(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø ÝÑ ÓÐ ÐÐ 1µ Ó ÓÐ Ö Ð ÐÙ Ùº ËÙÓØ Ú ÓÐ ØØ ³ÐÙÚÙÐÐ ³ 1 ÚÓ Ø Ò Ð ÙØ Ò Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ò Ò ÐÙ ÙÙÒ 1 Ô Ø ÚÓ Ð Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ø ØÝØÝ ÑÝ ÖØÓ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ð ÒÒ ØÙÒ ÐÙ Ù ¹ ÐÙ ÑÑ ØÙÐ ÐØ ÑÝ ÑÙÓØÓ a + b 1 ÓÐ Ú Ø Ð ÓØ Ñ a,b Rº ÂÓ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ð Ù ÒÒ Ø ÔÝ ÝÚØ ÐÐ Ò ÚÓ Ñ Ò Ò ØØ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ò ³ÐÙ Ù Ò³ ÙÑÑ Ò (a + b 1) + (c + d 1) = (a + c) + (b + d) 1 ØÙÐÓ (a + b 1)(c + d 1) = ac + ad 1 + bc 1 + bd 1 1 = (ac bd) + (ad + bc) 1, Ñ ÝØ ÑÑ ÝÚ Ø ØÓ 1 1 = 1º Ë Ô Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ØÙ¹ ÐÓ Ø ÓÐ Ú Ø ÑÝ Ñ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ³ÐÙ Ù ³º ÃÙÒ Ø Ð ÑÑ ³ÐÙ Ù ³ a+b 1 Ö Ð ÐÙ ÙÔ Ö Ò (a,b) R ÚÓ ÑÑ ØØ Ð¹ Ð Ø Ò Ú ÒØÓ Ò ÔÓ ÐØ Ø ÑÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÐÐ Ð ÒÒ ØÙÐÐ ÐÙ Ù ÐÙ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ ½º½º ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó C ÓÒ C = R = {(a,b) : a,b R} Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ØØ ÐÐ Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) ÖØÓÐ ÙÐÐ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ (a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÂÓÙ Ó Ø C ÝØ ØÒ ÑÝ Ò Ñ ØÝ Ø ÓÑÔÐ Ø Óº Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ØÑ Ð ÒÒÙ ÓÒ ØÓ ÐÐ Ò Ò Ñ Ò ØÝ Ý ØÐ Ò x + 1 = 0 Ð ÔÝ ØÝÑÑ Ö Ø Ñ Ò Ó Ò ØÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ Ò ÓÙ Ó C Ø Ó ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÙ Ó C Ø Ó ÐÙ Ù µº ½ ÄÙ Ù ÐÙ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Òµ ÔÓ ÐØ ÓÓÒÒÙØ Âĺ Î Ñ ÑÙÓ ØØÙ ½ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼½½ ½

¾ ¾º È ÖÙ Ø Ø Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÚ Ø ØÓ ÐÐ ÚÓ Ñ ÑÝ ÓÑÔ¹ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ä Ù ¾º½º µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú ÐÐ z,w,v C z + (w + v) = (z + w) + v z(wv) = (zw)v µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú ÐÐ z,w C z + w = w + z zw = wz µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÐÐ z,w,v Cº (z + w)v = zw + zv µ Ð Ó 0 = (0,0) ÓÒ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ð Ó 1 = (1,0) ÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº µ ÂÓ ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ z ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù z = ( 1,0)z ÒØ Ð Ó Ý Ø Ò¹ Ð ÙÒ Ù Ø Òµº µ ÂÓ ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ z = (x,y) ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù ( ) x z 1 = x + y, y x + y ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òµº ÌÓ ØÙ º µ Ø ÒÐ Ù ÙÖ ÙÓÖ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ó Ø Ú ÙÙ¹ Ø ÖØÓÐ Ù Ú Ø Ñ Ò Ò ÑÑÒ Ø Ö Ø ÐÙ ÑÙØØ Ð Ù ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ò Òº µ Ë ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙ Ø º µ ËÙÓÖ Ú Ú Ò Ò Ð Ù ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÚÙÐÐ º µ ÃÙÒ z = (x,y) C Ò Ò z + 0 = (x,y) + (0,0) = (x + 0,y + 0) = z z 1 = (x,y)(1,0) = (x 1 y 0,x 0 + y 1) = (x,y) = z. µ ÃÝØØÑÐÐ ÝÚ ØÖ ÙØ Ú ÙÙØØ µ¹ Ó Ø Ò z + ( z) = (1,0)z + ( 1,0)z = ( (1,0) + ( 1,0) ) z = (0,0)z = 0z = 0. µ ÃÙÒ z = (x,y) (0,0) Ò Ò ( ) ( x (x,y) x + y, y x x + y = x + y + y x + y, xy x + y + xy ) x + y = (1,0).

