Symbolinen mallintaminen: tausta. Kognitiivinen mallintaminen I. Symbolisysteemin hypoteesi. Symbolisysteemi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Symbolinen mallintaminen: tausta. Kognitiivinen mallintaminen I. Symbolisysteemin hypoteesi. Symbolisysteemi"

Transkriptio

1 Kognitiivinen mallintaminen I Luento II Symbolinen mallintaminen Tausta Symbolinen mallintaminen: tausta Symbolisysteemin hypoteesi LOT von Neumannin arkkitehtuuri (Rationaalinen agentti) Symbolisysteemin hypoteesi Newell ja Simon antoivat formaalin muodon kognitiotieteen komputationaaliselle mallille: symbolisysteemin hypoteesin (symbol system hypothesis). "A physical symbol system has the necessary and sufficient means of general intelligent action." (Newell & Simon 1976: Computer Science as Empirical Inquiry: Symbols and search. Idea symbolisysteemistä syntyi jo aiemmin.) Mitä tarkoitetaan symbolisysteemillä? Symbolisysteemi "A physical symbol system consists of a set of entities, called symbols, which are physical patterns that can occur as components of another type of entity called an expression (or symbol structure). [...] Besides these structures, the system contains also a collection of processes that operate on expression to produce other expressions: process of creation, modification, reproduction and destruction. A physical symbol system is a machine that produces through time an evolving collection of symbol structures." (Newell & Simon 1976) symbolit ja symbolirakenteet prosessit jotka operoivat symbolirakenteilla: prosessit voivat luoda, muuttaa, kopioida ja poistaa symboleja ja symbolirakenteita. Saara Huhmarniemi 1

2 Symbolisysteemi Newell Physical symbol systems: Fysikaaliset symbolisysteemit ovat universaalikoneita (en mielessä). Symbolirakenteet voivat olla representaatioita ympäristöstä, tai sitten ne voivat edustaa prosesseja joita symbolisysteemi tulkitsee ja suorittaa (designate objects, interpret processes). Toimiakseen käytännössä symbolisysteemin tulisi myös omaksua tietoa ympäristöstä ja tuottaa toimintoja jotka vaikuttavat ympäristöön. Symbolisysteemin hypoteesi Hypoteesin mukaan ajattelu on siis symbolien ja symbolirakenteiden järjestelyä annetun ohjelman mukaan. Newellille ja Simonille symbolit ja symbolirakenteet ovat todellisia fysikaalisia olioita. Ne ovat aineellisen systeemin merkityksettömiä tiloja. (Erotuksena matematiikan tai logiikan abstrakteille symboleille) Symbolit ja niille suoritettavat operaatiot ovat kuitenkin semanttisesti tulkittavissa. Monitoteutuvuusperiaate Symbolien monitoteutuvuusperiaate: symbolilla voi olla erilaisia fysikaalisia toteutuksia. Näin aivot olisivat orgaaninen symbolisysteemin toteutus. Symbolisysteemin määritelmä on laaja, esimerkiksi tietokoneet (von Neumannin kone) ja ovat fysikaalisia symbolisysteemejä. The Language of Thought Combinatorial syntax Compositional semantics Brain's symbol manipulation is languagelike. Relation of LOT to natural language is an open issue. Saara Huhmarniemi 2

3 The Language of Thought Combinatorial syntax: Formal properties of representations are such that constituent representations can be combined according to rules specifying allowed modes of combination into complex representations (cf. wff). Rules are specified over representational elements that are shared by different complex representations and different individuals. The Language of Thought Compositional semantics: the meaning of a complex representation is determined by the meanings of its constituents and its mode of combination (and only them) what determines the meaning of primitive representations? conceptual role? representation-world relation? teleological function? grounding problem, problem of intrinsic intentionality, narrow vs. broad content, naturalizing semantic properties The Language of Thought Accounts for productivity and systematicity of cognition productivity: it is possible (in principle) to represent an infinite number of propositions with a finite architecture systematicity: being able to represent proposition P guarantees being able to represent a certain class of propositions Q, but not others R. An account of systematicity tells you which propositions Q, R are or are not thus systematically related to P (and what it is about the architecture that makes it so). Ongelman formaali esitys Ongelmalla on potentiaalisesti ääretön joukko syötteitä. (tapauksia) Ongelman ratkaisu on algoritmi, joka liittää jokaiseen syötteeseen sen oikean vastauksen. Syötteiden ja vastausten on oltava äärellisesti esitettäviä. Laskentalaitteesta riippumaton esitys Saara Huhmarniemi 3

