Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä voit sanoa luvun d parillisuudesta tai parittomuudesta? Ratkaisu. Voidaan olettaa, että b = a + 1. Silloin d = a +a +1) +aa +1)) = a + a +a +1+a 4 +a 3 + a = a 4 +a 3 +3a +a + 1. Toisaalta a + a +1) = a 4 +a +1+a 3 +a +a = a 4 +a 3 +3a +a+1. d on siis neliöluku ja d = a +a+1. a + a +1= a + 1 ) + 3 4 > 0.) Koska a + a +1=aa +1)+1jajokoa tai a +1on parillinen, niin aa + 1) on parillinen ja d on pariton.. Suorakulmaisen kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipisteen etäisyydet kolmion terävien kulmien kärjistä ovat ja 4. Laske hypotenuusan pituus tarkka arvo). 1. ratkaisu. Olkoon suorakulmainen kolmio ABC, sen hypotenuusa c = AB, ABC = β, CAB = α ja I sisään piirretyn ympyrän keskipiste. I on kolmion kulmien puolittajien leikkauspiste. Sovelletaan kolmion kulmasummasta välittömästi seuraavaa) tietoa, jonka mukaan kolmion kulman vieruskulma on kolmion muiden kulmien summa, kolmioihin CAI ja BCI. Saadaan AIB = 45 + α ) + 45 + β ) =90 + 1 α + β). Koska ABC on suorakulmainen, α + β =90. Siis AIB = 135. Sovelletaan kosinilausetta kolmioon ABI. Koska cos 135 = 1, saadaan heti c =4 + + 4 1 =0+8, joten c = 5+.. ratkaisu. Olkoon D se piste kulman CAB puolittajalla AI, jolle BD AI. Kolmion ABI kulman BIA vieruskulmana BID = α + β =45. Kolmio IBD on siis tasakylkinen suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa BI =. Siis BD = DI =. Suorakulmaisesta kolmiosta ABD saadaan Pythagoraan lauseen perusteella heti c = AB =4+ ) + ) =0+8 jac = 5+.
3. ratkaisu. Kalevi Lyyra) Olkoon IA =,IB =4,D ABC:n sisäympyrän ja AB:n sivuamispiste, AD = u, BD = t, IAB = α ja IBA = β. Suorakulmaisista kolmioista AID ja BID saadaan r =sinα =4sinβ. Siis sin α = sinβ. Toisaalta α + β = 45, joten sinβ = sin45 β) = 1 cos β sin β). Tästä ratkaistaan tan β = 1 1+ = r t, r = t 1+. Samoin johdetaan yhtälöt tan α = 1+ = r u, r = u 1+. Kun Pythagoraan lausetta sovelletaan kolmioihin AID ja BID, saadaan ) 4=r + u = u 1 + ) +1 ja Tästä ratkaistaan ) 16 = r + t = t 1 1 + ) +1. u = 1 + ) 5+, t = 1 + ) 5+, ja edelleen c = u + t = 1 + ) + 1 + ) = 10 + 4 = 5+. 5+ 5+ 4. ratkaisu. Olkoon BC = a, CA = b, ABC:n sisäympyrän säde r ja sisäympyrän ja kolmion sivujen BC, CA, AB sivuamispisteet A,B,C. Koska A CB I on neliö, A C = CB = r. Koska ympyrän tangenttien leikkauspisteestä sivuamispisteisiin piirretyt janat ovat yhtä pitkiä, on BC = BA = a r ja C A = B = b r. Siis c = a + b r, joten r = 1 a + b c), a r = 1 a b + c), b r = 1 a + b + c). Suorakulmaisista kolmioista IAC ja BIC saadaan Pythagoraan lauseen nojalla a + b + c) +a + b c) =4 4 =64 1)