Ä Ù Ø ¾º½ ÙÖ ØØ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ¹ Ù ÐÐ ÓÒ ÙÒØ Ø ØÑ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ð ÓÒ i = 1 Ú Ö ØØÑ Ö Ð ÐÙ¹ Ù Ò ÙÒÒ Ò ÙÒØ Ð ÒÒÙ Ð C = R(i) Ú ÖØ Ð Ö Ò ÙÖ Òµº ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ÒÒÝ ¹ ÓÐ ÙØ Ú Ò ÙØ Ò Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÃÙÒ z,w C Ò Ò z w = z + ( w) Ó Ð w 0 Ò Ò z/w = z w 1 º Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú ØÙÐ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ x¹ Ð º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ú ÖØ Ò ÙÚ Ù j: R C ØØ Ñ ÐÐ j(x) = (x,0)º Ä ÑÑ ¾º¾º ÃÙÚ Ù j ÓÒ Ò Ø Óº Ä ÐÐ x,y Rº j(x + y) = j(x) + j(y) j(xy) = j(x)j(y) ÌÓ ØÙ º À ÐÔÔÓ ÙÓÖ Ú Ú Ò Ò Ð Ùº ÂÓÙ Ó j(r) = {z = (x,y) C : y = 0} ÙØ ÙØ Ò Ö Ð Ð ÆÝØ ÚÓ ÑÑ Ñ Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ð Ð Ò Ò Ø º Ó x R Ò Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó Ø ÑÝ x = (x,0) Cº ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù i = (0,1) ÙØ ÙØ Ò Ñ Ò Ö Ý ÓÙ Ó {z = (x,y) C : x = 0} ( = ir ) Ñ Ò Ö Ð º ÀÙÓÑ ØØ i = (0,1)(0,1) = ( 1,0) = 1 ÓØ Ò i C ÓÒ ØÓ ÐÐ Ý ØÐ Ò x + 1 = 0 Ö Ø Ùº ÂÓ Ò Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù z = (a,b) ÚÓ Ò ÒÝØ ØØ ÙÑÑ Ò (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (0,1)(b,0) = a + ib, Ñ Ú Ñ Ú ÝØ ØÒ ÐÐ Ø ØÝ ÓÔ ÑÙ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ÓÑÔ¹ Ð ÐÙ Ù (a,0) Ñ Ø Ø Ò Ö Ð ÐÙÚÙÒ a Ò Ú Ø Ú Ø ÐÙÚÙÐÐ bµº Æ ÐÐ Ñ Ö¹ ÒÒ ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ú Ø ÑÙÓ ÓØ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc). ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙÒ z = (a,b) = a + ib Ö Ð Ó ÓÒ Re(z) = a Ñ Ò Ö Ó ÓÒ Im(z) = bº Ë Ô z = Re(z) + iim(z)º ÀÙÓÑ ØØ Ö Ð ¹ ØØ Ñ Ò Ö Ó Ø ÓÚ Ø Ö Ð ÐÙ Ù º ÃÓÒ Ù ØØ ÑÓ ÙÐ ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÃÙÒ z = a + ib C Ò Ò ÐÙ Ù z = a ib ÒÓØ Ò ÐÙÚÙÒ z ÓÑÔÐ µ ÓÒ Ù Ø Ð Ð ØØÓÐÙÚÙ º ÃÓÑÔÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ä ÑÑ º¾º µ ÂÓ z = x + iy C Ò Ò zz = x + y ( R ) º µ z w = z w ÐÐ z,w Cº µ z + w = z + w ÐÐ z,w Cº µ à ÐÐ z C ÔØ z = z z Rº