4 Laskennallinen ongelma Laskennallinen ongelma on mikä tahansa kuvaus: " : # * $ % * millä tahansa *,Γ *, jossa * on aakkoston (äärellisten) merkkijonojen joukko. Jokainen! syötejoukon merkkijono siis kuvautuu jollekin tulosjoukon merkkijonolle. Päätösongelma on kuvaus " : # * $ {0,1} ella voidaan laskea kaikki algoritmisesti laskettavat funktiot. Algoritmilla tarkoitetaan kokoelmaa yksinkertaisia sääntöjä, joiden avulla voidaan mekaanisesti ratkaista annettu tehtävä. Historiaa: Tavoitteena oli selvittää vastaus nk. Hilbertin kymmenenteen ongelmaan (David Hilbert 1900): Kehitä yleinen menetelmä, jolla voidaan aina selvittää, onko annetulla usean muuttujan kokonaislukukertoimisella polynomilla sellaista nollakohtaa, jossa kaikki muuttujat ovat kokonaislukuja.! en historiaa Hilbertin 10. ongelma on siis löytää algoritmi joka sanoo polynomista, onko sillä kokonaislukuja nollakohtina. 3 2 Esimerkiksi polynomilla x! 2y vastaus on kyllä (esim. x=2, y=2), sen sijaan polynomilla x 2! 2 vastaus on ei. Monimutkaisilla polynomeilla ei ongelma ole yhtä selvä: x yz + 3xy! x! 10 en historiaa Nykyään tiedetään, ettei Hilbertin 10. ongelmaan ole ratkaisua, sitä on mahdotonta ratkaista algoritmisesti. Ongelman ratkaisu vaati kuitenkin algoritmin käsitteen tarkemman määrittelyn Alonzo Church ja Alan Turing esittelivät molemmat määritelmän algoritmille. Churchin systeemi perustui λ-laskentaan ja Turingin koneisiin. Church-Turing teesi: kaikki algoritmisesti laskettavat funktiot voidaan laskea ella. (Churchin menetelmä on ekvivalentti.) Saara Huhmarniemi 4

5 Hilbertin ongelma voidaan muotoilla myös seuraavasti: Onko olemassa yleistä ratkaisualgoritmia, jolla voi ratkaista minkä tahansa matemaattisen ongelman? Vastaus on ei. On olemassa ongelmia, joita ei voida ratkaista algoritmisesti. on kuin äärellinen automaatti mutta sen muisti on rajoittamaton. en muisti on äärimmäisilleen yksinkertaistettu muistin malli. Se on nauha, joka sisältää merkkejä. Aluksi koneen nauhalla on ainoastaan syötemerkkijono. Kone lukee muistia tai kirjoittaa muistiin merkki kerrallaan ja voi liikkua yhden askeleen kerrallaan oikealle (R) tai vasemmalle (L). Koneen toiminta voidaan mallintaa tila-automaattina. Jokaisessa tilassa kone lukee yhden merkin, kirjoittaa yhden merkin ja siirtyy joko oikealle tai vasemmalle. Käsiteltyään merkin kone pyyhkii sen yli. Koneen laskenta päätyy joko hyväksyvään tai hylkäävään tilaan, muuten laskenta jatkuu pysähtymättä. Tarkastellaan konetta, joka tunnistaa kielen B = {w#w w on aakkoston {0,1} merkkijono} Eli merkkijonot, jotka sisältävät kaksi samaa merkkijonoa peräkkäin, eroteltu merkillä #. Saara Huhmarniemi 5

6 B = {w#w w:n aakkosto on {0,1}} nauha: _ # en algoritmi voidaan hahmotella seuraavasti: 1. Liiku nauhalla edestakaisin #-symbolin molemmilla puolilla ja tarkista että merkit ovat samat. Jos ovat, pyyhi merkit yli. Jos ei, hylkää merkkijono. 2. Kun kaikki merkit vasemmalla puolella on käyty läpi, tarkista, ettei #-symbolin oikealla puolella ole enempää merkkejä. Jos on, hylkää merkkijono. Muuten hyväksy merkkijono. B = {w#w w:n aakkosto on {0,1}} _ # _x # _x # x _x # x _x x # x _x x # x x _x x x x x x # x x x x x x hyväksyvä lopputila. : Tilojen joukko Q aakkosto, joka sisältää tyhjän symbolin _ Nauha Tilasiirtymät, jotka kuvaavat luetun merkin perusteella, mitä kirjoitetaan ja mihin suuntaan siirrytään (L,R). (kone kirjoittaa aina) Esim: A: 1/0, R, B Kun tilassa A luetaan merkki 1: kirjoitetaan merkki 0, siirrytään nauhalla yksi merkki oikealle ja tilaan B. Alkutila hyväksyvä lopputila hylkäävä lopputila B = {w w sisältää täsmälleen yhden merkin #} Aakkosto: {0,1,x,_} Tilojen joukko: Q= {A, B, C, HALT, FINAL} Alkutila: A Hyv. lopputila: FINAL Hylkäävä lopputila: HALT A: 0/0, R, A A: 1/1, R, A A: #/#, R, B B: 0/0, R, B B: 1/1, R, B B: _/_, L, FINAL B: #/#, R, HALT Saara Huhmarniemi 6

7 B = {w#w w:n aakkosto on {0,1}} Tilojen joukko: Q= {A, B, C, D, E, F, G, H, FINAL, HALT} Tilasiirtymät: A: 0/x, R, B A: 1/x, R, C A: #/#, R, H B: 0/0, R, B B: 1/1, R, B B: #/#, R, D C: 0/0, R, C C: 1/1, R, C C: #/#, R, E D: x/x, R, D D: 0/x, L, F E: x/x, R, E E: 1/x, L, F F: 0/0, L, F F: 1/1, L, F F: x/x, L, F F: #/#, L, G G: 0/0, L, G G: 1/1, L, G G: x/x, L, A H: x/x, R, H H: _/_, L, FINAL Hahmotellaan tilasiirtymäkaavio ongelmalle n B = {0 1 Kieleen kuuluvia merkkijonoja on esimerkiksi 0011, 01, n } n n B = {0 1 } nauha Ratkeavuus M voi jättää hyväksymättä merkkijonon joko joutumalla hylkäävään lopputilaan tai jäämällä ikuiseen silmukkaan. Totaalinen pysähtyy joko hyväksyvään tai hylkäävään lopputilaan. Päätösongelmia kutsutaan ratkeaviksi. (rekursiiviset kielet) Ongelmia, joissa pysähtyy ainoastaan myönteisissä tapauksissa kutsutaan osittain ratkeaviksi. (rekursiivisesti numeroituvat kielet) Saara Huhmarniemi 7