ja a b + c) +a + b c) =4 =16. ) Kun otetaan huomioon, että ABC on suorakulmainen, joten a + b = c, niin 1) ja ) sievenevät muotoihin 4c 4ac =64, 4c 4bc =16. Siis a = c 16, b = c 4 c c Kun nämä a:n ja b:n arvot sijoitetaan Pythagoraan yhtälöön a + b = c, saadaan c:lle yhtälö c 4 40c + 7 = 0, josta ratkaistaan c = 40 ± 1600 4 7 =0± 400 7 = 0 ± 18 = 0 ± 8. Kolmiosta ABI nähdään, että c>4, joten c :n lausekeessa vain +-merkki kelpaa. Siis c = 5+. 5. ratkaisu. Käytetään samoja merkintöjä kuin edellä. Pythagoraan lause sovellettuina suorakulmaisiin kolmioihin AC I, AB I, BC I, BA I antaa AC = AB = 16 r ja BC = BA = 4 r.yhtälö a + b = c on siis r + ) 4 r + r + ) 16 r = 4 r + ) 16 r. Kun tässä suoritetaan neliöön korotukset ja sievennetään, saadaan, että r toteuttaayhtälön r 4 r + ) 16 r = r + r 4 0r +64. Kun tämä korotetaan puolittain neliöön ja sievennetään, saadaan, että r toteuttaa yhtälön r r 4 0r +64=r 4 10r +16. Kun tämä vielä korotetaan puolittain neliöön ja sievennetään, saadaan r:n toteuttamaksi yhtälöksi r 4 80r +64=0. Tämä on tuntemattoman r toisen asteen yhtälö, jolle voidaan suoraan kirjoittaa ratkaisu r = 80 ± 6400 56 34 = 40 ± 16.
Koska r on kolmion BIC lyhempi kateetti, on oltava r <. Vain voi tulla kyseeseen. Nyt r = 40 16 c = 4 r + 8 + 16 + 3 + 16 16 r = = 7+4 + 58 + 4 ). Tämä yllättävän erinäköinen ratkaisu on kuitenkin sama kuin edellisissä ratkaisuissa saatu c = 5+, niin kuin selviää, kun korottaa molemmat lausekkeet neliöön ja tekee rutiinisievennykset. 6. ratkaisu. Käytetään samoja merkintöjä kuin 3. ratkaisussa. Koska sin β =sinα = sin45 β) = cos β sin β), saadaan 1 + ) sin β = cosβ, 3+ ) sin β = 3 + )1 cos β)=cos β, josta ratkaistaan cos β = 3+ 5+. Kun vastaavasti lähdetään yhtälöstä sinα = 1 sin β = 1 sin45 α) ja tehdään samat operaatiot kuin edellä, tullaan yhtälöön Nyt cos α = c =cosα +4cosβ = 9+4 5+. ) 3+ + 18 + 8. 5+ Tämä jälleen aivan erinäköinen lauseke on kuitenkin sama kuin aikaisemmissa ratkaisuissa saatu c:n arvo. 3. On annettuna 41 luvun joukko A. Tiedetään, että näistä jokaisen 1:n luvun summa on suurempi kuin muiden 0:n luvun summa. Montako negatiivista lukua joukossa A enintään voi olla? 1. ratkaisu. Olkoon x mielivaltainen joukon A alkio. Jaetaan joukon A \{x} 40 alkiota kahdeksi 0-alkioiseksi joukoksi. Olkoot näiden joukkojen alkioiden summat S 1 ja S. Tehtävän ehdon perusteella S 1 + x>s ja S + x>s 1. Edellisestä epäyhtälöstä seuraa x>s S 1 ja jälkimmäisestä x>s 1 S. Siis x> S 1 S 0. Jokainen A:n alkio on siis positiivinen luku, joten negatiivisia lukuja A:ssa ei ole.