ÌÓ ØÙ º µ zz = (x + iy)(x iy) = x + y + ixy ixy = x + y º µ À ÐÔÔÓ Ð Ùº µ ÇÐ ÓÓÒ z = a + ib w = c + idº ÃÓ z + w = a + c + i(b + c) Ò Ò z + w = a + c i(b + c) = a ib + c id = z + w. µ ÇÐ ÓÓÒ z = x + iyº ÌÐÐ Ò z = z x + iy = x iy iy = iy y = y y = 0 z R. ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ö ØÝ Ø Ó ØÓ Ñ ÑÓ Ò Ù Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ > º Ê Ð ÐÙÚÙÒ Ø ÖÚÓ Ú Ø Ú Ø ÚÓ Ò Ù Ø Ò¹ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º º ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙÒ z = x + iy ÑÓ ÙÐ Ð Ø ÖÚÓµ ÓÒ z := zz = x + y = (x,y), Ñ ÓÒ Ø ÓÒ R Ù Ð Ò Ò ÒÓÖÑ ÚÖغ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ù Ð Ø Ò Ú ¹ ÖÙÙ Ò ÙÖ Òµº ÀÙÓÑ Ó Ø µ ÂÓ z R Ø º z = x + i 0µ Ò Ò z = { x, Ó x 0, x = x, Ó x < 0. µ z = z ÐÐ z Cº µ Re(z) z Im(z) z ÐÐ z Cº Úµ zw = z w ÐÐ z,w Cº Ä ÑÑ º º ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÑÓ ÙÐ ØÓØ ÙØØ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÐÐ z,w Cº z + w z + w ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ z,w Cº Ä Ñ ÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ zw + zw = Re(zw) zw = z w, Ñ ÝØ ÑÑ ÝÚ Ð ÑÑ ÐØÚ ÙÓÑ Ó Ø µ Úµº Ë Ø Ò z + x = (z + w)(z + w) = z + zw + zw + w z + z w + w = ( z + w ), Ñ Ø Ú Ø ÙÖ º ÅÓ ÙÐ Ò ÓÒ Ù Ø Ò ÚÙÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÒ z 0 ÒØ ÐÙÚÙÐÐ Ò ÐÔÔÓ ØÝ z 1 = z z. Ñ Ö º º Ä Ø Ò Ñ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÒ Ó ÑÖ z/wº ÇÐ ÓÓÒ z = a + ib w = c + id 0º ÌÐÐ Ò z w = zw 1 = zw (a + ib)(c id) = w c + d = ac + bd ad c + ibc + d c + d.