8 Ratkeamattomuus Algoritmin tai en toimintaa koskevat ongelmat ovat usein ratkeamattomia. en M toimintaa koskevia ominaisuuksia ovat esimerkiksi: M pysähtyy kaikilla syötejonoilla M hyväksyy jonkin syötejonon n kappaleessa askeleita. M hyväksyy äärettömän monta merkkijonoa Universaali Muodostetaan, jonka avulla voidaan tutkia iden ominaisuuksia: universaalikone. saa syötteenään koneen M koodin ja tämän syötteen w. pysähtyy vain jos M pysähtyy syötteellä w. tulostaa saman kuin M tulostaa syötteellä w. Universaalikone simuloi siis mitä tahansa Turingin konetta. Universaalikone tunnistaa jokaisen kielen, joka voidaan tunnistaa jollain ella. Pysähtymisongelma Annetaan universaalikoneelle syötteenä M ja kysytään, pysähtyykö M syötteellä w. Universaalikone suorittaa tehtävän simuloimalla M:n laskentaa syötteellä w. Kone pysähtyy hyväksyvään lopputilaan jos koneen M suoritus pysähtyy. Jos M pysähtyy syötteellä w, myös universaalikone pysähtyy. Kuitenkin jos M ei pysähdy jollain syötteellä w, ei universaalikonekaan pysähdy. Universaali Universaalilla ella voi simuloida mitä tahansa tietokoneohjelmaa. Ehtona on, että laskenta-aikaan ja muistin määrään ei kiinnitetä huomiota. Universaalin en idea on, että ohjelman suoritusohjeet on kirjoitettu samalle nauhalle kuin ohjelman syöte ja tulos. Saara Huhmarniemi 8

9 Ratkeamattomuus Pysähtymisongelma on osittain ratkeava ongelma. (osittain ratkeavatkin kuuluvat ratkeamattomiin) Joitain ratkeamattomia ongelmia: Predikaattikalkyylin ratkeamattomuus Church/Turing 1936: Ei ole olemassa algoritmia, joka ratkaisisi onko annettu ensimmäisen kertaluvun predikaattikalkyylin kaava s loogisesti tosi. Hilbertin 10. ongelma Ei ole olemassa algoritmia, joka ratkaisisi, onko annetulla kokonaislukukertoimisella polynomilla kokonaislukuratkaisuja. Ratkeamattomuus Ratkeamattomien ongelmien olemassaolo voidaan päätellä myös siitä, että iden joukko on numeroituvasti ääretön. et ovat äärellisiä. siispä voimme luetella kaikki et. Toisaalta kaikkien ongelmien joukko ei voi olla numeroituva (kaikkien päätösongelmien joukko on ylinumeroituva). Esimerkiksi jo reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Seuraus: on olemassa ongelmia, joita ei voida ratkaista en avulla. Church-Turing teesi et on malli sille, mitä voidaan laskea mekaanisesti sääntöjä seuraamalla. Teesi ei ole matemaattinen väittämä Periaatteessa voisi olla olemassa vahvempi laskulaite. (Syötteiden äärettömyys muodostuisi ongelmaksi) Chomskyn kielihierarkia (Chomsky 1956) Tyyppi 0: Rekursiivisesti lueteltavat (ja rekursiiviset) kielet: Tunnistetaan ella. Mallinnetaan rajoittamattomalla kieliopilla. Tyyppi 1: Kontekstiset kielet: Tunnistetaan lin. rajoitetulla ella (syöte rajoittaa nauhatilaa) Mallinnetaan kontekstisella kieliopilla Tyyppi 2: Kontekstittomat kielet: Tunnistetaan pinoautomaatilla (äärellisen autom. lisäksi muistipino) Mallinnetaan kontekstittomalla kieliopilla Tyyppi 3: Säännölliset kielet Tunnistetaan äärellisellä automaatilla Mallinetaan oik. lineaarisella kieliopilla Saara Huhmarniemi 9

10 Chomskyn kielihierarkia Tyypin 0 kieliin sisältyy kaikki muut tyypit jne. Kielihierarkian avulla voidaan tarkastella erilaisten laskennallisten systeemien ilmaisuvoimaa: Konnektionistiset mallit kuuluvat tyyppiin 3 (Minsky & Papert 1969, myöhemmin myös muita tuloksia) Useimmat tietokoneohjelmat kuuluvat tyyppiin 2 Luonnollinen kieli kuuluu tyyppiin 0. Symbolisessa paradigmassa oletetaan, että ihmisen kognition mallintamiseen tarvitaan oleellisesti tyypin 0 vahvuinen malli. Miksi? Laskennallisesti vaikeat ongelmat Laskennan vaativuusteoria käsittelee ongelmien ratkaisumenetelmien aikavaatimuksia. Esimerkki: kauppamatkustajan ongelma, lähde: Kauppamatkustajan on löydettävä annetun tiekartan avulla lyhin reitti, joka kulkee jokaisen kaupungin kautta. Kauppamatkustajan ongelma Ratkaisu: kokeillaan kaikki mahdolliset reitit ja valitaan lyhin. Ei onnistu käytännössä, esimerkiksi jos kaupunkeja on 22, reittejä on Jos yhden reitin laskeminen kestää 1ms, algoritmin suoritus kestää 36 mrd vuotta. P-tyyppiset ongelmat Ongelmaluokka on P-tyyppinen (polynomial time) jos sen suoritusaika kasvaa polynomisesti. Sanotaan, että funktiolla on polynominen kasvu, jos on olemassa jokin polynomi p(n), siten että Luku n, joka kuvaa ongelman suoritusaskelien määrää. Polynomissa luku n ei esiinny eksponentiaalissa. Saara Huhmarniemi 10

