biegunów (w wersji dla systemów dyskretnych), wychodz¹c od dyskretnej transmitancji wymiernej czêœci obiektu P D (z). Analiza stabilnoœci uk³adu z czasem dyskretnym, w którym wystêpuje opóÿnienie, jest ³atwiejsza ni dla uk³adu z czasem ci¹g³ym, poniewa w transmitancjach nie wystêpuj¹ funkcje wyk³adnicze zmiennej zespolonej z. Zaproponowany powy ej uk³ad regulacji z adaptacyjnym predyktorem Smitha dla rozproszonego uk³adu sterowania sk³ada siê z dwóch zasadniczych elementów: predyktora Smitha w wersji z czasem dyskretnym oraz kolejki (bufora) ujednolicaj¹cej opóÿnienia wnoszone przez sieæ. Dziêki ujednoliceniu, opóÿnienia mog¹ byæ traktowane jako wolnozmienne, co pozwala wykorzystaæ adaptacyjny predyktor przedstawiony w artykule. Przyk³ady u ycia ró nego rodzaju buforów i kolejek w rozproszonych uk³adach sterowania opisane s¹ szerzej w pracy [11]. 10. Uwagi koñcowe Jeœli opóÿnienie obiektu nie jest sta³e, z up³ywem czasu zmienia siê te kszta³t odpowiedzi impulsowej g t (τ) okreœlonej wzorem (11b). Widaæ to na rysunku 11. Jednak równie w przypadku sta³ego opóÿnienia, odpowiedÿ impulsowa podlega ustawicznym zmianom.

230 Andrzej Tutaj Rysunek 16 przedstawia ewolucjê odpowiedzi impulsowej w czasie dla przypadku sta- ³ego opóÿnienia h = 0,6. Zjawisko to niesie z sob¹ niebezpieczeñstwo nadmiernego wzrostu amplitudy odpowiedzi impulsowej. Jednym ze sposobów przeciwdzia³ania mo e byæ na przyk³ad podzielenie odpowiedzi impulsowej przez dwa, jeœli jej amplituda przekroczy zadan¹ wartoœæ progow¹. Ze wzoru (11) wynika, e o szybkoœci, z jak¹ modyfikowana jest odpowiedÿ impulsowa g t (τ), decyduje miêdzy innymi wspó³czynnik μ. Na szybkoœæ tê ma te wp³yw amplituda sygna³u wyjœciowego z obiektu y(t) i jego modelu v(t). Amplitudy te zale ¹ od amplitudy A r sygna³u wartoœci zadanej r(t). Uproszczona analiza wzoru (11) prowadzi do wniosku, e dla zachowania sta³ej szybkoœci zmiany g t (τ), sta³¹ wartoœæ musi 2 mieæ iloczyn μ A r. St¹d wspó³czynnik μ powinien byæ w przybli eniu odwrotnie proporcjonalny do kwadratu amplitudy sygna³u wartoœci zadanej: μ μ 0 A r, gdzie μ 0 2 jest parametrem algorytmu. Rys. 16. Kszta³t odpowiedzi impulsowej dla sta³ego opóÿnienia w kolejnych chwil czasu: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 5; 7,5; 10; 15; 25; 50; 100; 150; 200; 250; 300; 400 Opisany w artykule uk³ad jest systemem adaptacyjnym, dlatego dla prawid³owego dzia³ania wymaga on nieustannie zmieniaj¹cego siê sygna³u wartoœci zadanej ([9], s. 80). Podczas symulacji, których wyniki zamieszczono powy ej, warunek ten by³ spe³niony, poniewa sygna³ wartoœci zadanej mia³ przebieg prostok¹tny o dostatecznie du ej czêstotliwoœci. Testy symulacyjne ujawni³y, e równie dla sinusoidalnego przebiegu wartoœci zadanej uk³ad identyfikacji dzia³a poprawnie. Przedstawiony w artykule algorytm jest stosunkowo z³o ony i wymaga du ej mocy obliczeniowej procesora, na którym jest wykonywany. Dla wyznaczenia estymaty opóÿnienia w ka dym kroku konieczne jest kilkukrotne wyliczanie wieloelementowych sum ze wzorów (12) i (13). Wymagany jest równie stosunkowo du y obszar pamiêci dla zapisania odpowiedzi impulsowej oraz historii zmian kilku sygna³ów na odcinku czasu [t H, t].

Adaptacyjny uk³ad regulacji z predyktorem Smitha... 231 Symulacja numeryczna 450-sekundowego odcinka czasu zajmuje 40 sekund na komputerze klasy PC z procesorem AMD Athlon XP 1700. Praktyczna realizacja uk³adowa regulatora by³aby naj³atwiejsza na komputerze PC, który dysponuje dostateczn¹ moc¹ obliczeniow¹ i pamiêci¹ oraz umo liwia zapis z³o onych algorytmów. Próba wykorzystania programowalnych sterowników logicznych mog³aby napotkaæ na przeszkody. W opisanym w artykule uk³adzie, do identyfikacji opóÿnienia wykorzystywany jest uproszczony algorytm najszybszego spadku. Wybrano go, poniewa jest ³atwy w implementacji i daje zadowalaj¹ce wyniki. Zastosowanie bardziej z³o onych metod optymalizacji mog³oby poprawiæ efekty identyfikacji, jednak wi¹ e siê ze skomplikowaniem algorytmu i znacz¹cym zwiêkszeniem i tak ju du ego zapotrzebowania na moc obliczeniow¹ komputera. Literatura [1] Bauer P.H., Sichitiu M.L., Premaratne K., On the nature of the time-variant communication delays. IASTED Conference Modeling, Identification and Control, Innsbruck, Austria 2001, 792-797. [2] Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A., Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji. Warszawa, Pañstwowe Wydawnictwo Naukowe 1977. [3] Górecki H., Analiza i synteza uk³adów regulacji z opóÿnieniem. Warszawa, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 1971. [4] Grega W., Problemy rozproszonej regulacji cyfrowej. PAR: Pomiary Automatyka, Robotyka, nr 1, 2001, 15 20. [5] Grega W., Rotter P., Regulacja adaptacyjna dla rozproszonego uk³adu sterowania. Automatyka: pó³rocznik Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanis³awa Staszica w Krakowie, t. 6 z. 2, 2002, 219 235. [6] Levine W.S. (ed.), The Control Handbook. New York, RC Press 1996. [7] Marshall J.E., Górecki H., Korytowski A., Walton K., Time-Delay Systems: Stability and Performance Criteria with Applications. New York, Ellis Horwood 1992. [8] Mitkowski W., Stabilizacja systemów dynamicznych. Warszawa, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 1991. [9] Niederliñski A., Moœciñski J., Ogonowski Z., Regulacja Adaptacyjna. Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN 1995. [10] Tutaj A., System lokalizacji akustycznej. Automatyka: pó³rocznik Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanis³awa Staszica w Krakowie, t. 8 z. 1, 2004, 103 113. [11] Tutaj A., Packets buffering in network traffic in distributed control systems, MMAR 2006: 12th IEEE international conference on Methods and Models in Automation and Robotics, Miêdzyzdroje, Technical University of Szczecin, Institute of Control Engineering, Miêdzyzdroje.

232 Andrzej Tutaj