º Æ Ô ÓÓÖ Ò ØØ ØÝ ÇÐ ÓÓÒ z = x + iy C \ {0} ÓÐ ÓÓÒ ϕ Ø ÓÒ R Ú ØÓÖ Ò (1,0) (x,y) ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ Ú Ø Ô ÚÒ Ð ³ÔÓ Ø Ú Ò ÖØÓ ÙÙÒØ Ò³µº ÌÐÐ Ò x = (x,y) cos ϕ = z cos ϕ y = (x,y) sin ϕ = z sin ϕ, ÓØ Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ ½µ z = z (cos ϕ + isin ϕ). Ã Ú Ò ½µ ØÓØ ÙØØ Ú ÐÙ Ù ϕ ÙØ ÙØ Ò ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÒ z Ö ÙÑ ÒØ Ñ Ö ¹ ØÒ Ù Ò ϕ = arg zµº ÀÙÓÑ ØØ ØÑ ϕ ÓÐ Ý ØØ Ò Ò Ú Ò ÑÝ ÐÙÚÙØ ϕ + kπ k Z ÓÚ Ø ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÒ z ÑÓ ÙÐ Ø º È Ö ( z,arg z) ÒÓØ Ò ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÒ z Ò Ô ÓÓÖ Ò ØØ ØÝ º z = ( 1 + i) r = φ = 3 4 π φ = 5 4 π 0 1 z 1 r = 1 ÃÙÚ ½º ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò z = (i 1) z 1 = 1+i Ò Ô ÓÓÖ¹ Ò Ø Ø ÓÚ Ø (, 3 4 π) (1, 5 4 π)º Æ Ô ÓÓÖ Ò ØØ ØÝ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÚÓ Ò ÚÙй Ð ÑÑ Ú ÒÒÓÐÐ Ò ØÝ Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ Ä ÑÑ º½º µ ÇÐ ÓÓØ z = r(cos ϕ + isin ϕ) w = s(cos θ + isin θ)º ÌÐÐ Ò zw = rs ( cos(ϕ + θ) + isin(ϕ + θ) ). µ ÇÐ ÓÓØ z k = r k (cos ϕ k + isin ϕ k ) k = 1,,...,nº ÌÐÐ Ò n ( n ( n ) ( n ) z k = r k )(cos ) ϕ k + isin ϕ k. k=1 k=1 ÌÓ ØÙ º µ Ë Ò Ò Ó Ò Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÚÓ Ò ÚÙÐÐ ÑÑ rs ( cos(ϕ + θ) + isin(ϕ + θ) ) k=1 k=1 = rs ( cos ϕcos θ sinϕsin θ + i(sin ϕcos θ + cos ϕsin θ) ) = rs ( (cos ϕ + isin ϕ)(cos θ + isin θ) ) = r(cos ϕ + isin ϕ) s(cos θ + isin θ) = zw.

µ Ë ÙÖ µ¹ Ó Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ º ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ØÙÐÓ Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÑÓ ÙÐ Ø Ð Ñ ÐÐ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ý Ø Ò º Ñ Ö º¾º µ ÇÐ ÓÓÒ z = r(cos ϕ + isin ϕ) Cº ÃÓ i = cos(π/) + isin(π/) Ò Ä Ù Ø º½ iz = r ( cos(ϕ + π/) + isin(ϕ + π/) ). Ë Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ i ÖØÓÑ Ò Ò Ú Ø Ø Ó ÖØÓ ÙÐÑ Ò π/ Ú ÖÖ Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÙÙÒØ Òº µ Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ä Ù Ò º½ µ¹ Ó Ø Ò ÙÙÐÙ ÅÓ ÚÖ Ò Ú ¾µ (cos ϕ + isin ϕ) k = cos(kϕ) + isin(kϕ). º ÈÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ Ø Æ Ô ÓÓÖ Ò ØØ ØÝ Ø ÖØÓÐ Ù ÒØ ÝØØ Ò ÓÒ ÐÔÔÓ ØÙØ ÓÑÔÐ ¹ ÐÙ Ù Ò ÙÙÖ ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÂÓ z,w C m Z + z m = w Ò Ò z ÓÒ ÐÙÚÙÒ w m ÙÙÖ º Ä ÑÑ º¾º ÄÙÚÙÐÐ 1 C ÓÒ m ÔÔ Ð ØØ m Ò ÙÙÖ ØÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ z m = 1 ÓÒ m ÓÑÔÐ Ø µ Ö Ø Ù º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ÌÐÐ Ò ÅÓ ÚÖ Ò Ú Ò ¾µ ÒÓ ÐÐ ζ m = cos π m + isin π m. ζ m m = cos π + isin π = 1, ÓØ Ò ζ m ÓÒ ÐÙÚÙÒ 1 Ö m ÙÙÖ º ÂÓ ÒÝØ n {1,...,m} Ò Ò ÐÐ Ò Ú ¾µ ÝØØ Ò Ò ζm n πn πn = cos + isin m m, ÓØ Ò (ζm n )m = cos πnm πnm + isin m m = 1. Ë Ô ÐÙÚÙØ ζm n ÓØ ÓÚ Ø ØÓ ÐÐ Ö ÐÙ Ù ÙÒ n {1,...,m}µ ÓÚ Ø ÐÙÚÙÒ 1 m Ò ÙÙÖ º ÀÙÓÑ ÙØÙ ζ m m = 1 R Ó m ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò ζ m/ m = cos πm/ m πm/ + isin m = cos π + isin π = 1 R. ÆÑ ÓÚ Ø ÒÓ Ø Ö Ð Ø Ö Ø ÙØ Ý ØÐ ÐÐ z m = 1º Ä ÑÑ Ò º¾ Ò Ô ÓÓÖ Ò ØØ ØÝ Ò ÚÙÐÐ Ð Ý ØÒ Ó Ò ÒÓÐÐ Ø ÔÓ ¹ Ú Ò ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÒ ÙÙÖ Ø Ä Ù º º ÂÓ ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ w C \ {0} ÓÒ m ÔÔ Ð ØØ m Ò ÙÙÖ º ÌÓ ØÙ º ÃÙÒ w = r(cos ϕ + isin ϕ) Ò Ò ÐÙ Ù z = m ( r cos ϕ m + isin ϕ ) m ÓÒ ÐÙÚÙÒ w Ý m ÙÙÖ º à ÑÙÙØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ zζm n n {1,...,m} Ñ ζ m ÓÒ Ý Ò m ÙÙÖ º ØÝ Ó Ø Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º

i = ζ 8 ζ 3 8 ζ 8 1 = ζ 4 8 π 4 0 1 ζ 5 8 ζ 7 8 i = ζ 6 8 ÃÙÚ ¾º Ò ÒÒ Ø ÙÙÖ Øº Ñ Ö º º ÄÙÚÙÒ C ÓÐÑ ÒÒ Ø ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø 3 3 ( cos π 3 + isin π 3 3 ( cos 4π 3 + isin 4π 3 ) ) = 3 ( 1 3 ) + i = 3 ( 1 3 ) + i. ÀÙÓÑ ÙØÙ ÃÓ Ó ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ ÓÒ Ù Ø ÙÙÖ ØÝØÝÝ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ØÙÒÒ ØØÙ Ò ÙÙÖ Ò Ð Ù ÒØ Ò Ò ÓÐÐ Ú ÖÓÚ Ò Ò ÓÑÔÐ ¹ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Ñ Ö a b = ab ÙÒ a,b R + ÑÙØØ ØÓ ÐØ 1 1 = i = 1 1 = 1 = ( 1)( 1).!?) ÌÐÐ ÓÒ ÐÑ Ø ÐÐÒ Ø Ö ÑÑ Ò ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ò ÙÖ ÐÐ º ÐÐ ÓÒ ØÙ Ö Ø ØÙ ÑÙÓØÓ z m + a 0 = 0 m Z + a 0 C ÓÐ Ú Ø Ý ØРغ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ú Ð Ñ Ò ÑÙ Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÖØÓ Ñ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓ¹ Ñ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ñ Ø º ÐÓ Ø ÑÑ ØÓ Ò Ø Ò Ý ØРغ ÂÓ a 0,a 1,a R Ò Ò ØÙÒÒ ØÙ Ø ÐÙÚÙØ x 1 = a 1 + a 1 4a a 0 x = a 1 a 1 4a a 0 a a ÓÚ Ø ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ Ò a x + a 1 x + a 0 = 0 Ö Ø ÙØ ÙÒ Ò a 1 4a a 0 0 Ð ÙÒ ÐÙÚÙÐÐ a 1 4a a 0 R ÓÒ Ö Ð Ò Ò Ò Ð ÙÙÖ º

ÌÓ ÐØ Ä Ù Ò º ÒÓ ÐÐ Ó ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ ÓÒ Ò Ð ÙÙÖ ÙÓÖ Ò Ð Ñ ÐÐ ÚÓ ÑÑ Ò ØÓ Ø ØØ Ó ÐÐ ØÓ Ò Ø Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÖØÓ Ñ ¹ ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Ã Ö Ø Ò ØÑ ØÙÐÓ ÙÖ Ú ÑÙÓ Ó Ä Ù º º ØÐ Ò z + a 1 z + a 0 = 0 Ñ a 0,a 1 C Ö Ø Ù ÓÚ Ø ÐÙÚÙØ z 1 = a (a1 ) 1 + a0 z = a (a1 ) 1 a0. ÌÓ ØÙ º À Ú Ø ÑÑ ÙÓÖ Ò Ð Ñ ÐÐ ØØ (z z 1 )(z z ) = z + a 1 z + a 0, Ñ Ø Ú Ø ÙÖ º