. ratkaisu. A on joukko, joten sen alkiot ovat eri lukuja. Kirjoitetaan ne suuruusjärjestykseen x 1 <x <... < x 41. Jos joukossa A on negatiivisia lukuja, niin x 1 < 0. Silloin 41 k= 1 1 x k < x k < x k < k=1 k= 41 k= Tämä ei ole mahdollista, joten joukossa A ei ole negatiivisia lukuja. 4. Käytössä on kolme kirjainta A, B ja C. Näistä voidaan muodostaa esimerkiksi neljän kirjaimen merkkijono ABBA. Kuinka monta merkkijonoa, joissa on n kirjainta ja joissa on parillinen määrä A-kirjaimia, voidaan muodostaa, kun n on positiivinen kokonaisluku? 1. ratkaisu. Jonoja, joissa on k, k 0, A-kirjainta, on ) n n k k kappaletta: paikat, joissa on A-kirjain voidaan valita yhtä monella tavalla kuin voidaan valita n-alkioisen joukon k-alkioinen osajoukko. B- jac-kirjaimille jää n k paikkaa, ja jokaiseen tällaiseen voidaan asettaa kumpi tahansa näistä kirjaimista, joten mahdollisuuksia on n k. Kaikkiaan tehtävän mukaisia merkkijonoja on siis n + ) n n + x k. ) n n 4 + 4 kappaletta. Mutta summa saadaan kirjoitettua suljettuun muotoon, kun huomataan, että ) ) ) ) n n n n 3 n =+1) n = n + n 1 + n + n 3 + n 4 +, 1 3 4 ) ) ) ) n n n n 1= 1) n = n n 1 + n n 3 + n 4. 1 3 4 Kun edelliset binomikehitelmät lasketaan yhteen, saadaan 3 n +1= Tehtävässä kysytty lukumäärä on siis n/ k=0 1 3n +1). ) n n k. k. ratkaisu. n-kirjaimisia sanoja on kaikkiaan 3 n kappaletta. Olkoon näistä S n sellaisia, joissa on parillinen määrä A-kirjaimia ja T n sellaisia, joissa on pariton määrä A-kirjaimia. Tarkastellaan sanoja, joissa on parillinen määrä A-kirjaimia. Jos sanan viimeinen kirjain on A, senn 1):n ensimmäisen kirjaimen joukossa on pariton määrä A-kirjaimia ja jos
viimeinen kirjain on B tai C, senn 1):n ensimmäisen kirjaimen joukossa on parillinen määrä A-kirjaimia. Tästä seuraa S n = T n 1 +S n 1. 1) Vastaavasti tarkastelemalla sanoja, joissa on pariton määrä A-kirjaimia, tullaan yhtälöön Kun yhtälöt 1) ja ) vähennetään toisistaan, saadaan T n = S n 1 +T n 1. ) S n T n = S n 1 T n 1. 3) Nyt S 1 =jat 1 = 1 parillinen määrä A-kirjaimia on sanoissa B ja C, pariton sanassa A) elis 1 T 1 =1. Yhtälöstä 3) seuraa nyt yksinkertaisella induktiolla, että S n T n =1 kaikilla n. KoskaS n + T n =3 n, saadaan heti S n = 1 3n +1). 3. ratkaisu. Pienillä n:n arvoilla tehdyt kokeilut antavat aiheen olettaa, että S n = 1 3n +1) ja T n =3 n S n = 1 3n 1). Todistetaan tämä induktiolla. S 1 =jat 1 = 1. Oleteaan, että väite pätee n:n merkin pituisiin jonoihin. Jonot, joiden pituus on n + 1 merkkiä ja joissa on parillinen määrä A- kijaimia, saadaan liittämällä n-pituisiin jonoihin, joissa on parillinen määrä A-kirjaimia, viimeiseksi merkiksi B tai C, tai sellaisiin, joissa on pariton määrä A-kirjaimia, viimeiseksi merkiksi A. Siis S n+1 =S n + T n =3 n +1+ 1 3n 1) = 3 3n + 1 = 1 3n+1 +1). Induktioaskel on otettu ja todistus on valmis.