TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015
Sisällys
TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1. On olemassa yleinen kielioppi G, jolle A = L(G). 2. On olemassa Turingin kone M, jolle A = L(M). Seuraus Kieli on laskettavasti lueteltava, jos on olemassa Turingin kone, joka tunnistaa sen. Huomautus Aiemmin jo määriteltiin, että kieli on laskettava, jos on olemassa Turingin kone, joka ratkaisee sen.
Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on muotoa Onko x:llä ominaisuus P(x)? Rajoitutaan tarkastelemaan, joissa kaikilla relevanteilla x:illä on olemassa äärellinen esitys (merkkijonona), josta tuon x:n voi lukea. Määritellään ominaisuutta vastaava kieli L(P) = { x Σ P(x) }. Päätösongelma onko x:llä ominaisuus P(x) voidaan siten muotoilla muotoon: Kuuluuko merkkijono x kieleen L(P)?
Esimerkkejä päätösongelmista Sopiiko merkkijono w säännölliseen lausekkeeseen s? Onko jono (w 1,..., w n ) aakkosjärjestyksessä? Onko lauselogiikan kaava ϕ tautologia? Onko predikaattilogiikan kaava ϕ tautologia? Onko laskettavasti lueteltava kieli A tyhjä? Pysähtyykö Turingin kone M syötteellä w?
Päätösongelman ratkeavuus Päätösongelma on puoliratkeava (engl. semidecidable), jos on olemassa Turingin kone M, joka tunnistaa sitä vastaavan kielen. toisin sanoen: jos sitä vastaava kieli on laskettavasti lueteltava Päätösongelma on ratkeava (engl. decidable), jos on olemassa Turingin kone M, joka ratkaisee sitä vastaavan kielen. toisin sanoen: jos sitä vastaava kieli on laskettava
Ratkeavia päätös Kuuluuko annettu merkkijono tiettyyn kontekstittomaan kieleen? Kuuluuko annettu merkkijono kieleen { a i b i c i i N }?
Turingin koneen tutkiminen Turingin koneella Joissakin tilanteissa voi olla hyvä pystyä antamaan Turingin koneelle syötteenä Turingin kone. Kone pitää kuitenkin ensiksi muuttaa Turingin koneen luettavaan muotoon eli merkkijonoksi. Yksinkertaisuuden vuoksi rajoitutaan TM:iin, joiden syötemerkistö on {0, 1}.
Turingin koneen binäärikoodaus Olkoon M = (Q, {0, 1}, Γ,, δ, q 0, q yes, q no ) standardimuotoinen 1 Turingin kone. Numeroidaan tilat: q 1 = q yes q 2 = q no {q3,..., q Q 1 } = Q \ {q 0, q yes, q no } Numeroidaan nauhamerkit: {c 0,..., c Γ 1 } = Γ. Numeroidaan suunnat: 0 = L ja 1 = R. Koodataan tilasiirtymä δ(q i, c j ) = (q k, c l, m ) binäärijonona w i,j = 0 i+1 10 j+1 10 k+1 10 l+1 10 m+1. M voidaan koodata binäärijonoksi w M = 111w 0,0 11w 0,1 11 11w 0, Γ 1 11 11w Q 3, Γ 1 111 Huomaa, että samalla koneella on useita binäärikoodauksia. Tällä ei ole jatkossa olennaista merkitystä. 1 Jos kone ei ole standardimuotoinen, se on ensiksi muutettava sellaiseksi.
Huomioita Kaikilla k {0, 1} joille on olemassa M, jolle pätee k = w M, merkitään M k = M. Kaikilla k {0, 1} joille ei ole olemassa M, jolle pätisi k = w M, merkitään M k :lla TM:ää, joka hylkää kaikki syötteet.
Diagonaalikieli Lause Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen TM:n M binäärikoodaus, joka ei hyväksy omaa koodaustaan? ei ole (puoli)ratkeava.
Universaalikieli Lause Päätösongelma Onko merkkijono w tulkittavissa w = w M v, missä M on standardimallinen TM, joka hyväksyy syötteen v? on puoliratkeava mutta ei ratkeava. Huomautuksia Kyseistä ongelmaa vastaa ns. universaalikieli U = { kv v L(M k ) }. Turingin kone M, jolle pätee L(U) = M, on universaalikone. Universaalikone on Turingin koneen binääriesityksen (metasirkulaarinen) tulkki.