11 Kauppamatkustajan ongelma Kauppamatkustajan ongelmassa reittien määrä kasvaa eksponentiaalisesti. Tapahtuu "kombinatorinen räjähdys" Ongelmia, jotka kuuluvat tähän vaikeusluokkaan, kutsutaan NP-tyyppisiksi (nondeterministic polynomial time). Ne ratkaistaan arvaamalla oikeita vastauksia ja testaamalla arvauksen oikeellisuutta polynomisessa ajassa. On siis olemassa hyvin tunnettu luokka ongelmia, jotka ovat liian vaikeita tietokoneelle tai jotka ovat todistettavasti ratkeamattomia. Tarkoittaako tämä että tekoäly on mahdotonta? von Neumannin kone Lähes kaikki nykyiset tietokoneet ovat von Neumannin koneita Rakenne kontrolliyksikkö (CU) aritmeettis- looginen yksikkö (ALU) rekisterit muisti ja I/O (input-output) Data von Neumannin kone Data esitettään bittijonoina ( ) (bit=binary unit) Esimerkiksi kirjain A esitetään yhden tavun avulla (tavu (byte) on esim. 8 bittiä). Tietokoneessa bittijonot esitetään sähköisesti rekistereissä. Laskenta tapahtuu bittijonolta toiselle. Saara Huhmarniemi 11

12 Rekisteri von Neumannin kone Rekisteriin tallennetaan loogisten operaatioiden syötteet ja vasteet ennen ja jälkeen muuhun muistiin siirtämistä. Aritmeettis-looginen yksikkö Sisältää toteutukset tärkeimmistä toiminnoista, kuten loogisista operaatioista ja yhteen- ja vähennyslaskusta von Neumannin kone Kontrolliyksikkö Automaatti, joka toteuttaa koneen primitiiviset käskyt, joiden avulla laajempia ohjelmia voidaan toteuttaa. Muisti ja I/O Joukko osoitteita, joihin on sijoitettu toimintalaitteiden rekisterejä tai muistia. Jokaisella datayksiköllä ja ohjelmakomennolla on representaatio muistiyksikössä ja yksilöllinen sijainti tai osoite. RAM (Random Access Memory): muistihaut ovat toisistaan riippumattomia (toisin kuin Turingin koneessa) von Neumannin kone Kontrolliyksikkö siirtää tietoa muistista rekistereihin ja valitsee seuraavan toiminnon muistista siirretyn informaation mukaan. Bittijonoja kopioidaan muistirekistereistä eri työrekistereihin, vertaillaan työrekisterien sisältöjä ja kirjoittetaan laskennan tuloksia edelleen rekisteriin. Aivot ja tietokone? on malli mekaanisesta laskennasta. Universaalissa essa syöte ja tulos esitetään samalla tavoin kuin algoritmi, jonka kone suorittaa. Ohjelma voidaan tulkita osaksi syötettä. Sama pätee von Neumannin koneeseen. Sama idea on symbolisysteemeissä: Symbolirakenteet voivat olla representaatioita ympäristöstä, tai sitten ne voivat edustaa prosesseja joita symbolisysteemi tulkitsee ja suorittaa. Saara Huhmarniemi 12

13 sarjallinen / rinnakkainen Hermosoluverkot prosessoivat tietoa rinnakkaisesti, mikä tarkoittaa että toiminto suoritetaan osissa, yhtäaikaisesti eri puolilla verkkoa sarjallisessa prosessoinnissa tehtävä jaetaan osiin, jotka prosessoidaan peräkkäin. Aivot ja tietokone? Sarjallinen prosessointi on liian hidasta Keskusyksikkö - data -tyyppinen rakenne on hauras. Esim. yksikin nauhalla oleva virhemerkki johtaa laskennan epäonnistumiseen Digitaalinen prosessointi on joustamatonta Nauhalla oleva merkki on aina tunnistettava oikein tai laskenta epäonnistuu Rationaalinen agentti Agentti on jokin joka toimii. Joitain ominaisuuksia: autonominen kontrolli ympäristön havainnointi muutokseen sopeutuminen Rationaalinen agentti saavuttaa parhaan lopputuloksen olosuhteet huomioon ottaen. Rationaalinen agentti Rationaalinen = tehdä "järkevin" valinta Rationaalisuus kullakin ajanhetkellä riippuu neljästä asiasta: Suoritusarvo, joka määrää onnistumisen Agentin a priori tieto Agentin toimenpidevalikoima Agentin havaintohistoria Järkevyyden kriteeri = suoritusarvo (performance measure), jonka perusteella agentti arvioi toimintaansa. Saara Huhmarniemi 13