ÅÝ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ò Ð ÒÒ Ò Ø Ò ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ ÐÐ µ ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù Ú Ø Ñ Ò Ø ÑÑ Ø Ú Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ Ò ÝÐ Ò Ö Ø ÙÒº ÌØ Ú ÖØ Ò Ñ Ö Ø ÑÑ ζ = cos π 3 + isin π 3 = 1 + i 3 ζ C ÓÒ Ö µ Ý Ò ÓÐÑ ÙÙÖ µº Ä Ù º Ö ÒÓÒ Ú Ø µº ØÐ Ò µ z 3 + pz + q = 0, p,q C, Ö Ø Ù ÓÚ Ø ÓÑÔÐ ÐÙÚÙØ z 1 = u 0 + v 0, z = ζu 0 + ζ v 0 z 3 = ζ u 0 + ζv 0, Ñ µ u 0 = 3 q (q ) ( p 3 + + 3) v 0 = 3 q (q ) ( p 3 + 3) ÙÙØ Ó ÙÙÖØ Ò ÖÚÓØ ÓÒ Ú Ð ØØÙ Ø Ò ØØ u 0 v 0 = p/3. ÀÙÓÑ ÙØÙ º à ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ Ø Ý ØÐ Ø Ò ÑÙÙع ØÙ ÒÚ ÓÐÐ ÑÙÓØÓÓÒ µ ÂÓ Ý ØÐ Ò w 3 + a 1 w + a w + a 3 = 0 Ó Ø Ø Ò w = z a 1 /3 Ò ÑÙÓØÓ µ ÓÐ Ú Ý ØÐ Ó ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ä Ù Ò º ÚÙÐÐ º Ð ÙÔ Ö Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙØ Ò ÒÝØ Ð ÑÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù Ò a 1 /3º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ä Ù Ò º ÚÙÐÐ º Ê Ø Ù Ú Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÓÚ Ò Ù Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ØØ Ú Ð ÙÖ Ú Ñ Ö Ñ Ö º º Ê Ø Ø Ò Ý ØÐ µ z 3 + 3z + 4 = 0

Ö Ø Ù Ú Ò ÚÙÐÐ º ÆÝØ Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ µ Ñ p = 3 q = 4º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÑ Ú Ò µ Ò u = 3 4 (4 ) ( 3 ) 3 + 3 + = + 5 R 3 v = 3 4 (4 ) + ( 3 3 ) 3 3 = 5 = 3 + 5 R. ÃÓ Ð uv = 3 + 5 3 + 5 = 1 = p/3 ÓÒ z 1 = u + v = 3 + 5 3 + 5 Ý ØÐ Ò µ Ö Ö Ø Ùº ÅÙ Ø Ö Ø Ù ÓÚ Ø z = ζu + ζ v z 3 = ζ u + ζv. ÀÙÓÑ Ä Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ z 3 +3z +4 = (z +1)(z z +4) ØÓ ÐØ z z + 4 > 0 ÐÐ z R ÓØ Ò z = 1 ÓÒ Ý ØÐ Ò µ ÒÓ Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ùº ÃÓ ÑÝ z 1 = u + v R Ò Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ 3 + 5 3 + 5 = 1 (!). ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÃÓÐÑ ÒÒ Ò ÑÝ Ò Ð ÒÒ Òµ Ø Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ú ÐÐ ÓÐ ÑÙØ ÙÙØ Ò ÚÙÓ ÒÝ Ý Ò ÙÙÖ Ò ÝØÒÒ ÐÐ Ø Ñ Ö ØÝ Ø ÐÐ ¹ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ Ò Ð ÑÖ Ø Ö Ø ÙØ Ð ÝØÝÚØ Ø Ó Ñ Ò Ö Ð Ø Ò ÒÙ¹ Ñ Ö Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÚÙÐÐ º Ê Ø Ù ÚÓ Ò Ð ÝØÝÑ Ò Ø ÓÖ ØØ Ø ÙÖ Ù Ø ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ Ø Ú ÐØ Øº ÁØ ÙÙÖ Ö ÒÓÒ Ú Ø ÒØÓ Ú Ø Ð Ù Ý¹ Ý Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÝØ ÐÐ ÐÐ Ù Ò Ý Ò Ò ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ Ò Ö ¹ Ð Ø Ò ÙÙÖ Ø ÒØÝÚØ Ö ÒÓÒ ÚÓ ÑÙÓ Ó Ó ÐØ Ò Ø Ú Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ò Ð