Universaalikone Tähän mennessä aina kun halutaan ratkaista uusi ongelma, on pitänyt luoda uusi Turingin kone Olisiko mahdollista luoda Turingin kone, joka saa tehtävänkuvauksen syötteenään? Sellaista sanotaan universaalikoneeksi. Universaalikoneen syöte on w M v, missä M on ongelmakuvauksena toimiva Turingin kone ja v on sille tarkoitettu syöte. Universaalikone sitten käyttäytyy kuten M syötteellä v. Se hylkää syötteet, jotka eivät ole tulkittavissa tuohon tapaan. Merkitään mielivaltaista universaalikonetta M U.
Eräs kolminauhainen universaalikone 1. Pysähdy ja hylkää syöte, jos sen alussa ei ole minkään Turingin koneen binäärikoodausta. 2. Kopioi syötteen loppuosa kakkosnauhalle käyttäen koodausta c j 0 j+1 1. 3. Kirjoita kolmosnauhalle merkki 0. 4. Siirrä kaikki lukupäät kunkin nauhan alkuun. 5. Olkoon 0 i+1 kolmosnauhan sisältö ja olkoon 0 j+1 1 kakkosnauhan lukupään kohdalla. 6. Jos i = 1, pysähdy ja hyväksy syöte. 7. Jos i = 2, pysähdy ja hylkää syöte. 8. Etsi 1. nauhalta 110 i+1 10 j+1 10 k+1 10 l+1 10 m+1. 9. Kirjoita kolmosnauhan alkuun 0 k+1. 10. Korvaa 0 j+1 1 nauhan 2 lukupään kohdalla 0 l+1 1:llä. 11. Siirrä kakkosnauhan lukupää yksi koodattu merkki vasemmalle (m = 0) tai oikealle (m = 1). 12. Hyppää askeleeseen 5.
Mikään universaalikone ei pysähdy aina Taululla.
Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause Päätösongelma Pysähtyykö standardimallinen TM M syötteellä w? on puoliratkeava mutta ei ratkeava.
Kääntäjänkirjoittajien täystyöllisyys Lause Sellaista Turingin konetta ei ole, joka minimoisi sille binäärikoodattuna annetun Turingin koneen. Huomaa Sama pätee myös TM:n optimoinnille. Sama argumentti toimii myös ohjelmointikielille. Tulosta sanotaankin usein kääntäjänkirjoittajien täystyöllisyyslauseeksi (engl. the full employment theorem for compiler writers)
Entscheidungsproblem Lause (Turing) Sellaista Turingin konetta ei ole, joka ratkaisisi loogisesti tosien ensimmäisen kertaluokan logiikan kaavojen kielen. Huomaa Alkuperäinen ongelma oli Hilbertiltä ja kysyi, mikä mekaaninen menetelmä ratkaisee sen, onko jokin ensimmäisen kertaluokan logiikan kaava teoreema. Turing osoitti, että sellaista ei ole, samassa artikkelissa, jossa esitteli Turingin koneena myöhemmin tunnetuksi tulleen formalismin.
Lause Kaikki laskettavasti lueteltavien kielten epätriviaalit ominaisuudet ovat.
Ominaisuuden triviaalius Määritelmä Joukon S alkioiden ominaisuus P( ) on triviaali, jos pätee x S: P(x) tai x S: P(x).
Huomioita Laskettavasti lueteltavalla kielellä A on ominaisuus P(M), jos ja vain jos kaikilla TM:illä M pätee L(M) = A P(L(M)). Vastaavasti: Turingin koneen M ominaisuus P(M), joka on kaikilla ja vain niillä TM:illä jotka tunnistavat saman kielen kuin M, on laskettavasti lueteltavan kielen ominaisuus. Esimerkkejä: Onko annetun TM:n tunnistama kieli tyhjä? Onko annetun TM:n tunnistama kieli äärellinen? Onko annetun TM:n tunnistama kieli säännöllinen? Jotta tta voi soveltaa, ominaisuus täytyy olla jollakin mutta ei kaikilla laskettavasti lueteltavilla kielillä. Riittää osoittaa: On olemassa TM, joka tunnistaa kielen, jolla on kyseinen ominaisuus. On olemassa TM, joka tunnistaa kielen, jolla ei ole kyseistä ominaisuutta.
Sovellusesimerkki Lause Päätösongelma Onko standardimallisen TM:n tunnistama kieli epätyhjä? ei ole ratkeava. Todistus Ongelma voidaan esittää myös seuraavassa muodossa: Onko annetulla laskettavasti lueteltavalla kielellä A ominaisuus P(A) A =? Ominaisuus P on epätriviaali: P( ) ja P({0}) pätevät, ja molemmat kielet ovat laskettavasti lueteltavia. Näin ollen väite seuraa esta.