14 Rationaalinen agentti Esimerkiksi asuntoa imuroivan agentin suoritusarvo voisi olla asunnon puhtaus ajan funktiona. Suoritusarvon valinta vaikuttaa siihen, miten agentti toimii. Miten toimii agentti, jonka suoritusarvo on suorittaa mahdollisimman paljon imurointia ajan funktiona? Rationaalinen agentti Rationaalinen agentti valitsee jokaiselle havaintohistorialle toimenpiteen, joka maksimoi suoritusarvon odotusarvon. Toimenpiteen valinnassa agentti käyttää havaintohistoriaa sekä agentin a priori tietoa. Rationaalisuus? Rationaalisuus Kaikkitietävyys Ei ole mahdollista todellisuudessa Selvänäköisyys Ongelmanratkaisu Kuinka saavuttaa päämäärä joka ei ole itsestään selvästi saatavilla? suunnittelu, aikataulutus vian etsintä pelit "palapeliongelmat" Mitä kognitiivisia kykyjä tarvitaan ongelmanratkaisussa? Saara Huhmarniemi 14

Symbolinen mallintaminen: tausta. Kognitiivinen mallintaminen I. Symbolisysteemin hypoteesi. Symbolisysteemin hypoteesi

Symbolinen mallintaminen: tausta. Kognitiivinen mallintaminen I. Symbolisysteemin hypoteesi. Symbolisysteemin hypoteesi Symbolinen mallintaminen: tausta Kognitiivinen mallintaminen I Symbolinen mallintaminen 1 Tausta Symbolisysteemin hypoteesi von Neumannin arkkitehtuuri LOT Esimerkki kognitiivisesta mallista: produktiosysteemit

Lisätiedot

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen.

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = { M pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars)

Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Laura Pesola Laskennanteorian opintopiiri 13.2.2013 Formaalit kieliopit Sisältävät aina Säännöt (esim. A -> B C abc) Muuttujat (A, B, C, S) Aloitussymboli

Lisätiedot

Muita vaativuusluokkia

Muita vaativuusluokkia Muita vaativuusluokkia Käydään lyhyesti läpi tärkeimpiä vaativuusluokkiin liittyviä tuloksia. Monet tunnetuista tuloksista ovat vaikeita todistaa, ja monet kysymykset ovat vielä auki. Lause (Ladner 1975):

Lisätiedot

Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3]

Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3] Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3] Mitä algoritmilla yleensä tarkoitetaan periaatteessa: yksiselitteisesti kuvattu jono (tietojenkäsittely)operaatioita, jotka voidaan toteuttaa mekaanisesti käytännössä:

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen 1

Kognitiivinen mallintaminen 1 Kognitiivinen mallintaminen 1 syksy 2009, 1 ja 2 periodi luennot ti:13-15 Tero Hakala ( tero@haka.la) Lisäksi vierailijoita (Otto Lappi, Esko Lehtonen, ehkä muitakin) laskarit ti:15-17 Henri Kauhanen (henri.kauhanen@helsinki.fi)

Lisätiedot

Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia

Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lause: Pysähtymättömyysongelma H missä H = { w111x w validi koodi, M w ei pysähdy syötteellä x } ei ole rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Pysähtymisongelman komplementti

Lisätiedot

Chomskyn hierarkia. tyyppi 0 on juuri esitelty (ja esitellään kohta lisää) tyypit 2 ja 3 kurssilla Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit

Chomskyn hierarkia. tyyppi 0 on juuri esitelty (ja esitellään kohta lisää) tyypit 2 ja 3 kurssilla Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit Chomskyn hierarkia Noam Chomskyn vuonna 1956 esittämä luokittelu kieliopeille niiden ilmaisuvoiman mukaan tyyppi kieli kielioppi tunnistaminen 0 rekurs. lueteltava rajoittamaton Turingin kone 1 kontekstinen

Lisätiedot

6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli. H = {c M w M pysähtyy syötteellä w}

6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli. H = {c M w M pysähtyy syötteellä w} 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = {c w pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

5.3 Ratkeavia ongelmia

5.3 Ratkeavia ongelmia 153 5.3 Ratkeavia ongelmia Deterministisen äärellisten automaattien (DFA) hyväksymisongelma: hyväksyykö annettu automaatti B merkkijonon w? Ongelmaa vastaava formaali kieli on A DFA = { B, w B on DFA,

Lisätiedot

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen. Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I

Kognitiivinen mallintaminen I Kognitiivinen mallintaminen I Symbolinen mallintaminen: 2. luento Ongelmanratkaisu Ongelmanratkaisu Rationaalinen agentti Ongelma-avaruus Hakustrategiat ongelma-avaruudessa sokea haku tietoinen haku heuristiikat

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej ) 6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.

Lisätiedot

Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin?

Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin? Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin? 2013-2014 Lasse Lensu 2 Algoritmit ovat deterministisiä toimintaohjeita

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät

Lisätiedot

1. Universaaleja laskennan malleja

1. Universaaleja laskennan malleja 1. Universaaleja laskennan malleja Laskenta datan käsittely annettuja sääntöjä täsmällisesti seuraamalla kahden kokonaisluvun kertolasku tietokoneella, tai kynällä ja paperilla: selvästi laskentaa entä

Lisätiedot

Kielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri }

Kielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri } 135 4.3 Algoritmeista Churchin ja Turingin formuloinnit laskennalle syntyivät Hilbertin vuonna 1900 esittämän kymmenennen ongelman seurauksena Oleellisesti Hilbert pyysi algoritmia polynomin kokonaislukujuuren