ÙÙÖ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º Î ÒÒ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò ÓÑÔÐ ¹ Ø Ö Ð ÖØÓ Ñ ÐÐ µ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ ÝÐ Ø Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ º ÃÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ý ØÐ ¹ Ò Ö Ø Ñ ØØÓÑÙÙ ØÓ Ø Ø Ò ÒÝ Ý Ò ÝÐ Ò ÝØØÑÐÐ ÖÝ ÑØ ÓÖ Ö ØÝ ¹ Ø Ò Ò ÒÓØØÙ ÐÓ ³Ò Ø ÓÖ º Æ Ò Ó Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò Ð ÑÑ Ò Ð Ö Ò Ø Óµ ÙÖ ÐÐ º Î ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ ÓÐ Ò ÓÐ Ñ ÝÐ Ø Ö Ø Ù Ú ÚÓ Ò ÐØ Ó Ó ØØ ØØ Ó ÐÐ ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ùº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó ÐÐ ÓÙ ÓÒ C Ø Ò ÑÝ ÓÙ ÓÒ Rµ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ä Ù º Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ P ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ÓÐ Ú Óµº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ z 0 C Ø Ò ØØ P(z 0 ) = 0 Ð z 0 ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò P ÒÓÐÐ Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ P n Ó Ò n ÒÒ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÔÓÐݹ ÒÓÑ ÐÐ P n ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø z n º ÌÐÐ Ò P n ÚÓ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ø Ø ÖÑ ÐÐ (z z n ) ØÙÐÓ Ò ÓÒ (n 1)¹ Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ P n 1 Ø º P n (z) = (z z n )P n 1 ÐÐ z Cº ÆÝØ ÑÝ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ P n 1 ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø z n 1 Ñ Ð n µ Ð ÝØÝÝ (n )¹ Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ P n Ø Ò ØØ P n (z) = (z z n )(z z n 1 )P n ÐÐ z Cº Æ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò Ú Ú ÒÒÙ

½¼ Ä Ù º º ÂÓ ÐÐ n ÒÒ Ò Ø Ò ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÒ ÖØ ¹ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó Òµ Ø ÑÐÐ Ò n ÓÑÔÐ Ø ÒÓÐÐ Ó Ø º º ÃÓÑÔÐ Ò Ò Ö ÚÓ ÒØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø Ó Ò Ð ÑÝ ÑÙ Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ð ¹ ÒØ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÙÒ Ø Ó º ÌÐÐ Ò Ó Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ñ Ö ÔÓÒ Òع Ø ÙÒ Ø ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÝÐÐØØÚÒ Ò Ð Ò Ò Ý ¹ Ø Ý º ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó exp: C C \ {0} ÚÓ Ò Ò Ñ ØØ Ò ÑÖ ¹ Ø ÐÐ ØØ Ñ ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ z = x + iy µ Ë Ø Ò e z = e x arg(e z ) = yº exp(z) = e z = e x+iy := e x (cos y + isin y). Ã Ú Ò µ Ö Ó Ø Ô Ù Ø x = 0 ÙØ ÙØ Ò ÙÐ Ö Ò Ú º ÀÙÓÑ ØØ Ú Ø µ ÙÖ ØØ exp ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÒ πiº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÚÓ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø Ó Ó ØØ ØØ ÐÐ z,w C ÔØ e z e w = e z+w º ÃÓÑÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ f : C C Ö Ú ØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÖÓØÙ Ó ÑÖÒ ÚÙÐÐ Ú Ò ÙØ Ò Ö Ð ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ù º ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f : C C Ø ÙÒ Ø ÓÒ f : U C Ñ U C ÓÒ ÚÓ Ò ÓÙ Óµ Ö Ú ØØ Ô Ø z C Ø z U µ ÓÒ µ f f(z + λ) f(z) (z) = lim ( C), λ 0 λ Ó Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ º ÀÙÓÑ ØØ Ø λ C ÓØ Ò λ 0 Ø Ö Ó ØØ Ñ Ù Ò λ 0º ÂÓ U C ÓÒ ÚÓ Ò ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó f : U C ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ó Ô Ø z U Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó U µº ÃÓÑÔÐ Ò Ò Ö ÚÓ ÒØ ÒÓÙ ØØ Ö Ð Ø Ø Ô Ù Ø ØÙØØÙ Ô ÖÙ Ð Ù Ò¹ Ø Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓØ f,g: C C Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø z C ÓÐ ÓÓÒ λ Cº ÌÐÐ Ò ÑÝ λf, f + g, fg f/g Ñ Ð g(z) 0µ ÓÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø z µ (λf) (z) = λf (z) µ (f + g) (z) = f (z) + g (z) µ (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z) ( ) f µ (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) g g (z). Ä ÑÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ f : C C Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø z C ÓÐ ÓÓÒ g: C C Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø f(z) Cº ÌÐÐ Ò g f ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø z (g f) (z) = g (f(z))f (z)º Ä ÑÑÓ Ò º½ º¾ ØÙÐÓ Ø ÔØ ÚØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ ÙÒ Ø ÓØ f g ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÔ Ú µ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÚÓ Ñ Ó ÓÙ Ó º ÃÓÑÔÐ ÐÐ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ ÓÑ Ò ÙÙ Ù Ò Ö Ð ÐÐ ¹ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ä Ù º º ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó f : C C f(z) = e z ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÙÚ ÐÐ z Cº Ä f (z) = e z (= f(z)) ÐÐ z Cº

½½ Ä ÐÙ Ñ Ø Ì ÖÓ Ã ÐÔ Ð Ò Ò ÃÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼ º ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º ÝÙº»ÓÔ ÐÙ»ÑÓÒ Ø Ø»Å Ì˽¾¼ºÔ ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼½¼º ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º ÝÙº»ÓÔ ÐÙ»ÑÓÒ Ø Ø»Å Ì ½¾¼ºÔ ÇÐÐ Ä ØÓ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Á¹ÁÁ Ä Ñ Öݺ ½ º