Lisätiedot

1 Kurssin asema opetuksessa

1 Kurssin asema opetuksessa 1 Kurssin asema opetuksessa Tietojenkäsittelytieteen pääaineopiskelijoille pakollinen aineopintokurssi (3 op). Esitietovaatimukset: Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen (JTT): Laskennan, algoritmin ja

Lisätiedot

Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja

Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 581336 Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 1. S! axc X! axc X! by c Y! by c Y! " 2. (a) Tehtävänä on konstruoida rajoittamaton kielioppi, joka tuottaa kielen f0 n 1 n jn 1g. Vaihe1: alkutilanteen

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen

Lisätiedot

Laskennan teoria

Laskennan teoria 581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2003 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa esitiedot käytännössä

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

Turingin koneet. Sisällys. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi

Turingin koneet. Sisällys. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. kesäkuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja vähän muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016 ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. lokakuuta 2016 Sisällys ja ja Vuosi on 1936, eikä tietokoneita ollut. Computer oli ammattinimike. http://www.nasa.gov/centers/dryden/

Lisätiedot

TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut

TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut Pisteytys on ilmoitettu välikoevaihtoehdon mukaan (joko tehtävät 1, 2 ja 3 välikokeen 1 uusintana tai tehtävät 4, 5 ja 6 välikokeen 2 uusintana).

Lisätiedot

2. Laskettavuusteoriaa

2. Laskettavuusteoriaa 2. Laskettavuusteoriaa Käymme läpi ratkeamattomuuteen liittyviä ja perustuloksia ja -tekniikoita [HMU luku 9]. Tämän luvun jälkeen opiskelija tuntee joukon keskeisiä ratkeamattomuustuloksia osaa esittää

Lisätiedot

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Yleisesti sanomme, että ongelma P voidaan palauttaa ongelmaan Q, jos mistä tahansa ongelmalle Q annetusta ratkaisualgoritmista voidaan jotenkin muodostaa ongelmalle

Lisätiedot

Laskennan teoria

Laskennan teoria 581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2004 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa, opettajan suuntautumisvaihtoehdossa

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.

Lisätiedot

Turingin koneen laajennuksia

Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen määritelmään voidaan tehdä erilaisia muutoksia siten että edelleen voidaan tunnistaa tasan sama luokka kieliä. Moniuraiset Turingin koneet: nauha jakautuu k

Lisätiedot

2. Laskettavuusteoriaa

2. Laskettavuusteoriaa 2. Laskettavuusteoriaa Kaymme lapi ratkeamattomuuteen liittyvia ja perustuloksia ja -tekniikoita [HMU luku 9]. Taman luvun jalkeen opiskelija tuntee joukon keskeisia ratkeamattomuustuloksia osaa esittaa

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 10: Lisää ratkeamattomuudesta Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Aiheet: Pysähtymisongelma Epätyhjyysongelma Rekursiiviset

Lisätiedot

Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus.

Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 17.10.2016 klo 15:07 passed waiting redo submitters

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Laskennan perusmallit (LAP) Pekka Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen laitos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekka.t.kilpelainen@uef.fi Lukuvuosi 2013 14, III periodi Kurssin asema opetuksessa Tietojenkäsittelytieteen

Lisätiedot

Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna

Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,

Lisätiedot

Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet

Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet 186 Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet Myös säännöllisen kielen hyväksyvien Turingin koneiden tunnistaminen voidaan osoittaa ratkeamattomaksi palauttamalla universaalikielen tunnistaminen

Lisätiedot

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3 T-79.48 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Tentti 25..23 mallivastaukset. Tehtävä: Kuvaa seuraavat kielet sekä säännölisten lausekkeiden että determinististen äärellisten automaattien avulla: (a) L = {w

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on

Lisätiedot

vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS

vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 13. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 13.10.2016 klo 9:42 passed waiting redo submitters

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 20. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 20. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 20. kesäkuuta 2013 Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on muotoa Onko

Lisätiedot

4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi:

4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: T-79.148 Kevät 2004 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 12 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: Hyväksyykö annettu Turingin kone

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe , ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe , ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe 11.12., ratkaisuja Tehtävän 1 tarkasti Harri Forsgren, tehtävän 2 Joel Kaasinen ja tehtävän 3 Jyrki Kivinen. Palautetilaisuuden 19.12. jälkeen arvosteluun

Lisätiedot

Rajoittamattomat kieliopit

Rajoittamattomat kieliopit Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet

Lisätiedot

Muita universaaleja laskennan malleja

Muita universaaleja laskennan malleja Muita universaaleja laskennan malleja Tällä kurssilla Turingin kone on valittu algoritmikäsitteen formalisoinniksi. Toisin sanoen tulkitsemme, että laskentaongelmalle on olemassa algoritmi, jos ja vain

Lisätiedot

3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ]

3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ] 3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU 10.3.4] erotukseksi yleisestä CNF-esityksestä, kaikilla kaavoilla ei ole 3-CNF-esitystä; esim. x 1 x 2 x 3 x 4 esitämme muunnoksen, jolla polynomisessa ajassa mielivaltaisesta

Lisätiedot

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

Turingin koneet. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Turingin koneet. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 7. joulukuuta 2015 Sisällys Vuosi on 1936, eikä tietokoneita ollut. Computer oli ammattinimike. http://www.nasa.gov/centers/dryden/

Lisätiedot

Muunnelmia Turingin koneista sekä muita vaihtoehtoisia malleja

Muunnelmia Turingin koneista sekä muita vaihtoehtoisia malleja sekä muita TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. kesäkuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja vähän muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1) kontekstiton

Lisätiedot

Luento 6. June 1, 2015. Luento 6

Luento 6. June 1, 2015. Luento 6 June 1, 2015 Normaalimuodon pelissä on luontevaa ajatella, että pelaajat tekevät valintansa samanaikaisesti. Ekstensiivisen muodon peleissä pelin jonottaisella rakenteella on keskeinen merkitys. Aluksi

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka

Kieli merkitys ja logiikka Luento 5 Kieli merkitys ja logiikka Luento 6: Konstituentit, Lauseen derivaatio Luento 6: 107-115, Aivot ja luovuus 134-137 Lauserakennekielioppi, kontekstiton kielioppi Transformaatiot Kontekstiton kielioppi

Lisätiedot

Esimerkki 1: Kahviautomaatti.

Esimerkki 1: Kahviautomaatti. Esimerkki 1: Kahviautomaatti. ÄÄRELLISET AUTOAATIT JA SÄÄNNÖLLISET KIELET 2.1 Tilakaaviot ja tilataulut Tarkastellaan aluksi tietojenkäsittelyjärjestelmiä, joilla on vain äärellisen monta mahdollista tilaa.

Lisätiedot

TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. FT Ari Viinikainen

TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. FT Ari Viinikainen TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op FT Ari Viinikainen Tietokoneen rakenne Keskusyksikkö, CPU Keskusmuisti Aritmeettislooginen yksikkö I/O-laitteet Kontrolliyksikkö Tyypillinen Von Neumann

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 6. maaliskuuta 2012 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 6. maaliskuuta 2012 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. maaliskuuta 2012 Sisällys Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 1. Seuraavissa laskennoissa tilat on numeroitu sarakkeittain ylhäältä alas jättäen kuitenkin hyväksyvä tila välistä. Turingin koneen laskenta

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 26. kesäkuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 26. kesäkuuta 2013 ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. kesäkuuta 2013 Sisällys ja ja on yksi vanhimmista tavoista yrittää mallittaa mekaanista laskentaa. Kurt

Lisätiedot

kaikki kielet tunnistettavat A TM HALT TM { a n } { a n b n } { a n b n c n } TOTAL TM EQ TM

kaikki kielet tunnistettavat A TM HALT TM { a n } { a n b n } { a n b n c n } TOTAL TM EQ TM Kurssi tähän asti: säännölliset yhteydettömät ratkeavat { a n } { a n b n } { a n b n c n } tunnistettavat A TM HALT TM kaikki kielet A TM HALT TM TOTAL TM TOTAL TM EQ TM EQ TM 277 5. Laskennan vaativuus

Lisätiedot

ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla, joten jossain mielessä

ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla, joten jossain mielessä Edellä esitetyt kielten A TM ja HALT TM ratkeamattomuustodistukset ovat esimerkkejä palautuksesta (reduction). Intuitiivisesti ongelman A palauttaminen ongelmaan B tarkoittaa, että Oletetaan, että meillä

Lisätiedot

Induktio kaavan pituuden suhteen

Induktio kaavan pituuden suhteen Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista

Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Antti-Juhani Kaijanaho 15. maaliskuuta 2012 1 Apumääritelmä Määritelmä 1. Olkoon Σ merkistö, jolla on olemassa täydellinen järjestys ( ) Σ 2.

Lisätiedot

Kolmogorov-kompleksiteetti

Kolmogorov-kompleksiteetti Kolmogorov-kompleksiteetti Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 3. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä esitetään määritelmät merkkijonon lyhimmälle kuvaukselle sekä Kolmogorov-kompleksiteetille

Lisätiedot

9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko

9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko 9.5. Turingin kone Turingin kone on järjestetty seitsikko TM = (S, I, Γ, O, B, s 0, H), missä S on tilojen joukko, I on syöttöaakkosto, Γ on nauha-aakkosto, I Γ, O on äärellinen ohjeiden joukko, O S Γ

Lisätiedot

!""# $%&'( ' )' (*' " '' '( "! ' *'&' "! ' '( "!! )& "! # "! & "! ' "! $''!! &'&' $' '! $ & "!!" #!$ %! & '()%%'!! '!! # '&' &'!! &'&' *('(' &'!*! +& &*%!! $ & #" !!" "!!!" $ " # ' '&& % & #! # ' '&&

Lisätiedot

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento 13.4.2010 Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan

Lisätiedot

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}.

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}. 42 Turingin koneiden laajennuksia 1 oniuraiset koneet Sallitaan, että Turingin koneen nauha koostuu k:sta rinnakkaisesta urasta, jotka kaikki kone lukee ja kirjoittaa yhdessä laskenta-askelessa: Koneen

Lisätiedot

1. Universaaleja laskennan malleja

1. Universaaleja laskennan malleja 1. Universaaleja laskennan malleja Esimerkkinä universaalista laskennan mallista tarkastellaan Turingin konetta muunnelmineen. Lyhyesti esitellään myös muita malleja. Tämän luvun jälkeen opiskelija tuntee

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka. 4: Luovuus, assosiationismi. Luovuus ja assosiationismi. Kielen luovuus. Descartes ja dualismi

Kieli merkitys ja logiikka. 4: Luovuus, assosiationismi. Luovuus ja assosiationismi. Kielen luovuus. Descartes ja dualismi Luovuus ja assosiationismi Kieli merkitys ja logiikka 4: Luovuus, assosiationismi Käsittelemme ensin assosiationismin kokonaan, sen jälkeen siirrymme kombinatoriseen luovuuteen ja konstituenttimalleihin

Lisätiedot

Esitietoja? Kognitiivinen mallintaminen I. "Mallit" tieteessä. Kognitiivinen mallintaminen. Kognitiivinen mallintaminen I, kevät 2008 1/18/08

Esitietoja? Kognitiivinen mallintaminen I. Mallit tieteessä. Kognitiivinen mallintaminen. Kognitiivinen mallintaminen I, kevät 2008 1/18/08 Esitietoja? Kognitiivinen mallintaminen I http://koete.identigo.com/ Logiikka filosofia, matematiikka, muu Matematiikka lineaarialgebra, diskreetti matematiikka Tietojenkäsittelytiede laskennan teoria,

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 1 Ti 14.3.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin valinta Algoritmin analysointi Algoritmin suoritusaika Peruskertaluokkia Kertaluokkamerkinnät Kertaluokkien ominaisuuksia

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. toukokuuta 2011 Sisällys engl. random-access machines, RAM yksinkertaistettu nykyaikaisen (ei-rinnakkaisen)

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 1 Ti 6.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 1/28 p. 1/28 Numeriikan termejä Simulointi: Reaalimaailman ilmiöiden jäljitteleminen (yleensä)

Lisätiedot

10. Satunnaisalgoritmit

10. Satunnaisalgoritmit 316 10. Satunnaisalgoritmit Probabilistic algorithms, randomized algorithms Toinen tapa liiallisen laskennallisen vaativuuden kanssa toimeen tulemiseksi ovat satunnaisalgoritmit Jotkin ongelmat, joissa

Lisätiedot

4. Laskennan universaaleja malleja

4. Laskennan universaaleja malleja 99 4. Laskennan universaaleja malleja Churchin-Turingin teesi Mikä tahansa mekaanisesti ratkeava ongelma voidaan ratkaista Turingin koneella Monet mekaanisen laskennan formalisoinnit ovat laskentavoimaltaan

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 I Johdanto Sisältö 1. Algoritmeista ja tietorakenteista 2. Algoritmien analyysistä 811312A TRA, Johdanto 2 I.1. Algoritmeista ja tietorakenteista I.1.1. Algoritmien

Lisätiedot

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 20. lokakuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 20. lokakuuta 2016 .. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 20. lokakuuta 2016 Sisällys. Turingin koneiden pysähtymisongelma. Lause Päätösongelma Pysähtyykö standardimallinen

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka

Kieli merkitys ja logiikka Assosiaatiot, konstituentit Kieli merkitys ja logiikka Luento 5: Assosiaatiot, konstituentit Luento 5 125-134,, Konstituentit 104-107, Turingin kone Huom! Lukua 5.2, Assosiationismin teoriaa, ja siihen

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 3 Ti 17.1.2017 Timo Männikkö Luento 3 Algoritmin analysointi Rekursio Lomituslajittelu Aikavaativuus Tietorakenteet Pino Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 3 Ti 17.1.2017 2/27 Algoritmien

Lisätiedot

"Mallit" tieteessä Kuvaileva ja selittävä malli

Mallit tieteessä Kuvaileva ja selittävä malli Kognitiivinen mallintaminen Kognitiivinen mallintaminen I http://www.helsinki.fi/~huhmarni/cog241/ Johdanto Mallintaminen tieteellisenä metodina Kognitiotieteen mallinnusparadigmat konnektionistinen symbolinen

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit

Tietorakenteet ja algoritmit Tietorakenteet ja algoritmit Taulukon edut Taulukon haitat Taulukon haittojen välttäminen Dynaamisesti linkattu lista Linkatun listan solmun määrittelytavat Lineaarisen listan toteutus dynaamisesti linkattuna

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 1. Onko olemassa yhtenäistä verkkoa, jossa (a) jokaisen kärjen aste on 6, (b) jokaisen kärjen aste on 5, ja paperille piirrettynä sivut eivät

Lisätiedot

4. Lausekielinen ohjelmointi 4.1

4. Lausekielinen ohjelmointi 4.1 4. Lausekielinen ohjelmointi 4.1 Sisällys Konekieli, symbolinen konekieli ja lausekieli. Lausekielestä konekieleksi: - Lähdekoodi, tekstitiedosto ja tekstieditorit. - Kääntäminen ja tulkinta. - Kääntäminen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin

Lisätiedot

Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 6. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Pinoautomaatit.

Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 6. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. kesäkuuta 2013 Sisällys Aikataulumuutos Tämänpäiväinen demotilaisuus on siirretty maanantaille klo 14:15 (Ag Delta).

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

The CCR Model and Production Correspondence

The CCR Model and Production Correspondence The CCR Model and Production Correspondence Tim Schöneberg The 19th of September Agenda Introduction Definitions Production Possiblity Set CCR Model and the Dual Problem Input excesses and output shortfalls

Lisätiedot

TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. Assembly ja konekieli

TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. Assembly ja konekieli TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op Assembly ja konekieli Tietokoneen ja ohjelmiston rakenne Loogisilla piireillä ja komponenteilla rakennetaan prosessori ja muistit Prosessorin rakenne

Lisätiedot

C++11 seminaari, kevät Johannes Koskinen

C++11 seminaari, kevät Johannes Koskinen C++11 seminaari, kevät 2012 Johannes Koskinen Sisältö Mikä onkaan ongelma? Standardidraftin luku 29: Atomiset tyypit Muistimalli Rinnakkaisuus On multicore systems, when a thread writes a value to memory,

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot